18.1.1 矩形的性质-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（华东师大版·新教材）

第 18 章 矩形、菱形与正方形 18.1 矩形 18.1.1 矩形的性质 +++++++知识储备+++++++ 知识点三矩形的对角线相等 1.矩形是有一个角是 的平行四边形，矩 6.【教材P114练习T1变式】如图，矩形ABCD 形是 对称图形，也是 对称 中，AB<BC,AC与BD交于点O,则图中等 图形，对称轴是通过对边 的直线 腰三角形的个数是 () 2.矩形的四个角都是 A.8 B.6 C.5 D.4 3.矩形的对角线 01基础练 细必备知识梳理·一 知识点一 矩形的概念及其对称性 1.【概念辨析】如图，☐ABCD 第6题图 第7题图 中，若∠A=90°，则□ABCD 7.如图，线段BC为等腰△ABC的底边，矩形 是 ,理由是 ADBE的对角线AB与DE交于点O,若OD =2,则AC= 2.矩形有 条对称轴，通过对边 的 8.(2025·南阳月考)如图，在矩 直线就是它的对称轴。 形ABCD中，对角线AC,BD 知识点二矩形的四个角都是直角 相交于点O,∠ABD=60°， 3.如图，一个矩形纸片，剪去一部分后得到一个 AB=2,则AC的长为 三角形，则图中∠1十∠2的度数是 () A.30° B.60° C.90 D.120° A.6 B.5 C.4 D.3 9.如图，在矩形ABCD中，AC,BD是对角线， 过点C作CE∥BD,交AB的延长线于点E 2 求证：AC=EC. 第3题图 第4题图 4.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,则 BD的长是 5.如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在 边BC上，且BE=CF.求证：AF=DE E 75八年级数学·下册·HS 02综合练 身关锭能力提升一 03素养练 源李科去养给有一 10.【教材P114练习T3变 15.【教材P115练习T3变式】如图，在矩形 式】如图，将矩形ABCD沿 ABCD中，点P为AD上一点，过点P作 对角线BD折叠，点C落 PE⊥AC,PF⊥BD,垂足分别为E,F.已知 在点E处，BE交AD于点F,已知∠DBC= ∠AOB=60°，AB=1. 18°，则∠ABF的度数为 ( ) (1)求矩形ABCD的面积； A.18°B.36° C.54 D.72° (2)求PE+PF的值. 11.(2024·商水月考)如图，矩 D \M 形ABCD中，AB=4,BC= 3,将其沿直线MN折叠使点 B C与点A重合，则CN的长为 7 A.8 c n号 12.(2025·内江)如图，在矩形 ABCD中，AB=8,AD=6, 点E、F分别是边AD、CD 上的动点，连结BE、EF,点G为BE的中 点，点H为EF的中点，连结GH,则GH的 最大值是 13.如图，在矩形ABCD中， AC,BD相交于点O,AE平 分∠BAD,若∠CAE=15°， 则∠BOE的度数为 14.如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点 O,E,F分别是AO,DO的中点，连结BE, CF.求证：BE=CF 解题妙招 利用矩形的性质求线段长的方法 利用矩形的性质求线段长时，主要从矩形“对 角线”和“边”的性质入手.矩形对角线相等且互相 平分，将矩形分成两对全等的等腰三角形，四个面 积相等的等腰三角形，同时可结合勾股定理与矩 形面积等知识计算，如T15. 助学助教优质高数76在线段CM上，即2≤t≤5，AE=FM时，则有t=2t-4.解得t=4.综上所述， 当1=专s或4s时，以点A,M,E,F为顶点的四边形是平行四边形。 第17章大单元整合与素养提升 典例导航 【例】1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC,AB=CD. ∴∠DAE=∠AEB.AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE.∴.∠BAE= ∠AEB.∴.BE=AB..BE=CD;(2)证明：由(1)知BE=AB,,BF平分 ∠ABE,∴AF=EF又∠DAE=∠AEB,∠AFD=∠EFC,∴.△ADF≌ △ECF(ASA)..DF=CF.又AF=EF,∴.四边形ACED是平行四边形： (3)解：由(1)知BE=AB,又∠BEA=60°，.∴.△ABE是等边三角形..AB= AE=4.:BF⊥AE,∴AF=EF=号AE=2.在R△ABF中，由勾股定理， 得BF=√AB2-AF=V√42-22=√I2.,∠DAE=∠AEB,AF=EF ∠AFD=∠CFE,∴.△ADF2△ECF..S△DF=S△F·.平行四边形 ABCD的面积=△ABE的面积=号×AEX BF=-号X4XVI2=2VI2. 考点过关 1.B2.B3.C4.105.16.2或3或4或5或67.D8.C9.AB CD(答案不唯一)10.C11.812.(2,-3)或(6,3)或(-2,3)13.-3 14.解：(1)PD+PE+PF=AB.理由如下：过点P作MN∥BC,交AB于 M,交AC于N.PE∥AC,PF∥AB,∴.四边形PEAF是平行四边形. PF=AE..AB=AC,∴.∠B=∠C..MN∥BC,.∠ANM=∠C= ∠AMN=∠B.又PE∥AC,.∠EPM=∠ANM=∠C=∠PME.∴.PE= EM.又PM∥BC,PD∥AB,∴.四边形BDPM是平行四边形.∴，PD=BM .PD+PE+PF=BM+EM+AE=AB.(2)PE+PF-PD=AB. 第18章矩形、菱形与正方形 18.1矩形 18.1.1矩形的性质 知识储备 1.直角中心轴中点2.直角3.相等 基础练 1.矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形2.两中点3.C4.10 5.证明：，四边形ABCD是矩形，.AB=DC,∠B=∠C=90°.，BE=CF, .BE+EF=CF+EF,即BF=CE..△ABF≌△DCE(SAS).∴.AF=DE. 6.D7.48.C9.证明：，四边形ABCD是矩形，.BD=AC,DC∥ AB..CE∥BD,.四边形DBEC是平行四边形..BD=EC.∴.AC=EC 10.C11.C12.513.75°14.证明：.矩形ABCD,.AC=BD,BO D0BD.A0=0C-2AC.0B=0C,OA=OD.:点E,F分别是A0: DO中点，∴.OE=OF.又∠AOB=∠COD,∴.△BOE≌△COF.∴.BE=CF. 15.解：1)在矩形ABCD中，0A=OC=2AC.OB=OD=2BD.A0- BO=DO=CO.AC=BD,:∠AOB=60°，∴.△AOB是等边三角形.∴.OA= AB=1.∴.AC=2.∴.BC=√AC-AB=√22-1=√3.∴.矩形ABCD的 v D 面积=AB·BC=1×3=3;(2)如图，连结OP, :三角形AOD的面积=}×矩形ABCD的面积= 0A.PE+ODF-P 18.1.2矩形的判定 第1课时矩形的判定 知识储备 1.直角2.相等 基础练 1.D2.∠A=90°（答案不唯一）3.D4.证明：，AE⊥BC,CF⊥DA, ∴.∠AEB=∠AEC=∠AFC=90°.：□ABCD,∴.AD∥BC..∠AEB= ∠EAF=90°=∠AFC.∴.四边形AECF是矩形.5.D6.矩形对角线相 等的平行四边形是矩形7.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，AB ∥CD,AB=CD,AD=BC.,BE=AB,∴.BE=CD.∴.四边形BECD是平