8.3简单几何体的表面积和体积同步作业-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦几何体表面积与体积，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从单一公式到实际问题的进阶，培养空间观念与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|斜二测画法、台体/球表面积公式|单选题1-2、填空题9-10直接考查公式应用，强化概念理解| |能力提升|棱锥侧面积、旋转体体积、几何体体积关系|单选题3-5、多选题7-8结合几何直观，需推理计算，发展空间想象| |综合应用|四面体最值、模型补全计算|单选题6、解答题11涉及复杂转化与实际情境，体现创新与应用意识|

作业09 几何体的表面积和体积 姓名：_________班级：________ 日期：20260517 一、单选题 1．如图，用斜二测画法画出的水平放置的的直观图是，若的中点在轴上，且，则（   ） A． B．4 C． D．2 2．已知正四棱台的上、下底面的边长分别为、，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1且侧棱长为，则棱锥侧面积为（   ） A． B． C． D． 4．如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形，其中，，，．以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（   ） A． B． C． D． 5．一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱，若侧面水平放置，如图（1），水面恰好过棱的中点．若将容器的底面水平放置，如图（2），则容器中水面的高为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．如图，在各棱长均为1的四面体中，E是PA的中点，Q为直线EB上的动点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D．2 二、多选题 7．正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（    ） A．正三棱锥高为3 B．正三棱锥的斜高为 C．正三棱锥的体积为 D．正三棱锥的侧面积为 8．“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓．《九章算术•商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”．一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）． 若长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，则圆台的表面积为_________． 10．在正方体中，，则该正方体外接球的表面积为______． 四、解答题 11．如图是一个正四棱台的石料，上､下底面的边长分别为和，高. (1)求四棱台的体积和侧面积； (2)若某同学动手能力强，想要将这块石料补全为一个如图所示的胡夫金字塔的模型，那么他至少需要准备多少的水泥. 12．记的内角的对边分别为，已知向量，且. (1)求； (2)若，求面积的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《作业09 几何体的表面积和体积》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A A A D B ABD AC 1．A 【分析】作，求得，然后作出原来图形，求得，为的中点，最后判断即可. 【详解】由题可知：为的中点，，则，作，如图： 作出原来图形： 所以，由，所以 又为的中点，所以. 故选：A 2．A 【分析】求出正四棱台的高，结合台体的体积公式可求得该正四棱台的体积. 【详解】如图，过作下底面的投影，垂足为，    上底面对角线长，下底面对角线长， 则，可得正四棱台的高为， 所以正四棱台的体积. 故选：A. 3．A 【分析】设底面边长为，根据侧棱长和高求出，进而求出棱锥的斜高，最后求出侧面积即可． 【详解】设正六棱锥底面边长为，则由正六边形的性质可知底面中心到底面顶点的距离为， 又正六棱锥高为1且侧棱长为，根据正六棱锥的性质得，解得， 所以侧面等腰三角形的高， 所以棱锥侧面积为. 故选：A 4．A 【分析】根据图形求得，然后还原原图形，最后利用公式计算. 【详解】作，如图： 由，，所以， 则原几何体为圆台，上底面半径为，下底面半径为，高为4，如图： 所以该几何体的体积为：. 故选：A 5．D 【分析】根据棱柱体积计算公式即可求解. 【详解】当侧面水平放置时，水的形状为四棱柱，底面是梯形， 设的面积为，则，水的体积， 当底面水平放置时，水的形状为直三棱柱，设水面高为， 则有，即， 所以当底面水平放置时，容器中水面的高为9. 故选：D 6．B 【分析】根据题意将和折成一个平面，可知，结合余弦定理运算求解. 【详解】由题意可知：， 在中，由余弦定理可得， 可知为锐角，可得， 将和折成一个平面，连接， 可知，当且仅当三点共线时，等号成立，    此时， 在中，由余弦定理可得， 即，所以的最小值为. 故选：B. 7．ABD 【分析】先求出正三棱锥的高和斜高，从而可判断AB的正误，再计算出体积和侧面积，从而可判断CD的正误. 【详解】 设为等边三角形的中心，为的中点，连接， 则为正三棱锥的高，为斜高， 又，，故, 故AB正确. 而正三棱锥的体积为，侧面积为， 故C错误，D正确. 故选：ABD. 8．AC 【分析】根据题意确定堑堵、阳马和鳖臑的体积与长方体的体积的数量关系，即可得答案. 【详解】解：由题意，堑堵的体积，阳马的体积，鳖臑的体积， 所以，，，即， 所以， 所以，AC选项正确，BD选项错误. 故选：AC 9． 【分析】求出上、下圆的面积，作出截面，利用勾股定理求出母线的长，进而求出圆台的侧面积，即可求出圆台的表面积. 【详解】由题意， 圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为， ∴上下圆面积分别为：，， 作出截面图，并作出截面上端点对底边的垂线，如下图所示， 由几何知识得， ，，，， 在Rt中，， 由勾股定理得，， ∴圆台的侧面积为：， ∴圆台的表面积为：， 故答案为：. 10．36π 【分析】如图，正方体外接球的半径为，结合勾股定理和球的表面积公式计算即可求解. 【详解】如图，    设该正方体外接球的半径为R， 则， 所以该正方体外接球的表面积为． 故答案为： 11．(1)体积为，侧面积为 (2) 【分析】（1）根据台体体积公式求体积，结合正四棱台的结构特征求侧面的高，进而求侧面积； （2）将四棱台补成四棱锥，结合比例关系分析可知，即可得结果. 【详解】（1）由题意，四棱台的体积为： ； 分别取中点，连接，作,交于点, 因为正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 则， 可得， 所以四棱台的侧面积. （2）延长交于点， 可知，则， 可得， 所以该同学还需要准备至少的水泥. 12．(1) (2) 【分析】（1）利用和正弦定理求得关于的方程，求解即可. （2）先利用余弦定理列出的一个方程，再利用基本不等式求出面积的最大值. 【详解】（1）， 根据正弦定理得， ， ，即， ，所以，则， . （2）由余弦定理， 得， 所以. 当且仅当时，等号成立， 所以当时，面积有最大值，最大值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $