18 回归教材专题(3) 中点四边形问题&模型构建专题(3) 矩形中的折叠模型-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（华东师大版·新教材）

回归教材专题（三） 教材P1 解题技巧 顺次连接一个四边形各边中点所得到的四边形 叫作中点四边形，中点四边形的形状只与原四边形的 对角线的位置关系和数量关系有关，与原四边形的形 状无关.通常情况下，判定中点四边形的形状要抓住 两个关键，点：①三角形中位线定理的应用；②原四边 形两条对角线的数量关系和位置关系，若原四边形的 对角线相等，则中点四边形是菱形；若原四边形对角 线互相垂直，则中点四边形是矩形，反之，亦成立 类型一确定中点四边形的形状 1.如图，点E,F,G,H分别是 四边形ABCD边AB,BC, E CD,DA的中点，则下列说 法： ①若AC=BD,则四边形EFGH为矩形； ②若AC⊥BD,则四边形EFGH为菱形； ③若AC=BD,则四边形EFGH是正方形； ④若AC与BD互相垂直且相等，则四边形 EFGH是正方形.其中正确的是 () A.③ B.④ C.①② D.②④ 2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD 于O,且AC=BD,点E,F,G,H分别是AB, BC,CD,DA的中点.求证：四边形EFGH是 正方形 89八年级数学·下册·HS 中点四边形问题 32例4的变式与拓展 类型二由中点四边形的形状确定原四边形的形状 3.如图，顺次连结四边形ABCD各边中点，得 到四边形EFGH,要使四边形EFGH是矩 形，应添加条件 () A.AB∥CD B.AC-BD C.AC⊥BD D.AB-DC D 第3题图 第4题图 4.如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是 BC,AC,AD,BD的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD的边AB,CD应满足 的条件是 类型三运用中点四边形计算对角线 5.如图，在菱形ABCD中，AC=6,BD=8,点 E,F,G,H分别是各边中点，则四边形EFGH 的面积是 B 第5题图 第6题图 6.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,E, F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，则 四边形EFGH的周长等于 请完成进阶测评六 模型构建专题（三） 【针对教材P 类型 图示 模型解读 条件：将矩形ABCD沿对角 基 线AC折叠，得到△AEC. 结论：①△AEC≌△ABC, 模 △AEF≌△CDF;②AC垂 型 直平分BE;③△AFC是等 腰三角形，AF=CF. 条件：将矩形ABCD折叠， 使点B的对应点E恰好落 在边AD上. 形 结论：①△CBF≌△CEF;② CF垂直平分BE;③△CBE 是等腰三角形，CB=CE. 条件：将矩形ABCD折叠， 变 使AB落在对角线AC上. 结论：①△ABE≌△AFE; ②AE垂直平分BF;③△AEG 是等腰三角形，AG=EG. 条件：将矩形ABCD折叠，使 点B与点D重合.结论：①四 变 边形DGEF与四边形BAEF 形 全等，△DGE≌△DCF;②EF 垂直平分BD;③△DEF是等 腰三角形，DE=DF! 遇折叠，得全等，将折叠前后的线段转移，集 基本 中在一个直角三角形中，利用勾股定理列方 方法 程求解」 【对点训练】 1.如图，在矩形纸片ABCD 中，已知AD=8,折叠纸片 使点B落在对角线AC上 的点F处，折痕为AE,且EF=3,则AB的 长为 () A.3 B.4 C.5 D.6 矩形中的折叠模型 26习题T8】 2.如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重 合，折痕为EF,EF与AC交于点O.若AE= 3,BF=1,则AC的长为 () A.√/24B.√8 C.√6 D.√96 V 0 E Bx 第2题图 第3题图 3.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边 OB,OA分别在x轴、y轴正半轴上，点D在 BC边上，将矩形AOBC沿AD折叠，点C恰 好落在边OB上的点E处，若OA=8,OB= 10,则点D的坐标是 4.如图所示，在矩形ABCD中， AB=3,BC=4,点E是BC边 上一点，连结AE,把∠B沿 AE折叠，使点B落在B处，当△CEB为直角 三角形时，BE的长为 5.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=10, 将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A'处， 若EA'的延长线恰好过点C,求DE的值. 助学助教优质高效90=90°，，.∠AEB+∠BAE=90°..∴.∠BAE=∠FEH.又AE =EF,∠ABE=∠EHF,∴.△ABE≌△EHF..BE=HF, AB=EH=BC.∴.BC-EC=EH-EC,即BE=CH..HF =CH.∴.∠HCF=∠HFC=45°，∠DCF=45°.∴.CF是正方 形ABCD外角的平分线，8.解：延长CB至点G,使BG= DF,连结AG.:四边形ABCD是正方形，∴.AB=AD, ∠ABE=∠D=∠BAD=90°.∴.∠ABG=∠ABE=∠D= 90°..△ABG≌△ADF(SAS).,.AG=AF,∠BAG ∠DAF.,∠DAF+∠BAE=90°-45°=45°，.∠BAG十 ∠BAE=∠EAG=45°..∠EAG=∠EAF.又AE=AE,GB '.△AEG≌△AEF(SAS)..EF=EG=BE十BG=BE+DF.设正方形的边 长为x,则CE=x-3,DF=x-4.∴.EF=BE+DF=x-1.在Rt△CEF中， CE+CF2=EF2,∴.(x-3)2+42=(x-1)2..x=6..正方形的边长为6. 回归教材专题（三）中点四边形问题 1.B2.证明：设EF交BD于M,EH交AC于N.,AC⊥BD,∠AOB= ∠AOD=90°.E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，∴.EF∥AC EH∥BD,EF=2AC=GH,EH=BD=FG.又AC=BD,∴EF=GH= EH=FG.∴.四边形EFGH是菱形.EF∥AC,EH∥BD,∴.∠EMO= ∠AOD=90°，∠ENO=∠AOD=90°..∠FEH=360°-90°X3=90°.又菱 形EFGH,∴.菱形EFGH是正方形.3.C4.AB=CD5.126.20 模型构建专题（三）矩形中的折叠模型 1.D2.A3.(10,3)4.号或35.解：设AE=x,则DE=10-x.由折叠 知，∠A=∠BAE=90°，AB=A'B=8,AE=A'E=x..∠BA'C=90°..A C=/102-82=6.在Rt△DEC中，EC2=DC2+DE2..∴.(x+6)2=82+(10 -x)2.解得x=4.∴.DE=10-4=6. 难点强化专题特殊四边形中线段的最值问题（选用） 1.32.1.2【例】解：连结BN,连结BM交AC于N',连结 DN'.四边形ABCD是正方形，.点B与点D关于直线 AC对称.∴.DN=BN.'.DN+MN=BN+MN.∴.当B,N, M共线，即N与N'重合时，DN+MN有最小值，BM的长 即为DN+MN的最小值.，CD=4,DM=1,.CM=CD DM=4一1=3.在Rt△BCM中，BM=√BC2+CP= √42+32=5.故DN+MN的最小值是5.3.134.√2 综合与实践设计校园停车位 解：任务1：图1设计的停车位是矩形，图2设计的停车位是平行四边形，理 由如下：在图1中，AB上AD,CD⊥AD,.AB∥CD..AB=CD,∴.四边形 ABCD是平行四边形.：AB⊥AD,∴.∠BAD=90°.∴.平行四边形ABCD是 矩形；在图2中，∠G=120°，∠H=60°，∴.∠G+∠H=180°，.EG∥FH. ,EG=FH,,.四边形EFHG是平行四边形..图1中停车位的形状是矩 形，图2中停车位的形状是平行四边形；任务2：①设置垂直停车位时，，·空 地长32m,宽14m,垂直停车位长6m,宽2.5m,通道宽度不小于3.5m,∴. 14÷2.5=5.6,即按照车位的宽度来设置停车位可以设置5个.又32÷(6十 3.5)≈3（列），即按照车位的长度来设置停车位可以设置3列，.当设置垂直 停车位时，最多可以设置5×3=15（个）；②设置倾斜停车位 时，过点G作GP⊥FH于P,过点H作HQ⊥EF交EF的 延长线于Q,如图所示：，四边形EFHG为平行四边形，倾 斜线长6m,倾斜线之间的距离为2.5m,∴.HF=GE=6m, GH=EF,GH∥EQ,GP=2.5m.∴.∠HFQ=∠GHF=60° 在Rt△HFQ中，∠FHQ=90°-∠HFQ=30°，∴.FQ=号HF=3m,由勾股定 理，得HQ=√HF-FQ=√27≈5.19(m).在Rt△GHP中，∠HGP=90° ∠GHF=30°，∴.GH=2HP,由勾股定理，得GH-HP=GP,即(2HP)2 HP=2.5.HP=√≈1.4m.GH=2H2.88m.每行设置 的停车们位是：(32一3)÷2.88≈10（个）..5.19+3.5十5.19=13.8814， 可以设置两行倾斜停车位，共有10×2=20（个）.答：学校该空地应选择倾斜 停车位布置方式，最多可以设置20个停车位. 21