第八章对数数据的统计分析复习题--2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 高中数学选修三第八章统计单元卷，聚焦回归分析与独立性检验，通过智能驾驶、AI语音识别等时代情境，考查数据观念与数学思维，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|回归直线方程、相关系数、残差|基础题占比高，如相关程度比较题夯实概念| |填空题|3题15分|相关关系判断、残差计算|结合实际情境，如家庭月储蓄回归方程| |解答题|5题77分|列联表完善、独立性检验、回归预测|智能驾驶系统使用与驾龄关系分析等题，体现科技情境与综合应用|

新教材选修三第八章测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1．已知关于的一组数据中，，若与的回归直线方程为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．为了研究物理成绩与数学成绩之间的关系，随机抽取名学生的成绩，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则样本点的残差为（   ） A． B． C． D． 3．已知，，，四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为-0.95，-0.82，0.86，0.93，则线性相关程度最弱的是（    ） A．组 B．组 C．组 D．组 4．已知具有相关关系的变量，它们之间的一组数据如表所示，若关于的回归方程为，则（    ） A． B． C． D． 5．若数据的标准差为，则数据的标准差为（   ） A．3 B． C． D． 6．已知四个点，，，得到的线性相关系数为，去掉后得到的线性相关系数为，则（   ） A． B． C． D．无法确定 7．对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如果散点图中所有的散点都落在一条斜率不为0的直线上，则下列结论错误的是（    ） A．解释变量和响应变量线性相关 B．相关系数 C．决定系数 D．残差平方和等于1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从年到年共年“年货节”期间的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额看成以年份序号（年作为第年）的函数．运用excel软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如图，则下列说法正确的是（    ） A．销售额与年份序号呈正相关关系 B．三次函数回归模型的残差平方和大于直线回归模型的残差平方和 C．三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果 D．根据三次函数回归曲线可以预测年“年货节”期间的销售额约为亿元 10．已知变量，线性相关，且由观测数据算得样本平均数为，，则由该观测数据得到的经验回归方程可能是（    ） A． B． C． D． 11．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)的几组对应数据如表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为，下列说法正确的是（    ） 2 3 4 5 6 19 25 ★ 38 44 A．看不清的数据★的值为34 B．回归直线必经过样本点(4，★) C．回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨 D．据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗为50.9吨 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．有下列关系： ①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；②学生与他（她）的学号之间的关系； ③森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系； ④曲线上的点与该点的坐标之间的关系． 其中有相关关系的是________________．（填上你认为正确的所有序号） 13．已知变量和变量的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，经重新计算得到新回归直线的斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为__________.（残差观测值预测值） 14．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得，，，，则家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程为__________． 附：线性回归方程中， ，，其中，为样本平均值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．下表是、两班关于选择“物理”作为“加三学科”的意愿的列联表，请根据已有数据完善表格. 单位：人 类别 愿意选择“物理” 不愿意选择“物理” 总计 班 20 42 班 16 总计 44 16．语言学家们发现家常信件多用简单句，而事务信件多用复合句.为研究信件类型和句子类型是否有关，进而采取样本抽样，得到下列数据：（单位：个） 信件类型 句子类型 总计 简单句 复杂句 家常信件 8 2 10 事务信件 4 11 15 总计 12 13 25 根据上述样本数据，请问：根据小概率值的独立性检验，分析信件类型是否与句子类型有关？ 17．智能驾驶辅助系统是指利用车载传感器、控制器等装置、实现环境感知、规划决策与运动控制，辅助驾驶员完成部分驾驶操作，提升行车安全性与舒适性的系统，驾驶员仍需全程监管车辆并随时接管驾驶：驾龄是指初次领取机动车驾驶证至今的时间长度、为研究智能驾驶辅助系统使用情况与驾龄的关系，随机调查了200名私家车车主，得到如下列联表： 经常使用智能驾驶辅助系统 不经常使用智能驾驶辅助系统 合计 驾龄≤5年 58 42 100 驾龄＞5年 36 64 100 合计 94 106 200 (1)从这200名车主中随机抽取1人，已知该车主驾龄不超过5年，求该车主经常使用智能驾驶辅助系统的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，分析智能驾驶辅助系统使用情况是否与驾龄有关.附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18．某市开展“我心中的好老师”评选活动，现对评选出的五位候选人的工作年限和得票数进行了统计，得到如下数据： “我心中的好老师”编号 1 2 3 4 5 工作年限/年 4 6 8 10 12 得票数/百张 10 20 40 60 50 (1)若得票数与工作年限满足线性相关关系，试求经验回归方程，并就此估计“我心中的好老师”的工作年限为15年时的得票数； (2)若用表示统计数据时得票数的“即时均值”（四舍五入到整数），从5个“即时均值”中任选2个，求这2个数据之和小于8的概率. 19．目前，AI赋能语音识别技术已从实验室的“概念验证”发展为改变人类生活的基础设施，随着大模型和多模态技术的融合，英文识别将不再是单一功能，也是智能系统理解世界的“耳朵”和“眼睛”，推动人机交互从“命令执行”向“自然对话”演进.现甲、乙两名同学通过英文指令与某AI智能体人机交互共生成200篇文章.若生成的文章达到专业要求，不用进一步改良，视为合格.现已知甲同学生成的文章有80篇合格，占甲同学生成文章总数的，乙同学生成的文章有一半合格. (1)请根据以上数据填写下面的列联表，并推断能否有95%的把握认为生成的文章是否合格与甲、乙（不同的）同学给出的指令有关？ 生成的文章合格 生成的文章不合格 总计 甲同学 80 乙同学 总计 200 (2)经试验，若给出的指令够准确具体，该智能体生成文章合格的概率为，则在此条件下从该智能体生成的一批文章中随机调取3篇，请写出其中合格的篇数的分布列，并算出期望. 附：，其中（结果精确到0.001）. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 新教材选修三第八章测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1．已知关于的一组数据中，，若与的回归直线方程为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题意求得样本中心点，将其代入到回归直线方程即可求解. 【详解】由题意得样本中心点为，代入到回归直线方程得， 解得. 2．为了研究物理成绩与数学成绩之间的关系，随机抽取名学生的成绩，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则样本点的残差为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】时的预测值， 时的真实为值， 样本点的残差为. 3．已知，，，四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为-0.95，-0.82，0.86，0.93，则线性相关程度最弱的是（    ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】B 【分析】由线性相关系数的性质判断即可得. 【详解】因为，所以线性相关程度最弱的是组. 4．已知具有相关关系的变量，它们之间的一组数据如表所示，若关于的回归方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 代入回归方程后可得，故. 5．若数据的标准差为，则数据的标准差为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】已知数据的标准差为， 由标准差的性质可知，的标准差为． 6．已知四个点，，，得到的线性相关系数为，去掉后得到的线性相关系数为，则（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】注意到，，均在直线上．故， 而不在该直线上，即四点不共线，故．于是． 7．对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的四组数据的散点图，结合相关系数的含义，即可求解. 【详解】由给定的四组数据的散点图可以看成： 图（1）和图（3）是正相关，且图（1）中的数据更加集中，更接近，所以； 图（2）和图（4）是负相关，且图（2）中的数据更加集中，更接近，所以， 综上可得，. 8．如果散点图中所有的散点都落在一条斜率不为0的直线上，则下列结论错误的是（    ） A．解释变量和响应变量线性相关 B．相关系数 C．决定系数 D．残差平方和等于1 【答案】D 【分析】根据散点图得这两个变量线性相关，由此判断各选项. 【详解】直线对应的函数为一次函数，故解释变量和响应变量是一次函数关系，故A正确. 因为样本点都落在直线上，所以样本相关系数，所以，所以B 正确。 决定系数和残差平方和都能反映模型的拟合程度，故决定系数，残差平方和为0，故C正确，D错误 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从年到年共年“年货节”期间的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额看成以年份序号（年作为第年）的函数．运用excel软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如图，则下列说法正确的是（    ） A．销售额与年份序号呈正相关关系 B．三次函数回归模型的残差平方和大于直线回归模型的残差平方和 C．三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果 D．根据三次函数回归曲线可以预测年“年货节”期间的销售额约为亿元 【答案】AC 【分析】根据散点图的单调性趋势可以判定A；根据散点图的整体变化分布态势可以判定BC；根据回归方程计算可以判定D. 【详解】解：由散点图的变化趋势可知，销售额与年份序号呈正相关关系，故选项A正确； 由散点图以及直线回归模型和三次函数回归模型的位置关系可知，三次函数回归模型的残差平方和小于直线回归模型的残差平方和，故选项B错误； 因为，所以三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果，故选项C正确； 因为三次函数为，则当时，亿元，故选项D错误． 故选：AC． 10．已知变量，线性相关，且由观测数据算得样本平均数为，，则由该观测数据得到的经验回归方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】把代入A，B，C，D选项中依次检验，即得解 【详解】把代入A，B，C，D选项中进行检验， 对于A，当时，； 对于B，当时，； 对于C，当时，； 对于D，当时，. 故选：AB 11．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)的几组对应数据如表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为，下列说法正确的是（    ） 2 3 4 5 6 19 25 ★ 38 44 A．看不清的数据★的值为34 B．回归直线必经过样本点(4，★) C．回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨 D．据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗为50.9吨 【答案】AD 【解析】A．根据回归直线方程过样本点中心，代入计算出★的值；B．根据回归直线方程过样本点中心进行判断；C．根据的含义进行分析；D．将代入回归直线方程进行计算即可. 【详解】A．因为，所以， 所以★，故正确； B．因为，所以必经过，不经过，故错误； C．回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗大约增加6.3吨，故错误； D．当时，，故正确， 故选：AD. 【点睛】易错点睛：回归直线方程的相关问题求解时的注意事项： （1）注意回归直线方程必过样本点中心； （2）利用回归直线方程求解表中缺失数据时，要根据回归直线方程过样本点中心去求解，不要直接代入表中数据进行求解. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．有下列关系： ①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系； ②学生与他（她）的学号之间的关系； ③森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系； ④曲线上的点与该点的坐标之间的关系． 其中有相关关系的是__________．（填上你认为正确的所有序号） 【答案】①③ 【详解】对于①，人的年龄与他（她）拥有的财富是一种不确定的相关关系；对于②，学生与他（她）的学号之间的关系是一种确定的对应关系，是映射，不是相关关系；对于③，森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系是一种不确定的关系，属于相关关系；对于④，曲线上的点与该点的坐标之间的关系是一一对应关系，不是相关关系．综上，其中有相关关系的是①③． 故答案为：①③． 13．已知变量和变量的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，经重新计算得到新回归直线的斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为__________.（残差观测值预测值） 【答案】/ 【分析】将样本中心点代入回归方程中求出，即可得出，进而得出新数据的样本中心点和回归方程，代入计算即可. 【详解】由题意得，， 则，， 当增加两个样本数据和后， 变量的平均数为，变量的平均数为， 因为新回归直线的斜率为3，所以可设其方程为， 将代入得，则， 令，则，则样本数据所对应的残差为. 14．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得，，，，则家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程为__________． 附：线性回归方程中， ，，其中，为样本平均值. 【答案】 【分析】根据题中提供的数据先求得，再求得，进而求得，故可得. 【详解】由题意知，，， 又，， 由此得，故所求回归方程为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．下表是、两班关于选择“物理”作为“加三学科”的意愿的列联表，请根据已有数据完善表格. 单位：人 类别 愿意选择“物理” 不愿意选择“物理” 总计 班 20 42 班 16 总计 44 【答案】 【分析】根据已知条件补全联表即可. 【详解】根据已知条件得出， 又因为，所以，所以， 所以. 所以. 16．语言学家们发现家常信件多用简单句，而事务信件多用复合句.为研究信件类型和句子类型是否有关，进而采取样本抽样，得到下列数据： 单位：个 信件类型 句子类型 总计 简单句 复杂句 家常信件 8 2 10 事务信件 4 11 15 总计 12 13 25 根据上述样本数据，请问：根据小概率值的独立性检验，分析信件类型是否与句子类型有关？ 【答案】有关 【分析】根据给定数据求出的观测值，再与临界值比对即可得解. 【详解】零假设：信件类型与句子类型无关， 由表格中数据经计算得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为信件类型与句子类型有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. 17．智能驾驶辅助系统是指利用车载传感器、控制器等装置、实现环境感知、规划决策与运动控制，辅助驾驶员完成部分驾驶操作，提升行车安全性与舒适性的系统，驾驶员仍需全程监管车辆并随时接管驾驶：驾龄是指初次领取机动车驾驶证至今的时间长度、为研究智能驾驶辅助系统使用情况与驾龄的关系，随机调查了200名私家车车主，得到如下列联表： 经常使用智能驾驶辅助系统 不经常使用智能驾驶辅助系统 合计 驾龄≤5年 58 42 100 驾龄＞5年 36 64 100 合计 94 106 200 (1)从这200名车主中随机抽取1人，已知该车主驾龄不超过5年，求该车主经常使用智能驾驶辅助系统的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，分析智能驾驶辅助系统使用情况是否与驾龄有关. 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)0.58 (2)有关 【详解】（1）设事件A为“车主驾龄不超过5年”，事件B为“车主经常使用智能驾驶辅助系统”. 由题意可知：，，根据条件概率公式得：， 所以该车主经常使用智能驾驶辅助系统的概率为0.58. （2）提出假设：智能驾驶辅助系统使用情况与驾龄无关， 根据表中数据可得：， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为智能驾驶辅助系统使用情况与驾龄有关，该推断犯错误的概率不超过0.010. 18．某市开展“我心中的好老师”评选活动，现对评选出的五位候选人的工作年限和得票数进行了统计，得到如下数据： “我心中的好老师”编号 1 2 3 4 5 工作年限/年 4 6 8 10 12 得票数/百张 10 20 40 60 50 (1)若得票数与工作年限满足线性相关关系，试求经验回归方程，并就此估计“我心中的好老师”的工作年限为15年时的得票数； (2)若用表示统计数据时得票数的“即时均值”（四舍五入到整数），从5个“即时均值”中任选2个，求这2个数据之和小于8的概率. 【答案】(1)，78 (2) 【分析】（1）先计算样本中心点 ，再通过公式计算回归系数 ，进而求得截距 ，最后代入 进行预测. （2）先计算每个数据的“即时均值”并四舍五入取整，再用组合数计算从5个数据中任选2个的总情况数，最后找出和小于8的情况数，利用古典概型公式计算概率. 【详解】（1）由题可得， 则， . 所以. 当时，. （2）5个“即时均值”分别为3，3，5，6，4. 从5个“即时均值”中任选2个，共有（种）情况， 其中2个数据之和小于8的有，，共3种情况， 所以这2个数据之和小于8的概率为. 19．目前，AI赋能语音识别技术已从实验室的“概念验证”发展为改变人类生活的基础设施，随着大模型和多模态技术的融合，英文识别将不再是单一功能，也是智能系统理解世界的“耳朵”和“眼睛”，推动人机交互从“命令执行”向“自然对话”演进.现甲、乙两名同学通过英文指令与某AI智能体人机交互共生成200篇文章.若生成的文章达到专业要求，不用进一步改良，视为合格.现已知甲同学生成的文章有80篇合格，占甲同学生成文章总数的，乙同学生成的文章有一半合格. (1)请根据以上数据填写下面的列联表，并推断能否有95%的把握认为生成的文章是否合格与甲、乙（不同的）同学给出的指令有关？ 生成的文章合格 生成的文章不合格 总计 甲同学 80 乙同学 总计 200 (2)经试验，若给出的指令够准确具体，该智能体生成文章合格的概率为，则在此条件下从该智能体生成的一批文章中随机调取3篇，请写出其中合格的篇数的分布列，并算出期望. 附：，其中（结果精确到0.001）. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有95%的把握； (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据题意，得出列联表，求得的值，结合附表，即可得到结论； （2）根据题意，得到的可能取值，得出服从二项分布，求得相应的概率，得出分布列，求得数学期望. 【详解】（1）由题意得 生成文章合格 生成文章不合格 总计 甲同学 80 40 120 乙同学 40 40 80 总计 120 80 200 零假设生成的文章是否合格与甲、乙同学给出的指令无关， ， ∵，所以我们推断不成立， 所以有95%的把握认为生成文章是否合格与甲、乙（不同的）同学给出的指令有关；                                                                （2）合格的篇数的所有可能取值为，，， 由题意，   ，                                        故的分布列为 0 1 2 3 故期望. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $