第11讲 分式的运算（知识详解+16典例分析+习题巩固） 2025-2026学年北师大版八年级数学下册同步讲义与测试

第11讲 分式的运算（知识详解+16典例分析+习题巩固） 【知识点01】分式的乘除法 1.分式的乘法法则： 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母 . 用字母表示为 . 说明： (1)若分子、分母中有多项式，可先对多项式分解因式，看能否约分，再进行乘法运算； (2) 若分式乘整式，可以将整式看成分母为1 的“分式”进行运算。 2. 分式的除法法则： 两个分式相除，将除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘 . 用字母表示为 . 说明：当除式是整式时，可以将整式看成分母是1的“分式”进行运算。 【知识点02】分式的乘方 1. 分式的乘方法则 分式乘方要把分子、分母分别乘方. 用式子表示为 (n 为正整数). 说明: (1)分式乘方时，确定乘方结果符号的方法与有理数乘方确定结果符号的方法相同； (2)分式乘方时，若分子与分母是多项式，应把分子、分母分别看成一个整体乘方，避免出现 的错误. 2. 分式的乘除、乘方混合运算 分式的乘除、乘方混合运算顺序与分数的乘除、乘方混合运算顺序相同，即先算乘方，再算乘除，有括号的先算括号里面的。 【知识点03】同分母分式的加减法 1. 同分母分式的加减法法则 ： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 用字母表示为 . 【知识点04】分式的通分 1. 分式的通分 ：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分。 2. 最简公分母: 通分时，一般取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母 。 3. 确定最简公分母的一般方法： 类别 示例 各分母为5 与2 的最小公倍数 单独出现的字母及其指数 相同字母的最高次幂 单项式  与  的最简公分母为10 a² b²c  类别 示例 各分母中 有多项式3 与1 的最小公倍数 相同因式的最高次幂 单独出现的因式 与 的最简公分母为3 (x-y) (x+y) 方法总结： 各分母能因式分解的先因式分解，然后将各分母系数的最小公倍数、相同字母（因式）的最高次幂和单独出现的字母（因式）的幂的乘积作为最简公分母 【知识点05】异分母分式的加减法 1. 异分母分式的加减法法则 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算. 用式子表示为 = = . 一般步骤 (1)通分：将异分母分式转化为同分母分式； (2)加减：按照同分母分式加减运算的一般步骤进行计算. 注意异分母分式加减运算的关键是通分. 特别解读 通分的关键是确定最简公分母，分式与分式相加减时的最简公分母是各分母的所有因式的最高次幂的积. 【知识点06】分式的混合运算 1. 分式的混合运算顺序 分式的混合运算与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先算乘方，再算乘除，然后算加减. 有括号时，先进行括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按从左到右的顺序进行. 2. 分式混合运算的方法 (1)进行分式混合运算时，可以根据需要合理地运用运算律来简化运算，此时先将分式的乘除法统一成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算律简化运算. (2)运算过程中及时约分化简，有时可使解题过程简单. (3)运算结果是最简分式或整式. 【题型一】分式乘法 例1．（25-26八年级下·全国·课后作业）若“”可以进行分式的化简，则“○”不可以是（   ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【知识点】分式乘法 【分析】先判断分母能否与分子的因式产生公因式，若不存在公因式则无法进行分式化简，据此分析各选项． 【详解】解：A、当时，，能化简，故该选项不符合题意； B、当时，，能化简，故该选项不符合题意； C、当时，，无法进行分式化简，故该选项符合题意； D、当时，，能化简，故该选项不符合题意． 变式1．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）计算：___________． 【答案】 【知识点】分式乘法 【详解】解： ． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式乘法 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式乘法的运算法则是解题的关键． （1）先根据分式的乘法法则计算，再约分即可； （2）先将分子和分母因式分解，然后按照分式的乘法法则计算，再约分即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型二】分式除法 例2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知这是一道分式化简题，其中一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式除法 【分析】结合分式除法法则化简原式，再将各选项代入被污染部分，判断结果是否为整式，即可得到答案． 【详解】解：根据分式除法运算法则，原式可化为： A 当时，原式，结果分母含未知数，不是整式，此选项符合题意； B 当时，原式，是整式，此选项不符合题意； C 当时，原式，是整式，此选项不符合题意；. D 当时，原式，是整式，此选项不符合题意； ∴ 被墨水覆盖的部分不可能是． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）对于，，我们定义两种运算：，．则__________． 【答案】 【知识点】分式除法 【分析】本题为新定义运算题，先根据给定的两种运算定义，将目标式中的新运算转化为常规分式，再依据分式除法法则及平方差公式进行化简计算即可． 【详解】解：根据新定义运算：，，则， ∴ ． 变式2．（24-25八年级下·贵州毕节·月考）以下是小茗同学化简分式的运算过程： 解：原式 ① ② ③ (1)上面的运算过程中第_________步开始出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程． 【答案】(1)③ (2) 【知识点】分式除法 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质，化简的基本技能是解题的关键． （1）从第③步开始出现错误，错误的原因是约分丢负号． （2）根据分式的运算，正确计算即可， 【详解】（1）解：上面的运算过程中第③步开始出现了错误， 故答案为：③； （2）解：原式 ． 【题型三】分式乘除混合运算 例3．（25-26八年级下·全国·周测）化简后的结果为，则“△”所表示的代数式是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】先对原式括号内的部分通分合并，再将除法转化为乘法，然后把每个选项代入“”的位置，化简后检验结果是否为． 【详解】解：∵ 原式 = = 又 ∵ ∴ 原式 = = = ． 又 ∵ 化简结果为 ． ∴ ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的通分、约分及乘除运算法则，通过化简原式建立关于“”的等式来求解． 变式1．（23-24八年级下·全国·课后作业）如果，那么分式的值是________． 【答案】/ 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的约分法则是解题的关键．设，则，把原式根据分式的乘除法法则化简，代入计算即可． 【详解】解：设，则， ∴． 故答案为：． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】本题考查了分式化简，熟练掌握分式化简的技巧是解题的关键； （1）先将除法化成乘法，然后进行约分化简即可； （2）先将括号内的部分进行变形约分，然后与括号外的部分约分化简． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型四】分式乘方 例4．（24-25八年级下·福建泉州·月考）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式乘方 【分析】本题考查了分式的乘方．根据分式的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：（其中n为正整数）________． 【答案】 【知识点】分式乘方 【详解】解：． 变式2．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式乘方 【分析】（）根据分式的乘方运算法则计算即可； （）根据分式的乘方运算法则计算即可； 本题考查了分式的乘方运算，掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型五】含乘方的分式乘除混合运算 例5．（24-25八年级下·河南南阳·期中）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】此题考查了含乘方的分式乘除法混合运算．先乘方，再根据分式乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 变式1．（24-25八年级下·福建泉州·期中）计算：________． 【答案】 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题主要考查分式乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，根据含乘方的分式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 变式2．（2025·广东深圳·二模）以下是小茗同学化简分式的运算过程： 解：原式        ①                 ②                        ③ (1)上面的运算过程中第_________步开始出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程． 【答案】(1)① (2)见解析 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质，化简的基本技能是解题的关键． （1）从第①步开始出现错误，错误的原因是除法不能直接约分． （2）根据分式的运算，正确计算即可， 【详解】（1）解：上面的运算过程中第①步开始出现了错误， 故答案为：①； （2）原式                                                                     ． 【题型六】同分母分式加减法 例6．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简的结果为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】同分母分式加减法 【详解】解：原式． 变式1．（25-26八年级下·河南南阳·月考）化简：______． 【答案】 【知识点】同分母分式加减法 【分析】先化为同分母，再计算即可． 【详解】 ． 变式2．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】同分母分式加减法 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【题型七】最简公分母 例7．（25-26八年级下·全国·课后作业）分式和的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简公分母 【分析】分别求出系数的最小公倍数与各字母的最高次幂，再将二者相乘得到最简公分母． 【详解】解：两个分式分母的系数分别为和，和的最小公倍数是， 最简公分母的系数取； 对于字母部分，的最高次幂是，的最高次幂是，第二个分式含有单独字母，需要将纳入公分母， 将系数与各字母最高次幂相乘，可得最简公分母为． 变式1．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）分式，的最简公分母是_____． 【答案】/ 【知识点】最简公分母 【详解】解：分式，的最简公分母是． 变式2．（2026八年级下·全国·专题练习）阅读下列解题过程，回答下列问题： 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1，，； 第二步：，，3； 第三步：，，． ∴，的最简公分母是． 请用以上方法解决下列问题： (1)求，，的最简公分母； (2)求，，的最简公分母． 【答案】(1) (2) 【知识点】最简公分母 【分析】此题考查了求最简公分母，根据最简公分母的定义求解即可． 根据题干中的方法求解即可． 【详解】（1）解：第一步：1，，，； 第二步：，c，，； 第三步：，，，； ∴，，的最简公分母是； （2）解：第一步：1，，，； 第二步：，3，，； 第三步：，，，； 第四步：，，，； ∴，，的最简公分母是． 【题型八】通分 例8．（2026八年级下·全国·专题练习）若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】通分 【分析】本题考查分式的通分，关键是确定最简公分母，根据分式的基本性质将分子同乘相应式子得到结果即可． 【详解】解：∵两个分式的分母分别为和， ∴最简公分母为， ∵要将通分，需给分子分母同乘， ∴分子变为， 故选：A． 变式1．（2026八年级下·全国·专题练习）将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为___________ ． 【答案】，， 【知识点】通分 【分析】本题主要考查分式的通分，先确定三个分式的最简公分母，然后利用最简公分母除以各自的分母，得到每个分母需乘的单项式． 【详解】分式, , 的分母分别为, , , 最简公分母为． , , ，故分母所乘的单项式依次为, , ． 故答案为：, , 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）将下列分式通分： (1)和． (2)和． 【答案】(1)   (2)   【知识点】通分 【分析】本题考查了分式的通分，掌握找最简公分母的方法，系数取最小公倍数，字母取最高次幂，再将分子分母同乘相应因式是解题的关键． （1）先确定两个分式的最简公分母为，再将两个分式的分子分母同乘相应因式，化为同分母分式； （2）先确定两个分式的最简公分母为，再将两个分式的分子分母同乘相应因式，化为同分母分式． 【详解】（1）解：最简公分母是， ， ． （2）解：最简公分母是， ， ． 【题型九】异分母分式加减法 例9．（25-26八年级下·河南周口·月考）化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【知识点】异分母分式加减法 【详解】解： ． 变式1．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）并联电路中两个电阻的阻值分别为，电路的总电阻和满足，则可表示为______（用含，的代数式表示）． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法 【分析】根据已知等式移项得到的表达式，再利用异分母分式减法法则计算，最后取倒数即可得到的表达式． 【详解】解：∵， ∴， 根据异分母分式减法法则通分计算得：， 对等式两边取倒数得：． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】异分母分式加减法 【分析】（1）先确定公分母为，再通分化成同分母分式计算即可； （2）先确定公分母，再通分化为同分母分式计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【题型十】整式与分式相加减 例10．（2024·天津和平·三模）计算的结果等于（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】整式与分式相加减 【分析】本题主要考查分式加减法，原式先通分，再根据同分母分式加减法法则进行计算即可 【详解】解： ． 故选：D． 变式1．（2024·河南商丘·一模）化简：______． 【答案】 【知识点】整式与分式相加减 【分析】本题考查了分式的化简，先通分，根据同分母分式加减法法则计算，最后约分． 【详解】解：． 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·陕西西安·月考）在分式的分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， (1)将分式化为一个整式与一个真分式的和． (2)若是整数，且假分式的值为正整数，求的值． (3)若假分式，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】整式与分式相加减 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的化简是解题的关键． （1）根据题意，仿照示例，可得到结果； （2）仿照示例，可得到结果； （3）根据题意，仿照示例，可得到，再代入化简即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 因为是正整数， 所以的值为， 所以的值为，4，则的值为． 因为是整数， 所以的值为1． （3）因为 ． 所以， 即， 所以． 【题型十一】已知分式恒等式，确定分子或分母 例11．（2025八年级·全国·竞赛）若，其中A、B、C均为常数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简是解题的关键，先将进行通分，得到，再根据，得到，从而求得，代入即可得到的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ∴ ∴． 故选：A． 变式1．（25-26八年级下·河南周口·月考）若，则________． 【答案】 2 【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母 【分析】先对等式右边进行通分，根据分式相等的性质得到分子相等，再利用多项式相等对应系数相等建立方程组，求解得到B的值． 【详解】解：对等式右边通分，得， 已知， 分母相同且分式相等，因此分子相等，即， 将等式右边整理为多项式的形式，得， 根据多项式相等，对应项的系数相等，可得方程组， 将， 代入第二个方程，得， ， 解得． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）定义：若分式，满足，则与互为“平衡分式”． (1)若，，判断与是否互为“平衡分式”，并说明理由． (2)若实数能使与互为“平衡分式”，求实数的值． 【答案】(1)与互为“平衡分式”，理由见解析 (2) 【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母、同分母分式加减法 【分析】本题考查了新定义平衡分式的理解与应用，以及同分母分式的加减运算，掌握并紧扣定义，将新问题转化为分式加减运算的方法是解题的关键． （1）根据平衡分式的定义，计算的和，判断其是否等于； （2）根据定义列出等式，合并同分母分式后，通过分子相等建立方程求解． 【详解】（1）解：与互为“平衡分式”．理由如下： ， 与互为“平衡分式”． （2）解：根据题意，得， 整理，得， 则 故， 解得． 【题型十二】分式加减混合运算 例12．（2025·山西朔州·模拟预测）已知为整式，若计算的结果为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式加减混合运算 【分析】本题考查分式加减混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质和等式的性质．由可得，故，从而． 【详解】解：， ， ， ， ， ； 故选D． 变式1．（2024八年级下·全国·课前预习）计算＝ _____． 【答案】1 【知识点】分式加减混合运算 【解析】略 变式2．（24-25八年级下·四川巴中·期末）若，对作变化，得到；再对作变化，得到；再对作变化，得到；依次变化下去，…，；在此变化过程中，记，（为正整数） (1)当，此时的值为______ (2)填空：化简并猜想______，_____，_____；（用只含和的代数式表示） (3)当为整数时，求此时的值． 【答案】(1)1 (2)，， (3)或 【知识点】分式加减混合运算 【分析】本题考查绝对值运算、分式的化简求值，以及整数性质的综合应用，解题关键是通过递推关系逐步推导找出规律，结合相关运算规则求解表达式，并依据整数性质确定参数值． （1）依据题目给定的变换规则，依次求出关于k的表达式，再将代入的表达式，得出k的值． （2）先求得的值，得到规律，再将代入，利用绝对值与分式运算化简得到，最后把代入化简得出其表达式； （3）根据规律求出，，再计算并化简为，最后根据为整数，结合，确定的取值，从而求出k的值． 【详解】（1）解：由已知得，， 将代入可得， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：1； （2）解：， ， ， ⋯⋯， ； ∴， ∵， ∴， 将代入得， ， 故答案为：，，； （3）解：由（2）知，， ， ∴， ∵为整数，且， ∴或， ∴或． 【题型十三】分式加减的实际应用 例13．（23-24八年级下·河南郑州·期末）“郑在加速，出行无忧”郑州地铁8号线有望今年底试运营，某施工队每天挖掘隧道a米，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘b米隧道，比原来少用的天数可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】本题考查分式的运算，根据题意，得到改进技术后，每天可以挖掘米，利用原来需要的天数减去现在需要的天数，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：； 故选A． 变式1．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）一项工程，甲单独做天完成，乙单独做天完成，若甲、乙两人一起做，则需要___________天完成． 【答案】 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】本题考查了分式的应用，根据题意得出甲每天完成，乙每天完成，设工作总量为，进而根据工作总量除以工作效率，即可求解． 【详解】解：甲单独做天完成，乙单独做天完成，设工作总量为， ∴甲每天完成，乙每天完成 ∴两人合作一共需要天 故答案为：． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买；乙每次用去800元，而不管购买多少饲料．甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？ 【答案】甲：（元）；乙：（元） 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】根据平均单价＝ 总钱数 两次购买的质量和 ，求出甲、乙所购饲料的平均单价即可； 【详解】解：设两次购买的饲料单价分别为元和元（，是正数，且）， 则甲两次购买饲料的平均单价为（元）， 乙两次购买饲料的平均单价为（元）． 【点睛】本题考查的是分式的混合运算，解决本题的关键是读懂题意，熟知分式混合运算的法则． 【题型十四】分式加减乘除混合运算 例14．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算，正确计算是解题的关键． 先化简括号内的表达式，将其通分为一个分式，然后利用除以分数等于乘以倒数的性质，最后约分得到结果． 【详解】解：∵ 原式 = 故选： A． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：__________． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的乘除运算，平方差公式因式分解，掌握将除法转化为乘法，分解因式后约分简化是解题的关键． 将除法运算转化为乘法运算，利用平方差公式分解因式，然后通过约分简化表达式． 【详解】原式​​ ​． 故答案为：​． 变式2．（25-26八年级下·河南周口·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则和因式分解是解题关键． （1）先算括号内的分式加法，再分解因式，最后进行分式乘法运算并约分； （2）先算括号内的分式加法，再分解因式，将除法转化为乘法，最后约分． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型十五】分式化简求值 例15．（25-26八年级下·全国·课后作业）若当时，分式的值是（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】分式化简求值 【分析】直接将代入求值即可． 【详解】解：当时，分式，即选项B符合题意． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如果，那么代数式的值是____________． 【答案】 【知识点】分式化简求值 【详解】解：． 设，则，， 所以原式． 变式2．（25-26八年级下·山东济南·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【知识点】分式化简求值 【分析】本题为分式化简求值题，解题思路是先计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分得到最简结果，最后代入的值计算． 【详解】解：原式 当时，原式 【题型十六】分式最值 例16．（25-26八年级·山东威海·期末）分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【知识点】分式最值 【分析】本题考查分式的最值，利用完全平方公式，求出分母的最小值，进而求出分式的最大值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴的最小值为4， ∴分式的最大值是； 故选：C． 变式1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数、，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号）．因此，当时，有最小值2，此时． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有三题不会，请你帮一帮他． (1)函数的最小值是______； (2)对于函数，当______时，有最大值，最大值为______； (3)【能力提升】求函数的最小值，并写出取最小值时的值． 【答案】(1)4 (2)， (3)当时，函数取得最小值，最小值为 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式最值 【分析】（1）根据题意利用“基本不等式”进行求解即可； （2）根据题意利用“基本不等式”进行求解； （3）根据题意，利用“基本不等式”以及整体思想进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴函数的最小值是4； （2）解：同（1）得， ∴当时，取得最小值6， 解得或（舍去）， ∴当时，函数取得最大值，最大值为； （3）解：∵， ∴， 当时，函数取得最小值，最小值为， 解得（舍去）或， ∴当时，函数取得最小值，最小值为． 一、单选题 1．计算： A． B．1 C．a D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的加减，掌握知识点是解题的关键． 先将分母化为同分母，再进行计算即可． 【详解】解： ． 故选B． 2．下列式子计算后的结果与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的乘除混合运算的运算顺序逐一计算各选项，从而可得答案． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是分式的乘除混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的计算法则，积的乘方计算法则和完全平方公式对每个选项进行计算即可． 【详解】A：，符合题意． B：，不符合题意． C：，不符合题意． D：，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查分式的计算法则，积的乘方计算法则和多项式的乘法法则，熟练掌握这些运算法则是解题关键． 4．分式的运算结果为，则“□”处的运算符号是（    ） A．＋ B．－ C．× D．÷ 【答案】D 【分析】此题考查了分式的加减乘除运算．本题可先利用平方差公式对分母因式分解，再将各运算符号代入分式运算，对比结果确定正确符号． 【详解】解：∵ 将“”代入□： 原式= = 与题目运算结果一致． 代入其他符号验证： 若为“＋”： 若为“－”： 若为“×”： ∴“□”处的运算符号是÷， 故选D 5．已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．-2 B．0 C．2 D．0或2 【答案】D 【分析】将已知等式化简得到关于的整式方程，进而根据完全平方公式的化简，求得的值，代入代数式求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 即， ， ， ， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为或． 故选D． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，完全平方公式的应用，有理数的乘方，求得的值是解题的关键． 6．已知m2+3m-4=0，则代数式值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解： ∵ ∴ ∴原式 故选：D 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7．已知，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式化简、平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．先将分式化简为，然后利用完全平方公式得出，，代入计算即可得出结果． 【详解】解： ， 由，且， ，， ，， ， ，， 原式， 故选：B． 8．对于正数，规定，例如：，，则的值为（    ） A．2025 B．2024 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简求值，正确找到规律是解题的关键．观察式子，发现规律，根据规律化简所求式子即可． 【详解】解：根据题意得， 则， ， 故选：D． 二、填空题 9．当非零实数，满足时，的值为________． 【答案】 【分析】先通分算括号里面的，再把除法运算转化为乘法运算，求得结果，再将代入计算后即可求出答案． 【详解】解：原式 ， ， ∵， ∴， 将代入得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值，解决本题的关键是掌握分式混合运算的运算顺序及相关法则． 10．计算：___________． 【答案】1 【分析】先通分，把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，进而求解即可； 【详解】解：原式 ， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了分式的加法，解题时注意：分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． 11．若，则的值是______． 【答案】或或 【分析】对进行分类讨论，，、三种情况，分别求解即可． 【详解】解：当时，，， ∴，， 当时，， ∴，， 当时，， ∴，， 综上所述，的值为，， 故答案为或或 【点睛】此题考查了绝对值的性质以及有理数的有关运算，解题的关键是对的范围进行分类讨论，分别求解． 12．化简：________. 【答案】 【分析】将分式的分子进行分解因式，再与分母进行月份即可得到答案. 【详解】解： 故答案为：. 【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键是否熟练掌握因式分解. 13．计算：______． 【答案】/ 【分析】根据分式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的乘除运算，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 14．张华和李明同时从甲地沿同一线路步行去乙地．张华在前半段路程的平均步行速度是，在后半段路程的平均步行速度是；李明全程的步行速度是．已知甲乙两地的路程为，且，张华从甲地到乙地所用的时间为______；张华和李明先到达乙地的是_______（填“张华”或“李明”或“同时到达”或“不能确定”） 【答案】 李明 【分析】本题考查了分式混合运算的应用，理解题意是解题的关键． 根据时间路程速度，求出张华从甲地到乙地所用的时间；再求出李明从甲地到乙地所用的时间，利用作差法比较两人所用时间的多少，用时较少的即可先到达乙地． 【详解】解：张华从甲地到乙地所用的时间为； 李明从甲地到乙地所用的时间为， ， ∵，，， ∴，即张华所用的时间大于李明所用的时间， ∴先到达乙地的是李明． 故答案为：；李明． 15．若一个四位数，各个数位上的数字均不为零且互不相等，且满足百位上的数字比千位上的数字小1，十位上的数字比个位上的数字小1，则称为“梦幻数”，例如，因为，，所以3245是一个“梦幻数”．对于一个“梦幻数”，规定，若是最小的“梦幻数”，则________；已知、是“梦幻数”，且满足的千位数字为，十位数字为8，的百位数字为6，十位数字是，规定，当为整数且取最大值时，则________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义的分式运算． 根据“梦幻数”的定义取符合条件的最小的数求出是，代入计算即可；根据“梦幻数”的定义得到，，可得，由E是整数可知为2的倍数且为5的因数，即可得到，计算即可． 【详解】解：∵是最小的“梦幻数”， 百位上的数字比千位上的数字小1，十位上的数字比个位上的数字小1， ∴是， ∴； ∵是“梦幻数”， 且满足的千位数字为，十位数字为8， ∴是即（）， ∴， ∵是“梦幻数”， 的百位数字为6，十位数字是， ∴是即（或）， ∴， ∴ ， ∵为整数， ∴为2的倍数且为5的因数（c、a均为正整数且，或） 当为5的因数时，或或， ∵为2的倍数，且取最大值，，或， 当时，，当时，； 当时，，当时，； 当时，，当时，； 综上所述，当时，取最大值， ∴，， ∴． 故答案为：；． 三、解答题 16．化简： (1)； (2)． 【答案】(1)1； (2) 【分析】（1）将分式化成求解即可； （2）根据通分、平方差公式、完全平方式化简计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 17．先化简，再求值：，其中a是的整数部分． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，估算无理数的大小．先把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，再计算括号内同分母的减法运算，接着进行乘法运算得到原式，然后根据无理数的估算得到，最后把a的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， 当时，原式． 18．已知分式 ，，方方尝试，当 ，，；当 ，，，当 ，，． (1)继续尝试，当 时， ， ． (2)方方说：当 取不同值时，无法判断 和 的大小；圆圆说：用特殊值法是判断不出来的，我用学过的分式运算，可以得出不论 为何值， 成立．你认为方方和圆圆谁的说法正确？为什么？ 【答案】(1)， (2)圆圆的说法正确，理由见解析 【分析】（1）直接代入数值，求数值即可； （2）根据分式的计算方法，直接进行计算即可． 【详解】（1）当a=4时， ， ． 故答案为：，； （2）， ，，故 ，不论 为何值，． 故圆圆的说法正确． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的计算法则是解答此题的关键． 19．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： ……， 按照以上规律，解决下列问题： (1)第5个等式：________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析． 【分析】（1）根据提供的算式写出第5个算式即可； （2）分母中的两个数可以表示成和，，用此来表示即可． 【详解】（1）解：由题意可得，第五个等式是： （2）解：； 证明：∵右边==左边， ∴原等式成立. 【点睛】本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题． 20．为了鼓励学生加强锻炼，增强体质，实验中学准备购买一些健身器材供学生使用．经调查，某厂家有A，B两种健身器材可供选择，如果购买A种健身器材套需要2万元，如果购买B种健身器材套需要12万元． (1)请用含x的代数式分别表示这两种健身器材的单价； (2)一套A种健身器材和一套B种健身器材一共多少元？ 【答案】(1)A种健身器材的单价为：万元；B种健身器材的单价为：万元 (2)万元 【分析】本题考查列代数式的应用，分式加法的应用，掌握，分式加法法则是解题的关键． （1）根据，列式即可． （2）用A种健身器材的单价+B种健身器材的单价，列式计算即可． 【详解】（1）解：A种健身器材的单价为：万元； B种健身器材的单价为：． （2）解： ， 答：一套A种健身器材和一套B种健身器材一共万元 21．我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 【类比应用】 已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克（a、b是正数，且），试比较小丽和小颖所购买商品价格的高低． 【答案】小丽的价格高，小颖的价格低 【分析】根据题意利用“作差法”即，然后根据分式的加减计算法则进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵a、b是正数，且a≠b， ， ∴． ∴小丽的价格高，小颖的价格低． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，解题的关键在于能够熟练分式加减运算的法则． 22．某工程队接到24千米的道路施工任务后，列出如下两种施工方案： 方案A 计划12千米按每天施工a千米完成，剩下的12千米按每天施工b千米完成，预计完成施工任务所需的时间为t₁天． 方案B 设完成施工任务所需的时间为t₂天，其中一半时间每天完成施工a千米，另一半时间每天完成施工b千米． 备注 A、B两种方案中的a，b均为正整数，且． (1)按方案A施工需要的天数_______；按方案B施工需要的天数_______；（用含a、b的式子来表示） (2)若要尽快完成施工任务，该工程队应选择上述哪种方案？请说明你的理由． 【答案】(1)， (2)该工程队应采取方案B，见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式的加减计算，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）根据工作时间等于工作总量除以工作效率，求出，即可； （）先根据题意求出，，再利用作差法求出，的大小即可得到答案． 【详解】（1）解 （2） ∵ ， ，即． ∴该工程队应采取方案B. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 分式的运算（知识详解+16典例分析+习题巩固） 【知识点01】分式的乘除法 1.分式的乘法法则： 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母 . 用字母表示为 . 说明： (1)若分子、分母中有多项式，可先对多项式分解因式，看能否约分，再进行乘法运算； (2) 若分式乘整式，可以将整式看成分母为1 的“分式”进行运算。 2. 分式的除法法则： 两个分式相除，将除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘 . 用字母表示为 . 说明：当除式是整式时，可以将整式看成分母是1的“分式”进行运算。 【知识点02】分式的乘方 1. 分式的乘方法则 分式乘方要把分子、分母分别乘方. 用式子表示为 (n 为正整数). 说明: (1)分式乘方时，确定乘方结果符号的方法与有理数乘方确定结果符号的方法相同； (2)分式乘方时，若分子与分母是多项式，应把分子、分母分别看成一个整体乘方，避免出现 的错误. 2. 分式的乘除、乘方混合运算 分式的乘除、乘方混合运算顺序与分数的乘除、乘方混合运算顺序相同，即先算乘方，再算乘除，有括号的先算括号里面的。 【知识点03】同分母分式的加减法 1. 同分母分式的加减法法则 ： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 用字母表示为 . 【知识点04】分式的通分 1. 分式的通分 ：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分。 2. 最简公分母: 通分时，一般取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母 。 3. 确定最简公分母的一般方法： 类别 示例 各分母为5 与2 的最小公倍数 单独出现的字母及其指数 相同字母的最高次幂 单项式  与  的最简公分母为10 a² b²c  类别 示例 各分母中 有多项式3 与1 的最小公倍数 相同因式的最高次幂 单独出现的因式 与 的最简公分母为3 (x-y) (x+y) 方法总结： 各分母能因式分解的先因式分解，然后将各分母系数的最小公倍数、相同字母（因式）的最高次幂和单独出现的字母（因式）的幂的乘积作为最简公分母 【知识点05】异分母分式的加减法 1. 异分母分式的加减法法则 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算. 用式子表示为 = = . 一般步骤 (1)通分：将异分母分式转化为同分母分式； (2)加减：按照同分母分式加减运算的一般步骤进行计算. 注意异分母分式加减运算的关键是通分. 特别解读 通分的关键是确定最简公分母，分式与分式相加减时的最简公分母是各分母的所有因式的最高次幂的积. 【知识点06】分式的混合运算 1. 分式的混合运算顺序 分式的混合运算与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先算乘方，再算乘除，然后算加减. 有括号时，先进行括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按从左到右的顺序进行. 2. 分式混合运算的方法 (1)进行分式混合运算时，可以根据需要合理地运用运算律来简化运算，此时先将分式的乘除法统一成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算律简化运算. (2)运算过程中及时约分化简，有时可使解题过程简单. (3)运算结果是最简分式或整式. 【题型一】分式乘法 例1．（25-26八年级下·全国·课后作业）若“”可以进行分式的化简，则“○”不可以是（   ） A．1 B． C． D．4 变式1．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）计算：___________． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【题型二】分式除法 例2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知这是一道分式化简题，其中一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）对于，，我们定义两种运算：，．则__________． 变式2．（24-25八年级下·贵州毕节·月考）以下是小茗同学化简分式的运算过程： 解：原式 ① ② ③ (1)上面的运算过程中第_________步开始出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程． 【题型三】分式乘除混合运算 例3．（25-26八年级下·全国·周测）化简后的结果为，则“△”所表示的代数式是（   ） A．1 B． C． D． 变式1．（23-24八年级下·全国·课后作业）如果，那么分式的值是________． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【题型四】分式乘方 例4．（24-25八年级下·福建泉州·月考）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：（其中n为正整数）________． 变式2．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【题型五】含乘方的分式乘除混合运算 例5．（24-25八年级下·河南南阳·期中）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·福建泉州·期中）计算：________． 变式2．（2025·广东深圳·二模）以下是小茗同学化简分式的运算过程： 解：原式        ①                 ②                        ③ (1)上面的运算过程中第_________步开始出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程． 【题型六】同分母分式加减法 例6．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简的结果为（   ） A． B． C． D．1 变式1．（25-26八年级下·河南南阳·月考）化简：______． 变式2．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 【题型七】最简公分母 例7．（25-26八年级下·全国·课后作业）分式和的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）分式，的最简公分母是_____． 变式2．（2026八年级下·全国·专题练习）阅读下列解题过程，回答下列问题： 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1，，； 第二步：，，3； 第三步：，，． ∴，的最简公分母是． 请用以上方法解决下列问题： (1)求，，的最简公分母； (2)求，，的最简公分母． 【题型八】通分 例8．（2026八年级下·全国·专题练习）若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 变式1．（2026八年级下·全国·专题练习）将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为___________ ． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）将下列分式通分： (1)和． (2)和． 【题型九】异分母分式加减法 例9．（25-26八年级下·河南周口·月考）化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）并联电路中两个电阻的阻值分别为，电路的总电阻和满足，则可表示为______（用含，的代数式表示）． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【题型十】整式与分式相加减 例10．（2024·天津和平·三模）计算的结果等于（　　） A．1 B． C． D． 变式1．（2024·河南商丘·一模）化简：______． 变式2．（24-25八年级下·陕西西安·月考）在分式的分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， (1)将分式化为一个整式与一个真分式的和． (2)若是整数，且假分式的值为正整数，求的值． (3)若假分式，求的值（用含的代数式表示）． 【题型十一】已知分式恒等式，确定分子或分母 例11．（2025八年级·全国·竞赛）若，其中A、B、C均为常数，则的值是（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·河南周口·月考）若，则________． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）定义：若分式，满足，则与互为“平衡分式”． (1)若，，判断与是否互为“平衡分式”，并说明理由． (2)若实数能使与互为“平衡分式”，求实数的值． 【题型十二】分式加减混合运算 例12．（2025·山西朔州·模拟预测）已知为整式，若计算的结果为，则（   ） A． B． C． D． 变式1．（2024八年级下·全国·课前预习）计算＝ _____． 变式2．（24-25八年级下·四川巴中·期末）若，对作变化，得到；再对作变化，得到；再对作变化，得到；依次变化下去，…，；在此变化过程中，记，（为正整数） (1)当，此时的值为______ (2)填空：化简并猜想______，_____，_____；（用只含和的代数式表示） (3)当为整数时，求此时的值． 【题型十三】分式加减的实际应用 例13．（23-24八年级下·河南郑州·期末）“郑在加速，出行无忧”郑州地铁8号线有望今年底试运营，某施工队每天挖掘隧道a米，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘b米隧道，比原来少用的天数可以表示为（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）一项工程，甲单独做天完成，乙单独做天完成，若甲、乙两人一起做，则需要___________天完成． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买；乙每次用去800元，而不管购买多少饲料．甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？ 【题型十四】分式加减乘除混合运算 例14．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：__________． 变式2．（25-26八年级下·河南周口·期中）计算： (1)； (2)． 【题型十五】分式化简求值 例15．（25-26八年级下·全国·课后作业）若当时，分式的值是（   ） A．4 B． C．3 D． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如果，那么代数式的值是____________． 变式2．（25-26八年级下·山东济南·期中）先化简，再求值：，其中． 【题型十六】分式最值 例16．（25-26八年级·山东威海·期末）分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 变式1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数、，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号）．因此，当时，有最小值2，此时． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有三题不会，请你帮一帮他． (1)函数的最小值是______； (2)对于函数，当______时，有最大值，最大值为______； (3)【能力提升】求函数的最小值，并写出取最小值时的值． 一、单选题 1．计算： A． B．1 C．a D． 2．下列式子计算后的结果与相等的是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．分式的运算结果为，则“□”处的运算符号是（    ） A．＋ B．－ C．× D．÷ 5．已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．-2 B．0 C．2 D．0或2 6．已知m2+3m-4=0，则代数式值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 8．对于正数，规定，例如：，，则的值为（    ） A．2025 B．2024 C． D． 二、填空题 9．当非零实数，满足时，的值为________． 10．计算：___________． 11．若，则的值是______． 12．化简：________. 13．计算：______． 14．张华和李明同时从甲地沿同一线路步行去乙地．张华在前半段路程的平均步行速度是，在后半段路程的平均步行速度是；李明全程的步行速度是．已知甲乙两地的路程为，且，张华从甲地到乙地所用的时间为______；张华和李明先到达乙地的是_______（填“张华”或“李明”或“同时到达”或“不能确定”） 15．若一个四位数，各个数位上的数字均不为零且互不相等，且满足百位上的数字比千位上的数字小1，十位上的数字比个位上的数字小1，则称为“梦幻数”，例如，因为，，所以3245是一个“梦幻数”．对于一个“梦幻数”，规定，若是最小的“梦幻数”，则________；已知、是“梦幻数”，且满足的千位数字为，十位数字为8，的百位数字为6，十位数字是，规定，当为整数且取最大值时，则________． 三、解答题 16．化简： (1)； (2)． 17．先化简，再求值：，其中a是的整数部分． 18．已知分式 ，，方方尝试，当 ，，；当 ，，，当 ，，． (1)继续尝试，当 时， ， ． (2)方方说：当 取不同值时，无法判断 和 的大小；圆圆说：用特殊值法是判断不出来的，我用学过的分式运算，可以得出不论 为何值， 成立．你认为方方和圆圆谁的说法正确？为什么？ 19．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： ……， 按照以上规律，解决下列问题： (1)第5个等式：________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 20．为了鼓励学生加强锻炼，增强体质，实验中学准备购买一些健身器材供学生使用．经调查，某厂家有A，B两种健身器材可供选择，如果购买A种健身器材套需要2万元，如果购买B种健身器材套需要12万元． (1)请用含x的代数式分别表示这两种健身器材的单价； (2)一套A种健身器材和一套B种健身器材一共多少元？ 21．我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 【类比应用】 已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克（a、b是正数，且），试比较小丽和小颖所购买商品价格的高低． 22．某工程队接到24千米的道路施工任务后，列出如下两种施工方案： 方案A 计划12千米按每天施工a千米完成，剩下的12千米按每天施工b千米完成，预计完成施工任务所需的时间为t₁天． 方案B 设完成施工任务所需的时间为t₂天，其中一半时间每天完成施工a千米，另一半时间每天完成施工b千米． 备注 A、B两种方案中的a，b均为正整数，且． (1)按方案A施工需要的天数_______；按方案B施工需要的天数_______；（用含a、b的式子来表示） (2)若要尽快完成施工任务，该工程队应选择上述哪种方案？请说明你的理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $