河南开封高级中学2026届普通高等学校招生全国统一考试冲刺预测(一) 数学试卷

2026年普通高等学校招生全国统一考试·冲刺预测卷（一） 数学 全卷满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上． 2．作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 3. 设等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 27 B. 3 C. 24 D. 48 4. 下列函数中是奇函数，且在区间上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 设向量，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影为 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数 ，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在上的最大值为 D. 不等式的解集为 10. 下列说法错误的是（ ） A. 在做回归分析时，残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 B. 某次分层抽样中，已知一班抽取的6名同学答对题目个数的平均数为1，方差为1；二班抽取的4名同学答对题目个数的平均数为1.5，方差为0.35，则这10人答对题目个数的方差为0.8 C. 将一组数据中的每个数据都乘以3后，方差也变为原来的3倍 D. 样本数据的平均数，则样本数据的平均数为 11. 设是等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. 中最小值为 C. 当取得最大值时， D. 使成立的最大整数n为14 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正实数a，b满足，则的最小值为______． 13. 如图，在几何体中，侧棱，，均垂直于底面，已知，，，则该几何体的体积是______． 14. 已知抛物线的准线为l，P为抛物线C上任意一点，则点P到准线l的距离和点P到直线的距离之和的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 自去年淄博烧烤和今年哈尔滨旅游爆火以来，各地文旅部门各显神通，积极推进本地旅游的推介宣传．某市为了提高居民对当地历史文化、自然风光、特产、美食等的了解，助力旅游产业发展，该市文旅部门举行了民俗、地方历史文化等内容的宣讲，并在该市18岁及18岁以上的市民中随机抽取400名市民进行宣讲内容的线上知识测试，将这400人的得分数据进行汇总，得到如下表所示的统计结果，并规定得分60分及以上为测试合格． 组别 频数 19 78 103 136 64 （1）组织者为参加此次测试的市民制定了如下奖励方案：①测试合格的发放2个随机红包，不合格的发放1个随机红包；②每个随机红包金额为20元，50元，每个测试者每次获得20元红包的概率为，获得50元红包的概率为．若从这400名市民中随机选取1人，记（单位：元）为此人获得的随机红包总金额，求的分布列及数学期望； （2）已知上述抽测中18岁及18岁以上且在60岁以下市民的测试合格率约为，该市所有18岁及18岁以上的市民中60岁以下人员占比为．假如对该市不低于18岁的市民进行上述测试，估计其中60岁及60岁以上市民的测试合格率以及测试合格的市民中60岁以下人数与60岁及60岁以上人数的比值． 16. 如图1所示，四边形为正方形，，为的中点．将沿直线翻折使得平面，如图2所示． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成二面角的余弦值． 17. 已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程，并说明是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交曲线于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交曲线于点. （ⅰ）证明：直线与的斜率之积为定值； （ⅱ）求面积的最大值. 18. 已知，，． （1）若对于恒成立，求实数m的取值范围； （2）证明：对任意，． 19. 在数学领域中，有一个由法国数学家费马提出的有趣概念——“费马点”．费马是在给意大利数学家托里拆利的一封信里提到这个概念的，“费马点”指的是平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点．现在，让我们来看看托里拆利是如何确定这个费马点的，其方法如下： ①当的三个内角均小于120°时，满足的点O为费马点； ②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点． 请用以上知识解决下面的问题： 已知的内角所对的边分别为，点为的费马点，且． （1）求C； （2）若，求的最大值． 2026年普通高等学校招生全国统一考试·冲刺预测卷（一） 数学 全卷满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上． 2．作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】4 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）分布列见详解， （2）0.1；24 【16题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【17题答案】 【答案】（1），为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点； （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）. 【18题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析 【19题答案】 【答案】（1） （2） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $