精品解析：2026年河北邯郸市馆陶县中考模拟预测数学试题

数学试卷 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图所示的正方形网格的格点中，与点P，Q在同一条直线上的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 2. 与的和为0的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点是海上巡逻艇的位置，若一渔船在海上巡逻艇的北偏东方向上，则这艘渔船的大致位置可以在（ ） A. 点处 B. 点处 C. 点处 D. 点处 4. 甲同学做完四道整式乘法的题后，同桌乙同学的批改如下所示，则乙同学批改正确的是（ ） ；√ ②；× ③；√ ④；√ A. 第①、②题 B. 第①、④题 C. 第②、③题 D. 第③、④题 5. 如图，，直线l与，都相交（不经过点O），随着直线l位置的改变，则的度数之和（ ） A. 始终等于 B. 始终等于 C. 始终等于 D. 随着直线l位置的改变而改变 6. 某电影院的1号厅正在放映一场电影，值班经理带领甲、乙两名工作人员巡查1号厅的观影情况，甲、乙两名工作人员根据正在1号厅观影的人数，说法如下： 甲：“观影人数不超过25人．” 乙：“观影人数不足30人，” 值班经理说甲的说法错误，乙的说法正确，则在1号厅观影的人数可能为（ ） A. 25 B. 28 C. 30 D. 31 7. 如图1的每一个正方形上都写着一个数字，可折叠成如图2所示的正方体，将该正方体放在一个的正方形网格平台上，一次一个小格地按箭头所指的方向依次翻转，当正方体落在位置“”时，紧贴位置“”的一面上的数字为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 8. 办公中常用的纸，其厚度一般为每张，则张这样的纸摞在一起的厚度用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，关于的对称图形是，关于的对称图形是，则下列说法正确的是（ ） A. 可以由通过平移得到 B. 与关于点成中心对称 C. 与关于的平分线成轴对称 D. 与关于直线成轴对称 10. 阅读如下证明过程： 如图，在四边形中，对角线，交于点，，， 求证：四边形是菱形． 证明：，， 垂直平分，……（结论①） ，，……（结论②） ∴四边形是菱形． 对于该题目及证明过程，下列说法正确的是（ ） A. 证明过程中结论①错误 B. 证明过程中结论②错误 C. 该证明过程严谨，结论正确 D. 该题目需要补充条件，才能完成证明 11. 已知，下列有关M的值，说法正确的是（ ） A. 存在 B. 存在 C. 存在 D. M存在最大值 12. 某校为了解学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取若干名学生进行调查，将每周阅读时间x（小时）分成五组，分组情况如下：A：，B：，C：，D：，E：，并将获得的数据整理后绘制成不完整的统计图，如图，下列说法正确的是（ ） A. 中位数落在C组 B. 众数落在B组 C. 平均数落在B组 D. 无法确定中位数、平均数、众数落在哪一组 13. 某社区活动中心计划出资600元全部花完购进跳棋、象棋、围棋，其进货情况如表，则在每一种棋类都要购买的条件下，的值为（ ） 单位/元 套数 跳棋 30 5 象棋 25 围棋 80 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 14. 已知直线及直线外一点C，嘉淇用尺规按①~③的步骤操作，如图： ①在直线上任取两点D，E，作射线； ②以点D为圆心，长为半径画弧交射线于点F，作射线； ③以点E为圆心，长为半径画弧交射线于点G，作直线． 根据嘉淇的作图，下列结论： 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：； 结论Ⅲ：； 结论Ⅳ：． 其中一定正确的是（ ） A. 只有结论Ⅰ B. 只有结论Ⅱ C. 结论Ⅱ和Ⅳ D. 结论Ⅱ和Ⅲ 15. 二次函数的图象经过点，，已知，的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 如图，在中，，，，点是边上一点．将绕点按顺时针方向旋转，得到，点是边上一点，且．针对的长度，两人的说法如下： 甲：长度的最小值是； 乙：长度的最大值是． 下列判断正确的是（ ） A. 甲对，乙不对 B. 甲不对，乙对 C. 甲和乙都对 D. 甲和乙都不对 二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题3分，18小题4分，每空2分．19小题3分，每空1分．把答案写在题中横线上） 17. _______． 18. 如图，以正六边形的顶点B为圆心，为半径画扇形（阴影部分），并连接． （1）与扇形所在的圆是否相切？________（填“是”或“否”）； （2）已知正六边形的边长为3，若将扇形围成一个圆锥的侧面，则其底面圆的半径为________． 19. 如图，点在反比例函数的图象上，点在轴的正半轴上，连接，回答下列问题： （）的值为________； （）若双曲线经过的中点，则t的值为________； （）若线段上（不包括端点）有两个整点（横、纵坐标均为整数），则线段与双曲线的交点的横坐标的取值范围为________． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 已知，． （1）将A因式分解为（其中M，N均为整式，且）的形式，并写出M，N（用含x的代数式表示）； （2）当时，若 ，通过计算判断“□”是“”“”“”“”中的哪一个运算符号． 21. 如图，将转盘分为6等份，分别写上数字1~6，转动一次转盘，指针指向的数字即为该次的得分，甲、乙两人每人转动m次转盘． （1）若，甲转得了2次1分，若要甲的总分不低于26分，求其他次数转得分数的平均分至少是多少？ （2）若乙转得了3次6分，其他次数转得分数的平均分为2分，甲的平均得分为4分，甲、乙两人得分相等，求m的值． 22. 如图，某赛场为百米赛跑提供的跑道是标有，，，号的四条跑道，甲、乙两名运动员被分到同一小组中，本小组只有甲、乙两人，两人以随机抽签的方式决定各自的跑道． （1）直接写出运动员甲抽到号跑道的概率； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两名运动员抽到不相邻跑道的概率． 23. 物理课上，老师正在展示光的反射规律，某同学借此情境编写了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，是正方体展示盒的截面，其中点，点的坐标分别为，，且轴，点处放置一支激光笔，激光笔发射的光线是直线的一部分． （1）点为平面镜的中点，若激光笔发射的光线恰好经过点，求所在直线的解析式； （2）已知在正方体展示盒的上方有一个感光元件，当经过反射的光线照射到点与点之间时（包含端点），感光元件就会发光，求符合条件的的整数值． 24. 某隧道横截面是以为直径的半圆，，，是半圆弧墙壁上的两个照明灯（看成点），且是的中点，连接，，，． 计算 （1）如图1，在照明灯，的安装过程中，若，求和的度数； 应用 （2）如图2，在照明灯，安装完毕后，调整其位置使．若在处安装一摄像头，为监控阴影区域（含边界），求能被监控的阴影区域的面积（结果保留）； 探究 （3）隧道内拟设置一条行车道，要保证高为的机动车能够顺利通过（车顶与隧道壁的竖直距离不小于）．求机动车的最大宽度． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（点在点左侧），交轴于点． （1）求点的坐标； （2）将抛物线绕某点旋转得到，且也经过两点，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点为抛物线上之间的一点，作轴交于点． ①求出线段长度的最大值； ②若点为线段的中点，直接写出之间的关系式． 26. 如图1和图2，在中，，，，连接对角线．点P是对角线上一点，作，射线交射线于点E，设． （1）如图1，点E在的延长线上，当时，求证：； （2）如图2，点E与点A重合时，求x的值； （3）连接，当是以为底的等腰三角形时，求x的值； （4）点E在延长线上，连接，当为锐角时，直接写出的正切值（用含x的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图所示的正方形网格的格点中，与点P，Q在同一条直线上的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】D 【解析】 【详解】解：由图可知：与点P，Q在同一条直线上的是点D． 2. 与的和为0的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】与的和为的是，逆用同底数幂的乘法法则可得． 【详解】解：与的和为的是， 逆用同底数幂的乘法法则可得：． 3. 如图，点是海上巡逻艇的位置，若一渔船在海上巡逻艇的北偏东方向上，则这艘渔船的大致位置可以在（ ） A. 点处 B. 点处 C. 点处 D. 点处 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查方向角，根据方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角，由此即可判断． 【详解】解：如图， ∵一渔船在海上巡逻艇的北偏东方向上， ∴由图可得，这艘渔船的大致位置可以在点处． 故选：B． 4. 甲同学做完四道整式乘法的题后，同桌乙同学的批改如下所示，则乙同学批改正确的是（ ） ；√ ②；× ③；√ ④；√ A. 第①、②题 B. 第①、④题 C. 第②、③题 D. 第③、④题 【答案】A 【解析】 【分析】根据单项式乘多项式法则、平方差公式和完全平方公式，逐个判断计算是否正确即可． 【详解】解：① ， ∴ 甲的计算正确，同桌乙同学的批改正确； ② ， ∴ 甲的计算错误，同桌乙同学的批改正确； ③ ， ∴ 甲的计算错误，同桌乙同学的批改错误； ④ ， ∴ 甲的计算错误，同桌乙同学的批改错误； 因此同桌乙同学的批改正确是第①、②题． 5. 如图，，直线l与，都相交（不经过点O），随着直线l位置的改变，则的度数之和（ ） A. 始终等于 B. 始终等于 C. 始终等于 D. 随着直线l位置的改变而改变 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和，根据三角形内角和为以及，进行作答即可． 【详解】解：∵，直线l与，都相交（不经过点O）， ∴的度数之和， 故选：C 6. 某电影院的1号厅正在放映一场电影，值班经理带领甲、乙两名工作人员巡查1号厅的观影情况，甲、乙两名工作人员根据正在1号厅观影的人数，说法如下： 甲：“观影人数不超过25人．” 乙：“观影人数不足30人，” 值班经理说甲的说法错误，乙的说法正确，则在1号厅观影的人数可能为（ ） A. 25 B. 28 C. 30 D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式组求解，根据题意列出不等式组，再结合选项即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：观影人数， 故观影人数可能人数是28， 故选：B． 7. 如图1的每一个正方形上都写着一个数字，可折叠成如图2所示的正方体，将该正方体放在一个的正方形网格平台上，一次一个小格地按箭头所指的方向依次翻转，当正方体落在位置“”时，紧贴位置“”的一面上的数字为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键． 根据正方体的展开图可知，4的对面是3，5的对面是2，1的对面是6，据此解答即可． 【详解】解：由题意可知，4的对面是3，5的对面是2，1的对面是6， 当正方体落在位置“”时，紧贴位置“”的一面上的数字为5， 故选：C． 8. 办公中常用的纸，其厚度一般为每张，则张这样的纸摞在一起的厚度用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意求出6张纸的总厚度，再将结果整理为标准形式的科学记数法即可，标准科学记数法要求，其中为中的系数． 【详解】解：每张纸厚度为 ， 张纸的总厚度为： ． 9. 如图，，关于的对称图形是，关于的对称图形是，则下列说法正确的是（ ） A. 可以由通过平移得到 B. 与关于点成中心对称 C. 与关于的平分线成轴对称 D. 与关于直线成轴对称 【答案】B 【解析】 【分析】如图，设所在直线为轴，所在直线为轴，再根据平面直角坐标系中轴对称与中心对称的对称点的坐标关系便可求解． 【详解】解：设所在直线为轴，所在直线为轴，如图， ∵关于的对称图形是， ∴A与、B与、C与的纵坐标相同，横坐标互为相反数， ∵关于的对称图形是， ∴与、与、与的横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴A与、B与、C与的横坐标、纵坐标都互为相反数， 则由中心对称图形在平面直角坐标系中对称点的坐标关系可知：与关于点成中心对称． 10. 阅读如下证明过程： 如图，在四边形中，对角线，交于点，，， 求证：四边形是菱形． 证明：，， 垂直平分，……（结论①） ，，……（结论②） ∴四边形是菱形． 对于该题目及证明过程，下列说法正确的是（ ） A. 证明过程中结论①错误 B. 证明过程中结论②错误 C. 该证明过程严谨，结论正确 D. 该题目需要补充条件，才能完成证明 【答案】D 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，结合菱形的判定即可求解． 【详解】解：证明：∵， 垂直平分（线段垂直平分线的定义）， ∴（线段垂直平分线的性质）， 由题目条件无法证明四边形是菱形， 综上可知，结论①和②正确，故A，B不符合题意； 该证明过程不严谨，结论不正确，故C不符合题意； 该题目需要补充条件，才能完成证明．故D符合题意． 11. 已知，下列有关M的值，说法正确的是（ ） A. 存在 B. 存在 C. 存在 D. M存在最大值 【答案】B 【解析】 【分析】先根据分式运算法则化简M，结合分式有意义的条件确定x的取值范围，再逐一判断选项即可． 【详解】， 根据分式有意义的条件，得且， ∴且， 逐一判断选项： A项：若，则，得，不满足，原式无意义，故A错误； B项：若，则，得，满足且，原式有意义，故B正确； C项：若，则，得，不满足，原式无意义，故C错误； D项：∵， ∴可取任意不等于0和2的实数， ∴M没有最大值，故D错误． 12. 某校为了解学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取若干名学生进行调查，将每周阅读时间x（小时）分成五组，分组情况如下：A：，B：，C：，D：，E：，并将获得的数据整理后绘制成不完整的统计图，如图，下列说法正确的是（ ） A. 中位数落在C组 B. 众数落在B组 C. 平均数落在B组 D. 无法确定中位数、平均数、众数落在哪一组 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数，众数，平均数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、由图可得调查总人数为（人）， ∴A组人数为（人），中位数是从小到大排列后的第25个和第26个数据的平均数， ∴A组和B组人数一共为（人）， ∴第25个数据为B组的最后一个，则第26个数据是C组第一个， ∴当第25个数是3，第26个数是4时，中位数为，则在B组； 当第25个数是3，第26个数是5时，中位数为，则在C组； ∴中位数不能确定在哪一组，故选项不符合题意； B、由题意得，D组人数为（人）， ∴可得B组人数最多，但这只表示每周阅读时间在范围内的人数最多， ∵不知道每组内数据的具体分布情况， ∴无法确定具体的众数，即无法确定众数落在哪一组，故选项不符合题意； C、∵E组数据范围为， ∴当E组数据都为8时，平均数为，则落在C组； 当E组数据都为15时，平均数为，则落在D组； ∴平均数不能确定在哪一组，故选项不符合题意； D、综上所述，中位数，众数，平均数所在组均无法确定，故选项符合题意． 13. 某社区活动中心计划出资600元全部花完购进跳棋、象棋、围棋，其进货情况如表，则在每一种棋类都要购买的条件下，的值为（ ） 单位/元 套数 跳棋 30 5 象棋 25 围棋 80 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用．利用总价=单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 又∵x，y均为正整数， ∴． 故选：A． 14. 已知直线及直线外一点C，嘉淇用尺规按①~③的步骤操作，如图： ①在直线上任取两点D，E，作射线； ②以点D为圆心，长为半径画弧交射线于点F，作射线； ③以点E为圆心，长为半径画弧交射线于点G，作直线． 根据嘉淇的作图，下列结论： 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：； 结论Ⅲ：； 结论Ⅳ：． 其中一定正确的是（ ） A. 只有结论Ⅰ B. 只有结论Ⅱ C. 结论Ⅱ和Ⅳ D. 结论Ⅱ和Ⅲ 【答案】C 【解析】 【详解】解：由作图可得，， ∴是的中位线， ∴，， ； 故结论Ⅱ和Ⅳ一定正确，结论Ⅰ不能证明，结论Ⅲ错误． 15. 二次函数的图象经过点，，已知，的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】将，代入得到，，根据列不等式求解的范围，再判断选项即可． 【详解】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴将两点坐标分别代入解析式得 ， ， ∵， ∴ ， 解得， 四个选项中只有满足， ∴的值可能是3． 16. 如图，在中，，，，点是边上一点．将绕点按顺时针方向旋转，得到，点是边上一点，且．针对的长度，两人的说法如下： 甲：长度的最小值是； 乙：长度的最大值是． 下列判断正确的是（ ） A. 甲对，乙不对 B. 甲不对，乙对 C. 甲和乙都对 D. 甲和乙都不对 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质求出 的长，利用面积法求出点 到的距离；根据旋转的性质和线段关系求出  的长，确定点  的轨迹；结合点在上运动，分析  的最大值和最小值，从而判断甲、乙说法的正误． 【详解】解：在  中，，  ，  ， 过点  作  于点  ， ， 由旋转的性质可知 ，  点  在边  上，且 ， ，   绕点  旋转，  点  在以点  为圆心，2 为半径的圆上运动，  点  是边  上一点，  当点  与点  重合，且点  在线段 上时， 取得最小值 ， ，故甲的说法正确， 当点  与点  重合，且点  在  的延长线上时， 取得最大值， ，  乙的说法错误 故选 A 二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题3分，18小题4分，每空2分．19小题3分，每空1分．把答案写在题中横线上） 17. _______． 【答案】 【解析】 【分析】先化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可. 【详解】解：原式， . 18. 如图，以正六边形的顶点B为圆心，为半径画扇形（阴影部分），并连接． （1）与扇形所在的圆是否相切？________（填“是”或“否”）； （2）已知正六边形的边长为3，若将扇形围成一个圆锥的侧面，则其底面圆的半径为________． 【答案】 ①. 是 ②. 1 【解析】 【分析】（1）由正六边形的性质得出 ，，由等边对等角以及三角形内角和得出 ，由角的和差关系得出 ，进一步即可得出与扇形所在的圆相切． （2）先求出扇形的弧长，进而可求出圆锥的底面圆的半径． 【详解】解：（1）∵是正六边形， ∴ ，， ∴ ， ∴ ， ∵B为圆心，为半径， ∴与扇形所在的圆相切． （2）∵，， ∴扇形的弧长为：， 设圆锥的底面圆的半径为r， ∴圆锥的底面圆的半径为， ∴． 19. 如图，点在反比例函数的图象上，点在轴的正半轴上，连接，回答下列问题： （）的值为________； （）若双曲线经过的中点，则t的值为________； （）若线段上（不包括端点）有两个整点（横、纵坐标均为整数），则线段与双曲线的交点的横坐标的取值范围为________． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】先代入点求反比例函数参数，再用中点坐标公式结合函数方程求，最后根据线段的整点个数确定的范围，联立直线与反比例函数方程，推导出交点横坐标的取值范围． 【详解】解：（1）将点 代入反比例函数， 得， ∴； （2）∵由 、 ， ∴根据中点坐标公式，得中点坐标为 ， ∵中点在上，代入得， 解得：； （3）线段在轴上，不包含端点，有两个整点， 则整点为、， ∴的范围是， 设直线的解析式，代入， 、 ， 得， 解得： ∴直线的解析式，即 ， 联立直线与双曲线， 联立， 整理得 ， 因式分解为 ， 其中对应点， ∴交点的横坐标， ∵， ∴． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 已知，． （1）将A因式分解为（其中M，N均为整式，且）的形式，并写出M，N（用含x的代数式表示）； （2）当时，若，通过计算判断“□”是“”“”“”“”中的哪一个运算符号． 【答案】（1）， （2）内填“” 【解析】 【分析】（1）根据平方差公式进行因式分解，然后问题可求解； （2）由（1）及题意可得，则有，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴内填“”． 21. 如图，将转盘分为6等份，分别写上数字1~6，转动一次转盘，指针指向的数字即为该次的得分，甲、乙两人每人转动m次转盘． （1）若，甲转得了2次1分，若要甲的总分不低于26分，求其他次数转得分数的平均分至少是多少？ （2）若乙转得了3次6分，其他次数转得分数的平均分为2分，甲的平均得分为4分，甲、乙两人得分相等，求m的值． 【答案】（1）其他次数转得分数的平均分至少是4分 （2）m的值为6 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式和一元一次方程的实际应用，根据题意找到不等关系与相等关系列出不等式与方程是解题的关键． （1）设甲在其他次数转得分数的平均分为x，根据“甲的总分不低于26分”列出不等式，求解即可； （2）根据“甲、乙两人得分相等”列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设甲在其他次数转得分数的平均分为x， 根据题意得：， 解得， 答：其他次数转得分数的平均分至少是4分； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得， 即m的值为6． 22. 如图，某赛场为百米赛跑提供的跑道是标有，，，号的四条跑道，甲、乙两名运动员被分到同一小组中，本小组只有甲、乙两人，两人以随机抽签的方式决定各自的跑道． （1）直接写出运动员甲抽到号跑道的概率； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两名运动员抽到不相邻跑道的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式即可求出运动员甲抽到号跑道的概率； （2）画树状图，可知共有种等可能的情况出现，其中甲、乙两名运动员抽到不相邻跑道的情况有、、、、、共种情况，所以甲、乙两名运动员抽到不相邻跑道的概率为． 【小问1详解】 解：一共有四个跑道，甲抽到号跑道的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中甲、乙两名运动员抽到不相邻跑道的情况有、、、、、共种情况， 甲、乙两名运动员抽到不相邻跑道的概率为． 23. 物理课上，老师正在展示光的反射规律，某同学借此情境编写了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，是正方体展示盒的截面，其中点，点的坐标分别为，，且轴，点处放置一支激光笔，激光笔发射的光线是直线的一部分． （1）点为平面镜的中点，若激光笔发射的光线恰好经过点，求所在直线的解析式； （2）已知在正方体展示盒的上方有一个感光元件，当经过反射的光线照射到点与点之间时（包含端点），感光元件就会发光，求符合条件的的整数值． 【答案】（1） （2）4或5 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握光的反射定律及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）求出点的坐标并利用待定系数法求出所在直线的解析式即可； （2）取点关于轴的对称点，根据点的坐标得到的坐标，根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点；设反射光线所在的直线的解析式为为常数，且，将的坐标代入，将用含的代数式表示出来；再分别将点、的坐标代入得到对应的值，从而得到的取值范围，进而求得的整数值． 【小问1详解】 解：，，且轴， ， 点为平面镜的中点， ， 点的坐标为， 将和分别代入， 得， 解得， 所在直线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，取点关于轴的对称点． ， ， 根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点， 设反射光线所在的直线的解析式为为常数，且， 将代入， 得， ， ， 当反射光线经过时，得， 解得； 当反射光线经过时，得， 解得， ， 为整数， 或5． 24. 某隧道横截面是以为直径的半圆，，，是半圆弧墙壁上的两个照明灯（看成点），且是的中点，连接，，，． 计算 （1）如图1，在照明灯，的安装过程中，若，求和的度数； 应用 （2）如图2，在照明灯，安装完毕后，调整其位置使．若在处安装一摄像头，为监控阴影区域（含边界），求能被监控的阴影区域的面积（结果保留）； 探究 （3）隧道内拟设置一条行车道，要保证高为的机动车能够顺利通过（车顶与隧道壁的竖直距离不小于）．求机动车的最大宽度． 【答案】（1），；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得到，由C是的中点，得到，求得，根据圆内接四边形的性质得到结论； （2）连接，由（1）知，，求得，根据直角三角形的性质得到，求得中边上的高为，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论； （3）如图，取半圆O的中点H，连接，在上截取，过G作与半圆O交于E，F，连接，根据勾股定理得到，求得（m），于是得到机动车的最大宽度为2.4m. 【详解】解：（1）∵为半圆的直径， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴； （2）如图2，连接，， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴中边上的高为， ∴能被监控的阴影区域的面积； （3）如图，取半圆O的中点H，连接， ∵， ∴在上截取，过G作与半圆O交于E，F，连接， ∵， ∴， ∴，即机动车的最大宽度为． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，扇形面积的计算，解直角三角形，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（点在点左侧），交轴于点． （1）求点的坐标； （2）将抛物线绕某点旋转得到，且也经过两点，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点为抛物线上之间的一点，作轴交于点． ①求出线段长度的最大值； ②若点为线段的中点，直接写出之间的关系式． 【答案】（1） （2）抛物线的解析式为 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质即可解答； （2）设抛物线的解析式为，将坐标代入解析式，解出即可； （3）利用中点坐标公式求解即可. 【小问1详解】 解：∵抛物线交轴于，两点（点在点左侧），交轴于点， ∴当时，，解得： 即：， 当时，，即：； 【小问2详解】 解：设抛物线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， 即：抛物线的解析式为； 【小问3详解】 解：①设， ∵轴交于点， ∴， ∵点为抛物线上之间的一点， ∴在的上方， ∴， ∵ ∴当时，最大为：； ②∵点为线段的中点， ∴ ， ， ∴. 26. 如图1和图2，在中，，，，连接对角线．点P是对角线上一点，作，射线交射线于点E，设． （1）如图1，点E在的延长线上，当时，求证：； （2）如图2，点E与点A重合时，求x的值； （3）连接，当是以为底的等腰三角形时，求x的值； （4）点E在延长线上，连接，当为锐角时，直接写出的正切值（用含x的式子表示）． 【答案】（1）见详解 （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，由三角形外角的定义和已知条件得出 ，即可证明． （2）过点D作，交的延长线于点F，由平行四边形的性质得出，，即可得出 ，，由勾股定理得出，，证明，由相似三角形的性质即可求出x． （3）分两种情况求解即可． （4）过E作于点F，由相似三角形的判定和性质得出，由正弦的定义得出，进而求出，利用勾股定理求出，然后表示出和，然后根据正切的定义求解即可． 【小问1详解】 证明∶∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， 在和中， ∴． 【小问2详解】 解∶过点D作，交的延长线于点F， ∵四边形是平行四边形， ∵，， ∴ ，， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 由（1）得 ， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：是以为底的等腰三角形时，， 当点E在边延长线上时， 由（2）可知：， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴． 当点E在边上时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴． ∴综上所述，x的长为或． 【小问4详解】 解：过E作于点F， 由（2）可知：， ∴，即， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $