精品解析：甘肃省庆阳市 2026年高中招生及初中学业水平模拟（二模数学试题）

2026年高中招生及初中学业水平模拟（二） 数 学 注意事项： 1．本试卷共120分，考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 下列有理数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年庆阳市政府工作报告中指出，加快推进新型工业化，大力实施“强工业”行动，规模以上工业增加值达到53500000000元．数据53500000000用科学记数法表示为（ ）. A. B. C. D. 4. 若一个角的补角是，则这个角的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 实数根的个数与a的取值有关 D. 没有实数根 7. 中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象．如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的内角和为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆打多少斗谷子？设上等稻子每捆打斗谷子，下等稻子每捆打斗谷子，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快．现随机抽样调查了某市2019—2025年的家庭年平均教育支出（单位：万元），得到如图所示的趋势图（年份代码1～7分别对应2019—2025年），则下列说法正确的是（ ） A. 2019年家庭年平均教育支出大约占家庭总支出的22.5% B. 2025年与2024年相比，家庭年平均教育支出占家庭总支出的百分比降低了 C. 根据趋势估计，2026年家庭年平均教育支出大约占家庭总支出的40% D. 根据趋势估计，2026年后，家庭年平均教育支出占家庭总支出的百分比不会超过50% 10. 如图1，在菱形中，，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿匀速运动，运动到点C时停止．在此过程中，的面积y随着运动时间x的函数图象如图2所示，则的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 计算的结果为__ 12. 因式分解：a2﹣6a+9=_____． 13. 对于任意有理数a、b，定义一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b＝ab+（a﹣b），则（﹣4）⊕7＝_____． 14. 如图，中，，，，将折叠，使点与重合，得折痕，则的周长等于__________． 15. 甘肃天水不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图1所示的投石机是古代战争中的攻城首选．已知投石机投出的石块的运动轨迹可近似看作抛物线，如图2，建立平面直角坐标系，石块飞行过程中的飞行高度（）和水平距离（）具有函数关系．当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是______________． 16. 如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为__________． 三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 计算． 20. 有这样一道尺规作图题： 如图，点，，在上，连接，．求作：的中点． 下面是小东的作法： 分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在右侧交于点，作射线交于点，则点即为所求． （1）在图中根据小东的作法画出点，试判断小东的作法是否正确，并说明理由． （2）请在备用图中再给出一种作图方法．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 21. 在“趣味化学实验室”课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立即显现出红色的文字，这是酚酞产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液． A.酚酞 B.氢氧化钠溶液（碱性） C.盐酸溶液（酸性） D.蒸馏水（中性） （1）小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是________． （2）张老师从这四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 22. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁交于点，求房屋的高．（点在同一水平线上）．（参考数据：， 四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 如图，直线与双曲线相交于，B两点，与x轴相交于点． （1）分别求直线和双曲线对应的函数表达式； （2）连接， ，求的面积； 24. 数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97． 八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 87 八年级 86 90 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级学生有500人，八年级学生有400人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？ 25. 如图，为的外接圆，直径垂直于弦，垂足为点．点为圆外一点，连结、、，． （1）求证：为的切线； （2）若，，，求的长． 26. 【模型建立】 （1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，并延长到点G，使，连接．若，则，，之间的数量关系为________； 【模型应用】 （2）如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，在中，，，点D，E在B，C上，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线交于点D，与y轴交于点E，顶点坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，函数最大值与最小值的差为，求p的取值范围； （3）如图2，连接，已知的面积为10． ①求点D的坐标； ②若M是线段上的一动点，N是线段上的一动点，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高中招生及初中学业水平模拟（二） 数 学 注意事项： 1．本试卷共120分，考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 下列有理数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解： 因此最小的数是． 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，熟练的利用定义判断轴对称图形与中心对称图形是解本题的关键． 3. 2026年庆阳市政府工作报告中指出，加快推进新型工业化，大力实施“强工业”行动，规模以上工业增加值达到53500000000元．数据53500000000用科学记数法表示为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：. 4. 若一个角的补角是，则这个角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵ 互为补角的两个角的和为，该角的补角为， ∴ 这个角的度数为 ． 5. 如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由为的直径可得，进而由得，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 实数根的个数与a的取值有关 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；因此此题可根据进行排除选项即可． 【详解】解：由一元二次方程可知：， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选A． 7. 中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象．如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据多边形的内角和为，其中n为正多边形的边数，计算即可，此题考查的是求正八边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解决此题的关键． 【详解】解：正八边形的内角和为： 故选A． 8. 《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆打多少斗谷子？设上等稻子每捆打斗谷子，下等稻子每捆打斗谷子，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组．根据上等稻子三捆，打出来的谷子再加六斗，相当于十捆下等稻子打出来的谷子；下等稻子五捆，打出来的谷子再加一斗，相当于两捆上等稻子打出来的谷子．列出方程组即可． 【详解】解：设上等稻子每捆打斗谷子，下等稻子每捆打斗谷子，根据题意，得： ； 故选A． 9. 近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快．现随机抽样调查了某市2019—2025年的家庭年平均教育支出（单位：万元），得到如图所示的趋势图（年份代码1～7分别对应2019—2025年），则下列说法正确的是（ ） A. 2019年家庭年平均教育支出大约占家庭总支出的22.5% B. 2025年与2024年相比，家庭年平均教育支出占家庭总支出的百分比降低了 C. 根据趋势估计，2026年家庭年平均教育支出大约占家庭总支出的40% D. 根据趋势估计，2026年后，家庭年平均教育支出占家庭总支出的百分比不会超过50% 【答案】A 【解析】 【详解】解：A，根据图象可知，年家庭年平均教育支出大约占家庭总支出的，符合题意； B，根据图象可知，年家庭年平均教育支出占家庭总支出，年家庭年平均教育支出占家庭总支出大约，百分比上升了，不符合题意； C，根据图象可知，家庭年平均教育支出整体是上升趋势，年家庭年平均教育支出占家庭总支出，2026年家庭年平均教育支出大约占家庭总支出可能超过，不符合题意； D，根据图象可知，家庭年平均教育支出整体是上升趋势，年家庭年平均教育支出占家庭总支出，2026年家庭年平均教育支出大约占家庭总支出可能超过，不符合题意． 10. 如图1，在菱形中，，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿匀速运动，运动到点C时停止．在此过程中，的面积y随着运动时间x的函数图象如图2所示，则的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是动点函数图象问题、菱形的性质、勾股定理．设菱形的边长为，过点作于，根据图象可求出，再根据菱形的性质求出，根据图象当点到达点时，，据此计算即可求解． 【详解】解：设菱形的边长为，过点作于，如图，    ， 则， ， ， ，， 由图可知，当点在点时，的面积最大， 此时， 解得：或（舍去）， ，， 当点到达点时，， ， ． 故选：A． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 计算的结果为__ 【答案】7 【解析】 【分析】利用算术平方根定义开方即可得到结果． 【详解】解：=7， 故答案为7 【点睛】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根定义是解本题的关键． 12. 因式分解：a2﹣6a+9=_____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：直接运用完全平方公式分解即可.a2-6a+9=（a-3）2. 考点：因式分解. 13. 对于任意有理数a、b，定义一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b＝ab+（a﹣b），则（﹣4）⊕7＝_____． 【答案】-39 【解析】 【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义得： （-4）⊕7 =（-4）×7+（-4-7） =-28-4-7 =-39． 故答案为：-39． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 14. 如图，中，，，，将折叠，使点与重合，得折痕，则的周长等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，根据折叠的性质可得，进而根据三角形的周长公式即可求解． 【详解】解：∵将折叠，使点与重合，得折痕， ∴ ∴的周长等于 故答案为：． 15. 甘肃天水不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图1所示的投石机是古代战争中的攻城首选．已知投石机投出的石块的运动轨迹可近似看作抛物线，如图2，建立平面直角坐标系，石块飞行过程中的飞行高度（）和水平距离（）具有函数关系．当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 因为，所以抛物线的顶点坐标为， 得到当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是，即可得到答案． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为， 当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是， 故答案为：． 16. 如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为__________． 【答案】##0.125 【解析】 【分析】根据题意求出正方形的面积，利用勾股定理求出与，同理找出后面等腰直角三角形的斜边与的关系，最后直接代入求值． 【详解】解：∵正方形的边长为2， ∴正方形的面积， 由题意知：三角形是等腰直角三角形，且， ∴，即，， 同理可得，， 根据规律可知：， ∴． 三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以原不等式组的解集为． 19. 计算． 【答案】 【解析】 【分析】先将括号内的部分进行通分，再根据同分母的分式减法法则计算，然后把除法转化为乘法，约分化简即可得到答案． 【详解】， ＝（－）· ＝· ＝ 【点睛】此题考查了分式的混合运算，能正确进行通分和约分是解此题的关键． 20. 有这样一道尺规作图题： 如图，点，，在上，连接，．求作：的中点． 下面是小东的作法： 分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在右侧交于点，作射线交于点，则点即为所求． （1）在图中根据小东的作法画出点，试判断小东的作法是否正确，并说明理由． （2）请在备用图中再给出一种作图方法．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1） 解：如图所示． 小东的作法正确， 理由如下： 如图所示，连接，，，， 在和中，， ， ， 是的中点； （2） 点即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定与性质． 按照小东的作法作出点，连接，，，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据圆周角定理可证点是的中点； 利用尺规作图作的平分线，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、，分别以点、为圆心大于为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，根据圆周角定理可知点即为的中点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 在“趣味化学实验室”课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立即显现出红色的文字，这是酚酞产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液． A.酚酞 B.氢氧化钠溶液（碱性） C.盐酸溶液（酸性） D.蒸馏水（中性） （1）小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是________． （2）张老师从这四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法、概率公式求概率，解决本题的关键是理解题目意义． （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及混合后的溶液变红色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中选中酚酞的结果有1种， ∴小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下． 共有12种等可能的结果，其中混合后的溶液变红色的结果有，，共2种， 混合后的溶液变红色的概率为． 22. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁交于点，求房屋的高．（点在同一水平线上）．（参考数据：， 【答案】约 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，轴对称图形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 利用平行线的性质可求出的度数，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长度．过点作，根据题意得，设，在中，利用锐角三角函数定义求出的长，从而在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴． ∵该房屋的侧面示意图是一个轴对称图形，， ∴，， ∴． 过点作，垂足为， 设． ∵， 在中，． ∵， 在中， ． ∵， ． ∵，， ∴， 解得：， ∴． 答：房屋的高约． 四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 如图，直线与双曲线相交于，B两点，与x轴相交于点． （1）分别求直线和双曲线对应的函数表达式； （2）连接， ，求的面积； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】(1)把，分别代入计算即可，把代入双曲线计算即可． (2)过点作轴，垂足为D，交于点E，过点B作，垂足为F，利用面积分割法计算即可． 【小问1详解】 ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； 把代入双曲线得， ∴双曲线的解析式为． 【小问2详解】 如图，过点作轴，垂足为D，交于点E，过点B作，垂足为F， ∵， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，反比例函数的解析式，交点的意义，分割法计算面积，熟练掌握待定系数法，面积分割法是解题的关键． 24. 数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97． 八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 87 八年级 86 90 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级学生有500人，八年级学生有400人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？ 【答案】（1）88；87；40 （2） 解：八年级学生数学文化知识较好，理由如下： ∵两个年级10名学生的平均成绩相同，但是八年级学生成绩的中位数和众数都比七年级学生成绩的高， ∴八年级学生数学文化知识较好； （3）310人 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，众数，用样本估计总体，扇形统计图等等： （1）根据中位数和众数的定义可求出a、b的值，先求出把年级A组的人数，进而可求出m的值； （2）根据八年级学生成绩的中位数和众数都比七年级学生成绩的高即可得到结论； （3）用七年级的人数乘以七年级样本中优秀的人数占比求出七年级优秀人数，用八年级的人数乘以八年级样本中优秀的人数占比求出八年级优秀人数，再二者求和即可得到答案． 【小问1详解】 解：八年级C组的人数为人，而八年级B组有4人，则把八年级10名学生的成绩按照从低到高排列，处在第5名和第6名的成绩分别为88分，88分， ∴八年级学生成绩的中位数； ∵七年级10名学生成绩中，得分为87分的人数最多， ∴七年级的众数； 由题意得，， ∴； 故答案为：88；87；40； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：人， ∴估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有310人． 25. 如图，为的外接圆，直径垂直于弦，垂足为点．点为圆外一点，连结、、，． （1）求证：为的切线； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵直径垂直于弦， ∴，， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， 即， ∵为半径， ∴为的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）先由垂径定理得到，则，再导角证明，则，即可证明； （2）可证明四边形是平行四边形，则，，然后解求出，连接，设，则，在中，由勾股定理得，求出，再由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， 连接，如图： 设，则 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，解直角三角形，垂径定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，熟练掌握各知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 26. 【模型建立】 （1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，并延长到点G，使，连接．若，则，，之间的数量关系为________； 【模型应用】 （2）如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，在中，，，点D，E在B，C上，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2），理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下： 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，此时与重合， ∵在中，，， ∴， 由旋转的性质可得：，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由正方形的性质可得，，证明，得出，，再证明，得出，即可得解； （2）在上截取，连接，由正方形的性质可得，，证明，得出，，证明，得出，即可得解； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，此时与重合，由等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得，，，从而可得，，求出，证明，得出，最后由勾股定理即可得解． 【详解】证明：（1）∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）略 27. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线交于点D，与y轴交于点E，顶点坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，函数最大值与最小值的差为，求p的取值范围； （3）如图2，连接，已知的面积为10． ①求点D的坐标； ②若M是线段上的一动点，N是线段上的一动点，且，求的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）①；② 【解析】 【分析】（1）设，将点代入，求函数的解析式即可； （2）当时，，解得；当时，函数的最大值与最小值的差始终为，所以时，函数最大值与最小值的差为； （3）①求出，可得，再由，求出，直线与抛物线的交点为D点； ②过点A作，使，连接，则，当E、M、F三点共线时，有最小值为，求出即可． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 将点代入， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 时，， 当时，， 解得； 当时，； 时，函数最大值与最小值的差为； 【小问3详解】 解：①当时，， 解得或， ， ， ， 解得， ， 设直线的解析式为， 把，的坐标代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，解得或， ； ②过点A作，使，连接， ，， ， ，， ， ， ， 当E、M、F三点共线时，有最小值为的长， 此时，在中，，， ∴， 有最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合问题，用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的面积问题，二次函数的最值问题，二次函数中的线段问题，全等三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数与几何的综合问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $