第三节成对数据的统计分析讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦成对数据的统计分析，覆盖相关系数比较、线性回归模型及独立性检验等核心考点，按“概念-方法-应用”逻辑架构知识，通过知识清单梳理、命题点分类讲解、真题训练等环节，帮助学生系统突破统计分析难点。 讲义以培养数学眼光、思维与语言为核心，如通过散点图观察相关性培养数学眼光，结合回归方程推导强化逻辑推理，利用2025年真题演练提升数据表达能力。设置分层练习与即时反馈，确保高效复习，为教师把控复习节奏提供有力支持。

第三节　成对数据的统计分析 新课标要求 真题分布 1.结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性． 2．结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件，会用一元线性回归模型进行预测． 3．通过实例，理解2×2列联表的统计意义，了解2×2列联表独立性检验及其应用． 2025年 全国Ⅰ卷T15 知识清单 1.变量的相关关系 (1)相关关系：两个变量________，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． (2)相关关系的分类：________和________． (3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在________附近，我们就称这两个变量线性相关． 2．样本相关系数 (1)r＝. (2)当r＞0时，称成对样本数据________； 当r＜0时，称成对样本数据________． (3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越________；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越________． 3．一元线性回归模型 我们将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，其中 4．残差与决定系数 (1)残差：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，________________称为残差． (2)决定系数：R2＝1－，R2越________，模型的拟合效果越好，反之，越差． 5．列联表与独立性检验 (1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d (2)计算随机变量 χ2＝. 利用χ2的取值推断分类变量X和Y________的方法称为χ2独立性检验． 剖析　(1)独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断． (2)根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，χ2越大，则两分类变量有关的把握越大． 【常用结论】 1．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 2．经验回归直线一定过点(，). 3．求时，常用公式＝. 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)散点图无法判断两个变量是否相关．(　　) (2)通过经验回归方程＝x＋可以估计预报变量的取值和变化趋势．(　　) (3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．(　　) (4)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的值越小．(　　) 2．(人教A版选修三P138T1)变量x与y的成对样本数据的散点图如图所示，据此可以推断变量x与y之间(　　) A.很可能存在负相关 　 B．一定存在正相关 C．很可能存在正相关 　 D．一定不存在负相关 3．(人教A版选修三P139T3改编)根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝2.974.已知P(χ2≥3.841)＝0.05，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，以下结论正确的是(　　) A．变量x与y独立 B．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 C．变量x与y不独立 D．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 4．(人教A版选修三P113T2改编)假如女儿身高y(单位：cm)关于父亲身高x(单位：cm)的经验回归方程为＝0.81x＋25.82.已知父亲身高为175 cm，则估计女儿的身高为________cm. 命题点一　成对数据的相关性 例1 对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论不正确的是(　　) A．图①、图②两组数据都具有线性相关关系 B．图①数据正相关，图②数据负相关 C．图①相关系数r1小于图②相关系数r2 D．图①相关系数和图②相关系数之和小于0 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学习笔记： (1)散点图法：如果样本点的分布从整体上看大致在某一曲线附近，变量之间就有相关关系；如果样本点的分布从整体上看大致在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系． (2)样本相关系数：当r＞0时，正相关；当r＜0时，负相关；|r|越接近1，相关性越强． (3)经验回归方程：当＞0时，正相关；当＜0时，负相关． 　跟踪训练　已知变量x与y的经验回归方程为＝3x－1，变量y与z负相关，则(　　) A．x与y负相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关 C．x与y负相关，x与z正相关 D．x与y正相关，x与z负相关 命题点二　经验回归方程 例2 (2026·青岛模拟)下表是某公司从2021年至2025年某种产品盈利额的近似值(单位：万元) 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代号x 1 2 3 4 5 盈利额y 50 56 64 72 83 (1)求y关于x的相关系数r的值(精确到0.001)，并判断它们是否具有较强的线性相关关系(如果|r|≥0.75，则认为y与x的线性相关关系较强，否则认为线性相关关系较弱)； (2)求y关于x的经验回归方程，并预测2026年该种产品的盈利额． 参考公式： iyi＝1 057，－52＝680, ≈8.246. [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学习笔记： (1)求经验回归方程 ①当两个系数均未知时，可利用公式法求解； ②当两个系数已知一个求另一个时，可利用经验回归直线过的样本点求解． (2)利用经验回归方程进行预测，把经验回归方程看作一次函数，求函数值． (3)经验回归方程的拟合效果可以利用相关系数判断，当|r|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强． 　跟踪训练　近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2022年到2025年某地新能源汽车销量(单位：千辆) 年份 2022 2023 2024 2025 年份代号x 1 2 3 4 销量y 33 69 93 129 附：iyi＝966. 建立y关于x的经验回归方程，并预测该地2026年的新能源汽车销量． 命题点三　独立性检验 例4 (链接·2025年全国Ⅰ卷)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表： 　　　　　超声波检查结果 组别　 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1 000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关． 附：χ2＝， P(χ2≥k) 0.005 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　真题探源　(源自人教A版选修三P135T7)为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于170 cm的问题，从高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，得到性别和身高变量的样本观测数据所对应的列联表如下： 单位：人 性别 身高 低于170 cm 不低于170 cm 女 14 7 男 8 11 合计 22 18 依据α＝0.05的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联？解释所得结论的实际含义． 学习笔记：求解独立性检验问题的步骤 (1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释． (2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较． (3)根据检验规则得出推断结论． (4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律． 第三节　成对数据的统计分析 知识清单 1．(1)有关系　(2)正相关　负相关　(3)一条直线 2．(2)正相关　负相关　(3)强　弱 4．(1)观测值减去预测值　(2)大(越接近1) 5．(2)是否独立 自主诊断 1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．解析：由散点图知，这些点大致在一条直线附近，且从左下角到右上角呈递增趋势，故变量x与y之间很可能存在正相关． 答案：C 3．解析：由题意，χ2＝2.974＜3.841，所以依据小概率值α＝0.05的独立性检验，变量x与y独立，A正确． 答案：A 4．解析：已知经验回归方程＝0.81x＋25.82，令x＝175，得＝0.81×175＋25.82＝167.57，则已知父亲身高为175 cm，估计女儿的身高为167.57 cm. 答案：167.57 例1　解析：对于A，因为散点图都呈直线型，所以图①、图②两组数据都具有线性相关关系，故A正确；对于B，图①散点从左至右呈上升趋势，所以数据正相关，图②散点从左至右呈下降趋势，所以数据负相关，故B正确；对于C，图①正相关，图②负相关，故C不正确；对于D，因为图②相关程度更强，故D正确．故选C. 答案：C 跟踪训练　解析：根据经验回归方程＝3x－1可知变量x与y正相关，又变量y与z负相关，由正相关、负相关的定义可知，x与z负相关．故选D. 答案：D 例2　解析：(1)已知n＝5，x1＝1，x2＝2，x3＝3，x4＝4，x5＝5，则＝＝3， y1＝50，y2＝56，y3＝64，y4＝72，y5＝83， 则＝＝65， ＝12＋22＋32＋42＋52＝1＋4＋9＋16＋25＝55， 5＝5×32＝45，所以＝55－45＝10， 已知＝1 057，＝680， 将以上值代入相关系数公式 可得r＝＝＝＝≈≈0.994， 因为|r|＝0.994≥0.75，所以y与x具有较强的线性相关关系． (2)根据 所以＝＝8.2. 由＝，已知＝3，＝65，＝8.2，则＝65－8.2×3＝65－24.6＝40.4. 所以y关于x的经验回归方程为＝8.2x＋40.4. 2026年年份代号x＝6，将x＝6代入经验回归方程＝8.2×6＋40.4＝49.2＋40.4＝89.6(万元)． 跟踪训练　解析：已知n＝4，x1＝1，x2＝2，x3＝3，x4＝4，则＝＝2.5， y1＝33，y2＝69，y3＝93，y4＝129，则＝＝81， ＝12＋22＋32＋42＝1＋4＋9＋16＝30，4＝4×2.52＝25， 已知＝966，故)(yi－)＝＝＝966－4×2.5×81＝156， 根据， 所以＝＝31.2， 由＝，已知＝2.5，＝81，＝31.2， 则＝81－31.2×2.5＝81－78＝3， 所以y关于x的经验回归方程为＝31.2x＋3，将x＝5代入经验回归方程＝31.2×5＋3＝159(千辆)． 例3　解析：(1)由题意知超声波检查结果不正常的人数为200，患该疾病的人数为180，所以超声波检查结果不正常者患该疾病的概率的估计值p＝＝0.9. (2)零假设为H0：超声波检查结果与患该疾病无关． χ2＝＝765.625>10.828＝x0.001， 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即超声波检查结果与患该疾病有关． 真题探源　解析：假设H0：该中学高三年级学生的性别与身高无关联， 则由2×2列联表数据可得χ2＝≈2.431， 依据α＝0.05的独立性检验， 即P(χ2≥3.841)＝0.05，但是2.431<3.841，所以在样本数据中没有足够的证据拒绝H0，故依据α＝0.05的独立性检验，不能认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联． 结论的实际含义：在犯错误概率不超过0.05的情况下，不能认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联． 学科网（北京）股份有限公司 $