精品解析：甘肃省庆阳市2024--2025学年第二学期九年级数学小样本学业质量调研(二）

庆阳市2024学年第二学期小样本学业质量调研（二） 九年级数学 （测试时间：100分钟，满分：150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题，答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的定义．依据“负数的绝对值是它的相反数”这一性质求解即可． 【详解】解：负数的绝对值是它的相反数， 又的相反数是， ， 故选：． 2. 下列运算中，计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据积的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，合并同类项，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项正确，符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查整式的运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 3. 如果函数的图像经过第一、三、四象限，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数图象的性质进行求解即可． 【详解】解：∵函数的图像经过第一、三、四象限， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限是解题的关键． 4. 如图是小明某一天测得的7次体温情况的折线统计图，下列信息不正确的是（ ） A. 测得的最高体温为37.1℃ B. 前3次测得的体温在下降 C. 这组数据的众数是36.8 D. 这组数据的中位数是36.6 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线图判断最高体温以及上升下降情况，根据众数、中位数的性质判断即可． 【详解】解：A、由折线统计图可知，7次最高体温为37.1℃，A选项正确，不符合题意； B、由折线统计图可知，前3次体温在下降，B选项正确，不符合题意； C、由7组数据可知，众数为36.8，C选项正确，不符合题意； D、根据中位数定义可知，中位数为36.8，D选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查折线统计图、众数以及中位数的定义，正确读懂统计图，正确理解众数、中位数定义是解题关键，注意必须从大到小或者从小到大排列后再求中位数． 5. 在研究反比例函数的图象时，小明想通过列表、描点的方法画出反比例函数的图像，但是在作图时，小明发现计算有错误，四个点中有一个不在该函数图像上，那么这个点是（ ） x …… 1 2 … y … 4 … A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据在反比例函数图象上的点横纵坐标的乘积相同进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，这三个点的横纵坐标的乘积相同，即这三个点在同一个反比例函数图象上，点与这三个点不在同一个反比例函数图象上， 故选A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上的点的特点，熟知在反比例函数图象上的点横纵坐标的乘积相同是解题的关键． 6. 已知点A、B、C在圆O上，那么下列命题为真命题的是（ ） A. 如果半径平分弦，那么四边形是平行四边形 B. 如果弦平分半径，那么四边形是平行四边形 C. 如果四边形是平行四边形，那么 D. 如果，那么四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质与判定，圆周角定理，圆内接四边形的性质逐一判定即可． 【详解】解：A、如图1所示，当是直径时，满足半径平分弦，但是不能构成四边形，故原命题是假命题，不符合题意； B、如图2所示，∵弦平分半径，但是半径并不一定平分弦，∴四边形不一定是平行四边形，故原命题是假命题，不符合题意； C、如图2所示，∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴原命题是真命题，符合题意； D、如图2所示，当点B在点D的位置时，满足，但是四边形不是平行四边形，故原命题是假命题，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了判断命题真假，圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，平行四边形的性质与判定，灵活运用所学知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 的立方根是__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行求解即可得． 【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 8. 已知，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入解析式，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查求反比例函数的函数值．熟练掌握二次根式的除法法则，是解题的关键． 9. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式解集是解题的关键．先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，再依据“大小小大取中间”的原则确定不等式组的解集即可解答． 【详解】解：解不等式，移项得， 解不等式，移项得，合并同类项得， 结合两个不等式的解集，根据“大小小大取中间”的原则，原不等式组的解集为． 10. 方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查无理方程的求法， 把方程两边平方求解，再检验即可得到答案． 【详解】解：把方程两边平方得：， 整理得：， 解得：或， 经检验，是原方程的解． 故答案为：． 11. 已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么m的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程没有实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与判别式的关系．熟练掌握时，方程没有实数根，是解题的关键． 12. 已知一个反比例函数图像经过点，则该反比例函数的图像在各自的象限内，函数值y随自变量x的值逐渐增大而________．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【解析】 【分析】求出反比例函数的解析式，即可得出结论． 【详解】解：设反比例函数的解析式为：， ∵反比例函数图像经过点， ∴， ∴该反比例函数的图像在各自的象限内，函数值y随自变量x的值逐渐增大而增大； 故答案为：增大． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．正确的求出反比例函数的解析式，是解题的关键． 13. 已知一次函数的图像经过点，那么__________． 【答案】4 【解析】 【分析】直接把代入到一次函数解析式中求出m的值即可． 【详解】解：∵一次函数的图像经过点， ∴， 解得， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，熟知待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 14. 某地长途汽车客运公司规定：旅客可免费随身携带一定重量的行李，如果行李超过规定重量，则需要购买行李票．行李票费用y（元）是行李重量x（千克）的一次函数，其图像如图所示，那么旅客最多可免费携带行李__________千克． 【答案】30 【解析】 【分析】根据待定系数法求函数关系式，旅客可免费携带行李，即，代入所求得的函数关系式，即可知质量为多少． 【详解】解：设一次函数关系式为， ∵当时，，当时，， ∴，解得， ∴所求函数关系式为； 当时，， 所以， 故旅客最多可免费携带30千克行李． 故选：30． 【点睛】本题考查函数图象和用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，具备在直角坐标系中的读图能力．注意自变量的取值范围不能遗漏． 15. 如图，在正五边形中，F是边延长线上一点，连接，那么的度数为__________． 【答案】##144度 【解析】 【分析】利用正多边形的内角和定理计算得出，再利用等边对等角求得，利用邻补角关系即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考考查正多边形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握正多边形的性质、三角形的内角和定理是解决本题的关键． 16. 如图，已知点E在矩形的边上，且，，那么的长等于__________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用余角的性质求得，利用等边对等角求得，再利用平角的定义求得，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案：4． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，掌握“30度角对应的直角边长度为斜边长度的一半”是解题的关键． 17. 如图，已知中，，，如果将绕点C顺时针旋转到，使点B的对应点落在边上，那么的度数是__________． 【答案】##20度 【解析】 【分析】根据旋转可得，，，等边对等角得，根据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵将绕点C顺时针旋转到，使点B的对应点落在边上， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，掌握旋转的性质是关键． 18. 如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”．已知在中，，，，点D在边上，且是“倍角互余三角形”，那么的长等于__________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论，当时，利用，列式计算即可求解；当时，即是的角平分线，利用角平分线的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】解：当时，，即，是“倍角互余三角形”， 则 ∴ ∴ ∴； 当时，，即，是“倍角互余三角形”，此时是的角平分线， 作于E，则， ∵，∴，∴， ∵，，，，∴，∴， 设，则，在中，由勾股定理得，解得． 综上，的长等于或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了正切函数的定义，角平分线的性质以及勾股定理，分情况讨论是解题的关键． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算： 【答案】5 【解析】 【分析】先进行正整数指数幂，零指数幂，分数指数幂以及分母有理化的计算，再进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算．解题的关键是掌握相关运算法则，正确的计算． 20. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】将第二个方程进行因式分解得到，然后令因式和因式分别为0即可求解. 详解】解：由题意可知： 对方程②进行因式分解得： 即或 ∴原方程组化为 或 解得或 故原方程组的解为：或. 【点睛】本题考查了因式分解的方法及二元方程组，熟练掌握常见的二元一次方程组的解法是解决此类题的关键. 21. 如图，已知在中，，，经过的顶点A、C，交边于点D，，点C是的中点． （1）求的半径长； （2）联结，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联结，易得，为等腰三角形，利用三线合一，以及垂径定理，进行求解即可； （2）过点作，勾股定理求出的长，进而得到的长，等积法求出的长，利用正弦的定义，进行求解即可． 【小问1详解】 解：联结，则：， ∵点C是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设圆的半径为，则：， ∴， 在中，，即：， 解得：， ∴的半径长为． 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∴， ∴， 过点作于点， 则，即：， ∴， 由（1）知：， ∴． 【点睛】本题考查弧，弦，圆心角的关系，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形．熟练掌握等弧对等弦对等角，是解题的关键． 22. 在疫情防控常态化的背景下，某学校为了定期做好专用教室的消毒工作，计划购买甲、乙两种类型的消毒剂，预计购进乙种类型消毒剂的数量y（瓶）与甲种类型消毒剂的数量x（瓶）之间的函数关系如图所示． （1）求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）； （2）该学校用2100元选购了甲种类型的消毒剂，用2400元选购了乙种类型的消毒剂，甲种消毒剂的单价比乙种消毒剂的单价贵30元，求选购的甲、乙消毒剂的数量． 【答案】（1） （2）选购的甲、乙消毒剂的数量分别为30瓶，60瓶 【解析】 【分析】（1）设出函数解析式，根据图象，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设乙种消毒剂的单价为元，甲种消毒剂的单价为元，根据两种消毒剂的数量关系，列出分式方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数解析式为， 由图象可知，图象过点， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 解：设乙种消毒剂的单价为元，甲种消毒剂的单价为元，由题意，得：， 整理，得： 解得：（负值已舍掉）， 经检验，是原方程的解， ∴乙种消毒剂的单价为元，甲种消毒剂的单价为元， ∴甲消毒剂的数量为瓶，乙消毒剂的数量为瓶． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，分式方程的应用．解题的关键是正确的求出函数解析式，列出分式方程． 23. 如图，四边形中，，、交于点O，． （1）求证：； （2）E边上一点，连接交于点F，如果，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质证明，推出，再证明，即可证明； （2）由推出，等量代换得，利用相似三角形的判定定理推出，证明，据此即可证明结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ， ∴； 【小问2详解】 证明：由（1）知，，， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． （1）求二次函数的解析式和顶点D的坐标； （2）连接，试判断与是否相似，并说明理由； （3）将抛物线平移，使新抛物线的顶点E落在线段上，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点F，连接，如果四边形的面积为3，求新抛物线的解析式． 【答案】（1）二次函数的解析式为，顶点D的坐标为； （2），理由见解析 （3）新抛物线的解析式为． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用配方法可求得顶点D的坐标； （2）利用勾股定理分别求得的三边的长，根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，且，求得，即可证明； （3）设新抛物线的解析式为()，则顶点E的坐标为，分别用a表示出梯形的上底和下底的长，据此即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点、， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为，顶点D的坐标为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， ∵点、， ∴，， ， ， ， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵，， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴对称轴为， 设新抛物线的解析式为()，则顶点E的坐标为， 当时，， ∴， ∴，， 依题意得， 解得， ∴新抛物线的解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的平移，相似三角形的判定，勾股定理及其逆定理，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 25. 如图，已知半圆O的直径，C是圆外一点，的平分线交半圆O于点D，且，联结交于点E． （1）当时，求的长； （2）当时，求的值； （3）当为直角三角形时，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）的值为或． 【解析】 【分析】（1）作于M，联结，证明四边形是矩形，求得，推出是等腰直角三角形，求得，再利用勾股定理即可求解； （2）同（1）作于M，联结，可得四边形是矩形，求得，由，求得，再求得，根据相似三角形的判定和性质即可求解； （3）分两种情况讨论，当时，同（1）可得四边形是矩形，再证明，利用相似三角形的性质求得的长，即可求解；当时，求得，即可求解． 【小问1详解】 解：作于M，联结， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，又， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：作于M，联结， 同理四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：作于M，联结， 同理四边形是矩形， ∴， 当时， ∵，， ∴，又， ∴， ∴，即， 解得(负值已舍)， ∴， ∴； 当时， 由垂径定理得， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了垂径定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 庆阳市2024学年第二学期小样本学业质量调研（二） 九年级数学 （测试时间：100分钟，满分：150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题，答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，计算结果正确的是（ ） A B. C. D. 3. 如果函数的图像经过第一、三、四象限，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是小明某一天测得的7次体温情况的折线统计图，下列信息不正确的是（ ） A. 测得最高体温为37.1℃ B. 前3次测得的体温在下降 C. 这组数据的众数是36.8 D. 这组数据中位数是36.6 5. 在研究反比例函数的图象时，小明想通过列表、描点的方法画出反比例函数的图像，但是在作图时，小明发现计算有错误，四个点中有一个不在该函数图像上，那么这个点是（ ） x …… 1 2 … y … 4 … A. B. C. D. 6. 已知点A、B、C在圆O上，那么下列命题为真命题的是（ ） A. 如果半径平分弦，那么四边形是平行四边形 B. 如果弦平分半径，那么四边形是平行四边形 C. 如果四边形是平行四边形，那么 D. 如果，那么四边形是平行四边形 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 的立方根是__________． 8. 已知，那么________． 9. 不等式组的解集是______． 10. 方程的解是________． 11. 已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么m的取值范围为________． 12. 已知一个反比例函数图像经过点，则该反比例函数的图像在各自的象限内，函数值y随自变量x的值逐渐增大而________．（填“增大”或“减小”） 13. 已知一次函数的图像经过点，那么__________． 14. 某地长途汽车客运公司规定：旅客可免费随身携带一定重量行李，如果行李超过规定重量，则需要购买行李票．行李票费用y（元）是行李重量x（千克）的一次函数，其图像如图所示，那么旅客最多可免费携带行李__________千克． 15. 如图，在正五边形中，F是边延长线上一点，连接，那么的度数为__________． 16. 如图，已知点E在矩形的边上，且，，那么的长等于__________． 17. 如图，已知中，，，如果将绕点C顺时针旋转到，使点B的对应点落在边上，那么的度数是__________． 18. 如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”．已知在中，，，，点D在边上，且是“倍角互余三角形”，那么的长等于__________． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算： 20. 解方程组： 21. 如图，已知在中，，，经过顶点A、C，交边于点D，，点C是的中点． （1）求的半径长； （2）联结，求． 22. 在疫情防控常态化的背景下，某学校为了定期做好专用教室的消毒工作，计划购买甲、乙两种类型的消毒剂，预计购进乙种类型消毒剂的数量y（瓶）与甲种类型消毒剂的数量x（瓶）之间的函数关系如图所示． （1）求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）； （2）该学校用2100元选购了甲种类型的消毒剂，用2400元选购了乙种类型的消毒剂，甲种消毒剂的单价比乙种消毒剂的单价贵30元，求选购的甲、乙消毒剂的数量． 23. 如图，四边形中，，、交于点O，． （1）求证：； （2）E是边上一点，连接交于点F，如果，求证：四边形是平行四边形． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． （1）求二次函数的解析式和顶点D的坐标； （2）连接，试判断与是否相似，并说明理由； （3）将抛物线平移，使新抛物线的顶点E落在线段上，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点F，连接，如果四边形的面积为3，求新抛物线的解析式． 25. 如图，已知半圆O的直径，C是圆外一点，的平分线交半圆O于点D，且，联结交于点E． （1）当时，求的长； （2）当时，求的值； （3）当为直角三角形时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $