河北定州中学2026届高三考前学情自测数学试题

**基本信息** 高三数学三模试卷共19题150分，涵盖复数、集合、向量等知识，结合无人机正态分布、AI数字人概率等真实情境，考查数学眼光观察、思维推理与语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|单选考复数运算、正态分布等；多选考指数函数性质、概率独立性|结合科技情境（无人机安全区概率），分层设题（单选基础，多选综合）| |填空题|3/15|抛物线交点、函数周期性、数列剔除重组|注重抽象能力（数列重组）与创新意识（函数周期推导）| |解答题|5/77|概率分布、立体几何二面角、数列求和、椭圆综合、解三角形|企业调研（概率应用）、冰球融化（体积计算）体现数学建模，椭圆综合题考查逻辑推理与运算能力|

高三数学 本试卷共19题，满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知z=3+i,则 A. B. C. D. 2.已知集合A={x∈Z|lnx>1},B={-1,0,1,2,3,4},则A∩B的非空真子集的个数为 A.0 B.2 C.4 D.6 3.已知平面向量,,满足||=||=||,与,与,与的夹角相等且不为0,|+-|= ,则||= A. B. C.2 D.2 4.某型号无人机在自动巡航模式下，其飞行高度X(单位：米)服从正态分布N(120，25).若规定飞行 高度在区间[110，130]内为“标准安全区”，一架该型号无人机在一次自动巡航中被监测到处于“标准安全区”内，那么其飞行高度不低于125米的概率约为 参考数据：若XN(μ,σ²),则 P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827, P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545, P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973 A.0.159 B.0.142 C.0.136 D.0.022 5.已知函数f(x)= cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期是 则下列区间中，函数f(x)单调递增的区间是 A.[0,] B. C. D. 6.已知实数x，y满足 则 C. D. sinx< sin y 7.已知O为坐标原点，双曲线 的左、右焦点分别为 F₁，F₂，点 P 为 C右支上一点，则 的最大值为 A. B. C.2 D. 8.现有一个带有盖子的正四面体容器，将一个冰球放入该容器中，盖子恰好能够盖上，如图所示.已知该容器的深度为h，则当冰球完全融化为水后(冰融化为水的体积变化忽略不计)，水的深度约为(参考数据： A.0.48h B.0.54h C.0.67h D.0.72h 二、选择题：本题共 3小题，每小题6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知a>0,b>0,则下列说法正确的是 A.若a>b,c<0,则 ac> bc B.若a>b,m>0,则 C.若3a+b=2,则 的最小值为 D.若a+4b=2,则 的最大值为2 10.已知函数f(x)为指数函数,且满足以下条件:①∀x,y∈R且x≠y,都有(x-y)[f(x)-f(y)]>0;②函数f(x)，g(x)的图象关于直线y=x对称，且方程f(x)=g(x)有且仅有两个实数解.则函数f(x)的解析式可以为 A. B. C. D. 11.某科技公司推出了一项全民互动体验项目，该项目利用AI技术为用户生成个性化数字人形象.已知每位用户生成的数字人形象相互独立，且遵循以下生成规则：①风格类型分为国风、科技风、萌趣风三类，每种类型生成的概率分别为 , ,.②动作特效分为抱拳、奔跑、比心三类，动作特效的生成概率与风格类型相关，其规律如下，若生成的风格类型为国风，则生成的动作特效为抱拳、奔跑、比心的概率分别为 , ,；若生成的风格类型为科技风，则生成的动作特效为抱拳、奔跑、比心的概率均为 ；若生成的风格类型为萌趣风，则生成的动作特效为抱拳、奔跑、比心的概率分别为 , ,.③隐藏款判定，若生成的数字人形象的风格类型与动作特效满足国风配抱拳或科技风配奔跑或萌趣风配比心，则该数字人形象为隐藏款，否则为普通款.下列说法正确的是 A.随机抽取 1位用户，则事件“数字人形象风格类型为科技风”与事件“数字人形象动作特效为奔跑”相互独立 B.随机抽取1位用户，则该用户的数字人形象为隐藏款的概率是 C.随机抽取9位用户，记生成的数字人形象为隐藏款的人数为随机变量ξ，则P(ξ=5)最大 D.随机抽取 2位用户，记生成的数字人形象为隐藏款的人数为随机变量ξ，另随机抽取3位用户，记生成的数字人形象为普通款且动作特效为奔跑的人数为随机变量η，则D(η)>D(ξ) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知 O为坐标原点，抛物线 若 C₁与 C₂交于点 O与A,且C₁,C₂的准线交于点 则|OA|= . 13.已知定义在R上的函数f(x)满足[1-f(x)]·[1+f(x+2)]=2,且f(0)=2,则f(2026)= . 14.已知从数列{2n+1}中剔除与数列{2n+1}中相同的项后，按从小到大的顺序重新排列得到数列{}.设数列{}的前n项和为,若 则n的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 2026年某市为提振实体经济，对该市小微企业开展经营状况调研，随机抽取的10家企业中，有6家企业营收正增长，4家企业营收负增长. (1)从这10家企业中随机抽取2家，求恰好抽到1家营收正增长、1家营收负增长的企业的概率； (2)从这 10家企业中随机抽取3家，记X为抽到的营收正增长的企业数量，求X的分布列与数学期望. 16.(15分) 如图，在直三棱柱 中， ,P,M,N分别是 的中点. (1)证明: (2)求二面角.A-MN-B的正弦值. 17.(15分) 已知正项数列{}满足 且n≥2). (1)判断{}是否可能为等差数列，并说明理由. (2)若 的前n项和为 Sn. (i)求 Sn; (ii)若 求{}的前n项和. 18. (17 分) 已知椭圆 的左、右焦点分别为过点作x轴的垂线交C于M，N两点 且 的周长为 (1)求C 的方程. (2)已知点P是C上异于左、右顶点A，B的一点. (i)若直线AP 和直线 BP 分别与直线x=2交于点S，T，求 面积的最小值； (ii)设点 Q 是直线x=2上一点，且 证明：直线 PQ 与C 有且仅有一个公共点. 19.(17分) 已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆半径为1， (1)当 时，证明： 当且仅当A=B时等号成立； (2)若 记 面积的最大值为S(λ)，求S(λ)(用λ表示)； (3)当 时，记 面积的最大值为 证明： 学科网（北京）股份有限公司 $