命题大赛 2025-2026学年高一下学期期中阶段检测数学试题（人教版A版必修第二册第六章，第八章）

**基本信息** 以向量与立体几何为核心，融合解三角形与实际应用，通过人民英雄纪念碑测量等情境考查数学眼光，以正方体表面最短距离、塞瓦定理探究题培养数学思维与语言表达。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|向量线性运算、正方体表面距离、解三角形|第4题结合文化传承，第3题空间展开体现几何直观| |多项选择|3/18|正六边形向量关系、三角形性质判断|第9题综合向量运算与几何性质，考查推理能力| |填空|3/15|投影向量、圆锥展开、三角形面积最值|第13题动手操作情境，第14题动态问题培养创新意识| |解答题|5/47|向量夹角、四点共圆、三棱锥线面角、塞瓦定理|第19题引入塞瓦定理，体现探究性与跨知识整合|

人教版A版高一下学期期中阶段检测解析 1．D 【解析】在平行四边形中，为中点， 则， 因为，所以， 若，则，所以. 2．C【解析】设与的夹角为，则，又因为，所以. 3．B 【解析】绘制题目示意图，如图所示： 绘制展开图： 情况一：如下展开： 求得. 情况二：如下展开： 求得， 情况三：如下图所示将侧面展开： 则， 对比可知沿正方体表面从点到点的最短距离为,故选：B. 4．A 【解析】在中，， 由正弦定理得，即，解得， 在中，．故选：A 5．A 【解析】 取中点，连接，，因为，故， 故或其补角即为直线与所成角， 因为平面，平面，故， 而，故，同理， 而为中位线，故， 而是边长为的等边三角形，，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以直线与所成角的余弦值为. 6．C 【解析】由题可知：设，则， ， 又的最小值为，则的最小值为3， 所以当时，有，又，所以. 设，则， 所以， 当时，有最小值为.故选：C 7．B 【解析】如图所示，在正四棱锥中，是棱PA的中点， 取PD的中点为，连接EF，BE，CF，CE，CA，FA， 所以，因为，所以， 所以，，，四点共面，所以平面EBC在四棱锥上的截面是平面BCFE. 平面BCFE把四棱锥分为两个部分，设四棱锥的体积为，高为. 设四边形的面积为， 则， 同理. 设点到平面AEF的距离是， 则， 即，故， 所以体积较小部分与体积较大部分的体积之比为. 8．D 【解析】由，得， 则， 因为，所以，则，所以， 又由外接圆半径为1可知，即， 由余弦定理得，则，即， 由基本不等式得， 所以，整理得， 化简得（当且仅当时取等）， 所以周长的最大值为. 9．BD 【解析】 选项 A：在正六边形 中，且.但向量 的方向是从 到，向量 的方向是从 到，两者方向相反.因此，，它们不是相等向量，故 A 错误. 选项 B：正六边形的内角为 ，所以向量 与 的夹角 ， 根据数量积公式：，B正确. 选项C：在正六边形中，和 都是主对角线，且 .由于它们平行，夹角为 或，其数量积不为 0（只有垂直时数量积才为 0）. C 错误. 选项 D：根据向量加法的多边形法则： 在边长为的正六边形中，主对角线的长度等于边长的 2 倍， 即厘米.因此，厘米，D正确. 10．AD 【解析】 选项A ：已知，由正弦定理 可得. 代入原式得. 因为，所以，且 ，等式两边同时约去，得到. 又因为，所以或，该选项正确 . 选项B ：由余弦定理 ，已知 ，则 ，所以 为锐角。但仅根据为锐角不能判定为锐角三角形，因为还需要判断和是否也为锐角（例如，若，虽然，但三角形是钝角三角形），该选项错误 . 选项C ：已知，，. 由余弦定理，得 ， 即，解得（负值舍去）. 则 的面积，该选项错误 . 选项D ：由正弦定理，已知，则 . 设，，，根据大边对大角可知边最长，其对角为最大角. 由余弦定理。 因为，所以 ，该选项正确 . 11．AC 【解析】 对于A：由题意可知：三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 可知正方体的外接球的半径，所以三棱锥的外接球表面积为，故A正确； 对于B：如图分别取，的中点H，G，连接，，，． 由正方体的性质可得，且平面，平面， 所以平面，同理可得：平面， 且，平面，所以平面平面， 而平面，所以平面，所以点F的轨迹为线段GH， 其长度为，故B错误； 对于C：由选项B可知，点F的轨迹为线段GH，因为平面， 则点F到平面的距离为H到平面的距离，过点B作， 因为平面，平面，所以，又， 平面，所以平面， 所以， 故C正确； 对于D：如图，设平面与平面交于AN，N在上， 因为截面平面，平面平面，所以， 同理可证，所以截面为平行四边形，所以点N为的中点， 在四棱锥中，侧棱最长，且，故D错误.故选：AC. 12． 【解析】,则向量在方向上的投影向量为 ,故投影向量的坐标为 13． 【解析】如图1，过⊙F圆心F作于E，于G， 则四边形为正方形，设小圆半径为r，扇形半径为R，则， 小圆周长为，扇形弧长为， ∵剪下一个扇形和圆恰好围成一个圆锥，，解得， 即，， ∵正方形铁皮边长为，， ，∴； 在图2中，， 由勾股定理得，圆锥的高，    故答案为：. 14．/ 【解析】， 所以. 在中，由正弦定理得，化简得. 在中，由正弦定理得，化简得. 故， 令，则， 由二次函数性质可知，， 函数开口向下，对称轴为， 所以当时，取得最大值， 即当，取最小值，此时.故答案为： 15．(1)3，(2) 【解析】（1）因为，所以，则， 由，得，…………………………………………………………3分 所以，即，则，解得. ………………………6分 （2），……………………………………8分 ，………………………………………………………………….10分 所以………………………………………….13分 16．解析： (1) 在中，由余弦定理得： ……………………………………………..2分 所以……………………………………………………………………………….4分 (2) 因为四点共圆，所以………………..5分 在 中，设 ，由余弦定理得： ……………………………………….8分 由基本不等式 ，得 ， 即（当且仅当 时等号成立）………………………………………….11分 四边形的面积, . 因为，所以 . 故四边形面积的最大值为…………………………………………………..15分 17．(1)证明见解析，(2)，(3) 【解析】（1）由，为的中点，则， 又平面平面，平面平面，则平面， 又平面，所以．……………………………………………………4分 （2）由，平面平面，平面平面， 则平面，所以是直线与平面所成的角， 在中， 由，， 则，，……………………………………………..6分 又，， 则由余弦定理有， 即，解得，…………………………….8分 又平面，平面，则， 所以， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为．…………………………………..9分 （3）如图，连接． 当时，由为的中点，则， 由（2）知，，，则， 所以， 又是的中点，则， 又由（2）知，，则，且， 则， 又，所以，………………………………………………..11分 如图，将绕直线旋转得到，使与在同一平面内，且点在内， 则当，，三点共线时，最小，即的最小值为． 在中，，，， 则，………………………………………………………13分 则， 所以在中，由余弦定理得 ， 即的最小值为．………………………………………………..15分 18．(1)，(2) 【解析】（1） 连接，在正方体中，， 所以异面直线与所成的角即为直线与所成的或其补角， ……4分 ， ， 由余弦定理得， 所以异面直线AP与所成的角的大小为…………………………………………7分 （2） 连接交于点，在正方体中，， 因为平面，平面，所以， 且，所以平面，……………………………………….12分 取的中点，连接，因为是的中点，所以，……………..13分 所以平面，且. 点到平面的距离为………………………………………………………17分 19．(1)2，(2)证明见解析，(3)证明见解析 【解析】（1），， 又由塞瓦定理，所以， 即点是线段的三等分点，且靠近点………………………………………..4分 用向量关系表示为,可得, 又∵共线且同向，∴存在使得, 又∵ ，且向量不共线， 由平面向量基本定理可得,∴………………………………..7分 （2）根据三角形面积公式 . ∴ 的充分必要条件是 . ∴由塞瓦定理可得角元塞瓦定理成立. ……………………………………………………….12分 （3）如图，设过的内心分别作 的垂线分别交于, ∵,∴, 又∵,, ∴, 在中由正弦定理得: ,…………………………………….14分 同理，,, ,, 由于, ∴ ， ∴ 三线共点. …………………………………………………………………..17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学下学期阶段检测试卷命题双向细目表 题号 题型 考察知识点 分值 认知层次 难度 核心素养 1 单选 平面向量的线性运算（平行四边形法则） 5 理解 0.85 数学运算、直观想象 2 单选 平面向量的数量积与夹角计算 5 应用 0.85 数学运算 3 单选 正方体表面最短距离（展开图问题） 5 应用 0.65 直观想象、逻辑推理 4 单选 解三角形实际应用（仰角、高度测量） 5 综合 0.65 数学建模、数学运算 5 单选 异面直线所成的角（空间向量或平移法） 5 理解 0.65 直观想象 6 单选 向量数量积的最值问题 5 综合 0.75 数学运算、直观想象 7 单选 几何体体积比（截面分割问题） 5 应用 0.65 直观想象、数学运算 8 单选 解三角形中的最值问题（面积、周长与边长） 5 综合 0.45 数学运算、逻辑推理 9 多选 正六边形中的向量运算与性质 6 理解 0.85 直观想象、数学运算 10 多选 解三角形综合判断（正余弦定理、面积） 6 综合 0.65 逻辑推理、数学运算 11 多选 正方体截面、外接球、异面直线综合 6 综合 0.45 直观想象、逻辑推理 12 填空 投影向量的模与坐标运算 5 理解 0.85 数学运算 13 填空 圆锥侧面展开图与表面积计算 5 应用 0.75 直观想象、数学运算 14 填空 解三角形面积最值与三角恒等变换 5 综合 0.55 数学运算、逻辑推理 15 解答 向量共线、垂直与夹角的综合应用 13 应用 0.85 数学运算 16 解答 解三角形的证明与面积计算（正余弦定理） 15 综合 0.65 逻辑推理、数学运算 17 解答 立体几何：线面平行/垂直证明、线面角 15 综合 0.65 直观想象、逻辑推理 18 解答 立体几何动点最值与空间距离 17 综合 0.45 直观想象、数学运算 19 解答 向量比例关系（梅涅劳斯/塞瓦定理背景）与面积 17 综合 0.35 逻辑推理、数学运算 三、 命题统计摘要 1. 知识模块分布 ： 平面向量：约 40% 解三角形：约 30% · 立体几何初步：约 30% 2. 难度比例 ： · 容易题 : 中等题 : 较难题 ≈ 3 : 4 : 3 3. 核心素养考察 ： · 重点考察数学运算（100% 覆盖）、直观想象（约 60%）与逻辑推理（约 40%）。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版A版高一下学期阶段检测（第六章、第八章） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在平行四边形中，为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．已知正方体的棱长为4，点为的中点，则沿正方体表面从点到点的最短距离为（   ） A．4 B． C． D．8 4．北京天安门广场中心屹立着一座中国最大的纪念碑——人民英雄纪念碑，它专门为缅怀近现代英雄而建，它不仅仅是一个简单的建筑，更是民族精神的象征.某学生为测量该纪念碑的高度，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点.现测得米，在点处测得碑顶的仰角为，则纪念碑高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 6．已知中，，，且的最小值为，若P为边上任意一点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 7．在正四棱锥中，是棱PA的中点，平面EBC将该正四棱锥分割成两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（   ） A． B． C． D． 8．在中，内角，，所对的边分别为，，，，且的外接圆的半径为1，则周长的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9． 如图，这是一个边长为8厘米的正六边形软木防烫垫，则下列选项正确的是（ ） A. 向量与向量 是相等向量 B. C. D. 厘米 10．在 中，角所对的边分别为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 或 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，，，则的面积为 D. 若，则的最大内角是 11．如图，在棱长为2的正方体中，O为正方体的中心，M为的中点，F为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（   ） A．三棱锥的外接球表面积为 B．动点F的轨迹的线段为 C．三棱锥的体积为 D．若过A、M、三点作正方体的截面Ω，Q为Ω上一点，则线段长度最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点，则向量在方向上的投影向量的坐标为__________. 13．如图所示，在边长为的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为__________．    14．在中，为边上一点，，，，，.当面积最小时，________. 四、解答题 15．已知平面向量满足，与的夹角为. (1)若，求实数的值； (2)求与的夹角的余弦值. 16．已知平面四边形中，，，. 若四点共圆. (1) 求的长； (2) 求四边形面积的最大值. 17．如图，在三棱锥中，，分别为棱，的中点，，，，，． (1)若平面平面，求证：； (2)在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若，为线段上一动点，求的最小值． 18．在棱长为4的正方体中，是正方形的中心，点为的中点． (1)求异面直线AP与所成的角的大小； (2)求点到平面的距离． 19．某高一学生在周末发展数学兴趣，研究平面向量和解三角形的相关内容时，学习了以下定理，尝试解决一些问题. 塞瓦定理：如图1，设P为△ABC 三边所在直线外任一点，直线AP，BP，CP 分别交对边所在直线于点D，E，F，则 . 塞瓦定理逆定理：如图1，在△ABC 的三边所在直线BC，CA，AB 上分别各取一点D，E，F，若有 ,则AD，BE，CF 三线共点. 角元塞瓦定理：如图1，设P 为△ABC 三边所在直线外任一点，直线AP，BP，CP 分别交对边所在直线于点D，E，F，则 . 角元塞瓦定理逆定理：如图1，在△ABC 的三边所在直线BC，CA，AB上分别各取一点D，E，F，若有则 ,则AD，BE，CF 三线共点. (1)如图1，在△ABC中，直线AP，BP，CP 分别交对边所在直线于点D，E，F，其中F，D满足 利用塞瓦定理，求点 E 在线段CA 上的位置；若 求 (2)利用塞瓦定理证明角元塞瓦定理； (3)如图2，过的内心分别作的垂线，交以Ⅰ为圆心的圆于点利用角元塞瓦定理逆定理证明 三线共点. 答案第6页，共14页 答案第4页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $