精品解析：河北张家口市第二中学2026届高三下学期适应性测试（三)数学试题

2025—2026学年度高三年级适应性测试（三） 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则=（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆的离心率为，则C的方程可以为（ ） A. B. C. D. 4. 现要举办A，B两个活动，每个活动进行一次，已知先举办活动A，活动A失误的概率为，不失误的概率为．若活动A没有失误，则活动B失误的概率为，不失误的概率为；若活动A出现失误，则活动B失误与否的概率均为，则这两个活动有且仅有一个失误的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 若，，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，AD为BC边上的中线，且，则c=（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，，且对任意，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，且的最大值为，，则（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 在区间上只有一个极值点 D. 在区间上的图象与直线所有交点的横坐标之和为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某会计统计公司购入材料的实际成本分别为14500，5800，11600，6000，8700，则（ ） A. 这组数据的平均数为9320 B. 这组数据的第30百分位数为6000 C. 这组数据的第80百分位数为11600 D. 这组数据的极差为8700 10. 已知函数，若，是的两个极值点，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则在上的最小值为-14 C. 若对任意，，则 D. 若直线与曲线有3个交点，则k的取值范围为 11. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线与C交于A，B两点（A在第一象限），与l交于点M，过点A，B分别作l的垂线，垂足为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若（O为原点），则 B. 以线段MF为直径的圆恒过l与x轴的交点 C. 若，则直线AB的斜率为 D. 原点O到直线的距离与到直线AB的距离之比为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数是偶函数，则最小正周期的最大值为_________． 13. 已知数列的首项，且，则_____． 14. 将上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为6的一个圆台打磨成一个球，再将此球打磨成一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记等差数列的前n项和为，公差，且，，成等比数列，． （1）求数列的通项公式； （2）设，且数列的前n项和为，若对任意，，求的最小整数值． 16. 现有甲、乙两个盒子，甲盒中装有3个红球、2个白球，乙盒中装有1个红球、4个白球，每次从其中一个盒子中有放回地随机取出1个球，若取出红球，则下次仍从该盒取球；若取出白球，则下次从另一盒子取球．初始时从甲盒开始取球，记第n次在甲盒取球的概率为． （1）记前n次取球中在甲盒取球的总次数为，求的数学期望的表达式； （2）若对任意正整数n，，求实数的最小值． 17. 在边长为4的菱形中，，对角线与交于点O，将沿折起，使得点A到达点P的位置，得到如图所示的三棱锥，M为直线上一点． （1）证明：平面平面； （2）若二面角的大小为120°，直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 18. 已知函数，，． （1）讨论的单调性； （2）求的零点个数； （3）当时，记与的各零点之和为T，证明：． 参考数据：，． 19. 在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，且过点． （1）求双曲线的方程； （2）过双曲线的右焦点的直线与双曲线交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于点，，记，的面积分别为，，求的取值范围； （3）若直线与双曲线交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于点，，且在上依次排列，记，的面积分别为，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度高三年级适应性测试（三） 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法法则，求得复数z，再根据复数模的计算公式求得答案. 【详解】由题得，所以. 2. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合A和B，再根据交集的定义即可得出答案. 【详解】由，得，解得，所以. 由，得或，所以，所以. 3. 已知椭圆的离心率为，则C的方程可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设椭圆的焦距为. 由题意得，则， 所以，即， 结合选项依次判断，只有A选项满足. 4. 现要举办A，B两个活动，每个活动进行一次，已知先举办活动A，活动A失误的概率为，不失误的概率为．若活动A没有失误，则活动B失误的概率为，不失误的概率为；若活动A出现失误，则活动B失误与否的概率均为，则这两个活动有且仅有一个失误的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件的概率加法公式和条件概率的乘法公式，即可求解. 【详解】记事件E表示“活动A失误”，事件F表示“活动B失误”，这两个活动有且仅有一个失误的概率为. 5. 若，，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分离参数可得，利用导数求得极大值点即可求解. 【详解】易知，则，等价于，，则. 令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，所以. 6. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，AD为BC边上的中线，且，则c=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等腰三角形性质求出底角的余弦，再利用余弦定理列式求解. 【详解】在中，，则， 在中，，， 由余弦定理得. 7. 已知函数的定义域为，，且对任意，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，并分析函数单调性，再将原不等式变形后利用函数单调性计算即可得解. 【详解】设，. 任取，则， 因为，，所以，即，所以， 所以在上单调递增. 原不等式可化为，由，得. ， 因为在上单调递增，故，即. 又，故. 8. 已知函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，且的最大值为，，则（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 在区间上只有一个极值点 D. 在区间上的图象与直线所有交点的横坐标之和为 【答案】D 【解析】 【详解】因为图象的两条相邻对称轴间的距离为，所以最小正周期，则，故A错误； 由为最大值，得，所以. 因为，所以. 所以，则， 若取，则，此时. 当时，， 此时不单调递增，故B错误； 当时，，此时有两个极值点，故C错误； 令，得，则，又， 所以在区间上的图象与直线所有交点的横坐标之和为，故D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某会计统计公司购入材料的实际成本分别为14500，5800，11600，6000，8700，则（ ） A. 这组数据的平均数为9320 B. 这组数据的第30百分位数为6000 C. 这组数据的第80百分位数为11600 D. 这组数据的极差为8700 【答案】ABD 【解析】 【分析】按照从小到大的顺序将数据重新排列，再根据极差、平均数、百分位数的定义即可得出结果. 【详解】将该组数据由小到大排列为5800，6000，8700，11600，14500. 对于A，平均数为，故A正确； 对于B，由，得第30百分位数为6000，故B正确； 对于C，由，得第80百分位数为，故C错误； 对于D，极差为，故D正确. 10. 已知函数，若，是的两个极值点，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则在上的最小值为-14 C. 若对任意，，则 D. 若直线与曲线有3个交点，则k的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】对函数求导，由，是的两个极值点，知，是的两个实数根，从而求得，判断A；根据，分析导函数在上的正负，从而得到函数的单调性，求得最小值，判断B；根据函数在上的单调性，求得在上的最大值，得到的取值范围，判断C；若直线与曲线有3个交点，则有3个不等的实数根，求得的取值范围，判断D. 【详解】因为，所以. 令，则有两个实数根， 所以，得，，，则，故A正确； 当时，，， 则在上单调递减，在上单调递增，所以，故B正确； 当时，，单调递减， 所以，因此，故C错误； 因为直线与曲线有3个交点， 所以方程有3个不等的实数根， 即有3个不等的实数根. 即有2个不等的非零实数根. 所以，则，故D错误. 11. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线与C交于A，B两点（A在第一象限），与l交于点M，过点A，B分别作l的垂线，垂足为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若（O为原点），则 B. 以线段MF为直径的圆恒过l与x轴的交点 C. 若，则直线AB的斜率为 D. 原点O到直线的距离与到直线AB的距离之比为定值 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项A，由题得，则，由抛物线的定义得，因为，求出点A的坐标，再表示出即可判断； 对于选项B, 设准线l与x轴的交点为D，则，所以点D在以线段MF为直径的圆上, 故B正确；对于选项C，D，假设直线AB的方程为，通过联立方程，利用韦达定理求解. 【详解】对于选项A，由题得，则， 由抛物线的定义得， 因为，所以，则， 所以，所以，故A错误； 对于选项B，设准线l与x轴的交点为D，则， 所以点D在以线段MF为直径的圆上，故B正确； 对于选项C，由题意知直线AB的斜率存在且不为0， 设直线， 由，可得，且， 设，，则，则， 联立，得， 则，， 所以，解得，则， 所以，解得，故C正确； 对于选项D，原点O到直线的距离为， 到直线的距离为， 则比值为，不是定值，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数是偶函数，则最小正周期的最大值为_________． 【答案】4 【解析】 【详解】因为为偶函数，所以. 由，得， 所以的最小正周期，当且仅当时等号成立. 所以最小正周期的最大值为4. 13. 已知数列的首项，且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据递推关系，分别令和，代入运算求解即可. 【详解】因为，， 所以，. 14. 将上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为6的一个圆台打磨成一个球，再将此球打磨成一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【详解】 如图，由圆台的轴截面可知，当母线长等于上、下底面圆的半径之和时，圆台有内切球. 因为，所以该圆台有内切球， 故当打磨成该圆台的内切球时，球的体积最大. 记内切球半径为R，可得，. 记圆柱的底面半径为r，高为h， 易知圆柱体积最大时其外接球为圆台的内切球， 所以，则，， 此时圆柱的体积. 设，，则. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以，所以该圆柱体积的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记等差数列的前n项和为，公差，且，，成等比数列，． （1）求数列的通项公式； （2）设，且数列的前n项和为，若对任意，，求的最小整数值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式、前n项和公式，结合等比中项的定义列出方程组，求解可得； （2）根据裂项相消求和法求得，分析其单调性，可得的最小整数值． 【小问1详解】 因为，，成等比数列，所以，则， 即，则，因为，所以， 所以，解得， 则， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 则， 因为对任意，，且单调递增， 所以，则的最小整数值为1. 16. 现有甲、乙两个盒子，甲盒中装有3个红球、2个白球，乙盒中装有1个红球、4个白球，每次从其中一个盒子中有放回地随机取出1个球，若取出红球，则下次仍从该盒取球；若取出白球，则下次从另一盒子取球．初始时从甲盒开始取球，记第n次在甲盒取球的概率为． （1）记前n次取球中在甲盒取球的总次数为，求的数学期望的表达式； （2）若对任意正整数n，，求实数的最小值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）由题意列出数列的递推公式，通过构造等比数列，可求得其通项公式，从而得到，并求得的数学期望； （2）结合（1）的结论，分离参数得，分为奇数和为偶数分析的最大值，即可得到实数的最小值． 【小问1详解】 由题意得， 第次在甲盒取球的概率为， 所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 所以 . 【小问2详解】 由（1）得， 因为对任意恒成立， 所以， 即. 当n为奇数时，的最大值为； 当n为偶数时，， 所以的最大值为1，则， 所以实数的最小值为1. 17. 在边长为4的菱形中，，对角线与交于点O，将沿折起，使得点A到达点P的位置，得到如图所示的三棱锥，M为直线上一点． （1）证明：平面平面； （2）若二面角的大小为120°，直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理可得； （2）建立空间直角坐标系，设，根据线面角的向量求法，得到关于的方程，求解可得. 【小问1详解】 在菱形ABCD中，，O为BD中点， 由题可知，所以， 因为，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 以O为原点，OB，OC所在直线分别为x，y轴，过点O且垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 二面角的大小为120°，即 因为，， 所以，， 则，，，， 所以，， 设， 则， 所以. 设平面PCD的法向量为， 则， 取，得，， 则. 设直线与平面所成角为， 则， 整理得，解得或， 当时，，则； 当时，，则. 综上，或. 18. 已知函数，，． （1）讨论的单调性； （2）求的零点个数； （3）当时，记与的各零点之和为T，证明：． 参考数据：，． 【答案】（1）答案见解析 （2）一个 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得，再根据判别式，分，两种情况讨论求解即可； （2）研究函数得单调性，结合零点存在性定理求解即可； （3）根据题意得，进而结合零点存在性定理得，，是函数的零点且，故，再结合，单调性即可证明. 【小问1详解】 因为，， 所以， 对于，， 当时，，，单调递增； 当时，， 由，得， 则当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 因为，， 所以， 设，， 则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 易知是增函数， 当时，； 所以当时，，单调递增， 又，， 由零点存在定理可知存在，使得， 所以只有一个零点. 【小问3详解】 因为， 所以，， 可知若存在零点，则也为其零点. 由，得， 因为，， 所以在上有唯一零点. 结合（2）可得， 设，，则， 所以在上单调递增， 所以， 即， 所以得证. 19. 在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，且过点． （1）求双曲线的方程； （2）过双曲线的右焦点的直线与双曲线交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于点，，记，的面积分别为，，求的取值范围； （3）若直线与双曲线交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于点，，且在上依次排列，记，的面积分别为，，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合题意列方程组，求得，即可得到的方程； （2）设直线，直线与曲线以及渐近线联立方程组，求得弦长，由列式计算求解即可； （3）设出直线的方程，分别与双曲线、渐近线联立，用韦达定理得到的中点坐标和的中点坐标，根据中点坐标相同计算即可证明. 【小问1详解】 由题得， 解得，， 所以双曲线C的方程为； 【小问2详解】 由（1）得，则. 由题知的斜率不为0， 设的方程为， 联立， 得 ， 则，， 设，则， 所以 ， 双曲线的渐近线方程为，即， 联立， 得， 则，， 同理， 由原点到直线的距离相等， 所以， 由，得， 又，所以且， 则且， 故的取值范围为； 【小问3详解】 设的方程为，，，， 联立， 得， 则，，， 则线段PQ中点的横坐标为. 设，， 联立，得， 则，， 则线段中点的横坐标为， 所以线段与线段的中点为同一点，记为， 则，， 所以， 即， 又和的高均为原点到的距离d， 所以， 故得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $