第一节随机抽样、统计图表讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦随机抽样和统计图表核心考点，按基础概念、抽样方法、数据可视化逻辑架构知识体系，通过知识清单梳理、自主诊断检测、命题点分类讲解及真题训练，帮助学生系统掌握抽样方法和统计图表应用，突破高考高频难点。 讲义采用分层教学策略，如随机数表法实例培养数据意识，频率分布直方图面积性质应用强化几何直观，配合基础巩固与能力提升训练。结合2023年新高考真题导向，助力学生高效构建知识网络，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第一节　随机抽样、统计图表 新课标要求 真题分布 1.了解简单随机抽样的含义，及其解决问题的过程，掌握两种简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．会计算样本均值和样本方差，了解样本与总体的关系． 2．了解分层随机抽样的特点和适用范围，了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法． 3．能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表(如频数分布直方图、频率分布直方图、散点图等)对数据进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重要性． 2025年 — 2024年 — 2023年 新高考Ⅱ卷T19 知识清单 1.总体、个体、样本 调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为________，组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应指标)称为________，在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体称为________，样本中包含的个体数称为______________，简称样本量． 2．简单随机抽样 (1)定义：设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个________抽取n(1≤n<N)个个体作为样本，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做不放回简单随机抽样．放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样． (2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和________法． (3)两种抽样方法的适用范围 抽签法适用于总体中个体数不多的情形，随机数法适用于总体量较大，样本量较小的情形． 3．分层随机抽样 (1)定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法叫做分层随机抽样． (2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层随机抽样． (3)应用方法：①每一个子总体称为层，在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为____________. ②如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为M，N，两层抽取的样本量分别为m，n，两层的样本平均数分别为，两层的总体平均数分别为，总体平均数为，样本平均数为，则. ③在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数估计总体平均数. 4．统计图表 (1)常见的统计图有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等． (2)频率分布直方图的性质 ①小矩形的面积＝组距×＝__________，各小矩形的面积表示相应各组的频率，即频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小． ②在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于________． ③＝样本容量． 【常用结论】 1．对于简单随机抽样和分层随机抽样，不论哪种抽样方法，总体中的每一个体被抽到的概率是相等的． 2．频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距，不要和条形图混淆． 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会与先后顺序有关．(　　) (2)抽签法和随机数法都是简单随机抽样．(　　) (3)在比例分配的分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．(　　) (4)在频率分布直方图中，小长方形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大．(　　) 2．(人教A版必修二P224复习参考题T1改编)为了了解某地参加计算机水平测试的5 000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析．在这个问题中，被抽取的200名学生的成绩是(　　) A．总体　　B．个体　　C．样本　　D．样本量 3．(人教A版必修二P177练习T3改编)实验室的笼子里共有100只小白鼠，现要从中抽取10只作试验用．①每次不经任何挑选地抓一只，抓满10只为止；②将笼中的100只小白鼠按1～100编号，任意选取编号范围内的10个不重复数字，把相应编号的小白鼠作为试验用的小白鼠．则以上两种情况属于简单随机抽样的是________． 4．(人教A版必修二P185练习T3改编)高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2 cm和160.8 cm.如果张华在各层中按比例分配样本，总样本容量为100，请估计高二年级全体学生的平均身高为________cm.(保留一位小数) 命题点一　抽样方法 考向1　简单随机抽样 例1 现需要对某种疫苗进行检测，从800支疫苗中抽取60支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800支按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第10列的数开始向右读，依次读取三位数，则得到的第4个样本个体的编号是________．(下面摘取了随机数表第7行至第9行) 84 42 17 53 31　57 24 55 06 88　77 04 74 47 67　21 76 33 50 25　83 92 12 06 76 63 01 63 78 59　16 95 56 67 19　98 10 50 71 75 12 86 73 58 07　44 39 52 38 79 33 21 12 34 29　78 64 56 07 82　52 42 07 44 38　15 51 00 13 42　99 66 02 79 54 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学习笔记：(1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个抽取；③等可能抽取． (2)在使用随机数表时，如遇到取两位数或三位数，可从选择的随机数表中的某行的数字计起，每两个或三个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去． 　跟踪训练　(多选)(衔接·人教A版必修二P189习题T4改编)下列是从总体中抽得的样本，是简单随机样本的有(　　) A．总体编号为1～75，任意选出编号范围内的10个数字作为抽中的编号 B．总体编号为1～75，在0～99中产生随机整数r，若r＝0或r＞75，则舍弃，重新抽取 C．总体编号为1～75，在0～99中产生随机整数r，r除以75的余数作为抽中的编号．若余数为0，则抽中75 D．总体编号为6 001～6 876，在1～876范围内产生一个随机整数r，把r＋6 000作为抽中的编号 考向2　分层随机抽样 例2 某汽车销售中心的客服人员要从购买A品牌汽车的50名车主，B品牌汽车的60名车主，乙品牌汽车的40名车主中用分层随机抽样的方法抽取容量为30的样本进行用户反馈调研，则在A品牌汽车车主中抽取的人数为(　　) A．8 B．10 C．11 D．12 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学习笔记：在分层随机抽样中，抽样比＝. 　跟踪训练　(衔接·人教A版必修二P189习题T5改编)一只田径队有男运动员56名，女运动员42名，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本．如果样本按比例分配，则男运动员应抽取________名、女运动员应抽取________名． 命题点二　统计图表 考向1　扇形图、条形图 例3 某商场开通三种平台销售商品，五一期间这三种平台的数据如图①所示．该商场为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取了6%的顾客进行满意度调查，得到的数据如②所示．下列说法正确的是(　　) A. 样本中对平台一满意的消费者人数约700 B．样本中对平台二满意的消费者人数为20 C．样本中对平台一和平台二满意的消费者总人数为60 D．若样本中对平台三满意的消费者人数为120，则m＝90% [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学习笔记：(1)通过扇形图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系． (2)条形图直观描述不同类别或分组数据的频数． 　跟踪训练　随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从2024年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游比例，如图所示，则估计2024年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的(　　) A．45%　　B．30%　　C．13.5%　　D．13% 考向2　折线图 例4 (多选)下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是(　　) A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加 B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量 C．第3天至第11天复工复产指数均超过80% D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学习笔记：折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据变化的趋势． 　跟踪训练　为了研究某市甲、乙两个旅游景点的游客情况，文旅局统计了今年4月到9月甲、乙两个旅游景点的游客人数(单位：万人)，得到如图所示的折线图．根据两个景点的游客人数的折线图，下列说法错误的是(　　) A．7，8，9月份的总游客人数甲景点比乙景点少 B．乙景点4月到9月的游客人数总体呈上升趋势 C．甲景点4月到9月游客人数的平均值在[31，32]内 D．甲、乙两景点4月到9月中游客量的最高峰期都在8月 考向3　频率分布直方图 例5 (2026·邢台模拟)从某小区抽取100户居民用户进行月用电量(单位：kW·h)调查，将得到的数据按[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350]分为6组，画出的频率分布直方图如图所示，则在被调查的用户中，月用电量落在[200，350]内的户数为(　　) A．35　　　B．40　　　C．42　　　D．45 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学习笔记：频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，这是解题的关键，常利用频率分布直方图估计总体分布． 　跟踪训练　(衔接·人教A版必修二P198练习T1)从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350 kW·h之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示． (1)直方图中x的值为________； (2)在被调查的用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为________． 第一节　随机抽样、统计图表 知识清单 1．总体　个体　样本　 样本容量 2．(1)不放回地　(2)随机数 3．(3)比例分配 4．(1)频率　(2)1 自主诊断 1．答案：(1)×　 (2)√　　(3)×　 (4)√ 2．解析：从5 000名学生的成绩中抽取了200名学生的成绩进行调查分析．总体：5 000名学生的成绩；个体：每个学生的成绩；样本：200名学生的成绩；样本容量：200.所以被抽取的200名学生的成绩是样本． 答案：C 3．解析：①②都满足简单随机抽样的四个特征：有限性；逐个抽取；不放回；等可能性． 答案：①② 4．解析：抽取男生人数为×100＝49，抽取女生人数为×100＝51，高二年级全体学生的平均身高估计为×170.2＋×160.8＝165.406≈165.4(cm)． 答案：165.4 例1　解析：按照所给随机数表，依次读取的个体编号为157，245，506，704，所以得到的第4个样本个体的编号是704. 答案：704 跟踪训练　解析：对于A，因为每个编号被抽中的可能性相同，所以是简单随机抽样；对于B，能保证每个编号被抽中的可能性相等，是简单随机抽样，因为编号1～75可能被抽中，所以编号0～99的每一个个体被抽中的可能性相同，所以是简单随机抽样；对于C，不是简单随机抽样，因为1～24，75号与25～74号抽中的可能性不同，1～24号被抽中的概率更大一些，所以不是简单随机抽样；对于D，每个编号被抽中的可能性相同，所以是简单随机抽样．故选ABD. 答案：ABD 例2　解析：按照分层随机抽样，在智界汽车车主中共抽取30×＝10(人)．故选B. 答案：B 跟踪训练　解析：用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，则男运动员应抽取28×＝16(名)，女运动员应抽取28×＝12(名)． 答案：16　12 例3　解析：对于A，样本中对平台一满意的人数为2 000×6%×35%＝42，故A错误；对于B，样本中对平台二满意的人数为1 500×0.06×20%＝18，故B错误；对于C，样本中对平台一和平台二满意的总人数为42＋18＝60，故C正确；对于D，对平台三的满意率为＝80%，所以m＝80%，故D错误．故选C. 答案：C 跟踪训练　解析：设2024年到该地旅游的游客总人数为a，则游客中青年人的人数为0.45a，其中选择自助游的青年人的人数为0.45a×0.3＝0.135a，所以估计2024年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的13.5%.故选C. 答案：C 例4　解析：由题图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11天复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；由题图可知，第一天的复产指数与复工指数的差大于第11天的复产指数与复工指数的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误；由题图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确；由题图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确． 答案：CD 跟踪训练　解析：对于A，由游客人数折线图可知，甲景点7，8，9月份的总游客人数为30＋52＋47＝129，乙景点的7，8，9月份的总游客人数为33＋44＋53＝130，129<130，A正确；对于B，根据乙景点的游客人数折线图可知，乙景点每月的游客人数逐月增多，所以总体呈上升趋势，故B正确；对于C，甲景点游客人数的平均值为(14＋21＋26＋30＋52＋47)≈31.7，31.7∈[31，32]，C正确；对于D，由游客人数折线图可知，甲景点4月到9月中游客量的最高峰期在8月，乙景点4月到9月中游客量的最高峰期在9月，D错误．故选D. 答案：D 例5　解析：易知(2m＋3m＋5m＋0.004 4＋2m＋m)×50＝1，所以13m＝0.02－0.004 4＝0.015 6，即m＝0.001 2，而月用电量落在[200，350]内的户数为(0.004 4＋2m＋m)×50×100＝40.故选B. 答案：B 跟踪训练　解析：(1)由题意，(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，解得x＝－0.015 6＝0.004 4. (2)由题意，用电量落在区间[100，250)内的户数为(0.003 6＋0.006 0＋x)×50×100＝70. 答案：(1)0.004 4　(2)70 学科网（北京）股份有限公司 $