17 数学活动(3) 图形的等分&核心素养专练&大单元整合与素养提升-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（华东师大版·新教材）

数学活动（三）图形的等分 如图1，我们将一张长方形纸片顺着中缝或对角线所在的直线翻折，折痕将这个长方形一分为 二，两部分的形状与大小完全一样. 如图2，用两条直线可以将一个长方形纸片分成面积相等的四部分. E四日1✉ 图1 图2 对于一般的平行四边形（如图3），是否和长方形一样，也存在这样的直线，将其面积二等分，或 进一步将其面积四等分？它们之间有什么规律呢？ 活动1：平分平行四边形的面积，除以下两种方法以外（图4、图5），你还有其他什么方法？请在图6 中画出来. 图3 图4 图5 图6 活动2：通过平分平行四边形的面积，你发现了什么？你能平分下面图案（图7）的面积吗？ 活动3：老师将两个正方形按照图8所示的方式摆放，请你试着将整个图形的面积平分 活动4：如图9，平面直角坐标系中放着6个边长为1个单位的小正方形，经过原点O的直线恰好将 6个正方形分成面积相等的两部分，请你画出这条直线，并直接写出该直线的表达式. 12345 图7 图8 图9 71八年殺数学·下册·HS 第17章核心素养专练 核心素养专练 01运算能力 【素养解读】运算能力主要是指根据法则和运算律进 行运算的能力.本章主要是运用平行四边形的性质和 其他几何知识进行运算 1.在平行四边形ABCD中，∠A:∠B=1:2, 则∠C的度数是 () A.60° B.80° C.120° D.160° 2.如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线交 AD于点E,∠BCD的平分线交AD于点F, 若AB=3,AD=4,则EF的长是 () A.1 B.2 C.2.5 D.3 ED B 第2题图 第3题图 3.如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆 03模型观念 规作∠BAD的平分线交BC于点E,连结 【素养解读】解决平行四边形有关问题时，有时还需结 EF,AE,BF相交于点O,若BF=6,AB=5, 合已知条件列出方程模型进行解答 则AE的长为 ( 5.【分类讨论思想】在四边形ABCD中，AD A.4 B.6 C.8 D.12 6cm,AD∥BC,BC⊥CD,BC=10cm,M是 02推理能力 BC上一点，且BM=4cm,点E从A出发以 【素养解读】推理能力是指从一些基本事实和命题出 1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发 发，依据规则推出其他结论的能力，在平行四边形的 以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到 性质和判定中，体现了这一素养。 达终点，而另一点也随之停止，设运动时间t, 4.如图，在□ABCD中，点E,F在对角线AC 当t的值为多少时，以A,M,E,F为顶点的 上，且AF=CE,连结BE,DE,BF,DF 四边形是平行四边形？ (1)求证：四边形BEDF是平行四边形； (2)若∠BAC=80°，AB=AF,DC=DF,求 ∠EBF的度数. 助学助教优质高数72 第17章大单元整合与素养提升 01典例导航 02考点过关 【例】如图，四边形ABCD是平行四边形， 考点一平行四边形的性质 ∠BAD的平分线AE交CD于点F,交BC的 1.(2025·贵州)如图，小红想将一张长方形纸 延长线于点E 片沿AD,BC剪下后得到一个☐ABCD,若 (1)求证：BE=CD; ∠1=70°，则∠2的度数是 () (2)若BF恰好平分∠ABE,连结AC、DE, 求证：四边形ACED是平行四边形； (3)若BF⊥AE,∠BEA=60°，AB=4,求平行 A.20 B.70 C.80° D.1109 四边形ABCD的面积. 2.如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于 点O,则下列结论一定正确的是 () A.AB=BC B.AD=BC C.OA=OB D.ACBC B 第2题图 第3题图 3.如图，□ABCD中，∠DAB的平分线AE交 CD于E,AB=5,BC=3,则EC的长为() A.1 B.1.5 C.2 D.3 4.如图，在□ABCD中，对角 线AC,BD交于点O, ∠BAC=90°.若AC=6,AB=4,则BD的长 为 5.如图，直线AB∥CD,点E,F分别在AB,CD 上，∠AEF=45°，EF=√2，则AB与CD之间 的距离是 C 6.(2025·河北)平行四边形的一组邻边长分别 为3,4，一条对角线长为n.若n为整数，则n 的值可以为 .(写出一 个即可) 73八年级数学·下册·HS 考点二平行四边形的判定 13.如图，在平面直角坐标系中， 7.依据所标数据，下列一定为平行四边形的是 点A是函数y= (k<0,x< 0)图象上的点，过点A与y轴 DC 110 100 垂直的直线交y轴于点B,点C,D在x轴上， 70 80°1109 70°110 5 且BC∥AD.如果四边形ABCD的面积为 A B D 3,那么k的值为 8.如图，E是□ABCD的边 14.在△ABC中，AB=AC,点P为△ABC所在平 AD延长线上一点，连结 面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点 BE,CE,BD,BE交CD于 E,PF∥AB交BC于点D,交AC于点F 点F.添加以下条件，其中 (1)如图1，当点P在BC边上，此时PD 不能判定四边形BCED为平行四边形的是 O,易证PD,PE,PF与AB满足的数量 () 关系是PD+PE十PF=AB;当点P在 A.∠ABD=∠DCEB.DF=CF △ABC内时，先在图2中作出相应的图 C.∠AEB=∠BCD D.∠AEC=∠CBD 形，并写出PD,PE,PF与AB满足的数 9.【新中考·条件开放】如图， 量关系，然后证明你的结论： 四边形ABCD中，AB∥ (2)如图3，当点P在△ABC外时，先在图3 CD,若使四边形ABCD是 B 中作出相应的图形，然后写出PD,PE, 平行四边形，可添加条件： PF与AB满足的数量关系.（不用说明 考点三三角形的中位线 理由) 10.(2025·山西)如图，在 □ABCD中，点O是对角 线AC的中点，点E是边 B AD的中点，连结OE.下列两条线段的数量 P(D) 关系中一定成立的是 () 图1 图2 图3 A.OE-ZAD B.OE-7BC C.OE-7AB D.OE-AC 11.如图，在□ABCD中，M为 边AD上的一点，AM= 2MD,E,F分别是BM,CMB 的中点.若EF=6,则AM的长为 03素养提升 12.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为 O(0,0),A(4,0),B(2,3),则第四个顶点C 的坐标是 助学助教优质高数74.AB∥CD.又AB=CD,.四边形ABCD是平行四边形， 2.证明：△ABC是等边三角形，∴.∠ABC=60°.：∠EFB=60°，∴.∠ABC =∠EFB...EF∥DC.EF=DC,.四边形EFCD是平行四边形 3.证明：DE∥BF,∴∠DEC=∠AFB.∴∠AED=∠BFC.又AE=CF ∠ADE=∠CBF,∴.△ADE≌△CBF.∴AD=BC.又AB=CD,∴.四边形 ABCD是平行四边形.4.证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，∴.AD ∥BC.,DF∥BE,.四边形BEDF是平行四边形..DE=BF;(2),四边 形ABCD是平行四边形，，，AD=BC,AD∥BC.DE=BF,.AD一DE= BC-BF,即AE=CF.又AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形.∴.AF∥ CE.又BE∥DF,.四边形MENF是平行四边形.5.证明：，BE⊥AD, CF⊥AD,∴·∠BED=∠CFD.,D为边BC的中点，.CD=BD.在△BED ∠BED=∠CFD, 和△CFD中，∠BDE=∠CDF,.△BED≌△CFD(AAS)..DE=DF.又 BD-CD. ,BD=CD,∴.四边形BECF是平行四边形.6.证明：，四边形ABCD是 平行四边形，∴.OC=OA,BC∥AD..∠CEO=∠AFO.又∠COE=∠AOF, .△CEO≌△AFO.∴.OE=OF.又OA=OC,∴.四边形AECF为平行四边 形.7.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,AD=BC ∠B=∠D..AF=CE,.AD-AF=BC-CE.∴.DF=BE..∴.△ABE≌ △CDF(SAS).(2)解：添加BE=CE,理由如下：'AF=CE,BE=CE,∴.AF =BE.,四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC.∴.四边形ABEF是平行 四边形.8.(1)证明：在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点 O,.OA=OC.AE=EF,.OE∥CF,OE=2CF.·∠EBC=∠FCB, ∠BEF=∠CFE.P是BC中点，BP=CP.△PBE≌△PCF(AAS). ∴.PE=PF.又BP=CP,∴.四边形CFBE是平行四边形.(2)由(1)知四边 形CFBE是平行四边形，OE=CR,∴BE=CF,OE=号BE.:口ABCD, ∴0B=2BD=3.0C-2AC=4.0E=3OB=3×3=1.:CELBD. ∴.∠CEO=90°.∴.CE=√OC+OE=√42-1F=V/15 数学活动（三）图形的等分 解：活动1：设平行四边形对角线交于O,过O作直线KT,如 图：则直线KT平分平行四边形的面积；活动2：通过平分平 行四边形的面积，可知过中心对称图形的对称中心的直线平 分这个中心对称图形的面积； O12345x 图7 图8 图9 答案不唯一，过圆心作直线MV,如图：则直线MN平分图7的面积；活动3： 设两个正方形的对角线交点分别为P,Q,作直线PQ,如图8：则直线PQ平 分整个图形的面积；活动4：如图9：·S△s=S△o,∴.直线OA恰好将6个 正方形分成面积相等的两部分；设直线OA的表达式为y=kx,将(5,2)代 入，得2=5k.解得=2」 心该直线的表达式为y=2 第17章核心素养专练 1.A2.B3.C4.(1)证明：在□ABCD中，AB=CD,AB∥CD, (AB-CD. ∴.∠BAF=∠DCE.在△ABF和△CDE中，{∠BAF=∠DCE, AF-CE. ∴.△ABF≌△CDE(SAS)...BF=DE,∠DEF=∠BFA..ED∥BF..四 边形BEDF是平行四边形：(2)解：，四边形BEDF是平行四边形，.BE DF.'AB=DC=DF,∴.AB=BE.∴.∠BAE=∠BAC=80°..∠ABE 180°-2×80°=20.AB=AF,∠ABF=∠AFB=号180°-80=50. ∴.∠EBF=∠ABF-∠ABE=50°-20°=30°.5.解：分两种情况：①当点 F在线段BM上.即0≤≤2，AE=FM时，则有=4-2，解得1=专：②当点F 20 在线段CM上，即2≤t≤5，AE=FM时，则有t=2t-4.解得t=4.综上所述， 当1=专s或4s时，以点A,M,E,F为顶点的四边形是平行四边形。 第17章大单元整合与素养提升 典例导航 【例】1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC,AB=CD. ∴∠DAE=∠AEB.AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE.∴.∠BAE= ∠AEB.∴.BE=AB..BE=CD;(2)证明：由(1)知BE=AB,,BF平分 ∠ABE,∴AF=EF又∠DAE=∠AEB,∠AFD=∠EFC,∴.△ADF≌ △ECF(ASA)..DF=CF.又AF=EF,∴.四边形ACED是平行四边形： (3)解：由(1)知BE=AB,又∠BEA=60°，.∴.△ABE是等边三角形..AB= AE=4.:BF⊥AE,∴AF=EF=号AE=2.在R△ABF中，由勾股定理， 得BF=√AB2-AF=V√42-22=√I2.,∠DAE=∠AEB,AF=EF ∠AFD=∠CFE,∴.△ADF2△ECF..S△DF=S△F·.平行四边形 ABCD的面积=△ABE的面积=号×AEX BF=-号X4XVI2=2VI2. 考点过关 1.B2.B3.C4.105.16.2或3或4或5或67.D8.C9.AB CD(答案不唯一)10.C11.812.(2,-3)或(6,3)或(-2,3)13.-3 14.解：(1)PD+PE+PF=AB.理由如下：过点P作MN∥BC,交AB于 M,交AC于N.PE∥AC,PF∥AB,∴.四边形PEAF是平行四边形. PF=AE..AB=AC,∴.∠B=∠C..MN∥BC,.∠ANM=∠C= ∠AMN=∠B.又PE∥AC,.∠EPM=∠ANM=∠C=∠PME.∴.PE= EM.又PM∥BC,PD∥AB,∴.四边形BDPM是平行四边形.∴，PD=BM .PD+PE+PF=BM+EM+AE=AB.(2)PE+PF-PD=AB. 第18章矩形、菱形与正方形 18.1矩形 18.1.1矩形的性质 知识储备 1.直角中心轴中点2.直角3.相等 基础练 1.矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形2.两中点3.C4.10 5.证明：，四边形ABCD是矩形，.AB=DC,∠B=∠C=90°.，BE=CF, .BE+EF=CF+EF,即BF=CE..△ABF≌△DCE(SAS).∴.AF=DE. 6.D7.48.C9.证明：，四边形ABCD是矩形，.BD=AC,DC∥ AB..CE∥BD,.四边形DBEC是平行四边形..BD=EC.∴.AC=EC 10.C11.C12.513.75°14.证明：.矩形ABCD,.AC=BD,BO D0BD.A0=0C-2AC.0B=0C,OA=OD.:点E,F分别是A0: DO中点，∴.OE=OF.又∠AOB=∠COD,∴.△BOE≌△COF.∴.BE=CF. 15.解：1)在矩形ABCD中，0A=OC=2AC.OB=OD=2BD.A0- BO=DO=CO.AC=BD,:∠AOB=60°，∴.△AOB是等边三角形.∴.OA= AB=1.∴.AC=2.∴.BC=√AC-AB=√22-1=√3.∴.矩形ABCD的 v D 面积=AB·BC=1×3=3;(2)如图，连结OP, :三角形AOD的面积=}×矩形ABCD的面积= 0A.PE+ODF-P 18.1.2矩形的判定 第1课时矩形的判定 知识储备 1.直角2.相等 基础练 1.D2.∠A=90°（答案不唯一）3.D4.证明：，AE⊥BC,CF⊥DA, ∴.∠AEB=∠AEC=∠AFC=90°.：□ABCD,∴.AD∥BC..∠AEB= ∠EAF=90°=∠AFC.∴.四边形AECF是矩形.5.D6.矩形对角线相 等的平行四边形是矩形7.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，AB ∥CD,AB=CD,AD=BC.,BE=AB,∴.BE=CD.∴.四边形BECD是平