福建泉州市晋江市季延中学2025-2026学年高一下学期期中质量监测数学试题

晋江市季延中学2026年春高一年期中质量监测数学科试卷 考试时间：120分钟满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若复数=七(1为虚数单位)的共轭复数为，则=(） A.V5 B.V6 C.3 D.V10 2.在△ 中，点D在边AB上，BD=3DA.记CA=m,CD=元，则CB=() A.3m-2n B.-2m+3n C.-3m+4n D.4m-3n 3.如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测画法的直观图为矩形AB'CD',已知AB'=2,O'是AB的 中点，则AD的长为() D B'x A.1 B.2 C.3 D.4 4.某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时， 为了测量董子雕像高度，在B.C处测得雕像最高点的仰角分别为工和工，且A= 46 2,BC=2.92m,则该 雕像的高度AD约为()（参考数据：√3≈1.73） D 6 A.4.0m B.4.6m C.5.2m D.6.2m 5.一个圆锥的表面积为5π，它的侧面展开图是圆心角为90°的扇形，该圆锥的母线长为() 3 B.4 C.25 D.3√5 6.,,是空间不同的三条直线，若1，与相交，则与的位置关系是() A.平行 B.相交 C.异面 D.相交或异面 第1页，共9页 7.在△中，内角、、所对的边分别为，，，若sin=sin+(-)sin，角的角平分线交 于点，且=3，=3，则的值为() A.号 B.47 3 C.3 D.2V3 8.已知四边形 中，上，= =2=2,==23,点在四边形 的四条边上运动， 则·的最小值是() A.4 B.0 C.-3 D.-4 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.则下列命题中正确的是() A若复数2满足上ER,则2ER B.若z为复数，则z2=z必成立 C.若复数z 1+i则28=-1 1-i D.若复数3,22，则322=22 10.以下结论正确的是() A.己知点(1,3)，(4，-1)，则与向量 共线的单位向量为(，-) B.非零向量和满足引「=11=1-，则与+的夹角为30 C.已知平面向量=(1,2)，=(2，)，若向量与的夹角为锐角，则>-1 D.向量=(2√3,2)， =(-1,-√3)，则在上的投影向量的坐标为（√3,3） 11.如图，在棱长为1的正方体 -1111中，=+1’∈[0,1]，∈[0,1]，下列结论 正确的是() A.若=1时，三棱锥- 的体积为定值 B B.若+=1时，△ 周长的最小值为2+√2 C.若2==1时，三棱锥- 外接球体积为品 D.若为中点，则1+ 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量，的夹角为行11=3,11=2，则2-3日 13.已知∈C,且|-=1，为虚数单位，则|-3-5的最大值是一 第2页，共9页 14.己知圆柱O,O,的下底面圆O,的内接正三角形ABC的边长为3，P为圆柱上底面圆O上任意一点，若 三棱锥P-ABC的体积为 35 则圆柱OO,的外接球的体积 2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知复数1=2+2i(∈)，复数2在复平面内对应的向量为=(-1,2). (1)若12为纯虚数，求的值： (2)若1i-2在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围. 16.(本小题15分) 如图，圆台的上、下底面圆心分别为1,2，上底面半径=1=1，下底面半径=2=5，母线AB=12. B (1)求此圆台的侧面积和体积； (2)把一根绳从线段AB的中点开始沿着侧面卷绕一圈到点，求这根绳的最短长度. 17.(本小题15分) 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形 其中 =3百米， =5百米，且△ 是以为直角顶点的等腰直角三角形.拟修建两条小路 (路 的宽度忽略不计)，设上=， e(2): (1)当cos=- 时，求小路 的长度： (2)当草坪 的面积最大时，求此时小路的长度 第3页，共9页 18.(本小题17分) 在△ 中，角，，的对边分别为，，，己知2一=2c0s· (1)求角： 2)若2-2+2-3=0，且边的中线的长为罗，求△ 的面积： (3)若△ 是锐角三角形，求+的范围. 19.(本小题17分) 对任意两个非零向量，，定义新运算：田=曲，其中为与的夹角 (0)诺非零向量，满足11=2，且⊕>复，求⊕的取值范围： (2)若向量=(4)，=(2，)，且⊕=1，求正数的值： (3)已知非零向量，满足|=|川（是正整数），向量，的夹角（侣），⊕和⊕都是有理数，且 (⊕)+（⊕）=求sm. 第4页，共9页 晋江市季延中学2026年春高一年期中质量监测数学科试卷 参考答案 2 J3 4 5 6 > 8 9 10 11 A C C A B D B C ABD ABD BD 12.6V3 13.6 14号 8.【详解】如图所示，因为上，且 =,所以 垂直且平分，则△ 为等腰三角形 又 =2V3,所以△ 为等边三角形. 则四边形 关于直线对称，故只需考虑点在边， 上的运动情况即可 D 因为= =2=2,易知2+2=2，即1，则· =0, ①当点在边上运动时，设=(0≤≤1)， 则= =(-1)+, 所以· [(-1) +]=(-1)=4(-1),当=2时， 的最小值为-1： ②当点在边上运动时，设=(0≤≤1)， D 则= =(-1)+, 所以· =[(-1)+1=(-1)· =12(-1), B 当=时，· 的最小值为-3： 综上， 的最小值为-3. 11.【详解】对于，当=1时，点在线段11上，所以点到面 的距离为定值， 因为- =- h-为定值，故A正确： 对于，当+=1时，根据三点共线的充要条件可知，点在线段1上， B 当点是线段1的中点时，可知△ 周长为V3+√2<2+V2,故B错误： 0 对于，当2==1时，点为线段11的中点，如图 因为△ 是直角三角形，所以三棱锥一 外接球球心在过△ 的外心， M 即斜边中点，与面 垂直的直线上， 设为点，球的半径为，则有2= 2 2 +(1-卫，解得=子 所以三棱锥 外接球体积为2 对于，因为= 1, ∈[0,1]，∈[0,1]，所以点在面 11内运动， 因为1,1关于面11对称，所以1+ 的最小值为1+ 的最小值， 第5页，共9页 2 所以当点1、、三点共线时1+ 的最小值为 、2 +1=多故D正确. 14.【详解】由圆O,的内接正△ 的边长为3，得圆O2的半径r= 253=5 32 三棱锥P-ABC的高即圆柱O,O2的高h, 4 4 由r-Sh=35h-3 -h= 解得h=2,圆柱O,O,的两底面圆是其外接球的两个截面小圆， 3 4 由这两个截面小圆平行且全等，得该球球心到截面小圆距离d=2办=山，则球半径R=VP+d=2, 所以圆柱O,O,的外接球的体积为4R=32 3 15.(1)因为复数2在复平面内对应的向量为=(-1,2)，则2=-1+2i,·1分 又1=2+2i,则12=(2+20(-1+2)=-2-4+(22-2)i,…3分 庙题有{写20，…5分 解得=一4，所以的值为-4.…6分 (2)因为1i-2=（2+20i-（-1+2i)=1-2+（2-2)i,…9分 由题有：2之8 解得-V2<<子所以的取值范围为(-V,》… ……13分 16.(1)12为圆台的高，如图，在梯形12AB中，作BC12,垂足为， 则=12”2=1=1，··················1分 =2-2=5-1=4,······ ···2分 在Rt△ABC中，AB=12,CA=4, .0. ÷BC=VAB2-ACz=V122-42=8V2:圆台的高h=8V2,······3分 圆台的体积为=背h(2++3)=8752+51+1=2482 3 3 ,····5分 圆台的侧面积为=(+)=(5+1)×12=72；········7分 (2)如图，延长圆台的两条母线交于一点，将圆台沿母线AB侧面展开， 连接1，则线段1的长度即为这根绳的最短长度，·········8分 aPB△PA2”-=费=阳则时=阳2 PB 第6页，共9页 解得PB=3,.PA=PB+AB=15,···· :圆台的下底面周长为2R=10,3,的长度为10，∠1=号=号 ·······12分 在△MP1中， =+=+2=3+6=9,1=15,∠MPA1= 由余弦定理得： MA=PMP+P4A9-2PM×PA1cas∠MPA=9+152-2x9x15x(-号）=4 ..·14分 MA1=21,故这根绳的最短长度为21.······· ·····15分 17.【详解】(1)在△中，=3， =V5,cos=-5 5’ 由余弦定理得，2=2+2-2 =14-6V5 =14+6=20, 所以=2V5.·································2分 因为e(z,).所以sn=v1-os2=1-(-92=25 5 由正弦定理得 2，即25 。··。·。··4分 2W5 =3一，解得 ∠ 5 因为△ 是以为直角顶点的等腰直角三角形，所以上=且= =2V5, 所以ㄥ=(4 +)=-=-是 ······5分 在△ 中，由余弦定理得： 2=2+2-2· ∠=(52+(2V52-2×V5×25x(-)=37, (解得=√37：········ ·············7分 (2)由(1)得， 2=14-6V5c0s,········· ·········8分 1 1 2 四边形 =△ +△ =2×3×V5×+2× =7+35 39sin-3V5cas=7+35(sin-2cos)=7+si(-).…10分 此时sn=25cos=5且∈0z) 当一=2时，四边形 的面积最大······················12分 即=+2此时sin=5,c0s=-25 5， 。。。。 ·······13分 所以2=14-6W5cos=14-6W5×(-2)=26,即=V26 ·········15分 18.【详解】(1)因为2-=2cos,由正弦定理可得2sin-sin=2 sin cos,····1分 2sin(+)-sin =2sin cos +2cos sin -sin =2sin cos 第7页，共9页 得到2 cos sin-sin=0,即sin(2cos-1)=0,··············2分 又∈(0，)，sin≠0，所以cos=·····················3分 又因为∈(0，，可得=骨····… ····4分 (2)因为2-2+2-3=0，且=3 所以由2+2-2=2c0s,可得3=2c0s=,解得=3，··········6分 由题意=(+)，·····························7分 两边平方，可得=(2+2+2·)=（已+3到1+9）····8分 因为1=罗，所以+3到1+9=19，解得|1=2或=-5（舍），··9分 则△ 的面积为=号sin=×2×3×9=3y 2 2 (3)因为土=如如-血()2_扣s盟 sin sin sin +×2如+9× 22sinzcosz 2 ···········12分 sin 2 由题知， 0<<号 0<空、<解得（侣引，.· 。。。 ·····13分 3 因为tan是=tan(G-)=2-v3,···· ········14分 所以tan2e(2-V3,1),可得∈(1,2+V3),· ····15分 tan 可得受×三+（生，2+）， tan 所以±∈(+，2+v3), ·········17分 19【详解】1)因为®=停1=2k则⊕=仲=2sn,1分 又⊕>号，所以2sin>号，得到sin>g 又===受… ·····3分 时之盘>兽所以⊕的取值范围是（停引·…·4分 (2)因为=(，4)和=(2，)，则11=V2+16,引|=V4+2,·=2+4=6,····5分 则设向量和的夹角为，则cos==2+1644' 6 第8页，共9页 362 (2-8)2 所以sin2=1-cos2=1-4004约=7410+0·········7分 则⊕ 普票×晨 12-8 =1,····················8分 整理得到2-8=2+4，解得=V2或=-V2(舍)，····· 。·······9分 所以=√2. ···10分 3》因为1=则⊕=仰=sm,=把=色 (色}+（⊕）户=器则(s如+（色）=爱即2m2+g-尝 又∈(g》,则<sin<1,又是正整数，···· ··········12分 当=1,2sin2+m=2sin2e(G,2)不合题意，········ ··········13分 当=2,4sin2+年=sin2e(（g9).sin2 25 得到sin2-6, 251 所以sin=:e(侵，1)，满足题意，故sin= 。。。。。。。。。。。。。。 ···14分 当=3时，9sim2+号=2=昙得到sim2=2 3V343V1394 25×41 解得sin= 5V41 205 此时⊕=3sin=9y13 ,不是有理数，所以=3不合题意，············15分 205 当≥4时，2sin2+0>16sim2>4>答所以≥4时，不合题意，·····16分 综上，sin=········ ·············17分 第9页，共9页