压轴07 电场与磁场的综合应用（压轴题专练）（北京专用）2026年高考物理终极冲刺讲练测

**基本信息** 聚焦北京高考电场与磁场综合压轴，以八大考向为框架，系统提炼等效建模、分段轨迹、几何分析等方法，构建从场力特性到科技装置应用的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |叠加场建模|1|三力平衡/等效重力|场力合成→运动类型判断→动态轨迹分析| |组合场运动|1|分段动能定理/几何衔接|电场加速/偏转→磁场圆周→多区域速度关联| |交变场运动|1|v-t图像/微元递推|场周期与粒子运动周期匹配→临界轨迹拼接| |轨迹几何分析|1|圆心确定/弦长公式|洛伦兹力提供向心力→几何关系求半径/偏转角| |动量能量综合|1|洛伦兹力不做功/动量守恒|电场力做功→动能定理→粒子碰撞动量关系| |临界极值|1|边界条件/极值推导|刚好穿出/最小磁场→临界轨迹几何约束| |非匀强场/约束场|1|磁聚焦/微元法|辐射场轨迹弯曲→约束场法向切向分解| |科技装置建模|1|装置原理简化|质谱仪/霍尔效应→场分布与运动规律提取|

压轴07 电场与磁场的综合应用 典例·靶向·突破 题型01 叠加场（电场＋磁场＋重力）综合建模 1． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）微粒到达之前在复合场中做匀速直线运动，对微粒进行受力分析如图甲所示： 则根据共点力的平衡规律有 解得电场强度的大小为 （2）由共点力的平衡规律有 由分析可知，当电场方向变化后，微粒所受的重力与电场力平衡，则微粒在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，其运动轨迹如图乙所示： 由几何关系可得微粒做匀速圆周运动的半径为 由洛伦兹力提供微粒做匀速圆周运动的向心力，有 联立解得微粒做匀速圆周运动的线速度大小为 磁感应强度的大小为 （3）微粒在复合场中做匀速直线运动的时间为 微粒做匀速圆周运动的周期为 由于微粒在复合场中做匀速圆周运动转过的圆心角为，故微粒在复合场中做匀速圆周运动的时间为 所以微粒在复合场中运动的总时间为 题型02 组合场（电→磁、磁→电）分段运动 2． 【答案】(1) (2) (3)a. ；b.见解析 【详解】（1）根据题意可知，电场力提供粒子做圆周运动的向心力，则有 解得 （2）由题意可知，所有粒子在磁场中运动的半径相同，若沿左边界向下射入磁场的粒子不能从右边界射出，则所有粒子均不能从右边界射出，临界情况如图所示 由几何关系有 由牛顿第二定律 解得 （3）a.根据题意可知，电子在两极板间运动时有，，， 射出电场时 在磁场中运动的时间 在垂直磁场平面上，做匀速圆周运动， 以上各式联立可得，， 所以位置坐标为 b.电子在磁场中沿方向做匀速运动；垂直方向以的速度做匀速圆周运动，所有电子到达屏幕所用的时间相同，转过的角度也相同，又如图所示 则有 可知为定值，即不同位置出射的电子的圆心在同一条线上，所以所有电子在屏幕上位置在一条直线上，图形如图所示 推导函数表达式为 题型03 交变电场/交变磁场下的粒子运动 3． 【答案】BCD 【详解】A．在t=1s时，空间区域存在匀强磁场，粒子做匀速圆周运动，如图所示；由牛顿第二定律得 qv0B0= 粒子的轨道半径，R=l，则 B0= 带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，竖直方向 l=v0t 水平方向 l=at2 其中 而 E0= 则 故A错误； B．第一个粒子和第二个粒子运动的加速度大小之比 故B正确； C．第一个粒子的运动时间 t1=T= 第二个粒子的运动时间 t2= 第一个粒子和第二个粒子运动的时间之比 t1：t2=π：2 故C正确； D．第二个粒子，由动能定理得 qE0l=Ek2－ Ek2= 第一个粒子的动能Ek1=，第一个粒子和第二个粒子通过C的动能之比为1：5，故D正确。 故选BCD。 题型04 带电粒子轨迹的几何分析（北京压轴核心） 4． 【答案】（1）；（2）；（3）电势差变为；磁感应强度变为 【详解】（1）依题意，粒子在电场中加速，由动能定理可得 解得 （2）粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，轨迹如图 可得 解得 根据 解得 粒子在磁场中做匀速圆周运动的运动时间为 （3）由几何关系可知从金属板MN的入口处到坐标原点的距离为 若要使粒子从坐标原点O点射出，则粒子做匀速圆周运动的轨道半径为 若仅改变磁场的磁感应强度，则只需磁感应强度变为。若仅改变电场的电势差，则只需电势差变为。 题型05 电磁综合中的动量与能量 5． 【答案】（1）正电；（2）；（3） 【详解】（1）根据带电粒子在磁场中的偏转方向，应用左手定则，可判断出粒子带正电； （2）带电粒子在电场中加速，根据动能定理，有 带电粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 所以可得 解得 （3）设时间内有个粒子打在屏上，根据电流的定义式有 由牛顿第三定律，显示屏受力F与粒子受力大小相等，取打在屏上时速度方向为正，根据动量定理，有 ， 解得 题型06 临界与极值问题 6． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）a.根据电流定义式，时间内射出的电子电量，解得 b.根据能量关系，解得 （2）最小时有 根据洛伦兹力提供向心力 根据几何关系，解得 （3）水平方向，竖直方向，根据牛顿第二定律 导线此时在接地线中产生的电流为 整理得，则 根据能量关系，解得 题型07 非匀强场/约束场 7． 【答案】(1)a.，b.简谐振动 (2)， 【详解】（1）a.从原点沿z轴正方向运动，，则带电粒子的电势能 根据能量守恒 可得 b.因，则电场强度 所以 带电粒子沿z轴做简谐运动。 （或者，方向沿z轴负方向，所以） （2）在平面， 则电场强度 （或者，方向沿径向向外） 令 则 考虑到是低频漂移，所以取 粒子沿顺时针漂移（俯视）。 粒子的速度总可以视为漂移速度和另外某个速度的矢量和，带电粒子的运动可视为以漂移速度绕O点的匀速圆周运动和以速度（速度大小设为）在匀强磁场中的匀速回旋运动的合运动，对匀速回旋运动 则 题型08 实际科技装置电磁建模 8． 【答案】(1) (2) (3)， (4) 【详解】（1）从右侧栅极射出时的动能： （2）粒子在筒内垂直于x轴方向匀速圆周运动：， 得 x轴方向上匀加速运动： 一个周期内的速度变化量： 得 （3）单位时间内刚被电离成的氙离子： 微小区间内被电离的氙离子从右侧栅极射出时所产生的推力 即 解得 图线如下图所示： （4）则推进器所受的推力 1． 【答案】(1)，；(2)，；(3)， 【详解】(1)发生衰变的核反应方程为 新核钋（）和粒子的运动轨迹如答图所示 (2)根据牛顿第二定律 解得 粒子做圆周运动的周期 环形电流大小 (3)由题意可得 将 代入得 根据动量守恒定律可知发生衰变生成的粒子和新核钋（）动量大小相等，方向相反，即 根据 故 2． 【答案】(1)a.；b. (2)a.；b.， 【详解】（1）a．粒子在磁场中做匀速圆周运动，设轨道半径为R 解得 b．粒子沿磁场方向做匀速直线运动，垂直于磁场方向做匀速圆周运动，从发射开始经过一个周期再次相遇,投射角很小时有 且有 解得 （2）a．粒子在M处垂直于磁场方向做匀速圆周运动，轨道半径为 粒子在返回处做匀速圆周运动，轨道半径为 且有 解得 b．粒子运动到N点时受到的洛伦兹力大小 设此时洛伦兹力与x轴负向夹角为β，则有 其中为轨道半径，且有 解得 3． 【答案】（1）a.；b.见解析；（2）a.，；b.见解析 【详解】（1）a.氧原子的能量变化大小等于所放出的红色光子的能量，由 解得 b.带电粒子和空气分子碰撞，会通过碰撞将一部分能量传给空气分子，使空气分子从基态跃迁到激发态，空气分子从激发态自发地回到基态的过程中，就会将减少的能量以光子的形式放出，所放出光子的能量等于空气分子激发态与基态间的能极差。 （2）a.带电粒子做匀速圆周运动有 其周期有 在沿轴线方向做匀速直线运动，由 解得 ，b.带电粒子只受到洛伦兹力作用，由于洛伦兹力不做功，因此粒子的总动能不变，由已知粒子从弱磁场区向强磁场区运动时，在与轴线垂直的平面内的速度会变大，即对应的动能变大，则对应的动能就会变小，可以理解为通过洛伦兹力将对应的动能转化为对应的动能。由此可以解释粒子从弱磁场区向强磁场区运动的同时，分速度会减小。 由于上述从功和能的角度证明了分速度会减小，那么可以反推，此过程中粒子一定受到了与相反的洛伦兹力的分力F，当分速度减小到零的时刻，由于磁场和分速度的情况都没有变化，可判断与相反的分力F与前一时刻相同，因此粒子在速度减为零后会反向运动。 4． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】（1）电场强度的定义是放入电场中某点的电荷所受静电力F跟它的电荷量的比值，即 则类比电场强度的定义方式，对匀强磁场中磁感应强度B进行定义，可将很小段的通电导线类比于电场中的电荷，将导线长度与所通入电流的乘积类比与电荷所带电荷量，因此磁感应强度可定义为垂直放入磁场中某位置的通电导线所受磁场力跟通电导线的长度与通入电流乘积的比值，即为 （2）根据磁通量的定义磁感应强度B与面积S（垂直通过磁场线的面积，即有效面积）的乘积，叫做穿过这个平面的磁通量（穿过面积S的磁场线条数），即 若类比磁通量的定义来定义通过球面的电通量，则可定义为电场强度E与球面面积S的乘积，叫做穿过这个球面的电通量，即 （3）设粒子在其轨道任意一点处与磁单极子的连线与竖直方向的夹角为，该粒子的质量为，带电量为，该粒子做圆周运动的轨迹半径为，则由题意可得 两式相比可得 由几何关系可知 可得 由正余弦关系 ， 可得 而由几何关系可知 解得 而 代入解得 5． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意可知质子从右侧射出，临界情况为 根据牛顿第二定律有 解得 （2）根据动能定理 解得 设折射角为，水平方向为x方向，竖直方向为y方向，x方向速度不变，有 联立解得 （3）全反射的临界情况：到达Ⅲ区的时候y方向速度为零，即 解得 即应满足 6． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）粒子在电场中加速，由动能定理有     解得 粒子X进入磁场后做圆周运动，洛伦兹力充当向心力有 解得 可知粒子X在磁场中偏转，位移大小 （2）a.取长度为的粒子束，在这段长度内的粒子数为 则单位长度的个数 b.个带电粒子X速度变化量的大小为 单位时间内，根据动量定理有 可得 根据牛顿第三定律 X对探测装置平均作用力大小为 7． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）作出粒子的轨迹图，由图可知 根据几何关系可知粒子经过磁场偏转飞出磁场时对速度原方向的偏转角的大小为。 （2）a.从a点出发对着b点运动的粒子，若能经过b点，除了受到洛伦兹力的作用外，还必须受到其它力的作用，显然，本题应该考虑重力，即带电粒子从a点出发，在洛伦兹力和重力的共同作用下，才有可能经过b点。 b.若带电粒子所受洛伦兹力恰好等于重力，即：① 则粒子自出发开始，所受合力始终为零，将保持匀速直线运动。带电粒子运动必须经过b点，满足： ② 若带电粒子的初速度不满足①的关系，可以把分解为：③ 其中满足：④ 再把粒子开始出发时所受洛伦兹力写为：⑤ 由此可知，带电粒子的运动可以看成以速度指向b的匀速直线运动和以速度的匀速圆周运动的合运动。为了确保粒子经过b点，两分运动必须满足：直线运动位移S所经历的时间等于圆周运动的周期的N倍（N为正整数），即：，（）⑥ 利用，⑦ 解得：，（）⑧ 应该说明，式②中，或者以上结论都正确。其区别是作为其中一个分运动的圆周运动，时，在a点的上方；时，在a点的下方。最后的结论为：（1）若，（），则粒子以的水平速度必定能经过b点。 （2）若，（），则粒子以任何速度射出，必定能经过b点。 8． 【答案】a. B1的作用是产生感生电场，使电子加速； B2的作用是为电子做圆周运动提供向心力；b. 【详解】a．B1的作用是产生感生电场，使电子加速，B2的作用是为电子做圆周运动提供向心力； b．电子在轨道运动的瞬时速度为v，电子的质量为m，电荷量为e，由牛顿第二定律得 经极短时间 综上得 9． 【答案】情境1：（1）；（2）；情境2：（1）；（2）控制速度选择器两极板的长度，避免长度等于；尽量减小速度选择器两极板间的距离 【详解】情境1： （1）粒子做匀速直线运动，受力平衡 得 （2）带电粒子由静止释放，其初速度可分解为相等的水平向左和水平向右的速度，设为，令 则带电粒子的运动可分解为沿水平方向的匀速直线运动和在竖直平面内的匀速圆周运动。两个运动合成，当速度方向相同时得最大值，有 情境2： （1）离子在速度选择器中做匀速直线运动，有 离子在分离器中做匀速圆周运动，有 且有 解得 根据题意可知的离子均能通过孔进入分离器分别做匀速圆周运动，对应的半径分别设为，有 ， 则感光区域的宽度为 （2）从O点入射的离子速度满足时，相当于粒子其在速度选择器中所做的运动为一个速度为的匀速直线运动和另一个速度为Δv的匀速圆周运动的合运动，即粒子在速度选择器中做螺旋运动。 ①当选择器两极板间的距离极小时，粒子稍有偏转，即会打在极板上无法通过速度选择器。故尽量减小速度选择器两极板间的距离，可提高速度选择器的速度的精度。 ②粒子在分离器中运动时，由于Δv较小，可近似看成粒子在磁场中以做匀速圆周运动，故有 粒子在速度选择器中做匀速圆周运动有 联立解得 设速度选择器极板长度为d，则粒子穿过极板所需时间为 粒子要恰好从速度选择器飞出，则有 联立解得 要提高该速度选择器的速度选择精度，则发生偏转的粒子无法飞出，即控制速度选择器两极板的长度，避免长度等于。综上可得可行方案有： 方案1：尽量减小速度选择器两极板间的距离 方穼2：控制速度选择器两极板的长度，避免长度等于 10． 【答案】（1）；（2），；（3），方向沿半径向外 【详解】（1）设粒子做圆周运动的半径为，洛伦兹力提供向心力，有 得 粒子的最大速度对应最大的运动半径，即 （2）根据动能定理有得 得 设粒子在磁场中的运行周期为，有 不计质子在两盒缝隙间加速运动的时间，则质子在磁场中运动的时间约为 得 （3）洛伦兹力与电场力合力提供向心力，由于速率不变，半径变大，所以向心力减小，则电场力沿半径向外。有 得 场强方向沿半径向外。 11． 【答案】（1） a.，b.；（2） 【详解】（1）a.根据动能定理 解得 b.设带电粒子获得最大速度为，粒子所受洛伦兹力提供向心力 解得 （2）带电粒子在狭缝运动的运动过程列牛顿第二定律 带电粒子的加速度 带电粒子射出之前n次经过狭缝，且经过狭缝的总时间为t，则有 ， 只有在时间内飘入的带电粒子才能每次均被加速，则 解得 即狭缝的间距d最大为。 12． 【答案】（1）；（2）a．；b．见解析 【详解】（1）当半导体两端的霍尔电压稳定时，对于半导体内部电荷来说其所受电场力与洛伦兹力的合力为零，有 半导体内的电流为I，有 设半导体的长为a，宽为b，半导体的通电流方向的横截面积为 其半导体两端的霍尔电压为 整理有 根据霍尔电阻定义有 解得 （2）a．根据题意此时的霍尔电阻为 环境温度为1.5K，磁感应强度为8T，结合题意，带入数据有 因为通过霍尔元件的电流与通过实物电阻的电流相等，霍尔电势差与实物电阻两端的电势差相同，所以实物电阻的电阻等于此时霍尔元件的霍尔电阻，所以有 b．实验时，利用图丙所示电路，把可调实物电阻与量子霍尔电阻串联，用同一个电源供电，以保证通过两个电阻的电流相等。让霍尔元件所处环境温度低于4K，磁感应强度大小为5T，调节a、b两点间的霍尔电势差与c、d两点间的电势差相等，则此时通过量子效应 “传递”出的即为阻值的标准实物电阻。 13． 【答案】（1）；（2）a．见解析； b．模型② 正确，；c． 【详解】（1）“上表面”和“下表面”之间的距离为b，则霍尔电场的电场强度为 （2）a．见下图 b．模型②正确。 设单位体积内电子的数目为n1，单位体积内空穴的数目为n2，由题意可知 当霍尔电场稳定时，在一段时间Δt内，到达上表面的所有电子的总电荷量与空穴的总电荷量必须相等，即 得 c．电子和空穴沿z方向受力为 电子沿z方向受力 空穴沿z方向受力 联立结合（2）b结果可得 14． 【答案】（1）Bav；（2）；（3）， 【详解】（1）由左手定则可判断正离子受到向上的洛伦兹力向上运动，负离子受到向下的洛伦兹力而向下运动，故发电机上导体电极为正极、下导体电极为负极。 由 得电机的电动势 E=Bav （2）外电路闭合后 发电通道内电离气体的等效电阻为 等离子电离气体等效电流受到的安培力为 F=BIa 等离子电离气体水平方向由平衡条件得 联立解得发电通道两端的压强差 （3）当所有进入发电机的等离子全都偏转到导体电极上形成电流时，电流达到最大值 将 代入解得 15． 【答案】（1）Q板；（2）见解析；（3） 【详解】（1）Q板为电源正极。 （2）方法1：外电路断开时，路端电压等于电动势 U=E 当离子所受洛伦兹力与电场力平衡时，离子将不再偏转，电源有稳定电动势 qvB= 联立解得 E=Bdv 方法2：由电动势的定义 ，W非=qvBd 联立解得 E=Bdv 方法3：电路接通时，克服安培力做功的功率等于电流做功的功率 BIdv=IE 解得 E=Bdv （3）电路稳定后，电路中的电流 I= 两极板间的电压为路端电压 U=IR 根据 I=nesv 可知，稳定后离子运动时沿电流方向的分速度v不变。粒子沿电流方向受力平衡，有 联立解得 16． 【答案】(1)R＝ρ；(2)FA＝，力FA的方向与流速v的方向反向；(3)；(4)△P＝ 【详解】(1)根据电阻定律公式，有： (2)由于 FA＝BIa 再利用(1)的结论，可推得： 力FA的方向与流速v的方向反向。 (3)不加磁场时 pab＝kv0 加磁场时 pab﹣FA＝kv 由上面二式，得： 再利用(2)的结论，可推得： (4)由于 ∆P＝P2﹣P1 P1＝pabv0 P2＝p'abv0 故 ∆P＝（p'ab﹣pab）v0pab＝kv0 故 ∆P＝F'Av0 由于 故 17． 【答案】(1)N板电势高；(2)见解析；(3)见解析 【详解】(1) 根据左手定则，正离子向下偏转，所以N板电势高。                                            (2) 带电粒子在洛伦兹力作用下堆积于M、N处，当电荷不再堆积时，电势差达到稳定，此时，洛伦兹力和电场力平衡，设某电荷电量为q，M、N间为匀强电场，有 解得 = kQ 即 式中比例系数与液体性质无关，因此只需用某一种导电液体标定刻度盘，即可用来测定其他导电液体的流量。                                                (3)标记如图所示 选择这些时间段用来测量并显示流量，使导电液体中的正、负电荷一段时间内向一侧堆积，接下来的另一段时间内向另一侧堆积，不会使导电液体与电极间的电场总恒定，从而消除了极化电场的影响。另外，每一个时间段内磁场都是恒定的，仪表显示流量是确定的，能够进行准确测量，但又不是恒定段都选，而是取中间段，避免边缘的变化影响。 18． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）对于氙离子，仅考虑电场的作用，则氙离子在放电室时只受电场力作用，由牛顿第二定律 解得氙离子在放电室内运动的加速度大小 （2）电子在阳极附近在垂直于轴线的平面绕轴线做半径做匀速圆周运动，则轴线方向上所受电场力与径向磁场给的洛伦兹力平衡，沿着轴线方向的匀强磁场给的洛伦兹力提供向心力，即 ， 解得径向磁场的磁感应强度大小为 （3）单位时间内阴极发射的电子总数为n，被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，设单位时间内进入放电室的电子数为，则未进入的电子数为，设单位时间内被电离的氙离子数为,则有 已知氙离子数从放电室右端喷出后与未进入放电室的电子刚好完全中和，则有 联立可得单位时间内被电离的氙离子数为 氙离子经电场加速，有 时间内氙离子所受到的作用力为，由动量定理有 解得 由牛顿第三定律可知，霍尔推进器获得的推力大小 则 19． 【答案】(1) (2) (3)a． b．图像见解析， 【详解】（1）小球恰能在竖直面内做完整的圆周运动，在最高点有 解得小球在最高点的速度 （2）小球与半球面分离时，设小球与球心的连线和竖直方向的夹角为，则小球距离地面的高度 小球从顶点滑下，到分离位置时，下落的高度为，有 小球与半球面分离时，支持力为零，有 联立可得 小球距离地面的高度 （3）a．设第一次下降的最大高度处的速度为，该轨迹在最低点的曲率半径等于该点到轴距离的2倍，有， 又 解得 b．小球运动轨迹如图所示： 由动能定理得 小球做圆周运动，根据牛顿第二定律， 解得最大速率为 20． 【答案】(1)a、,；b、见解析 (2)a、，，；b、， 【详解】（1）a、单摆受力分析 此时刻摆球受到的回复力 b、单摆在小角度摆动时，回复力为 当θ很小时，sinθ≈θ，θ等于θ角对应的弧长与半径的比值，可得 当θ很小时，弧长PO近似等于弦长，即摆球偏离平衡位置的位移x，有 振动系数 k代入简谐运动周期公式 单摆周期公式为 （2）a、图甲中小球第一次到达轨迹最低点的过程有 解得 图乙中小球第一次到达轨迹最低点的过程有 解得 图丙中小球第一次到达轨迹最低点的过程，洛伦兹力不做功，只有重力做功，有 解得 b、图乙中，摆球受到重力G、电场力F电和摆线拉力T，与重力场中的单摆类比，等效的“重力” 则 代入单摆周期公式得 图丙中，摆球受到重力G、洛伦兹力F洛和摆线拉力T，与重力场中的单摆类比，F洛始终沿摆线方向，不产生回复力的效果，单摆周期与重力场中相同，即 21． 【答案】（1）；（2）a．，b．，c． 【详解】（1）电子在洛伦兹力作用下做圆周运动 得 （2）a．设电场力与速度方向夹角为，沿圆周的半径方向，根据牛顿第二定律 　① 沿圆周的切线方向 　② 联立①②两式，可得 b．由a问可知，当 即 时，电子运动的速度最大，电子最终做匀速圆周运动的最大速度 c．设电场力与速度方向夹角为，旋转电场对电子做功的功率 当 即 时，电场对电子做功的功率最大 若 可知 解得 则 22． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【详解】（1）要使粒子脱离太阳引力的束缚至少需满足 解得 （2）设太阳风粒子由太阳向空间各方向均匀射出，在极短时间，内太阳风粒子可视为均匀分布在半径为r、厚度为的球壳内，如图所示 该段时间内太阳因太阳风而损失的质量与该球壳内的粒子质量相同。有 解得 （3）太阳风是从日冕向星际空间不断爆发出来的带电粒子，这些粒子由于日冕高温膨胀向外的热压力超过其引力，从而形成超声速的高能带电粒子流，根据电磁学理论，这些粒子流会产生电磁场，与太阳的磁场相互作用使粒子流远离太阳方向加速运动，粒子流的电磁场之间也会相互作用，在长时间的电磁作用下，太阳风能够达到很高的速度。 23． 【答案】（1）；（2）；（3）上述解法不正确，理由见解析 【详解】（1）从t=0到t=T0时间内小球运动不受细管侧壁的作用力，因而小球所受洛伦兹力提供向心力 变形后得 （2）从t＝T0到t＝1.5T0时间内，细管内一周的感应电动势 因为同一条电场线上各点的电场强度大小相等，故电场强度 得 将带入，得 （3）该解法不正确。理由是：周期公式是根据仅由洛伦兹力提供向心力得出的，而实际情况是洛伦兹力与管道侧壁对小球的作用力共同提供向心力。小球在t＝T0到t＝1.5T0时间内受到切向电场力，有 F＝qE 小球切向加速度 t＝1.5T0时小球速率 v＝v0+a·Δt 得 所需向心力 而此时洛伦兹力 可以看出两者并不相等，故该同学的解法是错误的。此外，可以求出正确的等效电流：在T0~1.5T0时间内在沿切线方向用动量定理 0.5EqT0＝mv－mv0 得 因此等效电流 24． 【答案】（1）；（2）；（3）或；（4） 【详解】（1）粒子匀速运动，受力平衡，根据平衡条件 所以金属板a、b间电压U的大小 （2）仅将匀强磁场的磁感应强度变为原来的2倍，粒子将击中上极板，说明刚开始进入时洛伦兹力方向向上，电场力方向向下，在偏转过程中，洛伦兹力不做功，只有电场力做负功，根据动能定理得 又因为 所以，粒子运动到达上极板时的动能大小 （3）撤去电场后，粒子在洛伦兹力作用下做圆周运动，当粒子恰好贴着右边界飞出时为速度的一个最值，如下图所以 由几何关系 解得 则圆弧的圆心角为60°，由牛顿第二定律 解得 所以速度 当粒子从左边界飞出时，粒子轨迹是半径的半圆，此时有 所以此时的速度 综上可得，粒子要能飞出场区，其速度大小要满足 或 （4）由于，与粒子的速度大小无关，所以圆心角为180°时运动时间最长，最长时间为 6 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴07 电场与磁场的综合应用 命题预测 电场与磁场综合是北京高考物理压轴核心模块，以计算题压轴、选择压轴、实验综合为主要呈现形式，命题聚焦叠加场（电＋磁）、组合场、约束场、带电粒子多过程运动、动量与能量耦合、边界临界、几何轨迹、实际科技装置建模八大方向。近5年北京卷显著强化非匀强场、旋转场、周期性交变场、多粒子关联、微元法、图像法（v‑t、r‑B、Eₖ‑U）、场与动量定理/能量守恒深度结合等高阶情境，强调场的物质性、运动独立性、矢量性、守恒性，突出多对象、多过程、多约束、多几何的综合特征。 预计2026年北京三模与高考仍以叠加场等效建模、组合场分段轨迹、交变场动态调控、临界极值条件、粒子碰撞/偏转/加速/约束、实际科技装置（质谱仪、回旋加速器、霍尔效应、电磁偏转、芯片光刻、电推进）为核心，侧重轨迹几何、动量能量、场的时空变化、信息提取与建模的综合考查，区分度极高，是高分必破专题。 高频考法 1. 叠加场（匀强电场＋匀强磁场＋重力场）：平衡、匀速圆周、一般曲线运动建模 2. 组合场：电场加速＋磁场偏转、电场偏转＋磁场回旋、多区域场依次作用 3. 交变电场/交变磁场：周期性场下粒子往返、加速、偏转、共振与临界 4. 带电粒子轨迹：半径公式、周期公式、几何定圆心/定半径/定弦长 5. 电磁耦合：洛伦兹力、电场力、重力的多力平衡与动力学分析 6. 动量与能量：电场力做功、洛伦兹力不做功、动量定理/动量守恒应用 7. 临界与极值：边界击中、最大偏转角、最小磁场区域、最大速度条件 8. 实际科技情境：质谱仪、速度选择器、回旋加速器、霍尔元件、电磁泵、芯片电子束偏转、霍尔电推进建模 知识·技法·思维 考向01 叠加场（电场＋磁场＋重力）综合建模 1. 核心受力： · 电场力、洛伦兹力、重力三力共存。 2. 运动分类（北京高频）： · 三力平衡：匀速直线运动，（矢量合成）。 · 二力提供向心力：重力与电场力平衡，洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动。 · 一般曲线运动：变加速曲线，用动能定理、动量定理分析，不直接用牛顿定律。 3. 等效思想： · 重力与电场力合成等效重力。 考向02 组合场（电→磁、磁→电）分段运动 1. 电场加速： · 动能定理，求进入磁场速度。 2. 磁场偏转： · 半径，周期，几何轨迹定圆心、偏转角、位移。 3. 电场偏转（类平抛）： · 加速度，偏转角，偏转位移。 4. 多场衔接： · 速度衔接、位置衔接、方向衔接，分段列式、整体几何约束。 考向03 交变电场/交变磁场下的粒子运动 1. 交变电场： · 电压/场强随时间正弦/方波变化，粒子匀加速＋匀减速往返、漂移、共振加速。 2. 交变磁场： · 磁感应强度周期性变化，轨迹半径、圆心周期性改变，出现多圆弧拼接轨迹。 3. 时空关联： · 粒子运动周期与场变化周期整数倍匹配，出现临界击中、最大能量、最大偏转。 4. 分析方法： · 图像法（v‑t、x‑t）、微元法、递推法、多过程求和。 考向04 带电粒子轨迹的几何分析（北京压轴核心） 1. 核心几何： · 圆心确定：垂直速度方向垂线交点、弦中垂线交点。 · 半径关系：弦长公式，偏转角等于圆心角。 2. 边界临界： · 恰好穿出、恰好不穿出、恰好击中边界点、最小磁场区域。 3. 多粒子/多轨迹： · 比荷不同、速度不同、入射方向不同，轨迹簇的包络线、极值轨迹。 考向05 电磁综合中的动量与能量 1. 做功规律： · 洛伦兹力始终不做功，不改变动能；电场力、重力做功改变动能。 2. 动能定理： · ，全程列式避开复杂受力分析。 3. 动量定理： · 电场力、重力冲量改变动量；洛伦兹力冲量存在但不做功。 4. 动量守恒： · 粒子碰撞、粒子与极板/边界作用，满足动量守恒＋能量关系。 考向06 临界与极值问题 1. 速度极值： · 加速最大速度、偏转最大速度、回旋加速器最大能量。 2. 轨迹极值： · 最小磁场面积、最小板长、最大偏转角、最远/最近击中位置。 3. 条件极值： · 刚好不碰板、刚好穿出、刚好做圆周运动。 考向07 非匀强场/约束场 1. 非匀强磁场： · 辐射场、会聚场、发散场，轨迹向强场/弱场弯曲，磁聚焦/磁发散。 2. 约束场： · 导轨、管壁、圆环、球面约束下的电＋磁复合运动，法向＋切向分解。 3. 连续介质/粒子流： · 微元法分析动量、推力、能量，如霍尔电推进、粒子束喷射。 考向08 实际科技装置电磁建模 1. 核心装置： · 速度选择器、质谱仪、回旋加速器、霍尔效应、电磁泵、电子束光刻、电磁偏转、霍尔电推进。 2. 建模原则： · 明确场分布、受力、运动、能量、动量等核心要素，忽略边缘效应与次要因素。 3. 定量规律。 · 速度选择器；霍尔电压；回旋加速器周期与速度无关。 典例·靶向·突破 题型01 叠加场（电场＋磁场＋重力）综合建模 1．（25-26高三·北京·二轮复习）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系，其第一象限内存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的方向水平向右，磁感应强度的方向垂直于纸面向里。一带电荷量为、质量为的微粒从原点出发沿与轴正方向的夹角为的初速度进入复合场中，正好做直线运动，当微粒运动到时，电场方向突然变为竖直向上（不计电场变化的时间），微粒继续运动一段时间后，正好垂直于轴穿出复合场。不计一切阻力，求： (1)电场强度的大小； (2)磁感应强度的大小； (3)微粒在复合场中的运动时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）微粒到达之前在复合场中做匀速直线运动，对微粒进行受力分析如图甲所示： 则根据共点力的平衡规律有 解得电场强度的大小为 （2）由共点力的平衡规律有 由分析可知，当电场方向变化后，微粒所受的重力与电场力平衡，则微粒在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，其运动轨迹如图乙所示： 由几何关系可得微粒做匀速圆周运动的半径为 由洛伦兹力提供微粒做匀速圆周运动的向心力，有 联立解得微粒做匀速圆周运动的线速度大小为 磁感应强度的大小为 （3）微粒在复合场中做匀速直线运动的时间为 微粒做匀速圆周运动的周期为 由于微粒在复合场中做匀速圆周运动转过的圆心角为，故微粒在复合场中做匀速圆周运动的时间为 所以微粒在复合场中运动的总时间为 题型解码 以正交叠加场为载体，融合三力平衡、匀速圆周运动与电场突变后的轨迹分析，突出受力动态变化、等效场建模、多过程时间分解的核心思维，考查矢量合成与临界轨迹把控能力。 题型02 组合场（电→磁、磁→电）分段运动 2．（2025·北京顺义·一模）通过电场和磁场我们可以控制微观带电粒子的运动（不计重力影响）。 (1)控制带电粒子的轨迹 如图1所示，空间中存在方向指向圆心的径向电场，质量为m，电荷量为的粒子，垂直于电场方向射入电场，刚好做半径为R的匀速圆周运动，所经圆弧电场强度大小均为E。求该粒子的速度大小。 (2)约束带电粒子的运动范围 如图2所示，某粒子源通过小孔沿纸面向右侧各方向以速度射出带电粒子，射出的带电粒子进入宽度为H的有界匀强磁场区域，该区域内磁感应强度方向垂直纸面向里，若所有带电粒子均不能从磁场右边界射出。已知带电粒子的质量为m，带电量为q，不考虑粒子间的相互作用，求该匀强磁场磁感应强度的最小值。 (3)控制带电粒子运动位置 如图3所示，一束电子（电子的电荷量为e，质量为m）从水平放置的两极板中心轴线上的位置以水平向右的初速度射入两极板间电压为u的匀强电场，电子能全部通过极板，随后电子进入极板右侧的磁感应强度为方向水平向右的匀强磁场区域（磁场区域足够大），最终打到荧光屏上。当时，电子打在荧光屏上的点，以为坐标原点，沿水平方向和竖直方向建立x轴和y轴。已知两极板长度为L，两板间距离为d，极板右端到荧光屏的水平距离为。 a.当两极板间电压（为一定值），电场强度方向竖直向下时，求电子打在荧光屏上的位置坐标。 b.当两极板间电压（交变电压）时，电子在两极板间发生不同程度的偏转。初速度极大（可以认为电子穿过电场时，两极板间电压不变），随着电子不断打在荧光屏上，在图4中画出电子打在荧光屏上位置连线的大致形状，并简要说明理由。 【答案】(1) (2) (3)a. ；b.见解析 【详解】（1）根据题意可知，电场力提供粒子做圆周运动的向心力，则有 解得 （2）由题意可知，所有粒子在磁场中运动的半径相同，若沿左边界向下射入磁场的粒子不能从右边界射出，则所有粒子均不能从右边界射出，临界情况如图所示 由几何关系有 由牛顿第二定律 解得 （3）a.根据题意可知，电子在两极板间运动时有，，， 射出电场时 在磁场中运动的时间 在垂直磁场平面上，做匀速圆周运动， 以上各式联立可得，， 所以位置坐标为 b.电子在磁场中沿方向做匀速运动；垂直方向以的速度做匀速圆周运动，所有电子到达屏幕所用的时间相同，转过的角度也相同，又如图所示 则有 可知为定值，即不同位置出射的电子的圆心在同一条线上，所以所有电子在屏幕上位置在一条直线上，图形如图所示 推导函数表达式为 题型解码 串联径向电场、有界磁场、交变电场偏转多场景，聚焦电场加速/偏转、磁场圆周、多场衔接，强化几何约束、极值临界、交变场轨迹建模的综合应用。 题型03 交变电场/交变磁场下的粒子运动 3．（21-22高三上·北京·月考）（多选题）如图甲所示，在空间存在一个变化的电场和一个变化的磁场，电场的方向水平向右(图甲中由B到C)，场强大小随时间变化情况如图乙所示；磁感应强度方向垂直于纸面、大小随时间变化情况如图丙所示。在t=1s时，从A点沿AB方向(垂直于BC)以初速度v0射出第一个粒子，并在此之后，每隔2s有一个相同的粒子沿AB方向均以初速度v0射出，并恰好均能击中C点，若AB=BC=l，且粒子由A运动到C的运动时间小于1s。不计重力和空气阻力，对于各粒子由A运动到C的过程中，以下说法正确的是（　　） A．电场强度E0和磁感应强度B0的大小之比为3v0：1 B．第一个粒子和第二个粒子运动的加速度大小之比为1：2 C．第一个粒子和第二个粒子运动的时间之比为π：2 D．第一个粒子和第二个粒子通过C的动能之比为1：5 【答案】BCD 【详解】A．在t=1s时，空间区域存在匀强磁场，粒子做匀速圆周运动，如图所示；由牛顿第二定律得 qv0B0= 粒子的轨道半径，R=l，则 B0= 带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，竖直方向 l=v0t 水平方向 l=at2 其中 而 E0= 则 故A错误； B．第一个粒子和第二个粒子运动的加速度大小之比 故B正确； C．第一个粒子的运动时间 t1=T= 第二个粒子的运动时间 t2= 第一个粒子和第二个粒子运动的时间之比 t1：t2=π：2 故C正确； D．第二个粒子，由动能定理得 qE0l=Ek2－ Ek2= 第一个粒子的动能Ek1=，第一个粒子和第二个粒子通过C的动能之比为1：5，故D正确。 故选BCD。 题型解码 依托变化的电场和磁场，区分磁场圆周、电场类平抛两种运动模式，关联场周期与粒子运动周期匹配、多粒子轨迹差异、动能变化分析，凸显时空关联与多过程对比思维。 题型04 带电粒子轨迹的几何分析（北京压轴核心） 4．（2024·北京顺义·一模）如图所示，两平行金属板MN、PQ之间电势差为U，金属板PQ的右方直角坐标系的第一象限内有一磁感应强度为B的匀强磁场。一带电量为+q、质量为m的粒子，从金属板MN的入口处由静止释放，经电场加速垂直于y轴进入磁场后做匀速圆周运动，恰好从K点射出，速度方向与x轴负方向夹角为60，忽略重力的影响，求： （1）粒子从电场射出时速度的大小v； （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径R和运动时间t； （3）若要使粒子从坐标原点O点射出，可以采取什么措施？ 【答案】（1）；（2）；（3）电势差变为；磁感应强度变为 【详解】（1）依题意，粒子在电场中加速，由动能定理可得 解得 （2）粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，轨迹如图 可得 解得 根据 解得 粒子在磁场中做匀速圆周运动的运动时间为 （3）由几何关系可知从金属板MN的入口处到坐标原点的距离为 若要使粒子从坐标原点O点射出，则粒子做匀速圆周运动的轨道半径为 若仅改变磁场的磁感应强度，则只需磁感应强度变为。若仅改变电场的电势差，则只需电势差变为。 题型解码 聚焦电场加速＋磁场偏转经典模型，以轨迹圆心角、半径几何关系、出射方向约束为核心，考查几何作图、公式推导、条件变式与参数调控的综合解题能力。 题型05 电磁综合中的动量与能量 5．（23-24高三上·北京西城·月考）质谱仪如图所示，初速度为0的带电粒子经加速电压U加速之后进入磁感应强度为B的磁场，最终打到显示屏上某处形成亮斑后被导走。已知带电粒子形成的电流大小为I，显示屏上亮斑在磁场入口左边，距离为d。 （1）判断粒子的电性； （2）计算粒子的比荷的大小； （3）求显示屏受力大小F。 【答案】（1）正电；（2）；（3） 【详解】（1）根据带电粒子在磁场中的偏转方向，应用左手定则，可判断出粒子带正电； （2）带电粒子在电场中加速，根据动能定理，有 带电粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 所以可得 解得 （3）设时间内有个粒子打在屏上，根据电流的定义式有 由牛顿第三定律，显示屏受力F与粒子受力大小相等，取打在屏上时速度方向为正，根据动量定理，有 ， 解得 题型解码 以质谱仪为载体，融合电场加速、磁场偏转、动量定理，贯通动能定理、圆周运动规律、电流微观本质、动量与能量耦合，强化微观粒子群的动量与能量整体分析思维。 题型06 临界与极值问题 6．（2025·北京大兴·三模）如图1所示，真空中有一长直细金属导线，长为，与导线同轴放置一半径为高也为的金属圆柱面，将外壳接地。假设导线沿径向均匀射出速率相同的电子，且单位长度导线单位时间内射出的电子数为。已知电子质量为，电荷量为。不考虑出射电子间的相互作用。 (1)若导线单位时间发射电子的总动能为。求： a.稳定状态下，通过接地线的电流； b.出射电子的初速度大小。 (2)在金属圆柱内空间施加平行于导线向下的匀强磁场，如图2。已知磁感应强度为，若想让电子依旧全部打到圆柱面上，求导线单位时间辐射电子的总动能最小值。 (3)在金属圆柱内空间施加平行于导线向上的匀强电场，如图3。经数据分析发现，通过接地线的电流随着匀强电场强度均匀变化，其图像如图4。若已知该图像的斜率绝对值为，求导线单位时间辐射电子的总动能。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）a.根据电流定义式，时间内射出的电子电量，解得 b.根据能量关系，解得 （2）最小时有 根据洛伦兹力提供向心力 根据几何关系，解得 （3）水平方向，竖直方向，根据牛顿第二定律 导线此时在接地线中产生的电流为 整理得，则 根据能量关系，解得 题型解码 基于电子束在电磁场中的运动，围绕电流定义、能量关系、临界轨迹、图像斜率展开，聚焦极值条件推导、动态图像解读、微元法建模，贴合北京卷临界极值与信息提取考查导向。 题型07 非匀强场/约束场 7．（2025·北京丰台·二模）彭宁阱是一种利用静电场和匀强磁场约束带电粒子的装置，其结构主要包括一个旋转对称的环电极和上下两个端电极。如图1所示，以阱中心为坐标原点，旋转对称轴为z轴，建立三维坐标系。在环电极和端电极间加电压，阱内产生电场，电势分布为，其中且为已知定值，ρ为粒子到轴线的距离，，用于带电粒子的轴向（z轴方向）约束。轴向的匀强磁场提供径向（垂直z轴方向）的约束，磁感应强度为B。彭宁阱的纵剖面（xOz平面）如图2所示，其中实线表示电场线，虚线表示磁感线。一质量为m、电荷量为+q的粒子在阱中运动，忽略重力、阻力、相对论效应和辐射。 (1) 若仅存在电场，且粒子以初速度从原点沿着z轴正方向运动。 a.求粒子能够运动的最远距离； b.分析粒子沿z轴运动时受到的电场力随坐标z的变化，判断粒子沿z轴做什么运动。 (2)若电场与磁场同时存在，仅研究粒子在xOy平面内（z=0）的运动。在磁场与电场的共同作用下，粒子的运动状态较为复杂，我们采用运动分解的方法和适当的近似，来研究粒子的运动。如图3所示，粒子在强磁场中做高频的回旋运动；考虑到电场力的作用，粒子的回旋中心还绕O点做低频漂移圆周运动。粒子的回旋半径远小于漂移半径，故可近似认为粒子在运动过程中电场强度的大小是恒定的。通过以上信息，求带电粒子的漂移角速度和回旋角速度。 【答案】(1)a.，b.简谐振动 (2)， 【详解】（1）a.从原点沿z轴正方向运动，，则带电粒子的电势能 根据能量守恒 可得 b.因，则电场强度 所以 带电粒子沿z轴做简谐运动。 （或者，方向沿z轴负方向，所以） （2）在平面， 则电场强度 （或者，方向沿径向向外） 令 则 考虑到是低频漂移，所以取 粒子沿顺时针漂移（俯视）。 粒子的速度总可以视为漂移速度和另外某个速度的矢量和，带电粒子的运动可视为以漂移速度绕O点的匀速圆周运动和以速度（速度大小设为）在匀强磁场中的匀速回旋运动的合运动，对匀速回旋运动 则 题型解码 以彭宁阱为前沿情境，依托旋转对称非匀强电场与匀强磁场，将电场力与简谐运动、复合场运动分解、回旋与漂移角速度推导相结合，考查高阶建模与复杂运动拆解能力。 题型08 实际科技装置电磁建模 8．（25-26高三下·北京朝阳·开学考试）离子推进技术在太空探索中已有广泛的应用，其装置可简化为如图（a）所示的内、外半径分别为和的圆筒，图（b）为其侧视图。以圆筒左侧圆心为坐标原点，沿圆筒轴线向右为轴正方向建立坐标。在和处，垂直于轴放置栅极，在两圆筒间形成方向沿轴正向、大小为的匀强电场，同时通过电磁铁在两圆筒间加上沿轴正方向、大小为的匀强磁场。待电离的氙原子从左侧栅极飘进两圆筒间（其初速度可视为零）。在内圆筒表面分布着沿径向以一定初速度运动的电子源。氙原子被电子碰撞，可电离为一价正离子，刚被电离的氙离子的速度可视为零，经电场加速后从栅极射出，推进器获得反冲力。已知单位时间内刚被电离成氙离子的线密度（沿轴方向单位长度的离子数），其中为常量，氙离子质量为，电子质量为，电子元电荷量为，不计离子间、电子间相互作用。 (1)在处的一个氙原子被电离，经电场加速后从右侧栅极射出，求其射出时的动能； (2)若电子既没与氙原子碰撞，也没有碰到外筒壁，求电子沿径向圆周运动一个周期内x轴方向上的速度变化量； (3)若在的微小区间内被电离的氙离子从右侧栅极射出时所产生的推力为，求的关系式，并画出的图线； (4)求推进器所受的推力。 【答案】(1) (2) (3)， (4) 【详解】（1）从右侧栅极射出时的动能： （2）粒子在筒内垂直于x轴方向匀速圆周运动：， 得 x轴方向上匀加速运动： 一个周期内的速度变化量： 得 （3）单位时间内刚被电离成的氙离子： 微小区间内被电离的氙离子从右侧栅极射出时所产生的推力 即 解得 图线如下图所示： （4）则推进器所受的推力 题型解码 以离子推进器为科技载体，融合匀强电磁复合场、微元法、动量定理，聚焦粒子加速动能、周期速度变化、推力推导与图像分析，强化实际装置抽象建模、微元求和与规律迁移能力。 1．（19-20高三下·北京西城·阶段练习）如图所示，在垂直纸面向里的磁感应强度大小为B的匀强磁场中，一个静止于P点的放射性元素氡的原子核发生了一次衰变，变为钋（）。放射出的粒子（）和生成的新核钋（）均在与磁场方向垂直的平面内做圆周运动。已知粒子的质量为m，电荷量为q。 (1)写出发生衰变的核反应方程，并定性画出新核钋（）和粒子的运动轨迹； (2)新核钋（）和粒子的圆周运动均可等效成一个环形电流，求粒子做圆周运动的周期T和环形电流大小I； (3)磁矩是描述环形电流特征的物理量，把粒子做圆周运动形成的环形电流与圆环面积的乘积叫做粒子的回旋磁矩，用符号μ表示。设粒子做圆周运动的速率为v，试推导粒子回旋磁矩μ的表达式，并据此比较粒子和新核钋（）做圆周运动的回旋磁矩的大小关系。 【答案】(1)，；(2)，；(3)， 【详解】(1)发生衰变的核反应方程为 新核钋（）和粒子的运动轨迹如答图所示 (2)根据牛顿第二定律 解得 粒子做圆周运动的周期 环形电流大小 (3)由题意可得 将 代入得 根据动量守恒定律可知发生衰变生成的粒子和新核钋（）动量大小相等，方向相反，即 根据 故 2．（24-25高三上·北京朝阳·期末）利用磁场对带电粒子的运动进行控制是一些科学研究的基础。在处理物体的复杂运动问题时，可以在相互垂直的x、y两个方向上分别研究。已知以下情境中带电粒子质是为m，电荷是为q。均不考虑粒子重力影响及粒子间的相互作用。 (1)如图1所示，若从磁感应强度大小为B的匀强磁场中某点A发射一束带电粒子流，其速率均为v。 a.当粒子速度与磁场方向垂直时，求其运动的轨道半径R； b.设粒子速度与磁场方向的夹角为α（投射角），且。若投射角很小（可认为），各带电粒子会再次重新会聚，求相邻两次会聚点的距离L。 (2)科学家设计了一种中间弱两端强的磁场，它由两个平行的圆线图组成，磁场由两侧通有等大同向电流的线圈产生。带电粒子将被约束在左右两端之间来回运动不能逃脱。如图2所示，三维坐标系的原点为磁场的中心点，x轴为磁场的轴线，若某带电粒子从轴上的M点以大小为、方向与磁场方向夹角为（投射角）的速度进入该磁场，粒子运动过程中以x轴为对称轴向右做螺旋线运动并返回。由于磁场沿轴线方向的变化缓慢，则有定值（不考虑相对论情形），其中为粒子运动方向与磁场方向的夹角，r为粒子在该处时垂直磁场方向的圆周半径。 a.设M点的磁感应强度大小为，求粒子返回处磁感应强度大小； b.粒子运动到磁场最右端N点（图中未画出）时与x轴的距离为d，求粒子此时受到洛伦兹力大小和方向（可用三角函数值表示）。 【答案】(1)a.；b. (2)a.；b.， 【详解】（1）a．粒子在磁场中做匀速圆周运动，设轨道半径为R 解得 b．粒子沿磁场方向做匀速直线运动，垂直于磁场方向做匀速圆周运动，从发射开始经过一个周期再次相遇,投射角很小时有 且有 解得 （2）a．粒子在M处垂直于磁场方向做匀速圆周运动，轨道半径为 粒子在返回处做匀速圆周运动，轨道半径为 且有 解得 b．粒子运动到N点时受到的洛伦兹力大小 设此时洛伦兹力与x轴负向夹角为β，则有 其中为轨道半径，且有 解得 3．（2024·北京东城·一模）天文学家范·艾伦发现在地球大气层之外存在着一个辐射带包裹着地球，这一辐射带被命名为“范·艾伦辐射带”，它是由于地球磁场捕获了大量带电粒子而形成，分为内层和外层，如图1所示。由于地球两极附近区域磁场强，其他区域磁场弱，当宇宙射线进入地磁场后会使带电粒子沿磁感线做螺线运动，遇到强磁场区域被反射回来，在地磁两极间来回“弹跳”，被“捕获”在地磁场中。不过还是有一些宇宙射线粒子可以“溜进”地球大气层，它们和空气分子的碰撞产生的辐射就形成了绚丽多彩的极光。大气中最主要的成分是氮和氧，波长557.7nm的绿色和630nm附近的红色极光主要由氧原子发出，波长高于640nm的红色极光由氮气分子发出。（计算时普朗克常量取，真空中光速c取） （1）a.求放出一个波长为630nm的红色光子时，氧原子的能量变化（结果取1位有效数字）； b.请说明带电粒子和空气分子碰撞产生辐射的过程中能量是如何转化的。 （2）图2所示的是质量为m、电荷量为q的带电粒子在具有轴对称性的非均匀磁场中做螺线运动的示意图，若将粒子沿轴线方向的分速度用表示，与之垂直的平面内的分速度用表示。 a.某时刻带电粒子的，，所在处磁感应强度大小为B，如果将粒子从此刻起在垂直平面内做圆周运动的一个周期时间内，所到达区域的磁场按匀强磁场（方向沿轴线）进行估算，求粒子在垂直平面内做圆周运动的半径r和在一个周期时间内沿轴线前进的距离（螺距）d； b.实际上带电粒子的半径和螺距都会不断变化，已知带电粒子在从弱磁场区向强磁场区运动的同时，在垂直平面内的速度会变大，在此已知的基础上请用高中物理的知识解释为什么带电粒子在从弱磁场区向强磁场区螺旋前进时，分速度会减小到零，并继而沿反方向前进。 【答案】（1）a.；b.见解析；（2）a.，；b.见解析 【详解】（1）a.氧原子的能量变化大小等于所放出的红色光子的能量，由 解得 b.带电粒子和空气分子碰撞，会通过碰撞将一部分能量传给空气分子，使空气分子从基态跃迁到激发态，空气分子从激发态自发地回到基态的过程中，就会将减少的能量以光子的形式放出，所放出光子的能量等于空气分子激发态与基态间的能极差。 （2）a.带电粒子做匀速圆周运动有 其周期有 在沿轴线方向做匀速直线运动，由 解得 ，b.带电粒子只受到洛伦兹力作用，由于洛伦兹力不做功，因此粒子的总动能不变，由已知粒子从弱磁场区向强磁场区运动时，在与轴线垂直的平面内的速度会变大，即对应的动能变大，则对应的动能就会变小，可以理解为通过洛伦兹力将对应的动能转化为对应的动能。由此可以解释粒子从弱磁场区向强磁场区运动的同时，分速度会减小。 由于上述从功和能的角度证明了分速度会减小，那么可以反推，此过程中粒子一定受到了与相反的洛伦兹力的分力F，当分速度减小到零的时刻，由于磁场和分速度的情况都没有变化，可判断与相反的分力F与前一时刻相同，因此粒子在速度减为零后会反向运动。 4．（2023·北京门头沟·一模）类比是研究问题常用的方法。 （1）有一段长度为l（l很小）、通过电流为I的导线垂直于匀强磁场时受磁场对它的力为F。请类比电场强度的定义方式，对匀强磁场中磁感应强度B进行定义。 （2）如图1所示，真空存在正点电荷Q，以点电荷为球心作半径为r的球面。请类比磁通量的定义方式，求通过该球面的电通量。（已知静电力常数为k） （3）狄拉克曾预言，自然界应该存在只有一个磁极的磁单极子，其周围磁场呈均匀辐射状分布，距离磁单极子r处的磁感应强度大小为（c为常数）。设空间有一固定的S极磁单极子，磁场分布如图2所示。有一带正电微粒（重力不能忽略）在S极正上方做匀速圆周运动，周期为T，运动轨迹圆心到S极的距离为d，重力加速度为g。求带电微粒所在圆轨道处的磁感应强度B的大小。 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】（1）电场强度的定义是放入电场中某点的电荷所受静电力F跟它的电荷量的比值，即 则类比电场强度的定义方式，对匀强磁场中磁感应强度B进行定义，可将很小段的通电导线类比于电场中的电荷，将导线长度与所通入电流的乘积类比与电荷所带电荷量，因此磁感应强度可定义为垂直放入磁场中某位置的通电导线所受磁场力跟通电导线的长度与通入电流乘积的比值，即为 （2）根据磁通量的定义磁感应强度B与面积S（垂直通过磁场线的面积，即有效面积）的乘积，叫做穿过这个平面的磁通量（穿过面积S的磁场线条数），即 若类比磁通量的定义来定义通过球面的电通量，则可定义为电场强度E与球面面积S的乘积，叫做穿过这个球面的电通量，即 （3）设粒子在其轨道任意一点处与磁单极子的连线与竖直方向的夹角为，该粒子的质量为，带电量为，该粒子做圆周运动的轨迹半径为，则由题意可得 两式相比可得 由几何关系可知 可得 由正余弦关系 ， 可得 而由几何关系可知 解得 而 代入解得 5．（25-26高三下·北京海淀·月考）类似光学中的反射和折射现象，用磁场或电场调控也能实现质子束的“反射”和“折射”。如图所示，在竖直平面内有三个平行区域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ：Ⅰ区宽度为d，存在磁感应强度大小为B、方向垂直平面向外的匀强磁场，Ⅱ区的宽度很小。Ⅰ区和Ⅲ区电势处处相等，分别为和，其电势差。一束质量为m、电荷量大小为e的质子从O点以入射角射向Ⅰ区，在P点以出射角射出，实现“反射”；质子束从P点以入射角射入Ⅱ区，经Ⅱ区“折射”进入Ⅲ区，其出射方向与法线夹角为“折射”角。已知质子仅在平面内运动，初速度为，不计质子重力，不考虑质子间相互作用以及质子对磁场和电势分布的影响。 (1)若使任意角度进入磁场的质子都能实现“反射”，求d的最小值。 (2)若，求“折射率n”（即入射角正弦与折射角正弦的比值）。 (3)计算说明Ⅰ区和Ⅲ区的电势差U满足什么条件时，可以实现质子束从P点进入Ⅱ区后发生“全反射”（即质子束全部返回Ⅰ区）。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意可知质子从右侧射出，临界情况为 根据牛顿第二定律有 解得 （2）根据动能定理 解得 设折射角为，水平方向为x方向，竖直方向为y方向，x方向速度不变，有 联立解得 （3）全反射的临界情况：到达Ⅲ区的时候y方向速度为零，即 解得 即应满足 6．（24-25高三下·北京·月考）如图1所示为太空粒子固定探测装置，整个装置由I、II、III三部分组成，I部分为金属圆筒，半径为；II部分为金属网筒，半径为；III部分为两水平放置的线圈1和线圈2，线圈1和线圈2只在金属网筒内部产生竖直向下的匀强磁场（磁感应强度大小）。在和边上分别有处于同一水平面上的两小孔、，两小孔、与圆面I的圆心在同一水平直线上，两小孔、允许质量为、电荷量的带电粒子X自由通过，现金属圆筒（电势为）和金属网筒（电势为，）之间加上如图2（俯视图）所示的辐向电场。不考虑带电粒子的重力及在运动过程中的相互作用。 (1)如图1所示，现在让带电粒子X从小孔处静止释放，经辐向电场加速后进入磁场，若只考虑带电粒子X在磁场中的第一次运动，求带电粒子X在磁场中的位移大小。 (2)如图2所示，若单位时间内有个带电粒子连续从小孔处静止释放，只考虑粒子第一次经过磁场区域的过程中， a.求带电粒子在磁场中单位长度的粒子个数： b.求粒子束对产生磁场装置的平均作用力大小。（和两问结果均用q、n、、和表示） 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）粒子在电场中加速，由动能定理有     解得 粒子X进入磁场后做圆周运动，洛伦兹力充当向心力有 解得 可知粒子X在磁场中偏转，位移大小 （2）a.取长度为的粒子束，在这段长度内的粒子数为 则单位长度的个数 b.个带电粒子X速度变化量的大小为 单位时间内，根据动量定理有 可得 根据牛顿第三定律 X对探测装置平均作用力大小为 7．（24-25高三上·北京·期末）物理学对电场和磁场的研究，促进了现代科学技术的发展，提高了人们的生活水平，甚至是拯救人类自己的生命。通过带电粒子在磁场中运动的特点，可以利用磁场对带电粒子的运动施加影响。可以设计适当的磁场，就可以控制带电粒子进行诸如磁偏转、磁约束、磁扩散、磁聚焦乃至于磁滞留等多种多样运动，为人类服务。下面就是根据问题情境和任务的需要而设计的几种具体的情境。 (1)情境一：对于特定条件下磁场中的带电粒子的运动的轨迹进行理论探究。 在真空中，半径为的圆形区域内，有一匀强磁场，，方向如图，一个带电粒子（不计重力）从磁场边界上a点射入磁场，初速度，速度方向与aO半径的夹角，已知该粒子的比荷，试求： 粒子经过磁场偏转飞出磁场时对速度原方向的偏转角的大小为______。 (2)情境二：考虑重力的粒子在匀强磁场中的运动，如果要经过特定点，那么对其运动的初始条件要有怎样的要求。 小明同学在物理兴趣小组的研究活动中得知：如图所示，如果粒子在电场和磁场的复合场中做初速为零的运动，可以将其初速看成是向右的与向左两个运动的合运动，其中大小为：，所以粒子可看成是向右匀速直线运动和逆时针的匀速圆周运动的合运动。他还知道：重力场和电场是可以等效的。于是，他就想做个小研究：如果一个考虑重力的粒子在磁场中运动，是否可能发生类似的现象。如图所示，在空间有一足够大的水平匀强磁场B，在磁场区域内一个与磁场垂直的平面上有a、b两点，相距s，a、b连线在水平面上，一质量为m，电量为q的正带电粒子从a点以的初速度对着b点射出，为了使粒子能经过b点，你帮助小明想一想： a.是否可以通过控制粒子的运动条件来达到上述的目的？你只需要根据自己的直觉来回答“可以”还是“不可以”。 b.对上述问题1，小组讨论的初步结论是：可以通过控制粒子入场的速度来达到能够经过b点的目标，请你帮助小明，通过严密的定量推证，来理论探究其可能性。 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）作出粒子的轨迹图，由图可知 根据几何关系可知粒子经过磁场偏转飞出磁场时对速度原方向的偏转角的大小为。 （2）a.从a点出发对着b点运动的粒子，若能经过b点，除了受到洛伦兹力的作用外，还必须受到其它力的作用，显然，本题应该考虑重力，即带电粒子从a点出发，在洛伦兹力和重力的共同作用下，才有可能经过b点。 b.若带电粒子所受洛伦兹力恰好等于重力，即：① 则粒子自出发开始，所受合力始终为零，将保持匀速直线运动。带电粒子运动必须经过b点，满足： ② 若带电粒子的初速度不满足①的关系，可以把分解为：③ 其中满足：④ 再把粒子开始出发时所受洛伦兹力写为：⑤ 由此可知，带电粒子的运动可以看成以速度指向b的匀速直线运动和以速度的匀速圆周运动的合运动。为了确保粒子经过b点，两分运动必须满足：直线运动位移S所经历的时间等于圆周运动的周期的N倍（N为正整数），即：，（）⑥ 利用，⑦ 解得：，（）⑧ 应该说明，式②中，或者以上结论都正确。其区别是作为其中一个分运动的圆周运动，时，在a点的上方；时，在a点的下方。最后的结论为：（1）若，（），则粒子以的水平速度必定能经过b点。 （2）若，（），则粒子以任何速度射出，必定能经过b点。 8．（2021·北京朝阳·二模）静止电荷在其周围空间产生的电场，称为静电场；随时间变化的磁场在其周围空间激发的电场称为感生电场。如图1所示，在纸面内以O为圆心、半径为a的圆形区域内，分布着垂直纸面向里的磁场，磁感应强度B的大小随时间均匀增加，变化率为k。该变化磁场激发感生电场，距圆心r处的电场强度大小分布满足如下关系：。电子感应加速器是利用感生电场使电子加速的设备。一种电子感应加速器的简化模型如图2所示，空间存在垂直纸面向里的磁场，在以O为圆心，半径小于r0的圆形区域内，磁感应强度B1=k1t，在大于等于r0的环形区域内，磁感应强度B2=k2t，其中k1、k2均为正的定值。电子能在环形区域内沿半径等于r0的圆形轨道运动，并不断被加速。 a．分别说明B1、B2的作用； b．推导k1与k2应满足的数量关系。 【答案】a. B1的作用是产生感生电场，使电子加速； B2的作用是为电子做圆周运动提供向心力；b. 【详解】a．B1的作用是产生感生电场，使电子加速，B2的作用是为电子做圆周运动提供向心力； b．电子在轨道运动的瞬时速度为v，电子的质量为m，电荷量为e，由牛顿第二定律得 经极短时间 综上得 9．（2024·北京朝阳·一模）根据牛顿力学经典理论，只要物体的初始条件和受力情况确定，就可以推知物体此后的运动情况。 情境1：如图1所示，空间存在水平方向的匀强磁场（垂直纸面向里），磁感应强度大小为B，在磁场中M点处有一质量为m、电荷量为的带电粒子。已知重力加速度g。 （1）若使带电粒子获得某一水平向右的初速度，恰好做匀速直线运动，求该速度的大小； （2）若在M点静止释放该粒子，其运动将比较复杂。为了研究该粒子的运动，可以应用运动的合成与分解的方法，将它为零的初速度分解为大小相等的水平向左和水平向右的速度。求粒子运动过程中的最大速率。 情境2：质谱仪由离子室、加速电场、速度选择器和分离器四部分组成，如图2所示。已知速度选择器的两极板间的电场强度为E，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里，分离器中磁感应强度大小为，方向垂直纸面向外。某次实验离子室内充有某种带电离子，经加速电场加速后从速度选择器两极板间的中点O平行于极板进入，部分离子通过小孔后进入分离器的偏转磁场中。打在感光区域P点的离子，在速度选择器中沿直线运动，测得P到点的距离为。不计离子的重力及离子间的相互作用，不计小孔O、的孔径大小。 （1）当从O点入射的离子速度满足时，在分离器的感光板上会形成有一定宽度的感光区域。求该感光区域的宽度D； （2）针对情形（1），为了提高该速度选择器的速度选择精度，请你提出可行的方案。 【答案】情境1：（1）；（2）；情境2：（1）；（2）控制速度选择器两极板的长度，避免长度等于；尽量减小速度选择器两极板间的距离 【详解】情境1： （1）粒子做匀速直线运动，受力平衡 得 （2）带电粒子由静止释放，其初速度可分解为相等的水平向左和水平向右的速度，设为，令 则带电粒子的运动可分解为沿水平方向的匀速直线运动和在竖直平面内的匀速圆周运动。两个运动合成，当速度方向相同时得最大值，有 情境2： （1）离子在速度选择器中做匀速直线运动，有 离子在分离器中做匀速圆周运动，有 且有 解得 根据题意可知的离子均能通过孔进入分离器分别做匀速圆周运动，对应的半径分别设为，有 ， 则感光区域的宽度为 （2）从O点入射的离子速度满足时，相当于粒子其在速度选择器中所做的运动为一个速度为的匀速直线运动和另一个速度为Δv的匀速圆周运动的合运动，即粒子在速度选择器中做螺旋运动。 ①当选择器两极板间的距离极小时，粒子稍有偏转，即会打在极板上无法通过速度选择器。故尽量减小速度选择器两极板间的距离，可提高速度选择器的速度的精度。 ②粒子在分离器中运动时，由于Δv较小，可近似看成粒子在磁场中以做匀速圆周运动，故有 粒子在速度选择器中做匀速圆周运动有 联立解得 设速度选择器极板长度为d，则粒子穿过极板所需时间为 粒子要恰好从速度选择器飞出，则有 联立解得 要提高该速度选择器的速度选择精度，则发生偏转的粒子无法飞出，即控制速度选择器两极板的长度，避免长度等于。综上可得可行方案有： 方案1：尽量减小速度选择器两极板间的距离 方穼2：控制速度选择器两极板的长度，避免长度等于 10．（22-23高三上·北京朝阳·期末）回旋加速器在核技术、核医学等领域得到了广泛应用，其原理如图所示。和是两个中空的、半径为R的半圆金属盒，接在电压恒为U的交流电源上，位于圆心处的质子源A能产生质子（初速度可忽略，重力不计，不考虑相对论效应），质子在两盒狭缝间的电场中运动时被加速。、置于与盒面垂直的、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。已知质子的质量为m，带电量为q。 （1）求质子被回旋加速器加速能达到的最大速率。 （2）求质子获得最大速度的过程中在回旋加速器中被加速的次数n；并估算质子在回旋加速器中运动的时间t。（不计质子在电场中的加速时间） （3）利用静电偏转器可将加速后的质子从加速器中引出。已知质子被引出前在磁场中做圆周运动的半径为R、圆心为的圆心，如图所示，静电偏转器由一对圆心在、距离很近的弧形电极、构成，厚度不计。两电极间加有沿弧形电极半径方向的电场，使得质子做圆周运动的半径增加为离开加速器。求偏转电场场强E的大小和方向。 【答案】（1）；（2），；（3），方向沿半径向外 【详解】（1）设粒子做圆周运动的半径为，洛伦兹力提供向心力，有 得 粒子的最大速度对应最大的运动半径，即 （2）根据动能定理有得 得 设粒子在磁场中的运行周期为，有 不计质子在两盒缝隙间加速运动的时间，则质子在磁场中运动的时间约为 得 （3）洛伦兹力与电场力合力提供向心力，由于速率不变，半径变大，所以向心力减小，则电场力沿半径向外。有 得 场强方向沿半径向外。 11．（2022·北京昌平·二模）回旋加速器的工作原理如图甲所示。D形盒的半径为R，匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向与盒面垂直。A处粒子源产生质量为m、电荷量为的带电粒子。加在两盒狭缝间的交变电压随时间t的变化规律如图乙所示，电压的峰值为U，周期。一束粒子在时间内均匀的飘入两盒间狭缝，初速度忽略不计。不计带电粒子所受重力和粒子间的相互作用。 （1）若忽略带电粒子通过两盒间狭缝的时间。求： a.带电粒子经过1次加速后的速度大小； b.带电粒子获得的最大动能。 （2）若带电粒子通过两盒间狭缝的时间不可忽略，且能够射出的粒子每次经过狭缝均做匀加速运动。现要求飘入狭缝的带电粒子中至少有99%可以射出，则狭缝的间距d最大应该为多少？ 【答案】（1） a.，b.；（2） 【详解】（1）a.根据动能定理 解得 b.设带电粒子获得最大速度为，粒子所受洛伦兹力提供向心力 解得 （2）带电粒子在狭缝运动的运动过程列牛顿第二定律 带电粒子的加速度 带电粒子射出之前n次经过狭缝，且经过狭缝的总时间为t，则有 ， 只有在时间内飘入的带电粒子才能每次均被加速，则 解得 即狭缝的间距d最大为。 12．（2023·北京东城·二模）在匀强磁场中放置一个截面为矩形的通电导体或半导体薄片，当磁场方向与电流方向垂直时，在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差，这个现象称为霍尔效应，产生的电势差称为霍尔电势差或霍尔电压。霍尔电压与电流之比称为霍尔电阻。 （1）图甲所示的半导体薄片的厚度为d，薄片中自由电荷的电荷量为q，单位体积内的自由电荷数为n。磁感应强度大小为B。请你推导霍尔电阻的表达式。 （2）在发现霍尔效应约100年后，科学家又发现某些半导体材料的霍尔电阻，在低温和强磁场下，与外加磁场的关系出现一个个的“平台”，在平台处霍尔电阻严格等于一个常数除以正整数，即，其中h为普朗克常数，e为电子电荷量，i为正整数，这个现象被称为整数量子霍尔效应。在环境温度小于4K时，霍尔电阻与外加磁场的磁感应强度B的关系图像如图乙所示。由于量子霍尔电阻只与基本物理常数有关，国际计量委员会推荐在世界范围内用量子电阻标准替代实物电阻标准，以避免实物电阻阻值因环境影响而变化。由于霍尔电阻与实物电阻的定义并不相同，因此需要利用一些方法才可以将量子霍尔电阻标准电阻值“传递”给实物电阻。“传递”的一种方法叫“电位差计比较法”，其原理可简化为图丙所示电路，把可调实物电阻与量子霍尔电阻串联，用同一个电源供电，以保证通过两个电阻的电流相等。通过比较霍尔电势差与实物电阻两端的电势差，即可达到比较霍尔电阻与实物电阻阻值的目的。 a．某次实验时，霍尔元件所处环境温度为1.5K，磁感应强度大小为8T，此时a、b两点间的霍尔电势差与c、d两点间的电势差相等。若，。通过分析，计算该实物电阻的阻值（结果保留两位有效数字）。 b．如果要通过量子霍尔效应“传递”出一个阻值为的标准实物电阻，请你说明操作思路。 【答案】（1）；（2）a．；b．见解析 【详解】（1）当半导体两端的霍尔电压稳定时，对于半导体内部电荷来说其所受电场力与洛伦兹力的合力为零，有 半导体内的电流为I，有 设半导体的长为a，宽为b，半导体的通电流方向的横截面积为 其半导体两端的霍尔电压为 整理有 根据霍尔电阻定义有 解得 （2）a．根据题意此时的霍尔电阻为 环境温度为1.5K，磁感应强度为8T，结合题意，带入数据有 因为通过霍尔元件的电流与通过实物电阻的电流相等，霍尔电势差与实物电阻两端的电势差相同，所以实物电阻的电阻等于此时霍尔元件的霍尔电阻，所以有 b．实验时，利用图丙所示电路，把可调实物电阻与量子霍尔电阻串联，用同一个电源供电，以保证通过两个电阻的电流相等。让霍尔元件所处环境温度低于4K，磁感应强度大小为5T，调节a、b两点间的霍尔电势差与c、d两点间的电势差相等，则此时通过量子效应 “传递”出的即为阻值的标准实物电阻。 13．（22-23高三上·北京海淀·期末）半导体内导电的粒子—“载流子”有两种：电子和空穴（空穴可视为能移动的带正电的粒子），每个载流子所带电量的绝对值均为e。如图1所示，将一块长为a、宽为b、厚为c的长方体半导体样品板静止放置，沿x轴方向施加一匀强电场，使得半导体中产生沿x轴正方向的恒定电流，之后沿y轴正方向施加磁感应强度大小为B的匀强磁场，很快会形成一个沿z轴负方向的稳定电场，称其为霍尔电场。 （1）若样品板中只存在一种载流子，测得与z轴垂直的两个侧面（图1中“上表面”和“下表面”）之间电势差为，求霍尔电场的电场强度大小。 （2）现发现一种新型材料制成的样品板中同时存在电子与空穴两种载流子，单位体积内电子和空穴的数目之比为。电子和空穴在半导体中定向移动时受到材料的作用可以等效为一个阻力，假定所有载流子所受阻力大小正比于其定向移动的速率，且比例系数相同。 a．请在图2（图1的样品板局部侧视图）中分别画出刚刚施加磁场瞬间，电子和空穴所受洛伦兹力的示意图。 b．在霍尔电场稳定后（即图1中“上表面”和“下表面”积累的电荷量不再改变），电子和空穴沿x方向定向移动的速率分别为和。关于电子和空穴沿z轴方向的运动情况，某同学假设了两种模型：模型①：电子和空穴都不沿z轴方向做定向移动；模型②：电子和空穴仍沿z轴方向做定向移动。请依据受力情况和电荷守恒等基本规律，判断该样品中电子和空穴沿z轴方向的运动情况符合哪种模型。若认为模型① 正确，请计算电子受到的霍尔电场的电场力大小；若认为模型② 正确，请计算电子与空穴沿z方向定向移动的速率和之比。 c．在（2）b基础上，求霍尔电场稳定后电场强度大小。 【答案】（1）；（2）a．见解析； b．模型② 正确，；c． 【详解】（1）“上表面”和“下表面”之间的距离为b，则霍尔电场的电场强度为 （2）a．见下图 b．模型②正确。 设单位体积内电子的数目为n1，单位体积内空穴的数目为n2，由题意可知 当霍尔电场稳定时，在一段时间Δt内，到达上表面的所有电子的总电荷量与空穴的总电荷量必须相等，即 得 c．电子和空穴沿z方向受力为 电子沿z方向受力 空穴沿z方向受力 联立结合（2）b结果可得 14．（2022·北京朝阳·模拟预测）如图是磁流体发电工作原理示意图。发电通道是个长方体，其中空部分的长、高、宽分别为l、a、b，前后两个侧面是绝缘体，上下两个侧面是电阻可略的导体电极，这两个电极与负载电阻R相连。发电通道处于匀强磁场里，磁感应强度为B，方向如图。发电通道内有电阻率为ρ的高温等离子电离气体沿导管高速向右流动，正、负离子的电荷量均q，运动的电离气体受到磁场作用，产生了电动势。发电通道两端必须保持一定压强差，使得电离气体以不变的流速v通过发电通道。不计电离气体所受的摩擦阻力。根据提供的信息完成下列问题： （1）判断发电机导体电极的正负极，求发电机的电动势E； （2）发电通道两端的压强差△P； （3）若负载电阻R阻值可以改变，当R减小时，电路中的电流会增大；但当R减小到R0时，电流达到最大值（饱和值）Im；当R继续减小时，电流就不再增大，而保持不变。设变化过程中，发电通道内电离气体的电阻率保持不变，已知单位体积内有n对正负离子。求R0和Im。 【答案】（1）Bav；（2）；（3）， 【详解】（1）由左手定则可判断正离子受到向上的洛伦兹力向上运动，负离子受到向下的洛伦兹力而向下运动，故发电机上导体电极为正极、下导体电极为负极。 由 得电机的电动势 E=Bav （2）外电路闭合后 发电通道内电离气体的等效电阻为 等离子电离气体等效电流受到的安培力为 F=BIa 等离子电离气体水平方向由平衡条件得 联立解得发电通道两端的压强差 （3）当所有进入发电机的等离子全都偏转到导体电极上形成电流时，电流达到最大值 将 代入解得 15．（2021·北京丰台·二模）如图所示是磁流体发电的示意图。平行金属板P、Q 两板相距为d，之间有一个很强的匀强磁场B，将一束等离子体（即高温下电离的气体，含有大量带电量为q的正、负带电离子）沿垂直于B的方向射入磁场， P、Q两板间便产生电压。开关闭合前、后，等离子体在管道进、出口两端压强差的作用下， 均以恒定速率v沿图示方向运动。忽略重力及离子间的相互作用力。 （1）图中P、Q板哪一个是电源的正极； （2）在推导磁流体发电机的电动势时，有多种方法。例如：将发电机内部的等离子体看作长度为d，以速度v切割磁感线的“导体棒”，可得E=Bdv。请你从另外两个角度证明上述结论； （3）开关闭合，电路稳定后，电源的内阻为r，外电路电阻为R，求两板间某运动的带电离子沿电流方向受到的阻力f。 【答案】（1）Q板；（2）见解析；（3） 【详解】（1）Q板为电源正极。 （2）方法1：外电路断开时，路端电压等于电动势 U=E 当离子所受洛伦兹力与电场力平衡时，离子将不再偏转，电源有稳定电动势 qvB= 联立解得 E=Bdv 方法2：由电动势的定义 ，W非=qvBd 联立解得 E=Bdv 方法3：电路接通时，克服安培力做功的功率等于电流做功的功率 BIdv=IE 解得 E=Bdv （3）电路稳定后，电路中的电流 I= 两极板间的电压为路端电压 U=IR 根据 I=nesv 可知，稳定后离子运动时沿电流方向的分速度v不变。粒子沿电流方向受力平衡，有 联立解得 16．（2021高三·北京·专题练习）如图所示，是磁流体动力发电机的工作原理图。 一个水平放置的上下、前后封闭的矩形塑料管，其宽度为a，高度为b，其内充满电阻率为ρ的水银，由涡轮机（未画出）产生的压强差p使得这个流体在不加磁场时具有恒定的流速v0。管道的前后两个侧面上各有长为L的由铜组成的面，实际流体的运动非常复杂，为简化起见作如下假设： a.尽管流体有粘滞性，但整个横截面上的速度均匀。 b.流体的速度总是与作用在其上的合外力成正比。 c.流体不可压缩。 若由铜组成的前后两个侧面外部短路，一个竖直向上的匀强磁场只加在这两个铜面之间的区域，磁感强度为B（如图）。 (1)写出加磁场后，两个铜面之间区域的电阻R的表达式 (2)涡轮机对流体产生的压强差p恒定，加磁场后，最终形成新的稳定速度v，写出流体所受的磁场力F与v关系式，指出F的方向； (3)写出(2)问中加磁场后流体新的稳定速度v的表达式（用v0、p、L、B、ρ表示）； (4)为使速度增加到原来的值v0，必须改变涡轮机对流体产生的压强差，导致涡轮机输出功率的增加，写出功率增加量△P的表达式（用v0、a、b、L、B和ρ表示）。 【答案】(1)R＝ρ；(2)FA＝，力FA的方向与流速v的方向反向；(3)；(4)△P＝ 【详解】(1)根据电阻定律公式，有： (2)由于 FA＝BIa 再利用(1)的结论，可推得： 力FA的方向与流速v的方向反向。 (3)不加磁场时 pab＝kv0 加磁场时 pab﹣FA＝kv 由上面二式，得： 再利用(2)的结论，可推得： (4)由于 ∆P＝P2﹣P1 P1＝pabv0 P2＝p'abv0 故 ∆P＝（p'ab﹣pab）v0pab＝kv0 故 ∆P＝F'Av0 由于 故 17．（21-22高三上·北京·期末）工业上常用电磁流量计来测量高黏度及强腐蚀性流体的流量Q（单位时间内流过管道横截面的液体体积）。它的优点是测量范围宽、反应快、易与其他自动控制装置配套。 如图1是电磁流量计的示意图。圆形管道由非磁性材料制成，空间有匀强磁场。当管道中的导电液体流过磁场区域时，用仪表测量出放置在管道壁上的M、N两个电极间的电势差，就可以知道管道中液体的流量Q。已知电极M、N间的距离等于管道的直径d，磁感应强度为B。假定管道中各处液体的流速相同，且液体始终充满整个管道。 (1)当液体流动方向如图1所示时，判断M、N哪个电极电势高； (2)推导证明电极M、N间的电势差U与流量Q有正比关系，即；并说明：用某一种导电液体标定仪表刻度盘，也适用于其他导电液体； (3)理想情况下，在磁场恒定不变时电压的测量是稳定的，但导电液体在稳恒磁场长时间的作用下，液体中离子与电极接触的表面处会形成极化电场，干扰电压的测量。某一电磁流量计实际使用的磁场，其磁感应强度B与时间t的关系如图2中虚线所示，仪表只在每一个周期的特定时间段内测量M、N间的电势差，用于显示液体流量，请在图2中用实线在图线上标出这些时间段，并简要说明选定时间段的依据。 【答案】(1)N板电势高；(2)见解析；(3)见解析 【详解】(1) 根据左手定则，正离子向下偏转，所以N板电势高。                                            (2) 带电粒子在洛伦兹力作用下堆积于M、N处，当电荷不再堆积时，电势差达到稳定，此时，洛伦兹力和电场力平衡，设某电荷电量为q，M、N间为匀强电场，有 解得 = kQ 即 式中比例系数与液体性质无关，因此只需用某一种导电液体标定刻度盘，即可用来测定其他导电液体的流量。                                                (3)标记如图所示 选择这些时间段用来测量并显示流量，使导电液体中的正、负电荷一段时间内向一侧堆积，接下来的另一段时间内向另一侧堆积，不会使导电液体与电极间的电场总恒定，从而消除了极化电场的影响。另外，每一个时间段内磁场都是恒定的，仪表显示流量是确定的，能够进行准确测量，但又不是恒定段都选，而是取中间段，避免边缘的变化影响。 18．（2024·北京·高考真题）我国“天宫”空间站采用霍尔推进器控制姿态和修正轨道。图为某种霍尔推进器的放电室（两个半径接近的同轴圆筒间的区域）的示意图。放电室的左、右两端分别为阳极和阴极，间距为d。阴极发射电子，一部分电子进入放电室，另一部分未进入。稳定运行时，可视为放电室内有方向沿轴向向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度和磁感应强度大小分别为E和；还有方向沿半径向外的径向磁场，大小处处相等。放电室内的大量电子可视为处于阳极附近，在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为R的匀速圆周运动（如截面图所示），可与左端注入的氙原子碰撞并使其电离。每个氙离子的质量为M、电荷量为，初速度近似为零。氙离子经过电场加速，最终从放电室右端喷出，与阴极发射的未进入放电室的电子刚好完全中和。 已知电子的质量为m、电荷量为；对于氙离子，仅考虑电场的作用。 （1）求氙离子在放电室内运动的加速度大小a； （2）求径向磁场的磁感应强度大小； （3）设被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，单位时间内阴极发射的电子总数为n，求此霍尔推进器获得的推力大小F。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）对于氙离子，仅考虑电场的作用，则氙离子在放电室时只受电场力作用，由牛顿第二定律 解得氙离子在放电室内运动的加速度大小 （2）电子在阳极附近在垂直于轴线的平面绕轴线做半径做匀速圆周运动，则轴线方向上所受电场力与径向磁场给的洛伦兹力平衡，沿着轴线方向的匀强磁场给的洛伦兹力提供向心力，即 ， 解得径向磁场的磁感应强度大小为 （3）单位时间内阴极发射的电子总数为n，被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，设单位时间内进入放电室的电子数为，则未进入的电子数为，设单位时间内被电离的氙离子数为,则有 已知氙离子数从放电室右端喷出后与未进入放电室的电子刚好完全中和，则有 联立可得单位时间内被电离的氙离子数为 氙离子经电场加速，有 时间内氙离子所受到的作用力为，由动量定理有 解得 由牛顿第三定律可知，霍尔推进器获得的推力大小 则 19．（2026·北京通州·一模）物体做曲线运动的情况比较复杂，一般的曲线运动可以分成很多很短的小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图1所示，曲线上点的曲率圆定义为：通过点和曲线上紧邻点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做点的曲率圆，其半径叫做点的曲率半径。在分析物体经过曲线上某位置的运动时，就可以按其等效的圆周运动来分析和处理。已知重力加速度为。 (1)如图2所示，一根长为的不可伸长轻绳，其一端固定于点，另一端系着一质量为的小球。已知小球恰能在竖直面内做完整的圆周运动。求小球在最高点的速度的大小； (2)如图3所示，一半径为的半球固定于水平地面上，有一小球从半球顶点由静止开始滑下，忽略一切阻力。求小球与半球面分离时，小球距离地面的高度的大小； (3)如图4所示，以水平向右为轴正方向，竖直向下为轴正方向，空间存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。一质量为、电荷量为的小球从点静止释放后，其运动轨迹如图中虚线所示。已知该轨迹在最低点的曲率半径等于该点到轴距离的2倍。 a．求小球在运动过程中第一次下降的最大高度； b．在上述磁场中再加一个竖直向上的匀强电场，电场强度大小为，且。请在图5中定性画出该小球从点静止释放后运动的轨迹示意图，并求出运动过程中所能达到的最大速率。 【答案】(1) (2) (3)a． b．图像见解析， 【详解】（1）小球恰能在竖直面内做完整的圆周运动，在最高点有 解得小球在最高点的速度 （2）小球与半球面分离时，设小球与球心的连线和竖直方向的夹角为，则小球距离地面的高度 小球从顶点滑下，到分离位置时，下落的高度为，有 小球与半球面分离时，支持力为零，有 联立可得 小球距离地面的高度 （3）a．设第一次下降的最大高度处的速度为，该轨迹在最低点的曲率半径等于该点到轴距离的2倍，有， 又 解得 b．小球运动轨迹如图所示： 由动能定理得 小球做圆周运动，根据牛顿第二定律， 解得最大速率为 20．（24-25高三上·北京·阶段练习）简谐运动具有如下特点： ①简谐运动的物体受到回复力的作用，回复力的大小与物体偏离平衡位置的位移x成正比，回复力的方向与物体偏离平衡位置的位移方向相反，即：，其中k为振动系数，其值由振动系统决定； ②简谐运动是一种周期性运动，其周期与振动物体的质量的平方根成正比，与振动系统的振动系数的平方根成反比，而与振幅无关，即：。 (1)如图甲，摆长为L、摆球质量为m的单摆在AB间做小角度的自由摆动，当地重力加速度为g。 a、当摆球运动到P点时，摆角为θ，画出摆球受力的示意图，并写出此时刻摆球受到的回复力大小； b、请结合简谐运动的特点，证明单摆在小角度摆动时周期为 （提示：用弧度制表示角度，当角θ很小时，sinθ≈θ，θ角对应的弧长与它所对的弦长也近似相等） (2)类比法、等效法等都是研究和学习物理过程中常用的重要方法。长为L的轻质绝缘细线下端系着一个带电量为+q，质量为m的小球。将该装置处于场强大小为E的竖直向下的匀强电场中，如图乙所示；将该装置处于磁感应强度大小为B的垂直于纸面向里的匀强磁场中，如图丙所示。将小球从偏离竖直方向左侧的一个小角度θ处由静止释放，三种情况下，小球均在竖直平面内做小角度的简谐运动。（重力加速度g） a、请分析求出甲、乙、丙三个图中小球第一次到达轨迹最低点时的速度大小v甲、v乙、v丙； b、请分析求出带电小球在乙、丙两图中振动的周期T乙、T丙。 【答案】(1)a、,；b、见解析 (2)a、，，；b、， 【详解】（1）a、单摆受力分析 此时刻摆球受到的回复力 b、单摆在小角度摆动时，回复力为 当θ很小时，sinθ≈θ，θ等于θ角对应的弧长与半径的比值，可得 当θ很小时，弧长PO近似等于弦长，即摆球偏离平衡位置的位移x，有 振动系数 k代入简谐运动周期公式 单摆周期公式为 （2）a、图甲中小球第一次到达轨迹最低点的过程有 解得 图乙中小球第一次到达轨迹最低点的过程有 解得 图丙中小球第一次到达轨迹最低点的过程，洛伦兹力不做功，只有重力做功，有 解得 b、图乙中，摆球受到重力G、电场力F电和摆线拉力T，与重力场中的单摆类比，等效的“重力” 则 代入单摆周期公式得 图丙中，摆球受到重力G、洛伦兹力F洛和摆线拉力T，与重力场中的单摆类比，F洛始终沿摆线方向，不产生回复力的效果，单摆周期与重力场中相同，即 21．（2024·北京西城·二模）在半导体芯片加工中常用等离子体对材料进行蚀刻，用于形成半导体芯片上的细微结构。利用电磁场使质量为m、电荷量为e的电子发生回旋共振是获取高浓度等离子体的一种有效方式。其简化原理如下：如图1所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B；旋转电场的方向绕过O点的垂直纸面的轴顺时针旋转，电场强度的大小为E；旋转电场带动电子加速运动，使其获得较高的能量，利用高能的电子使空间中的中性气体电离，生成等离子体。 （提示：不涉及求解半径的问题，圆周运动向心加速度的大小可表示为） （1）若空间只存在匀强磁场，电子只在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，求电子做圆周运动的角速度。 （2）将电子回旋共振简化为二维运动进行研究。施加旋转电场后，电子在图2所示的平面内运动，电子运动的过程中会受到气体的阻力，其方向与速度的方向相反，大小，式中k为已知常量。最终电子会以与旋转电场相同的角速度做匀速圆周运动，且电子的线速度与旋转电场力的夹角（小于90°）保持不变。只考虑电子受到的匀强磁场的洛伦兹力、旋转电场的电场力及气体的阻力作用，不考虑电磁波引起的能量变化。 a．若电场旋转的角速度为，求电子最终做匀速圆周运动的线速度大小v； b．电场旋转的角速度不同，电子最终做匀速圆周运动的线速度大小也不同。求电场旋转的角速度多大时，电子最终做匀速圆周运动的线速度最大，并求最大线速度的大小。 c．旋转电场对电子做功的功率存在最大值，为使电场力的功率不小于最大功率的一半，电场旋转的角速度应控制在范围内，求的数值。 【答案】（1）；（2）a．，b．，c． 【详解】（1）电子在洛伦兹力作用下做圆周运动 得 （2）a．设电场力与速度方向夹角为，沿圆周的半径方向，根据牛顿第二定律 　① 沿圆周的切线方向 　② 联立①②两式，可得 b．由a问可知，当 即 时，电子运动的速度最大，电子最终做匀速圆周运动的最大速度 c．设电场力与速度方向夹角为，旋转电场对电子做功的功率 当 即 时，电场对电子做功的功率最大 若 可知 解得 则 22．（2024·北京朝阳·一模）日冕持续不断地向外膨胀从而形成由太阳径向向外的等离子体流，通常被称为“太阳风”。太阳风虽然与地球上的空气不同，不是由气体的分子组成，而是由质子和电子等粒子组成，但它们流动时所产生的效应与空气流动很相似，所以称它为太阳风。太阳风的密度与地球上风密度相比是非常稀薄而微不足道的。然而太阳风虽十分稀薄，但它刮起来的猛烈程度远远胜过地球上的风。已知太阳的质量为，半径为，万有引力恒量为G。若中心天体的质量为M，质量为m的物体距中心天体r时具有的引力势能为 （以无穷远处势能为0）。 （1）一种观点认为，太阳风是日冕“粒子气”高温膨胀向外的热压力超过其引力，从而形成超声速太阳风的。类比理想气体分子运动特征可知，粒子的温度与其平均动能成正比，即：，k为玻尔兹曼常数，已知粒子质量为m，假设这种观点成立，则日冕外层2Rs处的温度至少多大才能脱离太阳引力场的束缚而逸出。 （2）太阳风会造成太阳质量的损失，假设地球附近观测到单位体积内太阳风质子—电子对的数目为n，每个质子—电子对的质量为m0，假设地球周边所观测的太阳风的平均速率为v，已知太阳到地球的距离为r，请由此推算太阳在单位时间因为太阳风而损失的质量。 （3）太阳风粒子流在日冕附近速率大约不到20km/s，当其到达地球附近时，速率可达800km/s以上，表明太阳风在加速远离太阳，请根据所学知识简要分析其加速的原因。 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【详解】（1）要使粒子脱离太阳引力的束缚至少需满足 解得 （2）设太阳风粒子由太阳向空间各方向均匀射出，在极短时间，内太阳风粒子可视为均匀分布在半径为r、厚度为的球壳内，如图所示 该段时间内太阳因太阳风而损失的质量与该球壳内的粒子质量相同。有 解得 （3）太阳风是从日冕向星际空间不断爆发出来的带电粒子，这些粒子由于日冕高温膨胀向外的热压力超过其引力，从而形成超声速的高能带电粒子流，根据电磁学理论，这些粒子流会产生电磁场，与太阳的磁场相互作用使粒子流远离太阳方向加速运动，粒子流的电磁场之间也会相互作用，在长时间的电磁作用下，太阳风能够达到很高的速度。 23．（2023·北京海淀·模拟预测）如图1所示，电子感应加速器是利用变化磁场产生的电场来加速带电粒子的装置。在两个圆形电磁铁之间的圆柱形区域内存在方向竖直向下的匀强磁场，在此区域内，环形玻璃管中心O在磁场区域中心。一质量为m、带电量为q（q>0）的小球（从上向下看）做圆周运动，图2为其简化示意图。通过改变电磁铁中的电流可以改变磁场的磁感应强度B，图中。设小球在运动过程中电量保持不变，对原磁场的影响可忽略。 （1）在t=0到t=T0时间内，小球不受玻璃管侧壁的作用力，求小球的速度大小v0； （2）在磁感应强度增大的过程中，将产生涡旋电场，其电场线是在水平面内一系列沿逆时针方向的同心圆，同一条电场线上各点的场强大小相等。求从t＝T0到t=1.5T0时间段内细管内涡旋电场的场强大小E； （3）某同学利用以下规律求出了t=2T0时电荷定向运动形成的等效电流：根据 ① ② 得：等效电流 ③ 你认为上述解法是否正确，并阐述理由。 【答案】（1）；（2）；（3）上述解法不正确，理由见解析 【详解】（1）从t=0到t=T0时间内小球运动不受细管侧壁的作用力，因而小球所受洛伦兹力提供向心力 变形后得 （2）从t＝T0到t＝1.5T0时间内，细管内一周的感应电动势 因为同一条电场线上各点的电场强度大小相等，故电场强度 得 将带入，得 （3）该解法不正确。理由是：周期公式是根据仅由洛伦兹力提供向心力得出的，而实际情况是洛伦兹力与管道侧壁对小球的作用力共同提供向心力。小球在t＝T0到t＝1.5T0时间内受到切向电场力，有 F＝qE 小球切向加速度 t＝1.5T0时小球速率 v＝v0+a·Δt 得 所需向心力 而此时洛伦兹力 可以看出两者并不相等，故该同学的解法是错误的。此外，可以求出正确的等效电流：在T0~1.5T0时间内在沿切线方向用动量定理 0.5EqT0＝mv－mv0 得 因此等效电流 24．（21-22高三上·北京·阶段练习）如图所示，水平放置的两块带电金属板a、b平行正对。极板长度为l，板间距也为l，板间存在着方向竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里磁感强度为B的匀强磁场。假设电场、磁场只存在于两板间的空间区域.一质量为m的带电荷量为q的粒子（不计重力及空气阻力），以水平速度从两极板的左端中间射入场区，恰好做匀速直线运动。求: （1）金属板a、b间电压U的大小； （2）若仅将匀强磁场的磁感应强度变为原来的2倍，粒子将击中上极板，求粒子运动到达上极板时的动能大小； （3）若撤去电场，粒子能飞出场区，求m、．q、B、l满足的关系； （4）若满足（3）中条件，粒子在场区运动的最长时间。 【答案】（1）；（2）；（3）或；（4） 【详解】（1）粒子匀速运动，受力平衡，根据平衡条件 所以金属板a、b间电压U的大小 （2）仅将匀强磁场的磁感应强度变为原来的2倍，粒子将击中上极板，说明刚开始进入时洛伦兹力方向向上，电场力方向向下，在偏转过程中，洛伦兹力不做功，只有电场力做负功，根据动能定理得 又因为 所以，粒子运动到达上极板时的动能大小 （3）撤去电场后，粒子在洛伦兹力作用下做圆周运动，当粒子恰好贴着右边界飞出时为速度的一个最值，如下图所以 由几何关系 解得 则圆弧的圆心角为60°，由牛顿第二定律 解得 所以速度 当粒子从左边界飞出时，粒子轨迹是半径的半圆，此时有 所以此时的速度 综上可得，粒子要能飞出场区，其速度大小要满足 或 （4）由于，与粒子的速度大小无关，所以圆心角为180°时运动时间最长，最长时间为 1 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴07 电场与磁场的综合应用 命题预测 电场与磁场综合是北京高考物理压轴核心模块，以计算题压轴、选择压轴、实验综合为主要呈现形式，命题聚焦叠加场（电＋磁）、组合场、约束场、带电粒子多过程运动、动量与能量耦合、边界临界、几何轨迹、实际科技装置建模八大方向。近5年北京卷显著强化非匀强场、旋转场、周期性交变场、多粒子关联、微元法、图像法（v‑t、r‑B、Eₖ‑U）、场与动量定理/能量守恒深度结合等高阶情境，强调场的物质性、运动独立性、矢量性、守恒性，突出多对象、多过程、多约束、多几何的综合特征。 预计2026年北京三模与高考仍以叠加场等效建模、组合场分段轨迹、交变场动态调控、临界极值条件、粒子碰撞/偏转/加速/约束、实际科技装置（质谱仪、回旋加速器、霍尔效应、电磁偏转、芯片光刻、电推进）为核心，侧重轨迹几何、动量能量、场的时空变化、信息提取与建模的综合考查，区分度极高，是高分必破专题。 高频考法 1. 叠加场（匀强电场＋匀强磁场＋重力场）：平衡、匀速圆周、一般曲线运动建模 2. 组合场：电场加速＋磁场偏转、电场偏转＋磁场回旋、多区域场依次作用 3. 交变电场/交变磁场：周期性场下粒子往返、加速、偏转、共振与临界 4. 带电粒子轨迹：半径公式、周期公式、几何定圆心/定半径/定弦长 5. 电磁耦合：洛伦兹力、电场力、重力的多力平衡与动力学分析 6. 动量与能量：电场力做功、洛伦兹力不做功、动量定理/动量守恒应用 7. 临界与极值：边界击中、最大偏转角、最小磁场区域、最大速度条件 8. 实际科技情境：质谱仪、速度选择器、回旋加速器、霍尔元件、电磁泵、芯片电子束偏转、霍尔电推进建模 知识·技法·思维 考向01 叠加场（电场＋磁场＋重力）综合建模 1. 核心受力： · 电场力、洛伦兹力、重力三力共存。 2. 运动分类（北京高频）： · 三力平衡：匀速直线运动，（矢量合成）。 · 二力提供向心力：重力与电场力平衡，洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动。 · 一般曲线运动：变加速曲线，用动能定理、动量定理分析，不直接用牛顿定律。 3. 等效思想： · 重力与电场力合成等效重力。 考向02 组合场（电→磁、磁→电）分段运动 1. 电场加速： · 动能定理，求进入磁场速度。 2. 磁场偏转： · 半径，周期，几何轨迹定圆心、偏转角、位移。 3. 电场偏转（类平抛）： · 加速度，偏转角，偏转位移。 4. 多场衔接： · 速度衔接、位置衔接、方向衔接，分段列式、整体几何约束。 考向03 交变电场/交变磁场下的粒子运动 1. 交变电场： · 电压/场强随时间正弦/方波变化，粒子匀加速＋匀减速往返、漂移、共振加速。 2. 交变磁场： · 磁感应强度周期性变化，轨迹半径、圆心周期性改变，出现多圆弧拼接轨迹。 3. 时空关联： · 粒子运动周期与场变化周期整数倍匹配，出现临界击中、最大能量、最大偏转。 4. 分析方法： · 图像法（v‑t、x‑t）、微元法、递推法、多过程求和。 考向04 带电粒子轨迹的几何分析（北京压轴核心） 1. 核心几何： · 圆心确定：垂直速度方向垂线交点、弦中垂线交点。 · 半径关系：弦长公式，偏转角等于圆心角。 2. 边界临界： · 恰好穿出、恰好不穿出、恰好击中边界点、最小磁场区域。 3. 多粒子/多轨迹： · 比荷不同、速度不同、入射方向不同，轨迹簇的包络线、极值轨迹。 考向05 电磁综合中的动量与能量 1. 做功规律： · 洛伦兹力始终不做功，不改变动能；电场力、重力做功改变动能。 2. 动能定理： · ，全程列式避开复杂受力分析。 3. 动量定理： · 电场力、重力冲量改变动量；洛伦兹力冲量存在但不做功。 4. 动量守恒： · 粒子碰撞、粒子与极板/边界作用，满足动量守恒＋能量关系。 考向06 临界与极值问题 1. 速度极值： · 加速最大速度、偏转最大速度、回旋加速器最大能量。 2. 轨迹极值： · 最小磁场面积、最小板长、最大偏转角、最远/最近击中位置。 3. 条件极值： · 刚好不碰板、刚好穿出、刚好做圆周运动。 考向07 非匀强场/约束场 1. 非匀强磁场： · 辐射场、会聚场、发散场，轨迹向强场/弱场弯曲，磁聚焦/磁发散。 2. 约束场： · 导轨、管壁、圆环、球面约束下的电＋磁复合运动，法向＋切向分解。 3. 连续介质/粒子流： · 微元法分析动量、推力、能量，如霍尔电推进、粒子束喷射。 考向08 实际科技装置电磁建模 1. 核心装置： · 速度选择器、质谱仪、回旋加速器、霍尔效应、电磁泵、电子束光刻、电磁偏转、霍尔电推进。 2. 建模原则： · 明确场分布、受力、运动、能量、动量等核心要素，忽略边缘效应与次要因素。 3. 定量规律。 · 速度选择器；霍尔电压；回旋加速器周期与速度无关。 典例·靶向·突破 题型01 叠加场（电场＋磁场＋重力）综合建模 1．（25-26高三·北京·二轮复习）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系，其第一象限内存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的方向水平向右，磁感应强度的方向垂直于纸面向里。一带电荷量为、质量为的微粒从原点出发沿与轴正方向的夹角为的初速度进入复合场中，正好做直线运动，当微粒运动到时，电场方向突然变为竖直向上（不计电场变化的时间），微粒继续运动一段时间后，正好垂直于轴穿出复合场。不计一切阻力，求： (1)电场强度的大小； (2)磁感应强度的大小； (3)微粒在复合场中的运动时间。 题型解码 以正交叠加场为载体，融合三力平衡、匀速圆周运动与电场突变后的轨迹分析，突出受力动态变化、等效场建模、多过程时间分解的核心思维，考查矢量合成与临界轨迹把控能力。 题型02 组合场（电→磁、磁→电）分段运动 2．（2025·北京顺义·一模）通过电场和磁场我们可以控制微观带电粒子的运动（不计重力影响）。 (1)控制带电粒子的轨迹 如图1所示，空间中存在方向指向圆心的径向电场，质量为m，电荷量为的粒子，垂直于电场方向射入电场，刚好做半径为R的匀速圆周运动，所经圆弧电场强度大小均为E。求该粒子的速度大小。 (2)约束带电粒子的运动范围 如图2所示，某粒子源通过小孔沿纸面向右侧各方向以速度射出带电粒子，射出的带电粒子进入宽度为H的有界匀强磁场区域，该区域内磁感应强度方向垂直纸面向里，若所有带电粒子均不能从磁场右边界射出。已知带电粒子的质量为m，带电量为q，不考虑粒子间的相互作用，求该匀强磁场磁感应强度的最小值。 (3)控制带电粒子运动位置 如图3所示，一束电子（电子的电荷量为e，质量为m）从水平放置的两极板中心轴线上的位置以水平向右的初速度射入两极板间电压为u的匀强电场，电子能全部通过极板，随后电子进入极板右侧的磁感应强度为方向水平向右的匀强磁场区域（磁场区域足够大），最终打到荧光屏上。当时，电子打在荧光屏上的点，以为坐标原点，沿水平方向和竖直方向建立x轴和y轴。已知两极板长度为L，两板间距离为d，极板右端到荧光屏的水平距离为。 a.当两极板间电压（为一定值），电场强度方向竖直向下时，求电子打在荧光屏上的位置坐标。 b.当两极板间电压（交变电压）时，电子在两极板间发生不同程度的偏转。初速度极大（可以认为电子穿过电场时，两极板间电压不变），随着电子不断打在荧光屏上，在图4中画出电子打在荧光屏上位置连线的大致形状，并简要说明理由。 题型解码 串联径向电场、有界磁场、交变电场偏转多场景，聚焦电场加速/偏转、磁场圆周、多场衔接，强化几何约束、极值临界、交变场轨迹建模的综合应用。 题型03 交变电场/交变磁场下的粒子运动 3．（21-22高三上·北京·月考）（多选题）如图甲所示，在空间存在一个变化的电场和一个变化的磁场，电场的方向水平向右(图甲中由B到C)，场强大小随时间变化情况如图乙所示；磁感应强度方向垂直于纸面、大小随时间变化情况如图丙所示。在t=1s时，从A点沿AB方向(垂直于BC)以初速度v0射出第一个粒子，并在此之后，每隔2s有一个相同的粒子沿AB方向均以初速度v0射出，并恰好均能击中C点，若AB=BC=l，且粒子由A运动到C的运动时间小于1s。不计重力和空气阻力，对于各粒子由A运动到C的过程中，以下说法正确的是（　　） A．电场强度E0和磁感应强度B0的大小之比为3v0：1 B．第一个粒子和第二个粒子运动的加速度大小之比为1：2 C．第一个粒子和第二个粒子运动的时间之比为π：2 D．第一个粒子和第二个粒子通过C的动能之比为1：5 题型解码 依托变化的电场和磁场，区分磁场圆周、电场类平抛两种运动模式，关联场周期与粒子运动周期匹配、多粒子轨迹差异、动能变化分析，凸显时空关联与多过程对比思维。 题型04 带电粒子轨迹的几何分析（北京压轴核心） 4．（2024·北京顺义·一模）如图所示，两平行金属板MN、PQ之间电势差为U，金属板PQ的右方直角坐标系的第一象限内有一磁感应强度为B的匀强磁场。一带电量为+q、质量为m的粒子，从金属板MN的入口处由静止释放，经电场加速垂直于y轴进入磁场后做匀速圆周运动，恰好从K点射出，速度方向与x轴负方向夹角为60，忽略重力的影响，求： （1）粒子从电场射出时速度的大小v； （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径R和运动时间t； （3）若要使粒子从坐标原点O点射出，可以采取什么措施？ 题型解码 聚焦电场加速＋磁场偏转经典模型，以轨迹圆心角、半径几何关系、出射方向约束为核心，考查几何作图、公式推导、条件变式与参数调控的综合解题能力。 题型05 电磁综合中的动量与能量 5．（23-24高三上·北京西城·月考）质谱仪如图所示，初速度为0的带电粒子经加速电压U加速之后进入磁感应强度为B的磁场，最终打到显示屏上某处形成亮斑后被导走。已知带电粒子形成的电流大小为I，显示屏上亮斑在磁场入口左边，距离为d。 （1）判断粒子的电性； （2）计算粒子的比荷的大小； （3）求显示屏受力大小F。 题型解码 以质谱仪为载体，融合电场加速、磁场偏转、动量定理，贯通动能定理、圆周运动规律、电流微观本质、动量与能量耦合，强化微观粒子群的动量与能量整体分析思维。 题型06 临界与极值问题 6．（2025·北京大兴·三模）如图1所示，真空中有一长直细金属导线，长为，与导线同轴放置一半径为高也为的金属圆柱面，将外壳接地。假设导线沿径向均匀射出速率相同的电子，且单位长度导线单位时间内射出的电子数为。已知电子质量为，电荷量为。不考虑出射电子间的相互作用。 (1)若导线单位时间发射电子的总动能为。求： a.稳定状态下，通过接地线的电流； b.出射电子的初速度大小。 (2)在金属圆柱内空间施加平行于导线向下的匀强磁场，如图2。已知磁感应强度为，若想让电子依旧全部打到圆柱面上，求导线单位时间辐射电子的总动能最小值。 (3)在金属圆柱内空间施加平行于导线向上的匀强电场，如图3。经数据分析发现，通过接地线的电流随着匀强电场强度均匀变化，其图像如图4。若已知该图像的斜率绝对值为，求导线单位时间辐射电子的总动能。 题型解码 基于电子束在电磁场中的运动，围绕电流定义、能量关系、临界轨迹、图像斜率展开，聚焦极值条件推导、动态图像解读、微元法建模，贴合北京卷临界极值与信息提取考查导向。 题型07 非匀强场/约束场 7．（2025·北京丰台·二模）彭宁阱是一种利用静电场和匀强磁场约束带电粒子的装置，其结构主要包括一个旋转对称的环电极和上下两个端电极。如图1所示，以阱中心为坐标原点，旋转对称轴为z轴，建立三维坐标系。在环电极和端电极间加电压，阱内产生电场，电势分布为，其中且为已知定值，ρ为粒子到轴线的距离，，用于带电粒子的轴向（z轴方向）约束。轴向的匀强磁场提供径向（垂直z轴方向）的约束，磁感应强度为B。彭宁阱的纵剖面（xOz平面）如图2所示，其中实线表示电场线，虚线表示磁感线。一质量为m、电荷量为+q的粒子在阱中运动，忽略重力、阻力、相对论效应和辐射。 (1) 若仅存在电场，且粒子以初速度从原点沿着z轴正方向运动。 a.求粒子能够运动的最远距离； b.分析粒子沿z轴运动时受到的电场力随坐标z的变化，判断粒子沿z轴做什么运动。 (2)若电场与磁场同时存在，仅研究粒子在xOy平面内（z=0）的运动。在磁场与电场的共同作用下，粒子的运动状态较为复杂，我们采用运动分解的方法和适当的近似，来研究粒子的运动。如图3所示，粒子在强磁场中做高频的回旋运动；考虑到电场力的作用，粒子的回旋中心还绕O点做低频漂移圆周运动。粒子的回旋半径远小于漂移半径，故可近似认为粒子在运动过程中电场强度的大小是恒定的。通过以上信息，求带电粒子的漂移角速度和回旋角速度。 题型解码 以彭宁阱为前沿情境，依托旋转对称非匀强电场与匀强磁场，将电场力与简谐运动、复合场运动分解、回旋与漂移角速度推导相结合，考查高阶建模与复杂运动拆解能力。 题型08 实际科技装置电磁建模 8．（25-26高三下·北京朝阳·开学考试）离子推进技术在太空探索中已有广泛的应用，其装置可简化为如图（a）所示的内、外半径分别为和的圆筒，图（b）为其侧视图。以圆筒左侧圆心为坐标原点，沿圆筒轴线向右为轴正方向建立坐标。在和处，垂直于轴放置栅极，在两圆筒间形成方向沿轴正向、大小为的匀强电场，同时通过电磁铁在两圆筒间加上沿轴正方向、大小为的匀强磁场。待电离的氙原子从左侧栅极飘进两圆筒间（其初速度可视为零）。在内圆筒表面分布着沿径向以一定初速度运动的电子源。氙原子被电子碰撞，可电离为一价正离子，刚被电离的氙离子的速度可视为零，经电场加速后从栅极射出，推进器获得反冲力。已知单位时间内刚被电离成氙离子的线密度（沿轴方向单位长度的离子数），其中为常量，氙离子质量为，电子质量为，电子元电荷量为，不计离子间、电子间相互作用。 (1)在处的一个氙原子被电离，经电场加速后从右侧栅极射出，求其射出时的动能； (2)若电子既没与氙原子碰撞，也没有碰到外筒壁，求电子沿径向圆周运动一个周期内x轴方向上的速度变化量； (3)若在的微小区间内被电离的氙离子从右侧栅极射出时所产生的推力为，求的关系式，并画出的图线； (4)求推进器所受的推力。 题型解码 以离子推进器为科技载体，融合匀强电磁复合场、微元法、动量定理，聚焦粒子加速动能、周期速度变化、推力推导与图像分析，强化实际装置抽象建模、微元求和与规律迁移能力。 1．（19-20高三下·北京西城·阶段练习）如图所示，在垂直纸面向里的磁感应强度大小为B的匀强磁场中，一个静止于P点的放射性元素氡的原子核发生了一次衰变，变为钋（）。放射出的粒子（）和生成的新核钋（）均在与磁场方向垂直的平面内做圆周运动。已知粒子的质量为m，电荷量为q。 (1)写出发生衰变的核反应方程，并定性画出新核钋（）和粒子的运动轨迹； (2)新核钋（）和粒子的圆周运动均可等效成一个环形电流，求粒子做圆周运动的周期T和环形电流大小I； (3)磁矩是描述环形电流特征的物理量，把粒子做圆周运动形成的环形电流与圆环面积的乘积叫做粒子的回旋磁矩，用符号μ表示。设粒子做圆周运动的速率为v，试推导粒子回旋磁矩μ的表达式，并据此比较粒子和新核钋（）做圆周运动的回旋磁矩的大小关系。 2．（24-25高三上·北京朝阳·期末）利用磁场对带电粒子的运动进行控制是一些科学研究的基础。在处理物体的复杂运动问题时，可以在相互垂直的x、y两个方向上分别研究。已知以下情境中带电粒子质是为m，电荷是为q。均不考虑粒子重力影响及粒子间的相互作用。 (1)如图1所示，若从磁感应强度大小为B的匀强磁场中某点A发射一束带电粒子流，其速率均为v。 a.当粒子速度与磁场方向垂直时，求其运动的轨道半径R； b.设粒子速度与磁场方向的夹角为α（投射角），且。若投射角很小（可认为），各带电粒子会再次重新会聚，求相邻两次会聚点的距离L。 (2)科学家设计了一种中间弱两端强的磁场，它由两个平行的圆线图组成，磁场由两侧通有等大同向电流的线圈产生。带电粒子将被约束在左右两端之间来回运动不能逃脱。如图2所示，三维坐标系的原点为磁场的中心点，x轴为磁场的轴线，若某带电粒子从轴上的M点以大小为、方向与磁场方向夹角为（投射角）的速度进入该磁场，粒子运动过程中以x轴为对称轴向右做螺旋线运动并返回。由于磁场沿轴线方向的变化缓慢，则有定值（不考虑相对论情形），其中为粒子运动方向与磁场方向的夹角，r为粒子在该处时垂直磁场方向的圆周半径。 a.设M点的磁感应强度大小为，求粒子返回处磁感应强度大小； b.粒子运动到磁场最右端N点（图中未画出）时与x轴的距离为d，求粒子此时受到洛伦兹力大小和方向（可用三角函数值表示）。 3．（2024·北京东城·一模）天文学家范·艾伦发现在地球大气层之外存在着一个辐射带包裹着地球，这一辐射带被命名为“范·艾伦辐射带”，它是由于地球磁场捕获了大量带电粒子而形成，分为内层和外层，如图1所示。由于地球两极附近区域磁场强，其他区域磁场弱，当宇宙射线进入地磁场后会使带电粒子沿磁感线做螺线运动，遇到强磁场区域被反射回来，在地磁两极间来回“弹跳”，被“捕获”在地磁场中。不过还是有一些宇宙射线粒子可以“溜进”地球大气层，它们和空气分子的碰撞产生的辐射就形成了绚丽多彩的极光。大气中最主要的成分是氮和氧，波长557.7nm的绿色和630nm附近的红色极光主要由氧原子发出，波长高于640nm的红色极光由氮气分子发出。（计算时普朗克常量取，真空中光速c取） （1）a.求放出一个波长为630nm的红色光子时，氧原子的能量变化（结果取1位有效数字）； b.请说明带电粒子和空气分子碰撞产生辐射的过程中能量是如何转化的。 （2）图2所示的是质量为m、电荷量为q的带电粒子在具有轴对称性的非均匀磁场中做螺线运动的示意图，若将粒子沿轴线方向的分速度用表示，与之垂直的平面内的分速度用表示。 a.某时刻带电粒子的，，所在处磁感应强度大小为B，如果将粒子从此刻起在垂直平面内做圆周运动的一个周期时间内，所到达区域的磁场按匀强磁场（方向沿轴线）进行估算，求粒子在垂直平面内做圆周运动的半径r和在一个周期时间内沿轴线前进的距离（螺距）d； b.实际上带电粒子的半径和螺距都会不断变化，已知带电粒子在从弱磁场区向强磁场区运动的同时，在垂直平面内的速度会变大，在此已知的基础上请用高中物理的知识解释为什么带电粒子在从弱磁场区向强磁场区螺旋前进时，分速度会减小到零，并继而沿反方向前进。 4．（2023·北京门头沟·一模）类比是研究问题常用的方法。 （1）有一段长度为l（l很小）、通过电流为I的导线垂直于匀强磁场时受磁场对它的力为F。请类比电场强度的定义方式，对匀强磁场中磁感应强度B进行定义。 （2）如图1所示，真空存在正点电荷Q，以点电荷为球心作半径为r的球面。请类比磁通量的定义方式，求通过该球面的电通量。（已知静电力常数为k） （3）狄拉克曾预言，自然界应该存在只有一个磁极的磁单极子，其周围磁场呈均匀辐射状分布，距离磁单极子r处的磁感应强度大小为（c为常数）。设空间有一固定的S极磁单极子，磁场分布如图2所示。有一带正电微粒（重力不能忽略）在S极正上方做匀速圆周运动，周期为T，运动轨迹圆心到S极的距离为d，重力加速度为g。求带电微粒所在圆轨道处的磁感应强度B的大小。 5．（25-26高三下·北京海淀·月考）类似光学中的反射和折射现象，用磁场或电场调控也能实现质子束的“反射”和“折射”。如图所示，在竖直平面内有三个平行区域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ：Ⅰ区宽度为d，存在磁感应强度大小为B、方向垂直平面向外的匀强磁场，Ⅱ区的宽度很小。Ⅰ区和Ⅲ区电势处处相等，分别为和，其电势差。一束质量为m、电荷量大小为e的质子从O点以入射角射向Ⅰ区，在P点以出射角射出，实现“反射”；质子束从P点以入射角射入Ⅱ区，经Ⅱ区“折射”进入Ⅲ区，其出射方向与法线夹角为“折射”角。已知质子仅在平面内运动，初速度为，不计质子重力，不考虑质子间相互作用以及质子对磁场和电势分布的影响。 (1)若使任意角度进入磁场的质子都能实现“反射”，求d的最小值。 (2)若，求“折射率n”（即入射角正弦与折射角正弦的比值）。 (3)计算说明Ⅰ区和Ⅲ区的电势差U满足什么条件时，可以实现质子束从P点进入Ⅱ区后发生“全反射”（即质子束全部返回Ⅰ区）。 6．（24-25高三下·北京·月考）如图1所示为太空粒子固定探测装置，整个装置由I、II、III三部分组成，I部分为金属圆筒，半径为；II部分为金属网筒，半径为；III部分为两水平放置的线圈1和线圈2，线圈1和线圈2只在金属网筒内部产生竖直向下的匀强磁场（磁感应强度大小）。在和边上分别有处于同一水平面上的两小孔、，两小孔、与圆面I的圆心在同一水平直线上，两小孔、允许质量为、电荷量的带电粒子X自由通过，现金属圆筒（电势为）和金属网筒（电势为，）之间加上如图2（俯视图）所示的辐向电场。不考虑带电粒子的重力及在运动过程中的相互作用。 (1)如图1所示，现在让带电粒子X从小孔处静止释放，经辐向电场加速后进入磁场，若只考虑带电粒子X在磁场中的第一次运动，求带电粒子X在磁场中的位移大小。 (2)如图2所示，若单位时间内有个带电粒子连续从小孔处静止释放，只考虑粒子第一次经过磁场区域的过程中， a.求带电粒子在磁场中单位长度的粒子个数： b.求粒子束对产生磁场装置的平均作用力大小。（和两问结果均用q、n、、和表示） 7．（24-25高三上·北京·期末）物理学对电场和磁场的研究，促进了现代科学技术的发展，提高了人们的生活水平，甚至是拯救人类自己的生命。通过带电粒子在磁场中运动的特点，可以利用磁场对带电粒子的运动施加影响。可以设计适当的磁场，就可以控制带电粒子进行诸如磁偏转、磁约束、磁扩散、磁聚焦乃至于磁滞留等多种多样运动，为人类服务。下面就是根据问题情境和任务的需要而设计的几种具体的情境。 (1)情境一：对于特定条件下磁场中的带电粒子的运动的轨迹进行理论探究。 在真空中，半径为的圆形区域内，有一匀强磁场，，方向如图，一个带电粒子（不计重力）从磁场边界上a点射入磁场，初速度，速度方向与aO半径的夹角，已知该粒子的比荷，试求： 粒子经过磁场偏转飞出磁场时对速度原方向的偏转角的大小为______。 (2)情境二：考虑重力的粒子在匀强磁场中的运动，如果要经过特定点，那么对其运动的初始条件要有怎样的要求。 小明同学在物理兴趣小组的研究活动中得知：如图所示，如果粒子在电场和磁场的复合场中做初速为零的运动，可以将其初速看成是向右的与向左两个运动的合运动，其中大小为：，所以粒子可看成是向右匀速直线运动和逆时针的匀速圆周运动的合运动。他还知道：重力场和电场是可以等效的。于是，他就想做个小研究：如果一个考虑重力的粒子在磁场中运动，是否可能发生类似的现象。如图所示，在空间有一足够大的水平匀强磁场B，在磁场区域内一个与磁场垂直的平面上有a、b两点，相距s，a、b连线在水平面上，一质量为m，电量为q的正带电粒子从a点以的初速度对着b点射出，为了使粒子能经过b点，你帮助小明想一想： a.是否可以通过控制粒子的运动条件来达到上述的目的？你只需要根据自己的直觉来回答“可以”还是“不可以”。 b.对上述问题1，小组讨论的初步结论是：可以通过控制粒子入场的速度来达到能够经过b点的目标，请你帮助小明，通过严密的定量推证，来理论探究其可能性。 8．（2021·北京朝阳·二模）静止电荷在其周围空间产生的电场，称为静电场；随时间变化的磁场在其周围空间激发的电场称为感生电场。如图1所示，在纸面内以O为圆心、半径为a的圆形区域内，分布着垂直纸面向里的磁场，磁感应强度B的大小随时间均匀增加，变化率为k。该变化磁场激发感生电场，距圆心r处的电场强度大小分布满足如下关系：。电子感应加速器是利用感生电场使电子加速的设备。一种电子感应加速器的简化模型如图2所示，空间存在垂直纸面向里的磁场，在以O为圆心，半径小于r0的圆形区域内，磁感应强度B1=k1t，在大于等于r0的环形区域内，磁感应强度B2=k2t，其中k1、k2均为正的定值。电子能在环形区域内沿半径等于r0的圆形轨道运动，并不断被加速。 a．分别说明B1、B2的作用； b．推导k1与k2应满足的数量关系。 9．（2024·北京朝阳·一模）根据牛顿力学经典理论，只要物体的初始条件和受力情况确定，就可以推知物体此后的运动情况。 情境1：如图1所示，空间存在水平方向的匀强磁场（垂直纸面向里），磁感应强度大小为B，在磁场中M点处有一质量为m、电荷量为的带电粒子。已知重力加速度g。 （1）若使带电粒子获得某一水平向右的初速度，恰好做匀速直线运动，求该速度的大小； （2）若在M点静止释放该粒子，其运动将比较复杂。为了研究该粒子的运动，可以应用运动的合成与分解的方法，将它为零的初速度分解为大小相等的水平向左和水平向右的速度。求粒子运动过程中的最大速率。 情境2：质谱仪由离子室、加速电场、速度选择器和分离器四部分组成，如图2所示。已知速度选择器的两极板间的电场强度为E，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里，分离器中磁感应强度大小为，方向垂直纸面向外。某次实验离子室内充有某种带电离子，经加速电场加速后从速度选择器两极板间的中点O平行于极板进入，部分离子通过小孔后进入分离器的偏转磁场中。打在感光区域P点的离子，在速度选择器中沿直线运动，测得P到点的距离为。不计离子的重力及离子间的相互作用，不计小孔O、的孔径大小。 （1）当从O点入射的离子速度满足时，在分离器的感光板上会形成有一定宽度的感光区域。求该感光区域的宽度D； （2）针对情形（1），为了提高该速度选择器的速度选择精度，请你提出可行的方案。 10．（22-23高三上·北京朝阳·期末）回旋加速器在核技术、核医学等领域得到了广泛应用，其原理如图所示。和是两个中空的、半径为R的半圆金属盒，接在电压恒为U的交流电源上，位于圆心处的质子源A能产生质子（初速度可忽略，重力不计，不考虑相对论效应），质子在两盒狭缝间的电场中运动时被加速。、置于与盒面垂直的、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。已知质子的质量为m，带电量为q。 （1）求质子被回旋加速器加速能达到的最大速率。 （2）求质子获得最大速度的过程中在回旋加速器中被加速的次数n；并估算质子在回旋加速器中运动的时间t。（不计质子在电场中的加速时间） （3）利用静电偏转器可将加速后的质子从加速器中引出。已知质子被引出前在磁场中做圆周运动的半径为R、圆心为的圆心，如图所示，静电偏转器由一对圆心在、距离很近的弧形电极、构成，厚度不计。两电极间加有沿弧形电极半径方向的电场，使得质子做圆周运动的半径增加为离开加速器。求偏转电场场强E的大小和方向。 11．（2022·北京昌平·二模）回旋加速器的工作原理如图甲所示。D形盒的半径为R，匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向与盒面垂直。A处粒子源产生质量为m、电荷量为的带电粒子。加在两盒狭缝间的交变电压随时间t的变化规律如图乙所示，电压的峰值为U，周期。一束粒子在时间内均匀的飘入两盒间狭缝，初速度忽略不计。不计带电粒子所受重力和粒子间的相互作用。 （1）若忽略带电粒子通过两盒间狭缝的时间。求： a.带电粒子经过1次加速后的速度大小； b.带电粒子获得的最大动能。 （2）若带电粒子通过两盒间狭缝的时间不可忽略，且能够射出的粒子每次经过狭缝均做匀加速运动。现要求飘入狭缝的带电粒子中至少有99%可以射出，则狭缝的间距d最大应该为多少？ 12．（2023·北京东城·二模）在匀强磁场中放置一个截面为矩形的通电导体或半导体薄片，当磁场方向与电流方向垂直时，在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差，这个现象称为霍尔效应，产生的电势差称为霍尔电势差或霍尔电压。霍尔电压与电流之比称为霍尔电阻。 （1）图甲所示的半导体薄片的厚度为d，薄片中自由电荷的电荷量为q，单位体积内的自由电荷数为n。磁感应强度大小为B。请你推导霍尔电阻的表达式。 （2）在发现霍尔效应约100年后，科学家又发现某些半导体材料的霍尔电阻，在低温和强磁场下，与外加磁场的关系出现一个个的“平台”，在平台处霍尔电阻严格等于一个常数除以正整数，即，其中h为普朗克常数，e为电子电荷量，i为正整数，这个现象被称为整数量子霍尔效应。在环境温度小于4K时，霍尔电阻与外加磁场的磁感应强度B的关系图像如图乙所示。由于量子霍尔电阻只与基本物理常数有关，国际计量委员会推荐在世界范围内用量子电阻标准替代实物电阻标准，以避免实物电阻阻值因环境影响而变化。由于霍尔电阻与实物电阻的定义并不相同，因此需要利用一些方法才可以将量子霍尔电阻标准电阻值“传递”给实物电阻。“传递”的一种方法叫“电位差计比较法”，其原理可简化为图丙所示电路，把可调实物电阻与量子霍尔电阻串联，用同一个电源供电，以保证通过两个电阻的电流相等。通过比较霍尔电势差与实物电阻两端的电势差，即可达到比较霍尔电阻与实物电阻阻值的目的。 a．某次实验时，霍尔元件所处环境温度为1.5K，磁感应强度大小为8T，此时a、b两点间的霍尔电势差与c、d两点间的电势差相等。若，。通过分析，计算该实物电阻的阻值（结果保留两位有效数字）。 b．如果要通过量子霍尔效应“传递”出一个阻值为的标准实物电阻，请你说明操作思路。 13．（22-23高三上·北京海淀·期末）半导体内导电的粒子—“载流子”有两种：电子和空穴（空穴可视为能移动的带正电的粒子），每个载流子所带电量的绝对值均为e。如图1所示，将一块长为a、宽为b、厚为c的长方体半导体样品板静止放置，沿x轴方向施加一匀强电场，使得半导体中产生沿x轴正方向的恒定电流，之后沿y轴正方向施加磁感应强度大小为B的匀强磁场，很快会形成一个沿z轴负方向的稳定电场，称其为霍尔电场。 （1）若样品板中只存在一种载流子，测得与z轴垂直的两个侧面（图1中“上表面”和“下表面”）之间电势差为，求霍尔电场的电场强度大小。 （2）现发现一种新型材料制成的样品板中同时存在电子与空穴两种载流子，单位体积内电子和空穴的数目之比为。电子和空穴在半导体中定向移动时受到材料的作用可以等效为一个阻力，假定所有载流子所受阻力大小正比于其定向移动的速率，且比例系数相同。 a．请在图2（图1的样品板局部侧视图）中分别画出刚刚施加磁场瞬间，电子和空穴所受洛伦兹力的示意图。 b．在霍尔电场稳定后（即图1中“上表面”和“下表面”积累的电荷量不再改变），电子和空穴沿x方向定向移动的速率分别为和。关于电子和空穴沿z轴方向的运动情况，某同学假设了两种模型：模型①：电子和空穴都不沿z轴方向做定向移动；模型②：电子和空穴仍沿z轴方向做定向移动。请依据受力情况和电荷守恒等基本规律，判断该样品中电子和空穴沿z轴方向的运动情况符合哪种模型。若认为模型① 正确，请计算电子受到的霍尔电场的电场力大小；若认为模型② 正确，请计算电子与空穴沿z方向定向移动的速率和之比。 c．在（2）b基础上，求霍尔电场稳定后电场强度大小。 14．（2022·北京朝阳·模拟预测）如图是磁流体发电工作原理示意图。发电通道是个长方体，其中空部分的长、高、宽分别为l、a、b，前后两个侧面是绝缘体，上下两个侧面是电阻可略的导体电极，这两个电极与负载电阻R相连。发电通道处于匀强磁场里，磁感应强度为B，方向如图。发电通道内有电阻率为ρ的高温等离子电离气体沿导管高速向右流动，正、负离子的电荷量均q，运动的电离气体受到磁场作用，产生了电动势。发电通道两端必须保持一定压强差，使得电离气体以不变的流速v通过发电通道。不计电离气体所受的摩擦阻力。根据提供的信息完成下列问题： （1）判断发电机导体电极的正负极，求发电机的电动势E； （2）发电通道两端的压强差△P； （3）若负载电阻R阻值可以改变，当R减小时，电路中的电流会增大；但当R减小到R0时，电流达到最大值（饱和值）Im；当R继续减小时，电流就不再增大，而保持不变。设变化过程中，发电通道内电离气体的电阻率保持不变，已知单位体积内有n对正负离子。求R0和Im。 15．（2021·北京丰台·二模）如图所示是磁流体发电的示意图。平行金属板P、Q 两板相距为d，之间有一个很强的匀强磁场B，将一束等离子体（即高温下电离的气体，含有大量带电量为q的正、负带电离子）沿垂直于B的方向射入磁场， P、Q两板间便产生电压。开关闭合前、后，等离子体在管道进、出口两端压强差的作用下， 均以恒定速率v沿图示方向运动。忽略重力及离子间的相互作用力。 （1）图中P、Q板哪一个是电源的正极； （2）在推导磁流体发电机的电动势时，有多种方法。例如：将发电机内部的等离子体看作长度为d，以速度v切割磁感线的“导体棒”，可得E=Bdv。请你从另外两个角度证明上述结论； （3）开关闭合，电路稳定后，电源的内阻为r，外电路电阻为R，求两板间某运动的带电离子沿电流方向受到的阻力f。 16．（2021高三·北京·专题练习）如图所示，是磁流体动力发电机的工作原理图。 一个水平放置的上下、前后封闭的矩形塑料管，其宽度为a，高度为b，其内充满电阻率为ρ的水银，由涡轮机（未画出）产生的压强差p使得这个流体在不加磁场时具有恒定的流速v0。管道的前后两个侧面上各有长为L的由铜组成的面，实际流体的运动非常复杂，为简化起见作如下假设： a.尽管流体有粘滞性，但整个横截面上的速度均匀。 b.流体的速度总是与作用在其上的合外力成正比。 c.流体不可压缩。 若由铜组成的前后两个侧面外部短路，一个竖直向上的匀强磁场只加在这两个铜面之间的区域，磁感强度为B（如图）。 (1)写出加磁场后，两个铜面之间区域的电阻R的表达式 (2)涡轮机对流体产生的压强差p恒定，加磁场后，最终形成新的稳定速度v，写出流体所受的磁场力F与v关系式，指出F的方向； (3)写出(2)问中加磁场后流体新的稳定速度v的表达式（用v0、p、L、B、ρ表示）； (4)为使速度增加到原来的值v0，必须改变涡轮机对流体产生的压强差，导致涡轮机输出功率的增加，写出功率增加量△P的表达式（用v0、a、b、L、B和ρ表示）。 17．（21-22高三上·北京·期末）工业上常用电磁流量计来测量高黏度及强腐蚀性流体的流量Q（单位时间内流过管道横截面的液体体积）。它的优点是测量范围宽、反应快、易与其他自动控制装置配套。 如图1是电磁流量计的示意图。圆形管道由非磁性材料制成，空间有匀强磁场。当管道中的导电液体流过磁场区域时，用仪表测量出放置在管道壁上的M、N两个电极间的电势差，就可以知道管道中液体的流量Q。已知电极M、N间的距离等于管道的直径d，磁感应强度为B。假定管道中各处液体的流速相同，且液体始终充满整个管道。 (1)当液体流动方向如图1所示时，判断M、N哪个电极电势高； (2)推导证明电极M、N间的电势差U与流量Q有正比关系，即；并说明：用某一种导电液体标定仪表刻度盘，也适用于其他导电液体； (3)理想情况下，在磁场恒定不变时电压的测量是稳定的，但导电液体在稳恒磁场长时间的作用下，液体中离子与电极接触的表面处会形成极化电场，干扰电压的测量。某一电磁流量计实际使用的磁场，其磁感应强度B与时间t的关系如图2中虚线所示，仪表只在每一个周期的特定时间段内测量M、N间的电势差，用于显示液体流量，请在图2中用实线在图线上标出这些时间段，并简要说明选定时间段的依据。 18．（2024·北京·高考真题）我国“天宫”空间站采用霍尔推进器控制姿态和修正轨道。图为某种霍尔推进器的放电室（两个半径接近的同轴圆筒间的区域）的示意图。放电室的左、右两端分别为阳极和阴极，间距为d。阴极发射电子，一部分电子进入放电室，另一部分未进入。稳定运行时，可视为放电室内有方向沿轴向向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度和磁感应强度大小分别为E和；还有方向沿半径向外的径向磁场，大小处处相等。放电室内的大量电子可视为处于阳极附近，在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为R的匀速圆周运动（如截面图所示），可与左端注入的氙原子碰撞并使其电离。每个氙离子的质量为M、电荷量为，初速度近似为零。氙离子经过电场加速，最终从放电室右端喷出，与阴极发射的未进入放电室的电子刚好完全中和。 已知电子的质量为m、电荷量为；对于氙离子，仅考虑电场的作用。 （1）求氙离子在放电室内运动的加速度大小a； （2）求径向磁场的磁感应强度大小； （3）设被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，单位时间内阴极发射的电子总数为n，求此霍尔推进器获得的推力大小F。 19．（2026·北京通州·一模）物体做曲线运动的情况比较复杂，一般的曲线运动可以分成很多很短的小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图1所示，曲线上点的曲率圆定义为：通过点和曲线上紧邻点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做点的曲率圆，其半径叫做点的曲率半径。在分析物体经过曲线上某位置的运动时，就可以按其等效的圆周运动来分析和处理。已知重力加速度为。 (1)如图2所示，一根长为的不可伸长轻绳，其一端固定于点，另一端系着一质量为的小球。已知小球恰能在竖直面内做完整的圆周运动。求小球在最高点的速度的大小； (2)如图3所示，一半径为的半球固定于水平地面上，有一小球从半球顶点由静止开始滑下，忽略一切阻力。求小球与半球面分离时，小球距离地面的高度的大小； (3)如图4所示，以水平向右为轴正方向，竖直向下为轴正方向，空间存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。一质量为、电荷量为的小球从点静止释放后，其运动轨迹如图中虚线所示。已知该轨迹在最低点的曲率半径等于该点到轴距离的2倍。 a．求小球在运动过程中第一次下降的最大高度； b．在上述磁场中再加一个竖直向上的匀强电场，电场强度大小为，且。请在图5中定性画出该小球从点静止释放后运动的轨迹示意图，并求出运动过程中所能达到的最大速率。 20．（24-25高三上·北京·阶段练习）简谐运动具有如下特点： ①简谐运动的物体受到回复力的作用，回复力的大小与物体偏离平衡位置的位移x成正比，回复力的方向与物体偏离平衡位置的位移方向相反，即：，其中k为振动系数，其值由振动系统决定； ②简谐运动是一种周期性运动，其周期与振动物体的质量的平方根成正比，与振动系统的振动系数的平方根成反比，而与振幅无关，即：。 (1)如图甲，摆长为L、摆球质量为m的单摆在AB间做小角度的自由摆动，当地重力加速度为g。 a、当摆球运动到P点时，摆角为θ，画出摆球受力的示意图，并写出此时刻摆球受到的回复力大小； b、请结合简谐运动的特点，证明单摆在小角度摆动时周期为 （提示：用弧度制表示角度，当角θ很小时，sinθ≈θ，θ角对应的弧长与它所对的弦长也近似相等） (2)类比法、等效法等都是研究和学习物理过程中常用的重要方法。长为L的轻质绝缘细线下端系着一个带电量为+q，质量为m的小球。将该装置处于场强大小为E的竖直向下的匀强电场中，如图乙所示；将该装置处于磁感应强度大小为B的垂直于纸面向里的匀强磁场中，如图丙所示。将小球从偏离竖直方向左侧的一个小角度θ处由静止释放，三种情况下，小球均在竖直平面内做小角度的简谐运动。（重力加速度g） a、请分析求出甲、乙、丙三个图中小球第一次到达轨迹最低点时的速度大小v甲、v乙、v丙； b、请分析求出带电小球在乙、丙两图中振动的周期T乙、T丙。 21．（2024·北京西城·二模）在半导体芯片加工中常用等离子体对材料进行蚀刻，用于形成半导体芯片上的细微结构。利用电磁场使质量为m、电荷量为e的电子发生回旋共振是获取高浓度等离子体的一种有效方式。其简化原理如下：如图1所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B；旋转电场的方向绕过O点的垂直纸面的轴顺时针旋转，电场强度的大小为E；旋转电场带动电子加速运动，使其获得较高的能量，利用高能的电子使空间中的中性气体电离，生成等离子体。 （提示：不涉及求解半径的问题，圆周运动向心加速度的大小可表示为） （1）若空间只存在匀强磁场，电子只在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，求电子做圆周运动的角速度。 （2）将电子回旋共振简化为二维运动进行研究。施加旋转电场后，电子在图2所示的平面内运动，电子运动的过程中会受到气体的阻力，其方向与速度的方向相反，大小，式中k为已知常量。最终电子会以与旋转电场相同的角速度做匀速圆周运动，且电子的线速度与旋转电场力的夹角（小于90°）保持不变。只考虑电子受到的匀强磁场的洛伦兹力、旋转电场的电场力及气体的阻力作用，不考虑电磁波引起的能量变化。 a．若电场旋转的角速度为，求电子最终做匀速圆周运动的线速度大小v； b．电场旋转的角速度不同，电子最终做匀速圆周运动的线速度大小也不同。求电场旋转的角速度多大时，电子最终做匀速圆周运动的线速度最大，并求最大线速度的大小。 c．旋转电场对电子做功的功率存在最大值，为使电场力的功率不小于最大功率的一半，电场旋转的角速度应控制在范围内，求的数值。 22．（2024·北京朝阳·一模）日冕持续不断地向外膨胀从而形成由太阳径向向外的等离子体流，通常被称为“太阳风”。太阳风虽然与地球上的空气不同，不是由气体的分子组成，而是由质子和电子等粒子组成，但它们流动时所产生的效应与空气流动很相似，所以称它为太阳风。太阳风的密度与地球上风密度相比是非常稀薄而微不足道的。然而太阳风虽十分稀薄，但它刮起来的猛烈程度远远胜过地球上的风。已知太阳的质量为，半径为，万有引力恒量为G。若中心天体的质量为M，质量为m的物体距中心天体r时具有的引力势能为 （以无穷远处势能为0）。 （1）一种观点认为，太阳风是日冕“粒子气”高温膨胀向外的热压力超过其引力，从而形成超声速太阳风的。类比理想气体分子运动特征可知，粒子的温度与其平均动能成正比，即：，k为玻尔兹曼常数，已知粒子质量为m，假设这种观点成立，则日冕外层2Rs处的温度至少多大才能脱离太阳引力场的束缚而逸出。 （2）太阳风会造成太阳质量的损失，假设地球附近观测到单位体积内太阳风质子—电子对的数目为n，每个质子—电子对的质量为m0，假设地球周边所观测的太阳风的平均速率为v，已知太阳到地球的距离为r，请由此推算太阳在单位时间因为太阳风而损失的质量。 （3）太阳风粒子流在日冕附近速率大约不到20km/s，当其到达地球附近时，速率可达800km/s以上，表明太阳风在加速远离太阳，请根据所学知识简要分析其加速的原因。 23．（2023·北京海淀·模拟预测）如图1所示，电子感应加速器是利用变化磁场产生的电场来加速带电粒子的装置。在两个圆形电磁铁之间的圆柱形区域内存在方向竖直向下的匀强磁场，在此区域内，环形玻璃管中心O在磁场区域中心。一质量为m、带电量为q（q>0）的小球（从上向下看）做圆周运动，图2为其简化示意图。通过改变电磁铁中的电流可以改变磁场的磁感应强度B，图中。设小球在运动过程中电量保持不变，对原磁场的影响可忽略。 （1）在t=0到t=T0时间内，小球不受玻璃管侧壁的作用力，求小球的速度大小v0； （2）在磁感应强度增大的过程中，将产生涡旋电场，其电场线是在水平面内一系列沿逆时针方向的同心圆，同一条电场线上各点的场强大小相等。求从t＝T0到t=1.5T0时间段内细管内涡旋电场的场强大小E； （3）某同学利用以下规律求出了t=2T0时电荷定向运动形成的等效电流：根据 ① ② 得：等效电流 ③ 你认为上述解法是否正确，并阐述理由。 24．（21-22高三上·北京·阶段练习）如图所示，水平放置的两块带电金属板a、b平行正对。极板长度为l，板间距也为l，板间存在着方向竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里磁感强度为B的匀强磁场。假设电场、磁场只存在于两板间的空间区域.一质量为m的带电荷量为q的粒子（不计重力及空气阻力），以水平速度从两极板的左端中间射入场区，恰好做匀速直线运动。求: （1）金属板a、b间电压U的大小； （2）若仅将匀强磁场的磁感应强度变为原来的2倍，粒子将击中上极板，求粒子运动到达上极板时的动能大小； （3）若撤去电场，粒子能飞出场区，求m、．q、B、l满足的关系； （4）若满足（3）中条件，粒子在场区运动的最长时间。 6 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $