第十六章 二元一次方程组（单元自测·基础卷）数学新教材人教版五四制七年级下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十六章 二元一次方程组·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．下列各组数中，是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 3．已知是关于、的方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．小红同学在解关于和的二元一次方程组时，利用①②就将未知数消去了，则和应该满足的条件是（    ） A． B． C． D． 5．《孙子算经》中记载了这样一道题：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，木长多少尺？”若设绳子长尺，木长尺．根据题意，可得列方程组（　　） A． B． C． D． 6．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（    ） A．4 B．2 C． D．±2 8．关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 9．对有理数x、y定义新运算：，其中a，b都是常数．若，，则a，b的值分别是（    ） A．1，2 B．2，1 C．2，2 D． 10．已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A．或0 B．或 C． D．0 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．试写一个二元一次方程，使它的解是这个方程可以是 ． 12．已知用含的式子表示，则＝ ． 13．已知是方程的解，则代数式的值是 ． 14．若与互为相反数，则 ． 15．幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则的值为 ． x 1 y 5 16．已知关于的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则的值为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解方程组： (1) (2) 18．下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：，得．③……第一步 ，得， ．……第二步 将代入①，得．……第三步 所以，原方程组的解为错误……第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_________法；以上求解步骤中，第一步的依据是______________． (2)第________步开始出现错误，具体错误是________________________． (3)直接写出该方程组的正确解：________________________． 19．我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题：九百九十九文钱，甜果、苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜果、苦果几个？大意：用999文钱，买了甜果和苦果共1000个，11文钱能买9个甜果，4文钱能买7个苦果，试问甜果、苦果各买了几个？ 20．对于关于，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_____(填“具有”或“不具有”)“友好关系”； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值． 21．根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入个球，使水面上升到，放入的大球、小球各多少个？ (2)如果放入若干个球，使水面升高，且小球个数为奇数，问有几种可能？ 22．定义：对于任意实数，，规定新的一种运算规则：，， (1)当，时，，，求，的值； (2)若关于，的方程组，（为常数）的解也满足关于，的方程，求的值． 23．年湘超联赛火爆三湘大地，永州队带着“永冲锋”的倔强精神，以史诗般的征程“一路突围”，最终力克常德队，将湘超首座冠军奖杯高高捧起．在常规赛中，湖南个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），比赛规则如下：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．月日常规赛结束，部分球队的积分如下表： 队伍 场次 胜 平 负 积分 长沙队           2 0      永州队      3      岳阳队      4 (1)请问在这一次湘超常规赛中一共比了多少场比赛？ (2)求永州队一共胜了多少场？ (3)岳阳的小王由于学习原因，没有了解最新的比赛信息，只知道负4场，他猜测岳阳队的总积分为分，你认为可能吗？为什么？ 24．中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进辆型和辆型汽车需要万元，辆型和辆型汽车需要万元．销售、两种型号的汽车每辆分别可获得利润万元和万元． (1)求、两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？ (2)该公司准备用正好万元购进这两种型号的汽车（两种汽车都要买），请你帮助该公司设计共有几种购买方案．并通过计算说明哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 25．若平面直角坐标系上点的横、纵坐标满足关于x，y的方程组，则称点P为该方程组的关联点，如点为方程组的关联点． (1)若点为关于x，y的方程组的关联点，则________，________； (2)已知点为关于x，y的方程组的关联点，点为关于x，y的方程组的关联点；若点A与点B恰好重合，求点A的坐标，并求出m，n的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十六章 二元一次方程组·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的定义，二元一次方程需同时满足三个核心条件：①方程中含有两个未知数；②每个未知数的项的次数均为1；③方程是整式方程(即分母不含未知数)．解题时需依据这三个条件对每个选项逐一判断． 【详解】解：中，未知数项的次数为，不满足“未知数的项的次数都是1”的要求，不是二元一次方程； 是一个多项式，不是等式，不满足方程的定义，不是二元一次方程； 的分析含未知数，方程不属于整式方程，不满足“整式方程”的条件，不是二元一次方程； 含有两个未知数、，每个未知数的项的次数都是1，且是整式等式，完全符合二元一次方程的定义，是二元一次方程； 故选：D． 2．下列各组数中，是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解． 将各选项的x、y值代入方程，若左边等于右边，则该组值是方程的解． 【详解】解：∵把代入方程左边，得， ∴选项A不是方程的解； ∵把代入方程左边，得， ∴选项B是方程的解； ∵把代入方程左边，得， ∴选项C不是方程的解； ∵把代入方程左边，得， ∴选项D不是方程的解； 故选：B． 3．已知是关于、的方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程解答即可求解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， 故选：． 4．小红同学在解关于和的二元一次方程组时，利用①②就将未知数消去了，则和应该满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的消元方法，通过计算后的式子，令y的系数为0，即可得到m和n满足的条件． 【详解】解：， ， ， ， 消去了未知数y， ∴y的系数为0，即， ∴选B． 5．《孙子算经》中记载了这样一道题：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，木长多少尺？”若设绳子长尺，木长尺．根据题意，可得列方程组（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，合理列出方程是解题的关键． 根据题意，列出方程即可． 【详解】∵绳子剩余4.5尺， ∴， ∵对折绳子量木，木剩余尺， ∴， ∴方程组为 故选：C． 6．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解以及二元一次方程的解．方程组中两方程相加求出，然后根据列式求出k的值即可． 【详解】解：， ①＋②得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7．已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（    ） A．4 B．2 C． D．±2 【答案】B 【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及算术平方根，把x与y的值代入方程组，求出的值，即可求解算术平方根． 【详解】解：∵是二元一次方程组的解 ∴， 由①②得， 则的算术平方根为， 故选：B． 8．关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了同解方程组的求解，解题的关键是掌握解二元一次方程组的解． 先联立两个方程组中不含参数的方程求出公共解，再将公共解代入含参数的方程，通过整体相加求出的值． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴先解方程组， ，得； ，得； ，得， ∴； 把代入，得， 即， 解得， 将代入， 得， ①+②，得， 两边同时除以8，得， 故选：B． 9．对有理数x、y定义新运算：，其中a，b都是常数．若，，则a，b的值分别是（    ） A．1，2 B．2，1 C．2，2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据新定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， 即， 解得：． 故选：C． 10．已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A．或0 B．或 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解的情况求参数，求代数式的值；通过解方程组，用k表示x和y，根据正整数解的条件，确定k的可能值，然后代入计算表达式． 【详解】解：∵方程组 ， 由第二式得，代入第一式：， 即， ∴， ∴， 即方程组的解为 ， ∵方程组有正整数解， ∴和均为正整数， 即是5和10的正公约数， 5和10的正公约数有1和5， ∴或， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为0或， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．试写一个二元一次方程，使它的解是这个方程可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程的解的概念，掌握将已知解代入方程的一般形式，通过赋值构造方程是解题的关键． 根据二元一次方程的解，构造一个以，为解的方程即可． 【详解】解：设二元一次方程为，其中，，为常数，且和不为． 将，代入，得． 取，，则，因此方程可为． 经验证，当，时，成立． 故答案为：（答案不唯一） 12．已知用含的式子表示，则＝ ． 【答案】 【分析】通过消去参数 ，将方程组转化为用 表示 的形式． 【详解】解： ， 得：， 解得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，解决问题的关键是熟练掌握计算方法． 13．已知是方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了二元一次方程的解的概念，掌握将方程的解代入方程得到系数关系，再整体代入代数式求值是解题的关键． 将方程的解代入方程得到关系式，再代入代数式求值． 【详解】解：∵ 是方程 的解， ∴ ，即 ， ∴ ， 故答案为：． 14．若与互为相反数，则 ． 【答案】0 【分析】根据非负数的性质求出即可. 【详解】解：由题意可得： 解得： 故答案为：0. 【点睛】本题考查了二元一次方程组以及绝对值非负数性质，解决本题的关键是熟练掌握对应的知识点. 15．幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则的值为 ． x 1 y 5 【答案】20 【分析】本题考查了求代数式的值，二元一次方程的应用，通过幻方的性质，利用行、列和对角线的和相等建立方程，求解出和的值，再计算，正确求出和的值是解此题的关键． 【详解】解：∵幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等， ∴由第一行和主对角线之和相等得：， 化简得：， 解得：． 由第三列和第一行之和相等得：， 代入得：， 解得：． ∴， 故答案为：． 16．已知关于的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，通过解方程组，用参数a表示 x 和 y，再代入代数式，令其含a的系数为零，从而求出k的值． 【详解】解： 得，解得 把代入①得，解得 ∴ ， ∵不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变， 解得 故答案为：． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题关键是选择合适的消元方法解方程组． （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 把②代入①，得， 解得， 把代入②，得， ∴原方程组的解为； （2）解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为． 18．下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：，得．③……第一步 ，得， ．……第二步 将代入①，得．……第三步 所以，原方程组的解为错误……第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_________法；以上求解步骤中，第一步的依据是______________． (2)第________步开始出现错误，具体错误是________________________． (3)直接写出该方程组的正确解：________________________． 【答案】(1)加减消元；等式的基本性质 (2)二；方程时等式的右边结果错误 (3) 【分析】（1）根据加减消元法，解二元一次方程组的步骤进行解答； （2）根据加减消元法判断即可； （3）根据加减消元法，解二元一次方程组求解． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法； 以上求解步骤中，第一步的依据是等式的基本性质． （2）第二步开始出现错误，方程时等式的右边结果错误； （3）解方程组：， ①，得③， ②③，得．则， 将代入①，得， 所以，原方程组的解为． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法与加减消元法是关键． 19．我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题：九百九十九文钱，甜果、苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜果、苦果几个？大意：用999文钱，买了甜果和苦果共1000个，11文钱能买9个甜果，4文钱能买7个苦果，试问甜果、苦果各买了几个？ 【答案】甜果买了657个，苦果买了343个 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决古代问题，解题的关键是找准等量关系． 设甜果买x个，苦果买y个根据数量和钱数，列出方程组求解即可． 【详解】解：设甜果买x个，苦果买y个． 列方程组得，， 解得， 答：甜果买了657个，苦果买了343个． 20．对于关于，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_____(填“具有”或“不具有”)“友好关系”； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值． 【答案】(1)具有； (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法及新定义“友好关系”的应用，关键是理解“友好关系”的本质为，通过解方程组或结合该关系式求解未知量． （1）先求解给定的二元一次方程组，得到、的具体值后，验证是否等于1，即可判断是否具有“友好关系”； （2）将代入方程组，先求出、的值，再代入含的方程计算即可． 【详解】（1）解：解方程组，得， ，满足“友好关系”的定义， 故答案为：具有； （2）解：方程组的解与具有“友好关系”， ， 联立，解得， 将代入方程， 得，解得． 21．根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入个球，使水面上升到，放入的大球、小球各多少个？ (2)如果放入若干个球，使水面升高，且小球个数为奇数，问有几种可能？ 【答案】(1)放入的大球为4个，放入的小球为6个； (2)有2种可能，分别是3个小球，5个大球或9个小球1个大球． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用以及方程的整数解问题，核心是根据“每个球使水面上升的高度×球的数量=水面总上升高度”的关系建立方程(组)． （1）先根据水面上升的总高度和球的总数，设未知数列出二元一次方程组，通过代入消元法求解即可得到大球和小球的个数； （2）设出大球、小球的个数，根据水面上升高度建立方程，结合小球个数为奇数的条件，找出所有符合条件的解，统计解的数量得到可能的种数． 【详解】（1）解：根据图示信息得：每放入一个大球，水面上升，每放入一个小球，水面上升．设放入的大球为个，放入的小球为个， 由题意得：，解得 答：放入的大球为4个，放入的小球为6个． （2）解：设放入的大球为个，放入的小球为个， 由题意得：，变形为， ∵为正整数，为奇数， ∴当时，；当时，． 答：有2种可能，分别是3个小球，5个大球或9个小球1个大球． 22．定义：对于任意实数，，规定新的一种运算规则：，， (1)当，时，，，求，的值； (2)若关于，的方程组，（为常数）的解也满足关于，的方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，得出，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． （2）先理解题意，得出，则，又因为，得，整理得，再解得，即可作答． 【详解】（1）解：由题意可得方程组， 得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：由题意可得方程组 可得， ， ， ， ， ， ， ∴， 的值为． 23．年湘超联赛火爆三湘大地，永州队带着“永冲锋”的倔强精神，以史诗般的征程“一路突围”，最终力克常德队，将湘超首座冠军奖杯高高捧起．在常规赛中，湖南个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），比赛规则如下：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．月日常规赛结束，部分球队的积分如下表： 队伍 场次 胜 平 负 积分 长沙队           2 0      永州队      3      岳阳队      4 (1)请问在这一次湘超常规赛中一共比了多少场比赛？ (2)求永州队一共胜了多少场？ (3)岳阳的小王由于学习原因，没有了解最新的比赛信息，只知道负4场，他猜测岳阳队的总积分为分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1) (2)6 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）湖南个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），每个球队比赛场，故共场，但是每次比赛数2遍，所以总场数为场； （2）设永州队胜场，平场，根据永州队比赛了场，得分分，列方程组求解即可； （3）设岳阳队胜场，平场，根据岳阳队比赛了场，得分分，列方程组求解得不是整数，故可求解题目． 【详解】（1）解：湖南个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场）， 共比赛：（场）， 答：这一次湘超常规赛中一共比了场比赛； （2）解：设永州队胜场，平场，根据题意得： 解得， 答：永州队一共胜了6场； （3）解：设岳阳队胜场，平场，根据题意得： 解得， ∵不是整数，故不可能． 24．中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进辆型和辆型汽车需要万元，辆型和辆型汽车需要万元．销售、两种型号的汽车每辆分别可获得利润万元和万元． (1)求、两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？ (2)该公司准备用正好万元购进这两种型号的汽车（两种汽车都要买），请你帮助该公司设计共有几种购买方案．并通过计算说明哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)型汽车进价为万元，型汽车进价为万元 (2)共有种方案，其中购买型汽车辆，型汽车辆利润最大，最大利润为万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和二元一次方程的整数解及方案选择，熟练运用方程思想和利润计算公式是解答本题的关键． （1）利用题目中给出的两组采购总价信息，建立关于、两种型号汽车进价的二元一次方程组，通过解方程组求出两种型号汽车的进价； （2）根据总采购金额列出二元一次方程，结合正整数条件确定所有采购方案，再代入利润公式计算并比较，确定利润最大的方案及最大利润． 【详解】（1）解：设型汽车进价为万元，型汽车进价为万元，根据题意得： 解得， 答：型汽车进价为万元，型汽车进价为万元； （2）解：设型汽车购买了辆，型汽车购买了辆， ，整理得 均为正整数，或或 共种购买方案，当时：（万元）， 当时：（万元）， 当时：（万元）， ，故时利润最大（其它作法得第三个方案利润最大也可以） 答：共有种方案，其中购买型汽车辆，B型汽车辆利润最大，最大利润为万元． 25．若平面直角坐标系上点的横、纵坐标满足关于x，y的方程组，则称点P为该方程组的关联点，如点为方程组的关联点． (1)若点为关于x，y的方程组的关联点，则________，________； (2)已知点为关于x，y的方程组的关联点，点为关于x，y的方程组的关联点；若点A与点B恰好重合，求点A的坐标，并求出m，n的值． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组； （1）根据关联点的定义，把代入即可求出a，b； （2）由题意可知，方程组和的解相同，联立后得出新方程组，求出x，y的值，再把x，y的值代入含有m，n的方程即可． 【详解】（1）解：∵点是方程组的关联点， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵点与点重合， ∴方程组和的解相同， 联立， 解得：， ∴， 把分别代入和 得：，， ∴，． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十六章 二元一次方程组·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C B C B B B C A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（答案不唯一） 12． 13．2026 14．0 15．20 16． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解：， 把②代入①，得， 解得， 把代入②，得， ∴原方程组的解为；............3分 （2）解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为．............6分 18． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法； 以上求解步骤中，第一步的依据是等式的基本性质．............1分 （2）第二步开始出现错误，方程时等式的右边结果错误；............3分 （3）解方程组：， ①，得③， ②③，得．则， 将代入①，得， 所以，原方程组的解为．............6分 19． 【详解】解：设甜果买x个，苦果买y个． 列方程组得，，............3分 解得， 答：甜果买了657个，苦果买了343个．............6分 20． 【详解】（1）解：解方程组，得， ，满足“友好关系”的定义， 故答案为：具有；............2分 （2）解：方程组的解与具有“友好关系”， ， 联立，解得， 将代入方程， 得，解得．............6分 21． 【详解】（1）解：根据图示信息得：每放入一个大球，水面上升，每放入一个小球，水面上升．设放入的大球为个，放入的小球为个， 由题意得：，解得 答：放入的大球为4个，放入的小球为6个．............4分 （2）解：设放入的大球为个，放入的小球为个， 由题意得：，变形为， ∵为正整数，为奇数， ∴当时，；当时，． 答：有2种可能，分别是3个小球，5个大球或9个小球1个大球．............8分 22． 【详解】（1）解：由题意可得方程组， 得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴；............4分 （2）解：由题意可得方程组 可得， ， ， ， ， ， ， ∴， 的值为．............8分 23． 【详解】（1）解：湖南个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场）， 共比赛：（场）， 答：这一次湘超常规赛中一共比了场比赛；............2分 （2）解：设永州队胜场，平场，根据题意得： 解得， 答：永州队一共胜了6场；............5分 （3）解：设岳阳队胜场，平场，根据题意得： 解得， ∵不是整数，故不可能．............8分 24． 【详解】（1）解：设型汽车进价为万元，型汽车进价为万元，根据题意得： 解得， 答：型汽车进价为万元，型汽车进价为万元；............5分 （2）解：设型汽车购买了辆，型汽车购买了辆， ，整理得 均为正整数，或或 共种购买方案，当时：（万元）， 当时：（万元）， 当时：（万元）， ，故时利润最大（其它作法得第三个方案利润最大也可以） 答：共有种方案，其中购买型汽车辆，B型汽车辆利润最大，最大利润为万元．............12分 25． 【详解】（1）解：∵点是方程组的关联点， ∴， ∴， ∴， ∴，；............6分 （2）解：∵点与点重合， ∴方程组和的解相同， 联立， 解得：， ∴， 把分别代入和 得：，， ∴，．............12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十六章 二元一次方程组·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．下列各组数中，是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 3．已知是关于、的方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．小红同学在解关于和的二元一次方程组时，利用①②就将未知数消去了，则和应该满足的条件是（    ） A． B． C． D． 5．《孙子算经》中记载了这样一道题：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，木长多少尺？”若设绳子长尺，木长尺．根据题意，可得列方程组（　　） A． B． C． D． 6．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（    ） A．4 B．2 C． D．±2 8．关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 9．对有理数x、y定义新运算：，其中a，b都是常数．若，，则a，b的值分别是（    ） A．1，2 B．2，1 C．2，2 D． 10．已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A．或0 B．或 C． D．0 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．试写一个二元一次方程，使它的解是这个方程可以是 ． 12．已知用含的式子表示，则＝ ． 13．已知是方程的解，则代数式的值是 ． 14．若与互为相反数，则 ． 15．幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则的值为 ． x 1 y 5 16．已知关于的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则的值为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解方程组： (1) (2) 18．下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：，得．③……第一步 ，得， ．……第二步 将代入①，得．……第三步 所以，原方程组的解为错误……第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_________法；以上求解步骤中，第一步的依据是______________． (2)第________步开始出现错误，具体错误是________________________． (3)直接写出该方程组的正确解：________________________． 19．我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题：九百九十九文钱，甜果、苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜果、苦果几个？大意：用999文钱，买了甜果和苦果共1000个，11文钱能买9个甜果，4文钱能买7个苦果，试问甜果、苦果各买了几个？ 20．对于关于，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_____(填“具有”或“不具有”)“友好关系”； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值． 21．根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入个球，使水面上升到，放入的大球、小球各多少个？ (2)如果放入若干个球，使水面升高，且小球个数为奇数，问有几种可能？ 22．定义：对于任意实数，，规定新的一种运算规则：，， (1)当，时，，，求，的值； (2)若关于，的方程组，（为常数）的解也满足关于，的方程，求的值． 23．年湘超联赛火爆三湘大地，永州队带着“永冲锋”的倔强精神，以史诗般的征程“一路突围”，最终力克常德队，将湘超首座冠军奖杯高高捧起．在常规赛中，湖南个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），比赛规则如下：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．月日常规赛结束，部分球队的积分如下表： 队伍 场次 胜 平 负 积分 长沙队           2 0      永州队      3      岳阳队      4 (1)请问在这一次湘超常规赛中一共比了多少场比赛？ (2)求永州队一共胜了多少场？ (3)岳阳的小王由于学习原因，没有了解最新的比赛信息，只知道负4场，他猜测岳阳队的总积分为分，你认为可能吗？为什么？ 24．中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进辆型和辆型汽车需要万元，辆型和辆型汽车需要万元．销售、两种型号的汽车每辆分别可获得利润万元和万元． (1)求、两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？ (2)该公司准备用正好万元购进这两种型号的汽车（两种汽车都要买），请你帮助该公司设计共有几种购买方案．并通过计算说明哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 25．若平面直角坐标系上点的横、纵坐标满足关于x，y的方程组，则称点P为该方程组的关联点，如点为方程组的关联点． (1)若点为关于x，y的方程组的关联点，则________，________； (2)已知点为关于x，y的方程组的关联点，点为关于x，y的方程组的关联点；若点A与点B恰好重合，求点A的坐标，并求出m，n的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $