第六章计数原理复习题-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 高中数学选修三第六章单元卷，聚焦排列组合与二项式定理，题型分层覆盖基础与应用，结合生活实践与文化情境，适配单元复习以提升数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|组合数计算、二项式系数性质、排列应用|基础巩固，如单选3实习基地选择考查分步计数原理| |填空题|3题15分|涂色问题、概率计算|能力提升，如13题五边形区域涂色综合应用相邻约束| |解答题|5题77分|课程安排（相邻/受限排列）、数字组成四位数|创新应用，如18题“礼”“乐”等传统文化课程排序，体现数学语言表达现实世界|

新教材选修三第六章测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1．从中任选三个字母，所有的选法有（    ） A．6种 B．10种 C．20种 D．720种 【答案】C 【详解】从6个字母中任选3个字母的选法有种. 2．乘积展开后共有（    ）项 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分步乘法计数原理求解. 【详解】 得到展开式的一项分两步： 第一步从第一个括号中任选1项，有种不同的选法； 第二步从第二个括号中任选1项相乘，有种不同的选法； 故展开后不同的项共有项. 3．5名大学生利用暑假到学校的实践基地进行实习，每人从甲、乙、丙三个基地中任选一个，若不考虑其他条件，则不同的选法有（   ） A．8种 B．15种 C．种 D．种 【答案】C 【详解】由题意知，每位大学生都有3种选择，根据分步乘法计数原理，共有种选法. 4．若的展开式中各二项式系数和为64，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据二项式系数的性质求解即可. 【详解】由题意得，解得． 5．设m∈N*，且m<15，则=（    ） A．(20-m)(21-m)(22-m)(23-m)(24-m)(25-m) B．(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m) C．(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m) D．(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m) 【答案】C 【分析】由排列数的计算公式，即得解 【详解】是指从20-m开始依次连续的6个数相乘， 即(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m). 故答案为:C 6．某校从2名女生和4名男生中选出3人去参加一项创新大赛，则选出的3人中至少有1名女生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型利用组合进行求解公式. 【详解】. 故选：C. 7．用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】组成有重复数字的三位数，且是偶数,按个位是和不是进行分类; 个位不是时要注意选中的数有和不是情况求解. 【详解】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即0，2，4，有3种选择， 而由于这是一个三位数，所以百位数不能是0，有5种选择，因为存在重复数字，由此分类讨论: ①当个位数为0时，则百位数有5种选择，十位数有两种情况， 与百位数一样，只有一种选择， 与个位数一样，也只有一种选择; ②当个位数为2时， 如果百位数为2，则十位数有6种选择， 如果百位数不为2，则百位数有4种选择，此时十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择: 当个位数为4时， 如果百位数为4，则十位数有6种选择， 如果百位数不为4，则百位数有4种选择，十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择 综上所述，. 故选：B. 8．的展开式中，的系数为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析：题中为独立项，所以展开式中含的为，其中中的系数为展开式中与的系数差．最后再将两部分系数相乘即得所求． 详解：由， 得含的项为， 中的项为 系数为 故选B. 点睛：本题考查了二项式定理的应用，多项式展开问题要抓住独立项，以此为简化问题的突破点，从而减少计算和分类讨论的难度. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．若，则（    ） A．展开式中所有的二项式系数之和为 B．展开式中二项式系数最大的项为第1012项 C． D． 【答案】ABC 【分析】利用二项式系数的性质可以判定AB;利用赋值法可以判定CD. 【详解】展开式中所有项的二项式系数和为,故A正确； 展开式中第1012项的二项式系数为，是所有项的二项式系数中的最大值，故B正确； 在二项式展开式中，令可得，故C正确； 令可得,∴,故D错误. 故选：ABC 10．已知有6个座位连成一排，则下列关于排座问题说法正确的是（   ） A．现有2人就座，则2人刚好坐在一起的坐法共有5种 B．现有2人就座，则2人刚好坐在一起的坐法共有10种 C．现有3人就座，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有36种 D．现有3人就座，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有72种 【答案】BD 【分析】先选择个相邻的座位，再排列，可判断AB；先将人排列，再将个空座椅分成份插入到个人构成的个空隙中，可判断CD. 【详解】先选择相邻的座位共有种，此二人再排列，共有种，故A错误，B正确； 先将人排列，再将个空座椅分成份插入到个人构成的个空隙中， 共有种，故C错误；D正确. 故选：BD 11．对于二项式，以下判断正确的有（    ） A．存在，展开式中有常数项 B．对任意，展开式中没有常数项 C．对任意，展开式中没有的一次项 D．存在，展开式中有的一次项 【答案】AD 【解析】求得二项式和的通项公式，得到二项式，展开式的通项为， 分别考察的指数为0，1的情况，进而判定常数项和一次项的系数的存在性. 【详解】解：对于二项式的展开式的通项公式为，， 而的通项公式为，. 对于二项式，展开式的通项为， 未知数的次数为 当时，即，当，，是其中一组解，由于的各项的系数都是正数，故展开式中有常数项，且常数项的系数不为0，故A正确，B错误， 当时，即，当，，是其中一组解，由于的各项的系数都是正数，故展开式中有一次项，且一次项的系数不为0，展开式中有一次项，故D正确，C错误， 故选：AD. 【点睛】本题考查二项展开式的通项，考查分析问题与解决问题的能力，是基础题.关键要熟练掌握二项展开式的通项公式，在中，当x的指数为0时，得到，指数为1时，得到，然后分别求得一组解，再结合其余各项中的系数都是正值，得到常数项和一次项的系数不为零，从而说明既有常数项又有一次项，是解决问题的关键. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知的展开式中第三项的二项式系数比第二项的系数大，则展开式中的系数为______（用数字作答）． 【答案】560 【分析】先求出二项展开式的通项，再求出第三项的二项式系数和第二项的系数即可求出，再利用通项即可求出展开式中的系数. 【详解】二项展开式的通项为， 则第二项的系数为，第三项的二项式系数为， 因第三项的二项式系数比第二项的系数大， 则，即，得或（舍） 令，得， 则展开式中的系数为. 故答案为： 13．将5种不同的颜色填入图中的五边形内的5块不同的区域中，要求相邻的区域不同色，则不同的填法有______种． 【答案】1020 【分析】分类讨论以及排列组合即可解题 【详解】解法1  若区域①与②③中的一块同色，不同的填法有种； 若区域①与②③中任意一块均不同色，不同的填法有种． 可得，故不同的填法一共有1020种. 解法2  若相邻区域可以同色，则有种. 相邻区域同色的相当于首尾合并成为1格，则五块区域变成了田字格，此时有260种. 可得，故不同的填法有1020种. 故答案为： 14．某校三个年级举办乒乓球比赛，每个年级选派4名选手参加比赛，组委会随机将这12名选手分成6组，每组2人，则在上述分组方式中每组的2人均来自不同年级的概率为_____． 【答案】 【分析】先算12人分6组的总方法数，再算每组2人来自不同年级的方法数，最后利用古典概型公式得出概率值. 【详解】首先将12名选手分成6组的方法数． 设三个年级选派的选手4人组分别为，考虑组4名选手，与之配对的只能是来自组和组的各2名选手， 同时组和组的另2名选手再进行配对，即满足题意的分组方法数． 所以每组的2人均来自不同年级的概率为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．有一项活动，要从2位老师，2名男同学，3名女同学中指定人员参加. (1)只需一人，有多少种不同的选法？ (2)需要两人，一位老师，一位学生，有多少种不同的选法？ (3)需要三人，一位老师，两位学生，有多少种不同的选法？ 【答案】(1)7 (2)10 (3)20 【分析】（1）若只需选1人参加，用分类加法计数原理求出全部不同选法即可； （2）将男生女生归为一类，再用分步乘法计数原理求出所有不同选法即可. （3）用分步乘法计数原理，求出所有不同的选法； 【详解】（1）； （2）； （3）. 16．已知，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)243 【详解】（1）令，得，即， 令，得， 则. （2）令，得， 则 . 17．班上每个小组有8名同学，现要从每个小组选3名同学代表本组与其它小组进行辩论赛. (1)每个小组有多少种选法? (2)如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组有多少种选法? (3)如果还要将选出的同学分别指定为第一、二、三辩手，那么每个小组有多少种选法? 【答案】(1)56 (2)168 (3)336 【分析】（1）为组合问题，只需从8人中选出3人，不考虑顺序； （2）组合问题结合分步乘法原理，第一步从8人中选出3人，第二步从选出的3人中选1人当替补； （3）为排列问题，可以用先组合，再排列的思路. 【详解】（1）选法种数为种. （2）选法种数为 种. （3）选法种数为 种. 18．某校为弘扬传统文化，开设了“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周. (1)若课程“乐”“数”排在相邻两周，求不同的安排方案种数； (2)若课程“礼”不排在第一周，“数”不排在最后一周，求不同的安排方案种数； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）将课程“乐”“数”排在相邻的两周，共有种排法. （2）若课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周， 分两种情况进行讨论，若课程“礼”排在最后一周，有种排法， 若课程“礼”不排在最后一周，有种排法， 共有种排法. 19．用1、2、3、4、5、6、7这7个数字组成没有重复数字的四位数. （1）这些四位数中偶数有多少个?能被5整除的有多少个? （2）这些四位数中大于6 500的有多少个? 【答案】（1）360个，120个；（2）160个. 【分析】（1）偶数的个位数只能是2、4、6，其他位置上任意排列，由分步乘法计数原理即得解； （2）分最高位上是7和6，由分类加法计数原理，即得解 【详解】（1）偶数的个位数只能是2、4、6，有种排法，其他位上有种排法， 由分步乘法计数原理，知共有四位偶数=360(个)； 能被5整除的数个位必须是5，故有=120(个) （2）最高位上是7时大于6 500，有种， 最高位上是6时，百位上只能是7或5，故有2×种. 由分类加法计数原理知，这些四位数中大于6 500的共有+2×=160(个). 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 新教材选修三第六章测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1．从中任选三个字母，所有的选法有（    ） A．6种 B．10种 C．20种 D．720种 2．乘积展开后共有（    ）项 A． B． C． D． 3．5名大学生利用暑假到学校的实践基地进行实习，每人从甲、乙、丙三个基地中任选一个，若不考虑其他条件，则不同的选法有（   ） A．8种 B．15种 C．种 D．种 4．若的展开式中各二项式系数和为64，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．设m∈N*，且m<15，则=（    ） A．(20-m)(21-m)(22-m)(23-m)(24-m)(25-m) B．(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m) C．(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m) D．(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m) 6．某校从2名女生和4名男生中选出3人去参加一项创新大赛，则选出的3人中至少有1名女生的概率为（    ） A． B． C． D． 7．用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 8．的展开式中，的系数为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．若，则（    ） A．展开式中所有的二项式系数之和为 B．展开式中二项式系数最大的项为第1012项 C． D． 10．已知有6个座位连成一排，则下列关于排座问题说法正确的是（   ） A．现有2人就座，则2人刚好坐在一起的坐法共有5种 B．现有2人就座，则2人刚好坐在一起的坐法共有10种 C．现有3人就座，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有36种 D．现有3人就座，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有72种 11．对于二项式，以下判断正确的有（    ） A．存在，展开式中有常数项 B．对任意，展开式中没有常数项 C．对任意，展开式中没有的一次项 D．存在，展开式中有的一次项 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知的展开式中第三项的二项式系数比第二项的系数大，则展开式中的系数为______（用数字作答）． 13．将5种不同的颜色填入图中的五边形内的5块不同的区域中，要求相邻的区域不同色，则不同的填法有______种． 14．某校三个年级举办乒乓球比赛，每个年级选派4名选手参加比赛，组委会随机将这12名选手分成6组，每组2人，则在上述分组方式中每组的2人均来自不同年级的概率为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．有一项活动，要从2位老师，2名男同学，3名女同学中指定人员参加. (1)只需一人，有多少种不同的选法？ (2)需要两人，一位老师，一位学生，有多少种不同的选法？ (3)需要三人，一位老师，两位学生，有多少种不同的选法？ 16．已知，且． (1)求的值； (2)求的值． 17．班上每个小组有8名同学，现要从每个小组选3名同学代表本组与其它小组进行辩论赛. (1)每个小组有多少种选法? (2)如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组有多少种选法? (3)如果还要将选出的同学分别指定为第一、二、三辩手，那么每个小组有多少种选法? 18．某校为弘扬传统文化，开设了“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周. (1)若课程“乐”“数”排在相邻两周，求不同的安排方案种数； (2)若课程“礼”不排在第一周，“数”不排在最后一周，求不同的安排方案种数； 19．用1、2、3、4、5、6、7这7个数字组成没有重复数字的四位数. （1）这些四位数中偶数有多少个?能被5整除的有多少个? （2）这些四位数中大于6 500的有多少个? 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $