15.3 可化为一元一次方程的分式方程&情境串联专题 分式方程的应用-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（华东师大版·新教材）

15.3可化为一元 第1课时 分 知识储备++++ 1.方程中含有 ,并且分母中含有未知数 的方程叫做分式方程 2.将分式方程变形为整式方程时，方程两边都乘 以同一个含有未知数的整式，去分母可能产生 适合整式方程，而不适合原分式方程的解（或 根)，这种根通常称为 ,因此，解分式方 程时必须进行检验 01基础练 缨必备知识梳理一 知识点一 分式方程的概念 1.【概念辨析】下列方程中，是分式方程的是() B.1=5 xx+3 C.x+2=1 D.x=2x-5 2下列方程：02日@-名=3-2 1@1-青+g-7x+2 5 10.其中是整式方程的是 ;是分式 方程的是 (填序号) 知识点二分式方程的解法 3.(2025·湖南)将分式方程1=2 x十1去分母后 得到的整式方程为 () A.x+1=2x B.x+2=1 C.1=2x D.x=2(x+1) 4.（1)(答题模板)解分式方程： 2 3 6 x+1Tx-1x2-11 解：方程两边都乘以最简公分母 得 解这个整式方程，得x= 检验：当x= 时， 11八年极数学·下册·HS 次方程的分式方程 式方程的解法 最简公分母 所以原分式方程 (2)【教材P16习题T1变式】解方程： ①(2025·三州)1-2 ②(2025·成海)号-12元 知识点三分式方程的增根 5关于：的分式方程，一2=色，的增根为 () A.x=-1 B.x=0 C.x=-2 D.x=1 6若解分式方程二}，产生增根，则加的 值为 易错点 去分母时，常数项漏乘最简公分母 致错 7.【新课标·过程纠错】小明解方程1一工一2 1的过程如下所示. 解：方程两边都乘以x,得1-（x一2)=1.… …① 去括号，得1一x一2=1.… ② 合并同类项，得一x一1=1.… ③ 移项，得一x=2. ④ 系数化为1，得x=一2.…… ⑤ ∴.原方程的解为x=一2. ……………… ⑥ (1)以上解方程从第 步开始出错，错误的 原因是 (2)此方程的解是 易错点②忽略分式有意义的条件致错 8若关于x的分式方程，产一，十2的解为正 数，则m的取值范围是 【点拨】先按解分式方程的步骤解分式方程（用含 的式子表示x),再根据解为正数和分母不为零列不 等式组解答。 02综合练 凰关健能力提升一 9.【新中考·新运算型阅读理解题】对于实数a 和6，定义一种新运算“⑧”即a⑧b=1 a一b2,这 里等式右边是实数运算，例如：1⑧3=1一3 -一日则方程网2-2一1的解为() 2 A.x=5 B.x=4 C.x=3 D.x=2 10.【教材P17习题T6变式】当m= 时， 关于x的分式方程2x十m x-3 =一1无解。 11.【教材P27复习题T9变式】解方程： (1)x+8-5,=1: x十2x2-4 (2),'1-1=-+2 3 8名中3 03素养练 苏李科去路方一 12.【新中考·解题方法型阅读理解 题】先阅读下面的材料，然后回答 问题： 方程x十是=2十号的解为=2。= x 方程x十是=3十日的解为=3。=日 方程x+上=4+的解为=4，x,=寻： x ... (1)观察上述方程的解，猜想方程x+”= c+的解是 (2)请根据上述方程及其解的特征，对方程 y一管进行变形并写出方程伦解. 助学助教优质高效12 方法技巧专题（一）由分式方程解的情况确定字母参数的取值范围（或值） 【针对教材P17习题T5、T6】 类型一由特殊解确定字母参数的取值范围 于x的分式方程-2-3，的解为正整 x-1 模型展示 由特殊解确定字母参数的取值范围的一般步骤 数，则所有满足条件的整数a的值之和为 如下： ( (1)先求出分式方程的解（用含有字母参数的式子 A.8 B.14 表示)；(2)由分式方程的解为特殊解列出关于字母参 C.18 D.38 数的不等式，并求出解集；(3)由分式方程的解应使分 3x+1≤2(x-2), 母不为0列出关于字母参数的不等式，并求出解集； 4.若关于x的一元一次不等式组 x-24∠1 (4)由(2)和(3)中的解集确定字母参数的取值范围. 的解集为x≤一5，且关于x的分式方程 1.(2025·黑龙江)已知关于x的分式方程+5 x-4 2+ax+2= 3-x x一3有正整数解，则符合条件的所 2k =3解为负数，则的值为 4-x 有整数a的和是 A.k<-4 B.k>-4 类型三由无解确定字母参数的取值 C.<-4且k≠-4 D心-1且-青 解题技巧 3 分式方程无解有两种情况： x32= 2.已知关于x的分式方程x。 m一有 (1)去分母后化成的整式方程有解，但这个解使 3-x 原分式方程的最简公分母为0，即是原分式方程的增 解，则m的取值范围是 根；(2)去分母后化成的整式方程无解，即ax=b中，a 类型二与不等式组的解集结合确定字母参数 =0且b≠0. 的取值 解题技巧 5若4}三0无解，则m的值是（) 与不等式组的解集结合确定字母参数的取值的 A.-2 B.2 般步骤如下： C.3 D.-3 (1)由分式方程的解为特殊解确定字母参数的取 6.(2025·遂宁)若关于x的分式方程 3-ax 值范围（方法同类型一）；(2)由不等式组的解集确定 字母参数的取值范围；(3)由(1)和(2)中两个解集确 a x-2 一1无解，则a的值为 定字母参数的取值 A.2 B.3 3.(2025·眉山)若关于x的不等式组 C.0或2 D.-1或3 3x-1≤x+2, 2 至少有两个正整数解，且关 x+1≥-x+a 13八年极数学·下册·HS 第2课时 分 知识储备 列分式方程解决实际问题的步骤： 审：审清题意，弄清 量和 找：找出 设：设 列：列出 方程. 解：解所列出的 方程 验：既要检验所得的解是不是所列 的解，又要检验所得的解是否符合实际问题的要求， 答：写出答案！ 01基础练 必备知识梳理·一 知识点一 工程问题 1.(2025·深圳)某社区植树60棵，实际种植人 数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植 棵数比原计划少了3棵.若设原计划人数为 x人，则下列方程正确的是 () A0-3 B2-0-3 C.60=2×60 x+3 D.60=2×60 x x-3 2.(答题模板)某社区积极响应正在开展的“创 文活动”，组织甲、乙两个志愿工程队对社区 的一些区域进行绿化改造.已知甲工程队每 小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能 完成的绿化面积的2倍，并且甲工程队完成 300平方米的绿化面积比乙工程队完成300 平方米的绿化面积少用3小时，乙工程队每 小时能完成多少平方米的绿化面积？ 解：设乙工程队每小时能完成x平方米的绿 化面积，请完成下列填表： 工程总量 工作效率 工作时间 300 甲工程队 2x 乙工程队 式方程的应用 根据题意列方程，得 解得 检验：当x= 时， 所以，原方程的解是x= 答：乙工程队每天能完成平方米的绿 化面积. 知识点二行程问题 3.一艘轮船在静水中的速度为35km/h,它沿江 顺流航行180km与逆流航行120km所用时 间相等，江水的流速为多少？设江水流速为 vkm/h,则符合题意的方程是 () 180120 A.35+u35-0 B.180=120 35-v 180120 C.35-035+0 D.180-120 v35+w 4.甲、乙两位同学同时从家出发，分别到距家 7km和11km的实践基地参加劳动.若甲、乙 的速度之比是3：4，结果甲比乙提前20min到 达基地，求甲、乙的速度.设甲的速度为 3xkm/h,根据题意列方程为 5.(2025·长春)小吉和小林从同一地点出发跑 800m,小吉的平均速度是小林的1.25倍，结 果小吉比小林少用40s到达终点.求小林跑 步的平均速度 助学助教优质高数14 02综合练 身关锭能力提升一 6.甲、乙两地相距19km,某人从甲地出发去乙 地，先步行7km,然后改骑自行车，共用2h 到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步 行速度的4倍.若设这个人步行的速度为 xkm/h,则这个人步行速度为 km/h. 7.(2025·重庆)列方程解下列问题：某厂生产 甲、乙两种文创产品.每天生产甲种文创产品 的数量比每天生产乙种文创产品的数量多 50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量 比4天时间生产的乙种文创产品的数量多 100个. (1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分 别是多少个？ (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进 行了改进.改进后，每天生产乙种文创产 品的数量较改进前每天生产的数量增加 同样的数量，且每天生产甲种文创产品的 数量较改进前每天增加的数量是乙种文 创产品每天增加数量的2倍.若生产甲、 乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用 10天，求每天生产的乙种文创产品增加 的数量. 15八年级数学·下册·HS 03素养练 净学科生米路市一 8.金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两 款国产车. 燃油车 新能源车 油箱容积：40升 电池电量：60千瓦时 油价：9元/升 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：a千米 续航里程：a千米 每千米行驶费用： 每千米行驶费用： 元 40×9 元 a (1)用含a的代数式表示新能源车 的每千米行驶费用为 元； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车 多0.54元. ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和新能源车每年的其他费用 分别为4800元和7500元.问：每年行驶 里程为多少千米时，买新能源车的年费用 更低？（年费用=年行驶费用十年其他 费用) 情境串联专题 洛阳历史悠久，是华夏文明的重要发祥地， 它西依秦岭、东临嵩岳、北靠太行、南望伏牛， 伊、洛、瀍、涧、黄五水穿城，洛阳以她的独特魅 力，吸引了无数游客的目光. 1.洛阳市政打算对洛河某段长达2400m的河 堤进行美化. (1)负责该美化项目的某工程队花费45000 元用于购买建筑材料，一段时间后，又花 费21000元第二次购买材料，第二次的 购买量是第一次的一半，且第二次的单价 (单位：元/t)比第一次少100元.求这两 次分别购买材料多少吨？ (2)已知购买材料的地点距工地180km,工 程队第二次购买材料后，用卡车运回工 地，匀速行驶1h后，司机接到工程队的 命令需提前到达，于是司机把速度增加到 原来的1.5倍，最终提前40min到达工 地，求加速前卡车的平均速度， (3)该工程队在美化800m后，改进施工方 式，每天的工作效率比原来提高25%，26 天完成全部美化任务. 分式方程的应用 ①施工队原来每天美化河堤 m; ②若市政原来每天支付给施工队的工资 为a元，提高工作效率后每天支付给施 工队的工资增加了20%，完成整个工程 市政共支付给施工队的工资不超过58 400元，求a的最大值. 2.2025年蛇年春晚吉祥物“已升升”的整体造 型借鉴甲骨文的“已”字，以青绿色为主调，象 征春意盎然，勃勃生机.洛阳市某中学为激励 学生奋发向上，决定购买一批“已升升”来奖 励学生，经调查后发现，市场上有A,B两种 材质的吉祥物，已知使用B材质生产的吉祥 物比A材质的吉祥物每个贵50元，用3000 元购买A材质的吉祥物的数量是用1500元 购买B材质吉祥物数量的4倍. (1)购买一件A材质的吉祥物需要元，购 买一件B材质的吉祥物需要元； (2)现在该学校准备用不超过3000元购买 A,B两种材质的吉祥物共50个.恰逢商 家对两种吉祥物的价格进行了调整：使用 A材质的吉祥物的价格按原价的九折出 售，使用B材质的吉祥物的价格比原价提 高了20%，那么该学校此次最多可购买多 少个B材质的吉祥物？ 助学助教优质高效16x十1.x(x-1)=x 1（十1)2=十·当x=一2时，原式三一21=2.4.解：原式 0a0.a2ab+形a+ba-a“b-&9当a=2.b a 1时，原武共35解原武三a二.at2）02·(a+1)a=)一 a十2· (a-1)2 =(a-2)(a+1)=a2-a-2.当a2-a=0时，原式=0-2=-2. 2x(2x+y）、·x+y)(x-）=2(2x十y）=4x+2y 6.解：原式=(x十y)(x一” .2x十y-3=0,∴.2x+y=3.当2x+y=3时，原式=4x+2y=2(2x+y)= ,于22x2-1-+号4 2X3=6.7.解：原式=1-2x。·(x+2)2 x-2 -2:·-2≤ x≤2，且为整数，.x=一2，一1,0,1,2.，x≠0且x十2≠0且x一2≠0 4 小x≠0且x≠士2.…x=士1.当x=1时，原式=1二24.当x=-1时， 原式=一 x-y -4=4.8.解：原式=(x+y)(x-y)(x十y)(x-y)· x-义=x十y)(x-y￥1 ,(x+2)2+|y-1=0,.x+2=0, xx十y y1=0.x=-2,y=1.·原式=-2+1=一1.9.解：原式= 3a a-24 。34 (a十2)(a2),aa十2a+2a+2=一a2解不等式3(a+1)-5 <4,得a<2.,a为不等式的最大整数解，∴.a=1.当a=1时，原式= 1 、1 a+2=-3: 10.解：原式=x-}.x+2)(x-2)3」 x+23 -2·x+D-x++ix+ =解不等式组3得2<x<2.2<x<2的整数解有 1,0,1,又x≠士1，x=0.当x=0时，原式=0二}-1. x+10+1 15.3可化为一元一次方程的分式方程 第1课时分式方程的解法 知识储备 1.分式2.增根 基础练 1.B2.①④⑥②③⑤3.A4.(1)(x-1)(x+1)2(x-1)+3(x+1) 611(x十1)(x一1)0无解(2)①解：方程两边都乘以x(x十1)， 约去分母，得3x=2x十2，解这个整式方程，得x=2.检验：把x=2代入x(x 十1)，得2(2+1)≠0.所以x=2是原方程的解.②解：方程两边都乘以(2x 一1)，约去分母，得x一2一2x十1=一1.解这个整式方程，得x=0.检验：把x =0代入2x一1，得2×0一1≠0.所以x=0是原方程的解.5.D6.一5 7.(1)①去分母时，常数项漏乘最简公分母(2)x= 2 8.m<-2且m ≠-39.A10.-611.(1)解：方程两边同乘以x2-4,得(x十3)(x-2) -5=(x一2)(x十2).解这个整式方程，得x=7.检验：把x=7代人x2-4, 得7-4≠0.所以，x=7是原方程的解.(2)解：方程两边同乘以(x-1)(x +2),得x(x十2)一(x-1)(x十2)=3.解这个整式方程，得x=1.检险：把x =1代入(x一1)(x+2),得(1一1)(1十2)=0.所以，原方程无解.(3)解：方 程两边同乘以(x十1)(x一1)，得2(x+1)一(x一1)=一3.解这个整式方程， 得x=-6.检验：把x=-6代入(x+1)(x-1),得(-6+1)(-6-1)≠0， 所以，x=一6是原方程的解.12.解：(1)x=c,x2=”(2)方程变形，得 c y+2y+4+126 y+2 十2=5+号可得y十2=5或y十2=号解得y 5·y+2+1 9 =3,y2=-5 方法技巧专题（一）由分式方程解的情况确定字母参数的取值范围（或值） 1.A2.m≠-33.B4.05.C6.D 第2课时分式方程的应用 知识储备 已知未知等量关系未知数分式分式分式方程 15 基础练 1.A2.3002.x300300300-300=3x=50502x≠05050 x 2x 3.A4.是-乙=5.解：设小林跑步的平均速度为xm/s秒，则小吉的 ”4x3x=3 平均速度为1,25xm/s.由题意，得800-800=40.解得x=4.经检验x 1.25x 4是原方程的解，且符合题意.答：小林跑步的平均速度为4m/s.6.5 7.解：(1)设该厂每天生产甲种文创产品的数量是x个，则每天生产乙种文 创产品的数量是（x一50)个.根据题意，得3x一4(x一50)=100.解得x= 100.∴.x一50=100一50=50（个）.答：该厂每天生产甲种文创产品的数量是 100个，每天生产乙种文创产品的数量是50个；(2)设每天生产的乙种文 创产品增加的数量是y个，则每天生产的甲种文创产品增加的数量是2y 个.根据题意，得0400-000210.解得y=20.经检验y=20是所列方 程的解，且符合题意.答：每天生产的乙种文创产品增加的数量是20个 81)架曾 (2)①：燃油车的每千来行驶费用比新能源车多0.54元， :40×9_36=0.54.解得a=60.经检验，a=600是原分式方程的解，且符 a a 合题意.：.40×9=0.6,36=0.06.答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元 新能源车的每千米行驶费用为0.06元；②设每年行驶里程为x千米，由题 意，得0.6x+4800>0.06x+7500.解得x>5000.答：当每年行驶里程大 于5000千米时，买新能源车的年费用更低. 情境串联专题分式方程的应用 1.(1)解：设第二次购买材料xt,则第一次购买材料2xt.根据题意，得 500100=210,解得x=15.经检验=15是所列方程的解，且符合 2x 题意..2x=30t.答：第一次购买材料30t,第二次购买材料15t. (2)解：设加速前卡车的平均速度为mkm/h,根据题意，得180 (+1)一号解得m=60.经检验a=0是所列方程的解，且符合题 意.答；加速前卡车的平均速度是60km/h.(3)①80②解：根据题意，得 800 2400一800。×1+20%)a≤58400.解得a≤2000.a的最大值 80a+(1+25%)X801 为2000.答：a的最大值为2000.2.解：(1)50100(2)设该学校此次购 买y个B材质的吉祥物，则购买(50一y)个A材质的吉祥物.由题意，得50 ×0.9(50一y)十100×(1+20%)y3000.解得y≤10.答：该学校此次最多 可购买10个B材质的吉祥物. 15.4零指数幂与负整数指数幂 15.4.1零指数幂与负整数指数幂 知识储备 1.不等于0112.不等于0倒数 基础练 1.B2.x≠53.D4.D5.(1)4(2)号6.1)解：原式=0.001. (2)解：原式=0.00012.7.解：原式=1-1=0.8.C 9,1)解：原式=x2y·xy=xy= b-4 (2)解：原式= a-c7= a'cb-1-a'c .10.C11.712.解：原式=2mn·(-mn)÷mm 1 =-22m4+8-（-6n+-9=-22mn°=-4mn9.13.400 15.4.2科学记数法 知识储备 正 基础练 1.C2.-73.(1)2.38×106(2)-5.01×1044.D 16