精品解析：辽宁鞍山市立山区2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题

八年级数学限时作业训练 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 温馨提示：请每一位考生把所有的答案都答在答题卡上，答案要求见答题卡，否则不给分． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子中是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，需满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，由此判断即可． 【详解】解：A．由于字母a的取值范围不确定，不能保证被开方数a为非负数，故不一定是二次根式，不合题意； B．无意义，不是二次根式，不合题意； C．，是二次根式，符合题意； D．的根指数是3，不是2，不是二次根式，不合题意． 2. 已知，则的值为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用绝对值和算术平方根的非负性解题，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此列方程组求出的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵任意实数的绝对值和算术平方根都是非负数， ∴ ， 又∵ ∴ 将两个方程相加，得，解得 把代入，得，解得 把代入，得 因此的值为． 3. 如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（　　） A. 5米 B. 6米 C. 7米 D. 8米 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用及平移的知识．先求出的长，利用平移的知识可得出地毯的长度． 【详解】解∶在中，米， 故可得地毯长度米， 故选：C． 4. 如图，已知直线，则下列能表示直线m，n之间距离的是（　　） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线间的距离．熟练掌握平行线间的距离是解题的关键． 根据平行线间的距离定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，表示直线m，n之间距离的是线段的长， 故选：B． 5. 如图，的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴， 故选B． 6. 如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.8km，则M，C两点间的距离为（ ） A. 1.5km B. 2.8km C. 1.4km D. 1.9km 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=AB，代入求出即可． 【详解】解：∵AC⊥BC， ∴∠ACB=90°， ∵M为AB的中点， ∴CM=AB， ∵AB=， ∴CM=， 故选C． 【点睛】此题考查直角三角形斜边上的中线性质，能根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=AB是解题的关键． 7. 如图，在中，是上一点，，，垂足为点，是的中点，若，则的长为（ ） A. 32 B. 24 C. 16 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和中位线的性质求解即可． 【详解】解：， 是等腰三角形， ， ， 是的中点， 是的中点， 是的中位线， ． 8. 课外活动时，王老师让同学们做一个对角线互相垂直的矩形形状的风筝，其面积为450cm2，则两条对角线所用的竹条至少需( )． A. 30cm B. 30cm C. 60cm D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】因为矩形的对角线相等,现在又互相垂直,已经是正方形,所以设矩形的对角线长为x，则S矩形=x2，再根据面积为450cm2求出x的值即可． 【详解】解：设矩形的对角线长为x， ∵矩形的两条对角线互相垂直， ∴S矩形=x2=450cm2， 解得x=30cm， ∴2x=60cm． 故选C． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，解题关键是熟练掌握矩形的两条对角线相等，当对角线互相垂直时，则其面积又等于两条对角线积的一半． 9. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解题思路是先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式得到结果． 【详解】解：原式 ． 10. 在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了如下有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当时，的值为（ ） A. 360 B. 200 C. 280 D. 242 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数，根据表格中数据确定a、b、c的关系，然后再代入，求出b、c的值，进而可得答案． 【详解】解：根据表格中数据可得：，并且， 则， 当时，， 解得：， 则， ∴． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在四边形中，其中一组对角之和为，则另外一组对角之和为_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据四边形的内角和为，已知一组对角之和，用内角和减去该数值，即可得到另一组对角之和． 【详解】解：四边形内角和为， 已知其中一组对角之和为， 另外一组对角之和 ． 12. 如图，工人师傅砌门时，要想检验门框是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别相等的前提下，只要测量出对角线的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是___________________________________________． 【答案】对角线相等的平行四边形为矩形 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，根据对角线互相相等的平行四边形是矩形进行作答即可． 【详解】解：依题意，∵两组对边分别相等， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 则只要测量出对角线的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是对角线相等的平行四边形为矩形． 故答案为：对角线相等的平行四边形为矩形． 13. 如图，已知线段，分别以点A，B为圆心，以5cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连接，，，，则四边形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了菱形的判定与性质．利用基本作图得到，则可判断四边形为菱形，根据菱形的性质得到，，，接着利用勾股定理计算出的长，然后根据菱形的面积公式计算． 【详解】解：连接交于点，如图， 由作法， 四边形为菱形， ，，， 在中，， ， 四边形的面积． 故答案为：． 14. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，点A、C、D在同一直线上，与交于点F，若，则____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，由题意可得，，，推出为等腰直角三角形，由直角三角形的性质可得，即可得出，最后再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 我们规定运算符号“”的意义是；当时，；当时，，其它运算符号的意义不变，计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知法则将原式化简进而求出即可． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了新定义运算，二次根式的加减运算，正确利用已知运算符号化简是解题关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 17. 如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，．进而证明得出，等量代换即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，． 点是的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 又∵， ∴． 18. 高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间（单位：s）和高度（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，）．已知一幢大楼高，若一颗鸡蛋从楼顶自由落下，求落到地面所用时间． 【答案】4s 【解析】 【分析】把代入公式，即可求解． 【详解】解：将代入公式， 得： 答：落到地面所用时间为． 【点睛】本题主要考查了利用算术平方根解决实际问题，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键． 19. 数学课上，同学们在学习了矩形的定义：“有一个角是直角的平行四边形叫作矩形”后，尝试用矩形的定义来证明：“有三个角是直角的四边形是矩形．”以下是小强同学的部分证明过程（缺少求证和证明过程），请你把缺少的内容补充完整． 已知：如图，在四边形中，． 求证： 证明： 【答案】见解析 【解析】 【分析】由，得出，同理，则是平行四边形，结合，然后由矩形的判定即可得出结论． 【详解】求证：四边形是矩形． 证明：， ， ． 同理， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． 20. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，，，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． 【小问2详解】 解：如图， 由题意得，，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 21. 如图，点是菱形的边上一点，且，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，，结合已知得出，则，进而得出，根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． （1）利用材料1解决下面的问题： 当时，求这个三角形的面积： （2）利用材料2解决下面的问题： 已知三条边的长度分别是，记的周长为． ①当时，请直接写出中最长边的长度________； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）求出，把 、、、的值代入海伦公式计算即可求解； （2）①把代入计算即可求解；②根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，进而化简，根据取最大值且为整数，确定出 、、的值，进而求出的值，代入秦九韶公式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①当时， ，，， ∴中最长边的长度为． ②∵， ∴，， ∴ ， ∵，，为整数， ∴当时，三边为，，， ∵， ∴不合题意，舍去， 当时，三边为，，，符合题意，此时取最大值， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形三边关系，二次根式，掌握三角形的三边关系和二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 23. 已知点是内一点，连接，． （1）当点在对角线上． ①如图1，若的面积为，的面积为，求的面积； ②如图2，若，，，求平行四边形的周长； （2）如图3，对角线与相交于点，点不在对角线上，连接，，与交于点，与交于点．求证：． 【答案】（1）①；② （2）见解析 【解析】 【分析】（1）①如图1，过点作于点，过点作于点，证明，得出，进而得出，根据，即可求解； ②如图2，连接交于点．证明是菱形．设，则．由勾股定理，得，得出，再根据菱形的性质，即可求解； （2）如图3，连接．根据等底同高，得，，得出，进而得出结论． 【小问1详解】 解：①如图1，过点作于点，过点作于点． ∴． ∵四边形是平行四边形，，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵，，， ∴． ∵，∴， ∴． ②如图2，连接交于点． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即． ∴是菱形． ∴，， ∴． 设，则． 由勾股定理，得， ∴，解得， ∴． ∴菱形的周长． 【小问2详解】 证明：如图3，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴，， 根据等底同高，得，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学限时作业训练 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 温馨提示：请每一位考生把所有的答案都答在答题卡上，答案要求见答题卡，否则不给分． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子中是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的值为（） A. B. C. D. 3. 如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（　　） A. 5米 B. 6米 C. 7米 D. 8米 4. 如图，已知直线，则下列能表示直线m，n之间距离的是（　　） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 5. 如图，的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.8km，则M，C两点间的距离为（ ） A. 1.5km B. 2.8km C. 1.4km D. 1.9km 7. 如图，在中，是上一点，，，垂足为点，是的中点，若，则的长为（ ） A. 32 B. 24 C. 16 D. 8 8. 课外活动时，王老师让同学们做一个对角线互相垂直的矩形形状的风筝，其面积为450cm2，则两条对角线所用的竹条至少需( )． A. 30cm B. 30cm C. 60cm D. 60 9. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了如下有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当时，的值为（ ） A. 360 B. 200 C. 280 D. 242 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在四边形中，其中一组对角之和为 ，则另外一组对角之和为_____． 12. 如图，工人师傅砌门时，要想检验门框是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别相等的前提下，只要测量出对角线的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是___________________________________________． 13. 如图，已知线段，分别以点A，B为圆心，以5cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连接，，，，则四边形的面积为_______． 14. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，点A、C、D在同一直线上，与交于点F，若，则____ ． 15. 我们规定运算符号“”的意义是；当时，；当时，，其它运算符号的意义不变，计算：_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．求证：． 18. 高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间（单位：s）和高度（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，）．已知一幢大楼高，若一颗鸡蛋从楼顶自由落下，求落到地面所用时间． 19. 数学课上，同学们在学习了矩形的定义：“有一个角是直角的平行四边形叫作矩形”后，尝试用矩形的定义来证明：“有三个角是直角的四边形是矩形．”以下是小强同学的部分证明过程（缺少求证和证明过程），请你把缺少的内容补充完整． 已知：如图，在四边形中，． 求证： 证明： 20. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 21. 如图，点是菱形的边上一点，且，求的度数． 22. 问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． （1）利用材料1解决下面的问题： 当时，求这个三角形的面积： （2）利用材料2解决下面的问题： 已知三条边的长度分别是，记的周长为． ①当时，请直接写出中最长边的长度________； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 23. 已知点是内一点，连接，． （1）当点在对角线上． ①如图1，若的面积为，的面积为，求的面积； ②如图2，若，，，求平行四边形的周长； （2）如图3，对角线与相交于点，点不在对角线上，连接，，与交于点，与交于点．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $