数列的概念与简单表示法 课件-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“数列的概念与简单表示法”专题，依据高考评价体系明确基础题（60%）、中档题（30%）、创新题（10%）的考查权重，梳理数列基本概念、等差等比性质、递推关系应用等高频考点，归纳通项求解、前n项和计算等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，如结合2022全国乙卷“嫦娥二号”周期数列题、2025天津卷绝对值数列求和题，通过累加法、单调性分析等方法突破递推求通项、参数范围等考点，培养学生数学思维与应用意识，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

数 学 构建知识体系 形成关键能力 提高学科素养 精准高效备考 高考能力梯级集训 体系构建 第1节　数列的概念与简单表示法 命题报告 命题趋势 基础题(60%):直接考查数列基本概念(通项公式、前n项和定义)、等差数列与等比数列的基本性质(中项性质、通项公式直接计算); 中档题(30%):综合应用(等差数列与等比数列前n项和公式的灵活计算、已知递推关系求简单数列的通项公式); 创新题(10%):跨知识融合(数列与函数单调性结合求最值、数列与不等式证明综合、数列与实际应用问题结合) 第1节　数列的概念与简单表示法 高频考点 数列基本概念 数列的项与项数的对应关系 通项公式的识别与简单求解(已知前几项写通项) 前n项和公式的定义与简单计算(已知通项求前n项和) 等差、等比数列 基本性质、前n项和公式的应用、中项性质的应用 第1节　数列的概念与简单表示法 命题规律 高考中,数列这一章节要求学生深刻理解数列的基本概念,清晰认识数列是一种特殊的函数.对于等差数列和等比数列,需熟练掌握其定义、通项公式、前n项和公式及其性质.能够运用这些知识准确地进行基本量的计算,如求首项、公差、公比等.具备根据数列的递推关系求出数列的通项公式或前n项和的能力.同时,要能将数列知识与函数、方程、不等式等其他数学知识进行综合运用,解决一些综合性较强的问题,以体现试题对数学思维和应用能力的考查 第1节　数列的概念与简单表示法 备考建议 抓牢基础概念与公式:熟记等差、等比数列的通项及前n项和公式,掌握数列基本概念的辨析; 强化运算能力:熟练进行等差、等比数列的基本量(a1,d,q,n,an,Sn)计算,提升递推数列求通项的基本方法(累加法、累乘法、构造法)应用能力; 突破综合应用:重点练习数列与函数、不等式的融合题,掌握实际情境中数列模型的建立与求解思路 第1节　数列的概念与简单表示法 第1节　数列的概念与简单表示法 返回目录 目录 1 2 3 基础满分练 课前 自检自测·夯基固本 能力高分练 课中 关键能力·可视思维 素养提升练 课中 高考定向·捕捉热点 第1节　数列的概念与简单表示法 基础 满分练 课前 自检自测·夯基固本 四个高考关键点 关键点1 通项公式求解 1.(人教A版选择性必修第二册教材习题改编)数列-1,,-,-,…的一个通项公式为(　　)[命题点❶] A. B.- C. D. D 返回目录 解析:根据数列的规律,奇数项为负数,偶数项为正数,第n项的数字是,结合正负性,所以该数列的一个通项公式为故选D. 返回目录 2.已知数列{an}满足a1=24,an+1=an,则a3=(　　)[命题点❷] A.6 B.7 C.8 D.9 A 解析:因为a1=24,an+1=an,可得a2=a1=12,a3=a2=6.故选A. 返回目录 关键点2 前n项和的关系 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S6-S3=36,则a5=(　　)[命题点❸] A.6 B.12 C.18 D.24 B 解析:由S6-S3=36,得a4+a5+a6=36,所以3a5=36,则a5=12.故选B. 返回目录 4.(多选)(人教A版选择性必修第二册教材习题改编)已知数列{an}的前n项和公式为Sn=,则下列说法正确的是(　 　) [命题点❸❺] A.数列{an}的首项为a1= B.数列{an}的通项公式为an= C.数列{an}为递减数列 D.数列{an}为递增数列 ABC 返回目录 解析:由a1=S1=,知A正确;当n>1时,an=Sn-Sn-1=,当n=1时,也满足上式,故数列{an}的通项公式为an=,知B正确;又an=,随着n增大,an减小,所以知C正确,D错误. 返回目录 关键点3 递推公式的应用 5.已知数列{an}满足a1=9,an+1-an=n,则a4=(　　)[命题点❷] A.20 B.18 C.15 D.10 C 解析:因为an+1-an=n,则a4-a3=3,a3-a2=2,a2-a1=1,相加可得a4-a1=6,且a1=9,所以a4=a1+6=15.故选C. 返回目录 6.已知数列{an}满足a1=2,an=n(an+1-an)(n∈N*),则数列{an}的通项公式为an=(　　)[命题点❷] A.2n B.()n C.n2+1 D.n+1 A 解析:由an=n(an+1-an),得(n+1)an=nan+1,即,则,…,,n≥2,由累乘法可得=n,所以an=2n(n≥2),又a1=2,符合上式,所以an=2n.故选A. 返回目录 7.数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*),则是这个数列的(　　)[命题点❷] A.第100项 B.第101项 C.第102项 D.第103项 A 解析:由an+1=(n∈N*),得,则(n-1) =1+(n-1)=n+,∴an= 令an=,得n=100.故选A. 返回目录 关键点4 数列的性质 8.已知数列{an}满足an=3n+kn,若{an}为递增数列,则k的取值范围是(　　)[命题点❹] A.(-2,+∞) B.(-6,+∞) C.(-∞,-2) D.(-∞,2) B 解析:若{an}为递增数列,则an+1-an=3n+1+kn+k-3n-kn=2×3n+k>0恒成立,故k>-2×3n,又n=1时,-2×3n取得最大值-6,故k>-6.故选B. 返回目录 9.(人教A版选择性必修第二册教材习题改编)已知函数f(x)=(x∈R),设数列{an}的通项公式为an=f(n)(n∈N*),则an的最小值为　　　　　. [命题点❹❺]  解析:由题意得an==1-因为n为正整数,所以2n≥2,0<,1-,所以an 返回目录 回归教材•考教衔接 1.数列的有关概念 概念 含义 数列 按照确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式[❶] 令an=t,解方程.若方程的解是N*则t是数列中的项 返回目录 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式[❷] 找出数列中项的规律或转化为等差、等比数列求解 数列{an} 的前 n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an[❸] 返回目录 2.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项 间的大 小关系 递增数列 an+1>an 其中n∈N* 递减数列 an+1<an 常数列 an+1=an 摆动数列 从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 返回目录 3.数列与函数的关系[❹] 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})到实数集R的函数,其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项an,记为an=f(n). 返回目录 4.数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n,an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 数列的通项使用an=f(n)表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an+1=f(an)或a1,a2和an+1=f(an,an-1)表示数列的方法 返回目录 【常用结论】[❺] (1)若数列{an}的前n项和为Sn,则数列{an}的通项公式可表示为an= (2)若an+k=an(k∈N*),则{an}为周期数列,k为{an}的一个周期. 返回目录 能力 高分练 课中 关键能力•可视思维 考点1　由an与Sn的关系求通项 命题视角:基础公式直接应用、Sn与an的关系转化、含参数检验合理性. 例1 (1)(2025·江苏宿迁期末)设Sn为数列{an}的前n项和,若3Sn+2=2an,则数列{an}的通项公式为(　　) A.an=(-)n B.an=-()n C.an=-2n D.an=(-2)n D 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:因为3Sn+2=2an,则3Sn-1+2=2an-1,当n≥2时,作差得3Sn-3Sn-1=2an-2an-1,所以3an=2an-2an-1,an=-2an-1,所以=-2. 因为3Sn+2=2an,当n=1时,a1=-2, 所以数列{an}是以-2为首项,-2为公比的等比数列,所以数列{an}的通项公式为an=(-2)×(-2)n-1=(-2)n.故选D. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(2025·江苏南京期末)已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=n2,设bn=nan,则数列{}的前2 025项和为(　　) A. B. C. D. D 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:因为a1+2a2+3a3+…+nan=n2,① 当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n-1)2,② 由①-②得到nan=n2-(n-1)2=2n-1,得到an=,又n=1时,a1=1,满足an=,所以an=,则bn=nan=2n-1,所以),则数列{}的前2 025项和为(1-+…+) =(1-)=故选D. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练1 (1)(2026·广东深圳开学考试)记数列{an}的前n项和为Sn,a2=2,若Sn=2an(n≥2),则S2 025=(　　) A.22 023 B.22 024 C.22 025 D.22 026 C 解析:因为Sn=2an(n≥2),则当n≥3时,Sn-1=2an-1,两式作差得an=2an-2an-1,即an=2an-1,因为S2=2a2,a2=2,则a1=a2=2,不满足an=2an-1,则数列{an}从第2项起为等比数列,则an=2×2n-2=2n-1(n≥2),S2 025=2+2+22+23+…+22 024 =2+=22 025.故选C. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)已知数列{an}满足a1+3a2+5a3+…+(2n-1)an=(n+1)2,n∈N*,则{an}的通 项公式an=　　　 　　.  解析:因为a1+3a2+5a3+…+(2n-1)an=(n+1)2,① 所以a1=22=4. 当n≥2时,a1+3a2+5a3+…+(2n-3)an-1=n2,② 由①-②可得,(2n-1)an=2n+1,所以an=(n≥2,n∈N*),当n=1时,不满足上式,所以数列{an}的通项公式是an= 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 答题要语 Sn与an的关系问题转化的两个方向: (1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解; (2)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点2　由数列的递推关系求通项公式 角度 1 累加法——形如an+1-an=f(n),求an 命题视角:针对an-an-1=f(n)(n≥2,f(n)可求和)的数列求通项. 例2 (2025·河北期末)在数列{an}中,a1=0,an+1=an+ln(1+),则{an}的通项公式为(　　) A.an=ln n B.an=(n-1)ln(n+1) C.an=nln n D.an=ln n+n-1 A 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:由已知得an+1-an=ln=ln(n+1)-ln n, an-an-1=ln n-ln(n-1), an-1-an-2=ln(n-1)-ln(n-2), … a3-a2=ln 3-ln 2, a2-a1=ln 2-ln 1, 将上述n-1个等式相加,整理得an-a1=ln n-ln 1=ln n,又因为a1=0,满足上式,所以an=ln n.故选A. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练2 (2025·陕西咸阳期末)南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例,其特点是从数列中的第二项开始,每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为2,3,6,11,则该数列的第27项为 (　　) A.676 B.678 C.731 D.733 B 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:记该二阶等差数列为{an},且该数列满足a1=2,a2=3,a3=6,a4=11,记bn=an+1-an,由题意可知,数列{bn}为等差数列,且b1=a2-a1=3-2=1,b2=a3-a2 =6-3=3,b3=a4-a3=11-6=5,所以等差数列{bn}的公差为d=b2-b1=3-1=2,所以bn=b1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1,所以 则a27-a1=1+3+5+…+51==676,所以a27=a1+676=678,故选B. 返回目录 考点1 考点2 考点3 角度 2 累乘法——形如=f(n),求an 命题视角:针对=f(n)(n≥2,f(n)可连乘化简)的数列求通项. 例3 (2025·广东深圳模拟)在数列{an}中,a1=1,an=an-1,n≥2,n∈N*,则数列{an}的通项公式为(　　) A. B. C. D. C 解析:因为an=an-1,n≥2,n∈N*,则an=…a1=1…,当n=1时,符合题意,故数列{an}的通项公式为an=故选C. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练3 若数列{an}满足a1=12,a1+2a2+3a3+…+nan=n2an, 则a2 028=　　　　　.  解析:因为a1+2a2+3a3+…+nan=n2an,① 所以a1+2a2+3a3+…+nan+(n+1)an+1=(n+1)2an+1,② ②-①得,(n+1)an+1=(n+1)2an+1-n2an,所以an=…a1=…12=(n≥2),又a1=12也符合上式,所以an=,所以a2 028= 返回目录 考点1 考点2 考点3 答题要语 题干出现形如an+1=an+f(n)的递推关系式,则可以利用累加法求和,特别注意消去的项和保留的项的个数. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 答题要语 形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为=f(n)的形式,可用累乘法求数列通项,也可用an=·…··a1代入求出通项. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点3　数列的性质 角度 1 单调性与最值 命题视角:结合递推关系与参数,探究数列的单调性与最值. 例4 (1)(2026·湖南长沙开学考试)数列{an}的通项为an=n2-kn(n∈N*),且{an}为单调递增数列,则k的取值范围是(　　) A.(-∞,2] B.(-∞,3) C.(-∞,2) D.(-∞,3] B 解析:由{an}是单调递增数列,则an+1>an对n∈N*恒成立,即(n+1)2-k(n+1) >n2-kn,整理可得k<2n+1,对n∈N*恒成立.因为函数f(n)=2n+1在n∈N*时单调递增,则得k<f(1)=3.故选B. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(2025·河南期中)数列{an}的通项公式为an=n2-10n+21,则当该数列的前n项和取得最小值时,n的值为(　　) A.5 B.7 C.7或8 D.6或7 D 解析:由an=n2-10n+21,得当n<5时,数列{an}递减,当n>5时,数列{an}递增,当n=5时,an取最小值.由an≤0,得3≤n≤7,因此S1=12,S2=S3>S4>S5>S6=S7=7,当n>7时,Sn>S7,所以当该数列的前n项和取得最小值时,n的值为6或7.故选D. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练4 (1)(2025·江苏无锡模拟)已知数列{an}的通项公式是an=(n∈N*),若数列{an}是递增数列,则实数a的取值范围是(　　) A.(,3) B.[,3) C.(2,3) D.[2,3) C 解析:an=为单调递增的数列,故 解得2<a<3.故选C. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(2025·四川绵阳模拟)已知数列{an}的通项公式为an=,则an取到最小值时n的值是(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 B 解析:an==1+,n∈N*,当n>7时,2n-15>0,an=1+单调递减,此时,an=1+>1;当n≤7时,2n-15<0,an=1+单调递减,此时,an=1+a7=1+=-12,所以an取到最小值时n的值是7.故选B. 返回目录 考点1 考点2 考点3 角度 2 周期性 命题视角:由递推结果推测数列周期,探究周期内数列项的规律并计算. 例5 (2025·湖北二模)若数列{an}满足a1=2,an+1=(n∈N*),则该数列的前2 025项的乘积是(　　) A.-2 B.-1 C.2 D.1 C 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:因为数列{an}满足a1=2,an+1=(n∈N*),所以a2==-3,同理可得a3=-,a4=,a5=2,…,所以数列{an}的周期为4,即an+4=an,且a1·a2·a3·a4=1,而2 025=506×4+1,所以该数列的前2 025项的乘积是a1·a2·a3·a4·…·a2 025=1506×a1=2.故选C. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练5 (2025·广东广州期中)已知数列{an}中,a1=,an+1=1-,则 a2 025=(　　) A.2 B.-1 C. D.1 A 解析:由已知a1=,an+1=1-可得,a2=1-=-1,a3=1-=2, a4=1-=a1, a5=1-=-1=a2,a6=1-=2=a3, 所以{an}是一个以3为周期的数列,a2 025=a3×675=a3=2.故选A. 返回目录 考点1 考点2 考点3 答题要语 解决数列的单调性问题的方法:用作差比较法,根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列或递减数列或常数列. 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 答题要语 先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值. 返回目录 考点1 考点2 考点3 素养 提升练 课中 高考定向•捕捉热点 命题趋势1:近年高考考查的数列概念与表示以基础为主,侧重结合函数、不等式考查通项公式、递推关系等. 1.(2025·天津,6)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=-n2+8n,则{|an|}的前12项和为(　　) A.112 B.48 C.80 D.64 C 返回目录 解析:由题意知a1=S1=7,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+8n+(n-1)2-8(n-1)=-2n+9. 又a1=7适合上式,所以an=-2n+9. 当an>0时,n≤4,当an<0时,n≥5. ∴{|an|}前12项的和T12=S4-(S12-S4)=2S4-S12=2×(-16+32)-(-122+8×12)=80.故选C. 返回目录 2.(2022·全国乙,理4)嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列{bn}:b1=1+,b2=1+,b3=1+,…,依此类推,其中αk∈N*(k=1,2,…).则(　　) A.b1<b5 B.b3<b8 C.b6<b2 D.b4<b7 D 解析:依题意,不妨令αk=1(k=1,2,…),则b1=2,b2=,b3=,b4=, b5=,b6=,b7=,b8=,所以b1>b5,b3>b8,b6>b2,b4<b7.故选D. 返回目录 命题趋势2:强化数列与函数、不等式等的融合,创新情境,考查数列概念、表示的综合应用. 3.(原创)已知数列{cn}的前n项和为Tn=ln(2n+1),则cn=　　　　.  ln 解析:因为数列{cn}的前n项和为Tn=ln(2n+1),n∈N*,所以c1=T1=ln 3. 当n≥2时,cn=Tn-Tn-1=ln(2n+1)-ln(2n-1)=ln ,又ln 3=ln ,故c1=ln 3满足关系cn=ln ,所以cn=ln ,n∈N*. 返回目录 4.(2025·黑龙江绥化期中)在正项等比数列{an}中,a3a4a5=512,a7=64,若当x∈N*时,2an-8n-t≥0恒成立,则实数t的取值范围为(　　) A.(-∞,16] B.(-∞,-16] C.(-∞,-20] D.(-∞,20] B 返回目录 解析:设等比数列{an}的公比为q, ∵a3a4a5==512,∴a4=8. ∵a7=a4q3=64,∴q3=8,解得q=2, ∴an=a4qn-4=2n-1. 由2an-8n-t≥0得t≤2an-8n,即t≤2n-8n. 记bn=2n-8n,则bn+1-bn=2n+1-8(n+1)-(2n-8n)=2n-8,当n>3时,bn+1>bn,当n<3时,bn+1<bn,当n=3时,bn+1=bn,故当n=3或n=4时,bn取到最小值是-16,∴t≤-16,即实数t的取值范围为(-∞,-16].故选B. 返回目录 $