精品解析：山东滨州市阳信县第一中学等校2025-2026学年高一下学期5月阶段性检测数学试题

山东高一5月阶段性检测卷数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时、选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 3. 设，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，，则边上的高为（ ） A. B. C. D. 5. 当函数取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 6. 在中，且，，，若动点P满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上不存在最值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在海岸处发现北偏东方向，距处海里的处有一艘故障船．在处北偏西75°方向，距处2海里的处的救援船奉命以海里/时的速度追赶故障船，此时故障船正以10海里/时的速度，从处向北偏东30°方向行驶．救援船最快追上故障船需要（ ）（精确到1分钟，） A. 12分钟 B. 15分钟 C. 16分钟 D. 19分钟 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. 复数的虚部为 B. C. 是纯虚数 D. 若复数是方程的一个根，则 10. 2026年3月3日是第27个全国“爱耳日”.活动的主题是“全民科学爱耳，共护听力健康——安全用耳、健康成长”.新科技产品智能降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声，设噪声声波曲线函数为，降噪声波曲线函数为，已知某噪声的声波曲线的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的单调递减区间为 D. 若，且，则 11. 在中，角的对边分别为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若为边上的高，且，则的最大值为 C. 若，则有一解 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若，则的最小值为___________． 13. 如图，在正方形中，，分别在边，上，且．设，，则___________． 14. 如图，设的内角所对的边分别为，且．若点是外一点，，则四边形面积的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，（，且，），且. （1）求的值； （2）证明：； （3）设，在复平面上对应的向量分别为，，若，求的值. 16. 已知． （1）若与共线，求k的值； （2）若与的夹角为，求k的值； （3）求向量和向量的夹角，并求出向量在向量上的投影向量． 17. 已知函数． （1）求函数的单调递减区间． （2）将的图象先向左平移个单位长度，再将其横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．若，求和的值． 18. 在中，角的对边分别为．且满足. （1）求角的大小； （2）若的面积，内切圆的半径为，求； （3）若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 19. 已知函数． （1）当时，函数在一个周期内的图象，如图A为图象的最高点，为图象与轴的交点，且为等腰直角三角形，求曲线的对称中心； （2）当时，若为偶函数，不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，设，若对任意的，都有，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东高一5月阶段性检测卷数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时、选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】复数， 所以复数在复平面内对应的点位于第四象限． 2. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】选项A: , , , 共线, 不能作为基底. 选项B: , , , 共线, 不能作为基底. 选项C: 是零向量, 零向量与任意向量共线, 不能作为基底. 选项D: , , , 不共线, 可以作为基底. 3. 设，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式及辅助角公式化简，再利用正弦函数单调性比较大小. 【详解】依题意，，，， 又，则，所以. 4. 在中，，，，则边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理求出BC，再利用等面积法求得BC边上高线 【详解】在中，， 由余弦定理，得， 则． 设边上的高为，由等面积法，得，则． 5. 当函数取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】． 当时，取得最小值，即. 解得． 因为. 所以． 6. 在中，且，，，若动点P满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取中点，由数量积的运算律得，而的最大值等于，计算后可得. 【详解】取中点，连接， 则 ， 因为，所以点在以为圆心，1为半径的圆上，如图， 则， 所以的最大值是. 7. 已知函数在区间上不存在最值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦函数性质结合题意得到不等式，由该不等式确定整数k的可能取值，进而求得ω的取值范围. 【详解】因为在区间上不存在最值， 又因为时， 所以，解得， 因为，所以，又因为，则，解得， 所以，又，则或， 当时，；当时，. 所以的取值范围是． 8. 如图，在海岸处发现北偏东方向，距处海里的处有一艘故障船．在处北偏西75°方向，距处2海里的处的救援船奉命以海里/时的速度追赶故障船，此时故障船正以10海里/时的速度，从处向北偏东30°方向行驶．救援船最快追上故障船需要（ ）（精确到1分钟，） A. 12分钟 B. 15分钟 C. 16分钟 D. 19分钟 【答案】B 【解析】 【分析】设救援船行驶小时在处最快追上故障船，则在中、中分别利用正弦定理可求，从而可求救援船最快追上故障船所需时间. 【详解】如图，设救援船行驶小时在处最快追上故障船， 则救援船沿方向行驶，且，． 由题意，得，连接． 在中，由余弦定理，得 ， 即． 由正弦定理，得， 则． 又因为，所以，即点在点的正东方向上， 则． 在中，由正弦定理，得，则． 又因为，则，所以救援船沿北偏东的方向行驶． 在中，，则，即， 所以，解得小时，所以分钟， 所以救援船应沿北偏东的方向行驶，才能最快追上故障船，大约需要15分钟． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. 复数的虚部为 B. C. 是纯虚数 D. 若复数是方程的一个根，则 【答案】BC 【解析】 【详解】因为，所以复数的虚部为2，故A错误； ，故B正确； ，是纯虚数，故C正确； 若复数是方程的一个根，则另一个根为， 则可得即故D错误． 10. 2026年3月3日是第27个全国“爱耳日”.活动的主题是“全民科学爱耳，共护听力健康——安全用耳、健康成长”.新科技产品智能降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声，设噪声声波曲线函数为，降噪声波曲线函数为，已知某噪声的声波曲线的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的单调递减区间为 D. 若，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用图象结合正弦型函数性质分析可得B；利用振幅与相位定义计算可得A；利用正弦型函数单调性计算可得C；利用正弦型函数对称性计算可得D. 【详解】对B：由图可得，则， ，解得，又，则， ，则，故； 对A：由题意可得， 即，故A正确； 对C：令， 解得， 即的单调递减区间为，故C错误； 对D：当时，则， 由，则， 则，即， 故，故D正确. 11. 在中，角的对边分别为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若为边上的高，且，则的最大值为 C. 若，则有一解 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦定理和三角形的内角的性质，化简得到，求得，可判定A正确；利用三角形的面积公式，求得，结合余弦定理和基本不等式，可判定B正确；根据题意，得到，可判定C错误；由余弦定理得到，再列出不等式，求得的范围，可判定D正确. 【详解】对于A，在中，因为， 由正弦定理得， 又因为，可得， 所以， 即， 因为，所以，所以， 两边平方得， 由，得，解得，即，故A正确； 对于B，由，因为，所以， 由余弦定理，可得， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，即的最大值为，故B正确； 对于C，当且时，可得， 满足，所以有两解，故C错误； 对于D，由余弦定理得，所以， 所以， 因为，所以， 又因为，由余弦定理得，解得或， 所以，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若，则的最小值为___________． 【答案】1 【解析】 【详解】由题意得，， 所以，则当时，的最小值为1． 13. 如图，在正方形中，，分别在边，上，且．设，，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】先设正方形的边长为，然后找到利用及、求解即可. 【详解】设正方形的边长为，则， 所以． 因为，且， 所以，整理得， 所以． 14. 如图，设的内角所对的边分别为，且．若点是外一点，，则四边形面积的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】结合正弦定理及两角和的正弦公式将化简得，所以为等边三角形.将四边形的面积用表示出来，结合，可求得四边形面积的取值范围. 【详解】由题意及正弦定理，得，即． 因为，所以． 又因为，则． 因为，所以， 所以， 所以四边形面积的取值范围为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，（，且，），且. （1）求的值； （2）证明：； （3）设，在复平面上对应的向量分别为，，若，求的值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数的模公式直接化简计算即可； （2）结合（1）及复数模的公式直接可得证； （3）根据复数在复平面内点的坐标结合向量数量积公式直接计算. 【小问1详解】 由已知，则，， 所以， 又，则， 所以， 化简可得， 又，所以，即； 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 又， 所以； 【小问3详解】 设在复平面上对应的向量为， 在复平面上对应的向量为， 所以， 故，解得. 16. 已知． （1）若与共线，求k的值； （2）若与的夹角为，求k的值； （3）求向量和向量的夹角，并求出向量在向量上的投影向量． 【答案】（1） （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）根据线性运算的坐标表示，向量共线列方程求解； （2）利用垂直向量的数量积为0求解； （3）根据向量数量积的概念和投影向量的概念求解. 【小问1详解】 ，， 又与共线，，解得. 【小问2详解】 ， 又与的夹角为， ，解得. 【小问3详解】 ，， ，又因为, 故向量和向量的夹角为， 向量在向量上投影向量为. 17. 已知函数． （1）求函数的单调递减区间． （2）将的图象先向左平移个单位长度，再将其横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．若，求和的值． 【答案】（1） （2）；． 【解析】 【分析】（1）化简函数为，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）利用三角函数的图象变换，求得，得到，由，结合余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数 令，解得， 所以函数的单调递减区间是． 【小问2详解】 解：将的图象先向左平移个单位长度， 得到函数的图象， 再将其横坐标缩小为原来的，纵坐标不变得到函数的图象． 由，且，则． 则 ， 因为，可得， 所以， 则． 18. 在中，角的对边分别为．且满足. （1）求角的大小； （2）若的面积，内切圆的半径为，求； （3）若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解即可； （2）由面积可得，由内切圆半径可得，结合余弦定理可得答案； （3）由等面积法可得，结合由基本不等式可得，即可得面积最小值. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 因为，则，可得， 又因为，则，， 可得，即， 可得，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 则的面积，即， 又因为内切圆的半径为，则， 可得，即， 由余弦定理可得， 即，解得. 【小问3详解】 因为的平分线交于，由（1）知， 则， 又， 可得， 又， 则， 则，可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的面积最小值为. 19. 已知函数． （1）当时，函数在一个周期内的图象，如图A为图象的最高点，为图象与轴的交点，且为等腰直角三角形，求曲线的对称中心； （2）当时，若为偶函数，不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，设，若对任意的，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据图象等腰直角三角形可求周期，从而求得，再根据整体法可求对称中心； （2）根据偶函数求得初相位，再根据三角变换公式及正弦函数性质求得的值域后根据恒成立的关于的不等式组，从而可求其范围； （3）根据（2）中的结果可得在上恒成立，利用换元法及参变分离可求的取值范围. 【小问1详解】 设函数的最小正周期为．由为等腰直角三角形知，，所以，解得，所以． 令，解得， 故曲线的对称中心为． 【小问2详解】 因为为偶函数，所以， 因为，所以，则． ， 若，则，则． 因为不等式在上恒成立， 所以，解得，故实数的取值范围为． 【小问3详解】 由题意，得． 因为，所以，则． 因为对任意的，都有， 所以， 则对任意的，都有，即． 令，则对任意的恒成立． 若，则恒成立，． 若，则． 因为在上单调递减，所以，则，解得． 若，则．因为在上单调递减， 所以，则，即． 综上，实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $