5.3正方形（第2课时） 课件 2025-2026学年浙教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦正方形性质及与平行四边形、矩形、菱形的联系，通过“图形共同特征”提问导入，结合小学知识与旧知（平行四边形等判定）搭建学习支架，引导学生从已有认知过渡到新知探究。 其亮点在于通过动手操作（画邻边相等矩形和直角菱形）培养几何直观，性质证明（边、角、对角线）强化推理能力，对比表格梳理知识体系。采用探究式教学，学生能深化理解，教师可高效落实教学目标。

5.3 正方形 （第二课时） 第5章 特殊平行四边形 01 教学目标 01 02 掌握正方形的性质，理解正方形和其他特殊四边形的区别和联系； 理解并利用正方形的性质来解决有关问题。 情境引入 提问：“这些图形有什么共同特征？我们小学学过正方形，它和之前学的平行四边形、矩形、菱形有什么关系？” 典例1 如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便 得到正方形： .两组对边分别相等 .一组对边平行且相等 .一组邻边相等 .一个角是直角 顺次添加的条件： ; ; 。 则正确的是( ) C A.仅① B.仅③ C.①② D.②③ 4 02 新知导入 5种判定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线互相垂直 一组邻边相等 或对角线互相垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定： 03 新知讲解 平行四边形 矩形 菱形 正方形又有哪些性质呢？ 你能说出平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系吗？ 正方形 正方形不仅是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，又是特殊的菱形.它具有矩形和菱形的所有性质. 新知探究 用直尺和圆规画一个“有一组邻边相等的矩形”，再画一个“有一个角是直角的菱形”，观察画出的图形，提问：“这两个图形有什么共同点？” 学生分组讨论，结合操作结果和旧知，猜想正方形的定义 正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 提问：“正方形是特殊的平行四边形吗？是特殊的矩形吗？是特殊的菱形吗？为什么？” 新知探究 将平行四边形的一个角变为90°，则为矩形 矩形的两个邻边相等时为正方形 平行四边形两邻边相同是为矩形 菱形的一个角等于90°时为正方形 性质 符号语言 图示 对 角 线 定理2：正方形的 对角线相等，并 且互相垂直平 分。 因为四边形 是正方形, 所以, ， 。 对 称 性 轴对称图形。 直线,，, 是正方形 的对称轴。 9 敲黑板 正方形的其他性质 （1）正方形的每条对角线都平分一组对角。 （2）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角 形；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角 形。 （3）周长相等的四边形中，正方形的面积最大。#4.1.3.3 10 03 新知讲解 平行四边形 矩形特殊性质 菱形特殊性质 性质 边 对边平行且相等 四条边都相等 角 对角相等，邻角互补 四个角都是直角 对角线 对角线互相平分 对角线相等 对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 猜想：1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等. 2.正方形的对角线相等，并且互相垂直平分. 03 新知探究 已知：如图，四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四条边都相等，四个角都是直角. 尝试证明 证明：因为四边形ABCD是正方形， 所以∠A=90°，AB=AD（正方形的定义）. 又因为正方形是平行四边形， 所以四边形ABCD是矩形（矩形的定义）， 且四边形ABCD是菱形（菱形的定义）. 所以∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD. A B C D 新知探究 提出猜想 猜想1（角）：正方形的四个角都是直角。 已知：如图，四边形ABCD是正方形，求证：∠A = ∠B = ∠C= ∠D 证明：∵正方形是特殊的平行四边形，且正方形有一个内角是直角，设∠A=90°。 ∵平行四边形邻角互补， ∴∠A+∠B=180°, ∠B=180°-90°=90°。 ∵平行四边形对角相等， ∴∠C=∠A=90°,∠D=∠B=90°。 ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°, 新知探究 提出猜想 猜想2（边）：四条边相等 已知：如图，四边形ABCD是正方形，求证：AB=BC=CD=DA 证明：∵正方形是特殊的平行四边形， ∴平行四边形对边相等， ∴AB=CD,AD=BC。 又∵正方形定义：有一组邻边相等的平行四边形， 设AB=AD。 ∴AB=AD=BC=CD, 即AB=BC=CD=DA。 7.如图，正方形的顶点与正方形 的对角线交点重合，正方形 和正方形 的边长都是 ，则图中重叠部分的面 积是___ . 1 15 【点拨】 正方形和正方形 的边 长都是, ， ， ， . . 即图中重叠部分的面积是 . 返回 16 03 新知探究 正方形的性质定理1： 正方形的四个角都是直角，四条边相等。 符号语言： 因为四边形ABCD是正方形， 所以∠A=∠B=∠C=∠D=90°, AB=BC=CD=AD A B C D 03 新知讲解 已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O. 求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD. 尝试证明 A B C D O 证明：在四边形ABCD 中， 因为正方形是矩形， 所以AO=BO=CO=DO，AC=BD 又因为正方形是菱形， 所以AC⊥BD. 新知探究 提出猜想 猜想3（对角线）：正方形的对角线相等 已知：如图，四边形ABCD是正方形，连接AC、BD相交与O，求证：AC=BD 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°, 又BC=CB(公共边) △ABC≌△DCB(SAS) ∴AC=BD。 新知探究 正方形的对称性 对称类型 对称中心/对称轴 数量 特征 轴对称 对边中点所在直线、两条对角线所在直线 4 条 沿对称轴对折，两边完全重合 中心对称 两条对角线的交点 1 个 绕交点旋转180∘，与自身重合 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比 类型 平行四边形 _______________ 矩形 ___________________ 菱形 ___________________ 正方形 _______________ 边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都 是直角 四个角都 是直角 21 类型 平行四边形 _______________ 矩形 ___________________ 菱形 ___________________ 正方形 _______________ 对角线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相 等 对角线互 相垂直 对角线相 等且互相 垂直 22 03 新知探究 正方形的性质定理2： 正方形的对角线相等，并且互相垂直平分。 符号语言： 因为四边形ABCD是正方形 所以AC⊥BD,AC=BD, OA=OB=OC=OD A B C D O 03 新知讲解 思考 正方形是轴对称图形吗？有几条对称轴？ 正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形， 有4条对称轴. 典例分析 例题1. 如图，点P为正方形ABCD内一点，连接PB、PC、PD,若PB=PD,求证：∠ABP=∠ADP. 证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴BC=DC,∠ABC=∠ADC=90°,又∵PB=PD,PC=PC, ∴△PBC≌△PDC(SSS), ∴∠PBC=∠PDC, ∴∠ABC-∠PBC=∠ADC-∠PDC, ∴∠ABP=∠ADP. 典例分析 例题2.如图所示，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且AB=AE,则∠BEC的度数是 。 解：在正方形ABCD中，AC平分∠BAD, ∴∠BAE=45°. ∵AB=AE, ∠ABE=∠AEB=（180°-45°）÷2=67.5°又∵∠AEB+∠BEC=180°, ∴∠BEC=180°-67.5°=112.5°. 典例2 如图，在正方形中，点 是边上的一 点，点是 的延长线上一点，且 。 （1）求证： ； 解：证明：因为四边形 是正方形， 所以， 。 在和中， 所以 ，所以 。 27 （2）若，，求 的面积。 解：因为四边形是正方形，所以 。 由（1）知 ， 所以，所以 ， 所以 。 在中， 。 因为，所以 ， 所以的面积为 。 28 课堂小结 正方形的性质 边的性质： ①两组对边分别平行(它是平行四边形) ②四条边都相等(兼具菱形的边的特征) 角的性质： ①对角相等； ②邻角互补； ③四个角都是直角(这是正方形最独特的角的性质) 05 课堂小结 正方形的性质 正方形的四个角都是直角，四条边相等。 正方形的对角线相等，并且互相垂直平分。 $