2026年中考数学三轮押题05：全等三角形及相似三角形（全国通用）

**基本信息** 聚焦全等与相似三角形，以考情为纲构建从基础判定到综合模型的三阶训练体系，强化推理意识与几何直观 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |全等三角形|10题|基础+中档，选择/填空/解答，涉及菱形、正方形等图形，考查SSS、SAS等判定及性质|从判定方法到性质应用，衔接公共边/角等模型，构建平面几何入门逻辑| |相似三角形|10题|中档必考题，含中点、比例计算，涉及A字/8字等模型|以AA、SAS判定为基础，延伸面积比与相似比关系，衔接函数与圆| |综合压轴|10题|解答压轴，含手拉手、一线三等角等模型，涉及旋转/折叠及动点最值|整合全等与相似，通过模型识别提升综合推理能力，呼应中考几何压轴趋势|

三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 中考数学三轮押题05:全等三角形及相似三角形 押题依据 猜押考点 2025 年考查省份 考情分析 押题依据 全等三角形（判定与性质） 全国所有省份（必考）：北京、天津、河北、山西、内蒙古、辽宁、吉林、黑龙江、上海、江苏、浙江、安徽、福建、江西、山东、河南、湖北、湖南、广东、广西、海南、重庆、四川、贵州、云南、西藏、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆 基础 + 中档题，选择 / 填空 / 解答，6–10 分；考查 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 判定，对应边、角相等；2025 重点：直角三角形全等、公共边 / 角模型、等腰三角形全等。 平面几何入门核心，中考必考基础；衔接相似、圆、几何变换；命题稳定、重规范证明。 相似三角形（判定与性质） 全国所有省份（必考）：江苏、浙江、广东、山东、河南、河北、四川、重庆、湖北、湖南、安徽、福建、陕西、山西、贵州、广西、北京、上海 中档必考题，选择 / 填空 / 解答，8–12 分；考查 AA、SAS、SSS 判定，对应边成比例、面积比 = 相似比 ²；2025 重点：平行相似、A 字 / 8 字模型、母子型相似、比例计算。 几何核心考点，衔接全等、函数、圆；2025 真题高频，重比例转化与数形结合。 全等与相似综合（模型与压轴） 全国所有省份（高频）：江苏、浙江、广东、山东、河南、河北、四川、重庆、湖北、湖南、安徽、福建、陕西、山西、贵州、广西、北京、上海 压轴题，解答压轴，10–16 分；考查手拉手、一线三等角、旋转 / 折叠、动点最值、存在性探究；2025 侧重：旋转全等 + 相似、折叠相似、等腰 / 直角三角形存在性、几何最值。 中考几何压轴核心，综合度最高；2025 真题高频，重模型识别与综合推理能力。 押题预测 题型一、全等三角形（判定与性质） 1．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，，则与的面积之和为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 2．（2026·四川成都·二模）如图，已知，，且点A，F，C，D在同一直线上，补充下列条件后，仍不能一定使的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·山东聊城·二模）如图，用刻度尺和一个锐角为的三角尺测量计算圆形工件的半径，如果测得，那么圆形工件的面积是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽阜阳·二模）如图，正方形的边长为4，点E，F分别在边上，且与相交于点G，连接，则下列结论错误的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．当最大时， 5．（2026·浙江台州·二模）如图，有两个正方形、，点E、F、G、H分别在、、、边上，连结，已知，，则等于（   ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西渭南·二模）如图，在四边形中，，，分别延长至点E、F，连接．请从①；②；③；④中选择两个合适的选项作为已知条件，使得四边形是菱形． 你选择的条件是：_________、_________（填序号即可），选择条件后，请证明四边形是菱形． 7．（2026·山东济南·二模）已知：在平行四边形中，，是对角线上的两点，且，，分别是边，上的点，且．求证：． 8．（2026·广东深圳·二模）如图1，在菱形中，点是对角线上一点，点与点关于对称，射线分别与直线、分别交于点、． (1)如图2，已知，点恰好落在对角线上时， ①__________； ②若，则___________； (2)试猜想图1中与有怎样的数量关系，并说明理由； (3)如图3，已知，若点恰好落在菱形的某条边所在的直线上（不与顶点重合），请直接写出此时的值． 9．（2026·湖北襄阳·模拟预测）在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点． (1)如图1，连结、，请写出与之间满足的数量关系，并证明； (2)如图2，延长交于，请判断是否为的中点，请说明理由； (3)如图3，当时，求线段的长． 10．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）新定义：对角线相等的四边形是等对四边形． (1)如图1，已知：中，以和为边在的外侧分别作等腰直角和，连接，求证：四边形是等对四边形． (2)如图2，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点，，均在格点上，若点在格点上，且四边形是等对四边形，请直接写出所有满足要求的线段的长． 题型二、相似三角形（判定与性质） 11．（2026·四川泸州·二模）如图，点分别是边的中点，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 12．（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，在中，．点在边上，且．下列结论中，正确的个数是（   ） ① ② ③平分 ④的周长为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（2026·安徽滁州·二模）如图，在中，平分，交于点D，交于点E．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C． D． 14．（2026·黑龙江双鸭山·二模）如图，正方形的对角线和相交于点O，点F在的延长线上，连接，过点F作交的延长线于点E，过点E作于点G，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①②③④ 15．（2026·重庆北碚·二模）如图，在正方形中，点在线段上，连接，相交于点，点在的延长线上，连接，若，，则的值为（   ） A． B． C． D．1 16．（2026·山东临沂·一模）如图，在中，直线经过圆心O交圆于C、D两点，，A是上一点，连接． (1)过点C作，连接、，你发现哪些结论？请直接写出这些结论． (2)在（1）的条件下，连接，若，求的长？ 17．（2026·山东聊城·二模）如图，是的直径，点是上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，过点作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长度． 18．（2026·江西·三模）如图，在平行四边形中，点为的中点，连接并延长交的延长线于点，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，作的中点； (2)在图2中，在上作点，使． 19．（2026·河南省直辖县级单位·一模）【定义】如果从某一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，该对角线可称为“垂中对角线”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在平行四边形中，于点E，交于点F，若F为的中点，则平行四边形是垂中平行四边形，E是垂中点． 【应用】 (1)①菱形______（填“可能”或“不可能”）是“垂中平行四边形”． ②如图1，平行四边形是“垂中平行四边形”，其中是“垂中对角线”，则的值为______． (2)如图2，在矩形中，，．若该矩形是“垂中平行四边形”，且是其“垂中对角线”，求的长． (3)如图3，在中，于点E，，．若是某个“垂中平行四边形”的边，点E为该“垂中平行四边形”的垂中点，点A在垂中平行四边形的边上，请直接写出这个“垂中平行四边形”的周长． 20．（2026·陕西西安·模拟预测）按要求解答问题： (1)如图①，在中，，点在上，点在上，以，为边作，点在上，若，则__________； (2)如图②，在矩形中，，为的中点，连接，，过点，，，若，求边的长； (3)如图③，为某市一个大型荷塘边界，该市文旅集团计划依荷塘边界在荷塘外空地上修建一个小型观光公园，其中，，为三条观光路线，附近为荷花集中区，为最佳观光点．已知点，，共线且为线段的中点，依据设计要求，，，为保证游客最佳观景效果，还需使最大，已知，，请你计算此时观光路线的长度．（观光路的宽度、观光点的大小均忽略不计） 题型三、全等与相似综合（模型与压轴） 21．（2026·安徽阜阳·二模）矩形中，的平分线与交于E，点F在的延长线上， ，连接，与交于G．以下选项不正确的是（   ） A． B． C． D． 22．（2026·山东淄博·一模）如图，以为直径的半圆O与的两边，相交于点D，E．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 23．（2026·山东淄博·一模）如图，在等边中，，点D在上，点E在上，且．连接与交于点F，则（    ） A．36 B．42 C．48 D．60 24．（2026·黑龙江佳木斯·二模）如图，正方形的边长为，点E是的中点，连接与对角线交于点G，连接并延长，交于点F，连接交 于点H，连接．以下结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 25．（2026·四川达州·一模）如图，将正方形纸片沿折叠，使点C的对称点E落在边上，点D的对称点为点F，交于点G，连接交于点H，连接．下列四个结论中：①平分；②；③；④，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 26．（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，在等边中，边长为6，是边上的高，点E在上，且，与交于点Q． (1)求线段与的长度； (2)连接，求证：平分； (3)求的面积． 27．（2026·河南周口·三模）综合与实践 在矩形中，点是射线上一个动点，连接，过点作于，过点作于． (1)观察猜想 如图1，若，点在边上（不与点、重合）． ①写出图1中一个与相等的角：_______________； ②用等式表示线段、、的数量关系：_______________； (2)类比探究 如图2，若，点在的延长线上，请依据题意补全图形（无需尺规作图），用等式写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用 若，，请直接写出的值． 28．（2026·山东济宁·二模）如图，P是下方的一点．连接交于点E，连接． (1)尺规作图：过点A作的平行线，分别交于点B，F；（要求：保留作图痕迹，不写做法．） (2)在（1）的条件下，若F是的中点，，．求的长． 29．（2026·浙江台州·二模）如图①，已知四边形是的内接四边形，、的延长线交于点，、的延长线交于点，连接，已知． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)如图②，若是直径，，求的值（用含k的代数式表示）． 30．（2026·海南省直辖县级单位·一模）综合与探究 (1)如图1，在正方形中，点分别在边上，且， ①求证：； ②若，，连接，求的度数； (2)【类比探究】如图2，在矩形中，，点分别在边上，且，求的值； (3)【类比探究】如图3，在中，为上一点，且，连接，过点作交于点，交于点，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 中考数学三轮押题05：全等三角形及相似三角形 》》》 押题依据 猜押考点 2025年考查省份 考情分析 押题依据 全国所有省份（必考）：北京、天 基础+中档题，选择/填 津、河北、山西、内蒙古、辽宁、 空/解答，6-10分；考查 平面几何入门核 全等三角形 吉林、黑龙江、上海、江苏、浙江 、 SSS、SAS、ASA、AAS、L判 心，中考必考基础； (判定与性 安徽、福建、江西、山东、河南、 定，对应边、角相等；2025重 衔接相似、圆、几 质) 湖北、湖南、广东、广西、海南、 点：直角三角形全等、公共 何变换；命题稳定 重庆、四川、贵州、云南、西藏、 边/角模型、等腰三角形全 重规范证明。 陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆 等。 中档必考题，选择/填空 全国所有省份（必考）：江苏、浙 解答，8-12分；考查AA、 几何核心考点，衔 相似三角形 江、广东、山东、河南、河北、四 SAS、SSS判定，对应边成比 接全等、函数、圆； (判定与性 川、重庆、湖北、湖南、安徽、福 例、面积比=相似比2； 2025真题高频， 质) 建、陕西、山西、贵州、广西、北 2025重点：平行相似、A字 重比例转化与数 京、上海 /8字模型、母子型相似、 形结合。 比例计算。 压轴题，解答压轴，10-16 全国所有省份（高频）：江苏、浙 分；考查手拉手、一线三等 中考几何压轴核 全等与相似 江、广东、山东、河南、河北、四 角、旋转/折叠、动点最值、 心，综合度最高； 综合（模型与 川、重庆、湖北、湖南、安徽、福 存在性探究；2025侧重：旋 2025真题高频， 压轴) 建、陕西、山西、贵州、广西、北 转全等+相似、折叠相似、 重模型识别与综 京、上海 等腰/直角三角形存在 合推理能力。 性、几何最值。 》》》 题型一、全等三角形（判定与性质） 1.(2026辽宁沈阳一模)如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,EF过点O且与边AB,CD分别相交于 点E,F.若AC=8,BD=4,则△BOE与△COF的面积之和为() 1 A.1 B.2 C.4 D.43 【答案】C 【详解】解：菱形ABCD,AC=8,BD=4, AB∥CD,OA=OC, LOAB=∠OCD. ZAOE ZCOF, .△AOE≌△COF(ASA, .S。4oE=S.COF, 1 S.soe+S,c0r=S,B0E+S40e=4S复形cn=4, 2.(2026四川成都·二模)如图，已知AF=DC,BC∥EF,且点A,F,C,D在同一直线上，补充下列 1 S菱形4BcD=2 AC·BD=16条件后，仍不能一定使△ABC≌△DEF的是() A.AB=DE B.BC=EF C.∠B=∠E D.AB∥DE 【答案】A 【详解】解：：AF=DC, :AC=DF, :BC∥EF, ∴∠EFD=∠BCA, A当AB=DE时，为SSA,没有此判定定理，故符合题意； B.当BC=EF时，可通过SAS证明全等，故不符合题意； 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■ C.当∠B=∠E时，可通过AAS证明全等，故不符合题意； D.当AB∥DE时，∠A=∠D,可通过ASA证明全等，故不符合题意， 3.(2026山东聊城二模)如图，用刻度尺和一个锐角为30°的三角尺测量计算圆形工件的半径，如果测得 AB=5cm,那么圆形工件的面积是() A.25πcm2 B.50πcm2 C.100xcm2 D.75πcm2 【答案】D 【详解】解：如图，设圆心O,⊙0与刻度尺和三角尺分别相切于点A,C,连接OA,OB,0OC, D O. 中中中 05101520253035 根据题意得，∠D=30°，∠DEC=90°， ∠ABC=∠D+∠DEC=120°， 由切线的性质得，∠0AB=∠0CB=90°， 又：0A=0C,0B=0B, .RtOAB RtAOCB(HL), :∠AB0=∠CB0=1∠ABC=60°， :tan∠AB0=tan60°=O4 AB 5= 5 .0A=5V3cm, :圆形工件的面积是πx(55=75πcm2. 4.(2026安微阜阳·二模)如图，正方形ABCD的边长为4，点E,F分别在边AD,CD上，且 AE=DF,BE与AF相交于点G,连接CG,DG,EF,则下列结论错误的是() 】 A.EF的最小值为2√2 B.CG的最小值为22 C.DG的最小值为2√5-2 D.当LBCG最大时，AF=3√2 【答案】D 【详解】解：：四边形ABCD是正方形 ·AB=BC=CD=AD=4.∠D=∠BAD=90°. 设AE=DF=x,则ED=4-x, 在RtaEDF中，EF2=ED2+DF2=(4-x+x2=2(x-22+8. :2(x-22≥0， 2x-22+8≥8， 当x=2时，EF2的值最小，EF2=8, ·EF的最小值为2√2.故A正确，不符合题意： 在△BAE和△ADF中， AE=DF ∠BAE=∠ADF BA=AD △BAE≌△ADF(SAS, ·∠ABE=∠DAF. :∠DAF+∠BAG=90°， :∠ABE+∠BAG=90°， ·LAGB=90°， 如图，取AB的中点O,即点G在以点O为圆心，2为半径圆上， 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■产 D B 当G为G位置，即正方形ABCD对角线交点位置时，CG的值最小， ·CG的最小值为22，故B正确，不符合题意； 如图所示， A D G B :∠AGB=90°，点O为线段AB的中点， :0G=4B=2, 由勾股定理得0D=VAD2+0A2=2V5, 当点O,G,D在同一条直线上时，DG可取最小值， 即点G与点G重合时，DG的值最小， DG的最小值为0D-0G1=2V5-2,故C正确，不符合题意； 当CG与O0相切时，LBCG最大 ·LABC=90°，OB是⊙0的半径， :BC是OO的切线， :CG =BC=4. 连接OC,交BE于点M. :CG=8C=4,0G=0B=4B=2. :OC垂直平分BG, ∠BMC=90°， 5 ■飞 :∠MBC+∠MCB=∠MBC+∠ABE=90°， :∠MCB=∠ABE. :∠BAE=∠ABC,AB=BC=4, .△ABE≌△BCO(ASA), AE =OB=2. ·DF=AE=2, :∠ADF=90°，AD=4, AF=√AD2+DF2=2V5,故D错误，符合题意. 5.(2026浙江台州二模)如图，有两个正方形ABCD、EFGH,点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、 AD边上，连结CE,已知AE=3,CF=4,则CE等于() B H D A.√73 B.213 C.√65 D.45 【答案】C 【详解】解：如图所示： B 2 :四边形ABCD是正方形， H D G ∠A=∠B=∠BCD=90°， :四边形EFGH是正方形， EH=EF=FG,∠HEF=∠EFG=90°， 在△AEH中，∠A=90°， .∠1+∠2=90°， 6 ■■■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 又：∠1+∠3=180°-∠HEF=90°， .∠2=∠3， 在△AEH和△BFE中， ∠A=∠B=90° ∠2=∠3 EH=FH ·△AEH≌△BFE(AAS), .AE =BF, AE=3, BF=3, 同理：△BEF≌△CFG(AAS), :BE=CF, CF=4, .BE=4, BC=BF+CF=3+4=7, 在△CBE中，LB=90°， 由勾股定理得：CE=√BE2+BC2=√42+72=√65. 故选：C· 6.(2026陕西渭南·二模)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD=BC,分别延长BC、DC至点E、F, 连接DE、BF.请从①BF=DE;②CE=CF;③LCBF=∠CDE;④∠E=∠F中选择两个合适的选项作为 己知条件，使得四边形ABCD是菱形. 你选择的条件是： (填序号即可)，选择条件后，请证明四边形ABCD是菱形. 【答案】①、③（或①、④或②、③或②、④，答案不唯一） 【详解】解：：AD∥BC,AD=BC, :四边形ABCD是平行四边形， 选①BF=DE,②CE=CF时，无法判定△BFC与△DEC全等，也无法证明四边形ABCD是菱形，不符合题 意， 选①BF=DE,③LCBF=∠CDE时， :BF DE,ZCBF ZCDE,ZBCF=ZDCE, :△BFC≌DEC(AAS), ∴.BC=CD, :四边形ABCD是平行四边形， :.四边形ABCD是菱形，符合题意； 选①BF=DE,④∠E=∠F时， :BF=DE,∠E=∠F,LBCF=LDCE, △BFC≌△DEC(AAS), .BC=CD :四边形ABCD是平行四边形， :.四边形ABCD是菱形，符合题意； 选②CE=CF,③LCBF=∠CDE时， CE=CF,ZCBF=ZCDE,ZBCF ZDCE, △BFC≌ADEC(AAS), ∴BC=CD, :四边形ABCD是平行四边形， :四边形ABCD是菱形，符合题意： 选②CE=CF,④∠E=∠F时， :CE=CF,∠E=∠F,∠BCF=∠DCE, △BFC≌△DEC(ASA), .BC=CD, :四边形ABCD是平行四边形， 四边形ABCD是菱形，符合题意； 选③LCBF=LCDE,④∠E=∠F时，无法判定△BFC与△DEC全等，也无法证明四边形ABCD是菱形， 不符合题意， 综上所述，①、③（或①、④或②、③或②、④，答案不唯一）. 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■了 7.(2026山东济南·二模)己知：在平行四边形ABCD中，E,F是对角线AC上的两点，且AE=CF,G ,H分别是边AD,BC上的点，且EG∥FH.求证：DG=BH. G 【答案】见解析 【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形， .AD‖BC,AD=BC, ∠DAC=∠BCA. :EG‖FH, ∠GEF=∠HFE, :180°-∠GEF=180°-∠HFE, 即∠AEG=∠CFH. 在△AEG和△CFH中， ∠GAE=∠HCF AE=CF ∠AEG=∠CFH .△AEG≌ACFH(ASA), .AG=CH. AD BC, .AD-AG=BC-CH, .DG=BH 8.(2026广东深圳二模)如图1，在菱形ABCD中，点E是对角线BD上一点，点F与点B关于AE对称， 射线AE分别与直线DF、BC分别交于点G、H. 9 D B G 图1 图2 B 图3 备用图 (1)如图2，已知LABC=90°，点F恰好落在对角线AC上时， ①LG= ②若AD=4,则AE·AG= (2)试猜想图1中∠G与∠ABC有怎样的数量关系，并说明理由； 3 (③)如图3，已知cos∠ABC=行若点F恰好落在菱形ABCD的某条边所在的直线上（不与顶点重合），请直 接写出此时 的值， HG 【答案】(1)①45°；②16 ②∠G-方18c,理由见样折 时完 【详解】(1)解：①：四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°， :四边形ABCD是正方形， AB=AD,∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°. :点F与点B关于AE对称， .AB=AF,∠BAE=∠FAE, .AF AD, ∠AFD=∠ADF, :点F在AC上，∠BAC=∠DAC=45°， ∴∠BAE=∠CAE=22.5°， ∠DAF=90°-2×22.5°=45°， 10 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ∠AFD=180°-450 =67.5°， 2 :∠AFD=∠G+∠FAG,∠FAG=22.5°， ∠G=67.5°-22.5°=45°. ②连接DG,由①知∠G=45°，∠ADB=45°， .∠ADB=∠G, 又：∠DAE=LGAD, △ADE∽△AGD, AD AE AG AD .AE·AG=AD2. AD=4, .AEAG=42=16. 2)解：路墨：2G=48c 证明：四边形ABCD是菱形， :AB=AD,AD∥BC,∠ABD=∠ADB=∠ABC, :点F与点B关于AE对称， AB=AF,∠BAE=∠FAE, .AF=AD, .∠AFD=∠ADF. 设∠BAE=LFAE=a,则∠BAF=2a, .∠DAF=∠BAD-2a=180°-∠ABC-2a, ∠ADF=180-∠D1F-180P-080°-∠4BC-2a-=∠ABC+a, 2 2 2 在△DAF中，∠AFD=∠G+∠FAG,且∠DFA=∠ADF, ∠ABC+a=∠G+a, 2 整理得：2G=)ABC○ (3)解：分三种情况如下： 情况1：点F落在直线BC上（对应E职_， HG 4 11 E B H 3C :四边形ABCD是菱形，设48=40=5，c0s∠48C= 6 G 由轴对称性质，AB=AF=5, 在△ABF中，作AH⊥BC于H,则BH=AB·cosLABC=3,AH=4, :BF =2BH=6,CF=BF-BC=1, ADI BC, ∴△ADE∽△HBE,△ADGm△HFG, AD AE AD AG 由相似比可得： BH EH HF HG 结合BF=BC+CF=5+CF,FC=1,解得 EH 1 HG4 情况2：点F落在直线CD上（对应E弘_2） HG 96 5 D B G 由轴对称性质，设AB=AF=AD=5, 作AP⊥CD于P,则DP=AD·cos∠ADC=3,AP=4, :DF=2DP=6,CF=DF-CD=1, ABI CD LG=LBAH=∠FAG, 12 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ FG=FA=5, ADI BC, ∴△ADE∽△HBE,△DAG∽△CHG, CH GH GC 5+1 6 AE AD AD AG GD 5+6 11'EH BH' :CH=- 11 .BH=BC-CH=5- 3025 1111 AE511 EH25=5, 11 :EH=54H, 16 又GH、6 AG11' GH 6 AH5' ·EH= x5GH 166 25GH· 96 的两肥瓷 情况3：点F落在直线AB上 F 5 2 5 E B M H 由轴对称性质，设AB=AF=5,AE⊥BF,F在BA延长线上，AF=5, 5525 结合菱形边长AD=5,可得F在A点上方，AF=5,BH=C cos∠ABC33, 5 延长BH交FG于M, ADI BC, .ADF∽BMF,△ADE∽△HBE,HMG∽ADG, 13 BM-FB-2.AE AD HM_GH AD FAEH BH'AD AG .BM =2AD=10,HM BM-BH= 31 5 AE AD 5 3 :GH-3-1,EHBH255, AG5 3 3 ·EH=5AH,GH=AH, P 2 解得H、5 HG 4 综上， 的为·亮 HG 9.(2026湖北襄阳模拟预测)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=8,CB=6,将ABC绕点A顺时针旋 转得到ADE,点B的对应点为点D,点C的对应点为点E. D E G B 图1 图2 图3 (I)如图1，连结CE、DB,请写出CE与DB之间满足的数量关系，并证明； (2)如图2，延长CE交DB于O,请判断O是否为DB的中点，请说明理由； (3)如图3，当AE∥BC时，求线段CO的长. 【答案】0)EC-4 DB5,见解析 (②)O为DB的中点，见解析 (3)72 【详解】(1)解： 品手如下 :∠ACB=90°，CA=8,CB=6, AB=VAC2+BC2=10· :ABC绕点A顺时针旋转得到ADE, △ABC≌△ADE .AC=AE,AB=AD,CB=ED,∠CAB=∠EAD, 14 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■ AC AE ∠CAE=∠BAD, AB AD .△AEC∽△ADB, EC AC 8 4 DB AB 10-5: (2)结论：O为DB的中点，理由如下： 证明：延长CO,过D点作DF⊥CF于F,过B点作BG⊥CF于G B ∴∠DFE=∠BGC=90°， AC=AE, .ZAEC ZACE 又：∠AED=∠ACB=90°， .∠DEF=180°-∠AED-∠AEC=90°-∠AEC,∠BCG=90°-∠ACE, .LDEF=∠BCG, ∠DFE=∠BGC 在aDEF和△BCG中， ∠DEF=∠BCG CB=ED △DEF≌△BCG(AAS), .DF=BG, ∠DOF=∠BOG 在ADOF和△BOG中， ∠DFO=∠BGO, DF=BG .△DOF≌BOG(AAS), .D0=B0, :O为DB的中点： (3)解：过B点作BM⊥AE于M, 15 G E列 M B 图3 :AE∥BC,∠ACB=90°， ∠EAC=∠ACB=∠BMA=90°， .四边形AMBC是矩形， .AM=BC=6,BM=AC=8. 根据旋转得AE=AC=8,根据勾股定理，得CE=√AC2+AE2=8√2 .EM=8-6=2. :∠DEM=∠BME=90 .DE∥BM, ∴.△DEG∽△BMG, MG BM 8 4 GE DE 631 .MG =4a,EG=3a, ∴4a+3a=2, 解程a另 :MG-号G-9 :AE∥BC, △EG0∽aCB0, 6 E0EG7_1, C0BC=6=7 C0=7Ec=7x8N2=7N2. 8 8 10.(2026黑龙江哈尔滨一模)新定义：对角线相等的四边形是等对四边形. 16 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ A B 图1 图2 (I)如图1，己知：ABC中，以AB和AC为边在ABC的外侧分别作等腰直角△ABD和△AEC,连接DE ,求证：四边形BCED是等对四边形. (②)如图2，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点A,B,C均在 格点上，若点D在格点上，且四边形ABCD是等对四边形，请直接写出所有满足要求的线段AD的长， 【答案】()见解析 (2)V10或25 【详解】(1)证明：如图，连接CD,BE, 图1 :△ABD和△AEC是等腰直角三角形， AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠EAC .LBAD+∠BAC=∠EAC+∠BAC,即∠DAC=∠BAE .△DAC≌△BAE(SAS ∴CD=BE :四边形BCED是等对四边形 (2)解：如图所示， 17 B 图2 :点D在格点上，且四边形ABCD是等对四边形 ∴BD=AC=5 :AD,=VP+32=V10,AD,=V22+42=2V5 题型二、相似三角形（判定与性质) 11.(2026四川泸州二模)如图，点D,E分别是边AB,AC的中点，点F在DB上，DF=2BF.连接EF并 延长，与CB的延长线相交于点M,若BC=8,则线段BM的长为() 0 E F M∠ 夕 A.8 B.6 C.4 D.2 【答案】D 【详解】解：：DF=2BF, 03 :点D,E分别是边AB,AC的中点， :DE∥BC,DE=BC=4, ∴△DEF∽△BMF, BF BM 1 DF DE2' .BM=-DE=2. 12.(2026江苏泰州模拟预测)如图，在ABC中，AB=6,AC=4,BC=5.点D在边AB上，且 ∠ACD=∠B.下列结论中，正确的个数是() 18 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ①△ACD∽△ABC ②Saw-4 S△BcD5 ③CD平分∠ACB ④△BCD的周长为10 A D C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【详解】解：：∠A=∠A,∠ACD=∠B, ·△ACD∽△ABC,故①正确； :△ACD∽△ABC,AB=6,AC=4, AC-4-2 AB63' 则Sa1cn= 2)2 4 S△ABC 3=g 设S。ACD=4k,S。HBc=9k,则SBcD=S。ABC-S4cD=9k-4k=5k, 、S△4c2=4k-4 Sac5k5,故②正确； :△ACDn△ABC,AB=6,AC=4,BC=5, AC AD CD 2 AB AC BC 3' 则AD=2AC=x4=3CD=行BC=,3=0 2 8 3 3 3 3 3 810 ∴.BD=AB-AD=6 3=3 则BD=CD, .∠B=∠BCD, ∠ACD=∠B, .∠ACD=∠BCD,即CD平分∠ACB,故③正确； 19 ■ 10 BD=CD= 3,BC=5, Co=D+CD+Bc82+5径I0,放④错误 综上所述，结论正确的是①②③，共3个. 13.(2026安微滁州二模)如图，在ABC中，BD平分∠ABC,交AC于点D,DE∥AB交BC于点E.若 AB=9,BC=6,则DE的长为() B E A.3 B.4 c号 n. 【答案】D 【详解】解：~DE∥AB, .∠BDE=∠ABD,△CDE∽△CAB, CE DE BC AB CE CB 6 2 DE AB 9 3' ~BD平分∠ABC, ∠ABD=∠DBE, ∠DBE=∠BDE, :.BE DE, .CE_2 BE 3' ×BC=6, BE-3BC-18 DE= 5 14.(2026黑龙江双鸭山二模)如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,点F在BD的延长线 上，连接FA,过点F作FE⊥AF交BC的延长线于点E,过点E作EG⊥BF于点G,则下列结论：① GB=GE;②FA=FE:③CE=V2DF;④EF2-AD=CE'+AD.CE.其中正确结论的序号是() 20 分■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ G A.①②③ B.①②④ C.②③ D.①②③④ 【答案】D 【详解】解：：正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O, ∠ABD=∠DBC=45°，∠ABC=90°，AC⊥BD,OA=OB=0C=0D, .EG⊥BF, :.△BEG是等腰直角三角形， :GB=GE,①结论正确； 如图，连接AE, FE⊥AF, .∠AFE=LABE=90°， A、B、E、F四点共圆， ∠AEF=ABF=45°， :△AEF是等腰直角三角形， FA=FE,②结论正确； 如图，过点C作CH⊥EG,则四边形COGH是矩形， F G D :CH=0G, E :∠AF0+∠FA0=90°，∠AFO+∠EFG=90°， .∠FAO=∠EFG, 又：∠AOF=LFGE=90°，FA=EF, △AOF≌FGE(AAS), :..OF=GE=GB,OA=FG=OD, 21 DF=OF-OD=OF-FG=0G, .DF=CH, :∠CHE=90°，∠CEH=45°， :△CEH是等腰直角三角形， CE=√2CH=√2DF,③结论正确： :0A=0D,∠A0D=90°， .AD2=0A2+OD2, .EF2-AD2=AF2-(OA2+OD2)=OF2-OD2=(DF+OD)2-OD2=DF2+2DF.OD, .·CE=V2CH=V2DF, :.CE2=2DF2, CB=DR2, :∠ACB=∠ADB=∠CAD=45°， ∴∠ACE=∠ADF=I35°，∠CAE+∠DAE=45°， :∠EAF=∠DAE+∠DAF=45°， ∴.∠CAE=∠DAF, ∴△ACE∽△ADF, .AC_CE AD DF AD·CE=AC.DF=2OD·DF, CE+AD-CE-DF+20D-DF &中2AD)CE+D-CB,④结论正通 综上可知，正确结论的序号是①②③④， 15.(2026重庆北碚二模)如图，在正方形ABCD中，点E在线段DC上，连接AE,BD相交于点F,点 G在AE的延长线上，连接DG,若GD=GF,1 tanLAFB=4,则DC的值为() AE 22 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ B. 417 C.34 D.1 17 6 【答案】A 【详解】解：如图，连接AC交BD于O,过G作GQ⊥BD于Q, D G :正方形ABCD, AC⊥BD,OA=OB=OD,AB=AD=CD,AB∥DC, ∴.△DEF∽△BAF, DE、DF AB BF tanZAFB=4=4 OF' 设0F=a,则A0=B0=D0=4a, .DF=3a,CD=AD=AB=42a, DE=30x4N2a=122。 a, 5a 5 46-VAD:+DE2=(4Va+a-8170 5 :GF=GD,GQ⊥DF, 3 QF=QD=÷a, 2 :tan∠AFB=tan∠GF0=Gg=4, OF 3 G0=4×2a=6a +(6a2=3 、2 GD=GF=GO2+OF2= 3 2a, 3v1 a15 AE87=16 -a 5 16.(2026山东临沂一模)如图，在⊙0中，直线CD经过圆心O交圆于C、D两点，CD=10,A是⊙0上 23 ■飞倍 一点，连接OA. D (I)过点C作CE∥OA,连接EA、DA,你发现哪些结论？请直接写出这些结论 (②)在(1)的条件下，连接AC,若CE=6,求AC的长？ 【答案】(Q)见解析 (2)4V5 【详解】(1)解：：CD是⊙0的直径， .∠DAC=90°，0C=0D=0A :CE∥OA, ∠AOD=∠ECD,∠ACE=∠OAC :0C=0A, .∠0CA=∠0AC, ∴.∠OCA=∠ACE, :AE=AD,AE=AD (2)解：连接ED交AO于点F E :CD是⊙O的直径， .∠CED=90° .CD=10 :0A=0D=1CD=5 :CE∥OA,O为CD的中点， ∴∠0FD=∠CED=90° 24 ■■■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■ .△DFOADEC OF OD CE CD ,即OF、1 62 0F=3, 在Rt△FOD中，由勾股定理得：FD=VOD2-0F2=4 .AF=0A-0F=5-3=2 :在Rt△AFD中，由勾股定理得：AD=VAF2+FD2=2√5 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC=VCD2-AD2=4V5· 17.(2026山东聊城二模)如图，AB是00的直径，点C是⊙0上异于A、B的点，连接AC、BC,点 D在BA的延长线上，且∠DCA=∠ABC,过点B作BE⊥DC,交DC的延长线于点E. E (1)求证：DC是⊙0的切线： ②若an∠4BC=,BE=3,求D1的长度 【答案】（①）见解析 ②D的长为 【详解】(1)证明：连接0C,如图， E AB是⊙0的直径， D B ∠ACB=90°， ∠0CB+∠0CA=90°， 0C=0B, .∠ABC=∠OCB, ∠DCA=∠ABC, 25 ■■■ ∠DCA=∠OCB, .∠DCA+∠OCA=∠OCB+∠OCA=90°， 即∠0CD=90°， :0C是半径， DC是O0的切线； 1 (2)解：：tan∠ABC= 2,∠4CB=90°， 瓷 'LDCA=∠ABC,∠D=∠D, ∴.△DCA∽aDBC, DA DC AC 1 DC DB BC2' 设DA=x,则DC=2x,DB=4x, .AB=DB-DA=4x-x=3x, 35 ·D0=DA+A0=x+2x=2X, 2 3x 2 由(1)知0C⊥DC, :BE⊥DC, .∠0CD=∠BED=90°， .OC∥BE, △DCO∽aDEB, DO OC DB BE 又BE=3, 53 即22 -x 4x3 解得：x=5」 即04的长为 18.(2026江西·三模)如图，在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线 于点F,请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图.（保留作图痕迹） 26 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分! A D A D E E B C F B C F 图1 图2 (1)在图1中，作AB的中点M； (2)在图2中，在 EF 上作点P，使 $$P F = \frac { 2 } { 3 } E F$$ 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 【详解】(1)解：所作AB的中点M如图所示： A D E M B C F 图1 1 (2)解：所作点P如图所示： D D G E F B C 图2 ：四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴∠DGE=∠CBE，∠DAE=∠F， ∵ 点E为CD的中点， ∴DE=CE， ∵∠DEG=∠CEB， ∴△DEG≅△CEB(AAS)， ∴DG=CB， ∴DG=AD， 同理可得 AD=CF，AE=EF， ∴AD=DG=BC=CF， 27 ■■■ :AD∥BC, △AGPn△FCP, :CE=PF 1 AG PA2' .PF=TAF, 3 AF =2EF, PFEF 19.（2026河南省直辖县级单位一模)【定义】如果从某一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线 作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四 边形”，该对角线可称为“垂中对角线”，垂足叫做“垂中点” 如图1，在平行四边形ABCD中，BF⊥AC于点E,交AD于点F,若F为AD的中点，则平行四边形 ABCD是垂中平行四边形，E是垂中点， F D D E B 图1 图2 图3 【应用】 (1)①菱形 (填“可能”或“不可能”)是“垂中平行四边形”. ②如图1，平行四边形ABCD是“垂中平行四边形”，其中AC是垂中对角线”，则4仁的值为 AC (2)如图2，在矩形ABCD中，AD=6√5，AD>AB·若该矩形是“垂中平行四边形”，且AC是其“垂中对角 线”，求AB的长。 (3)如图3，在ABC中，BE⊥AC于点E,CE=2AE=4,BE=3,若BC是某个“垂中平行四边形的边， 点E为该“垂中平行四边形”的垂中点，点A在垂中平行四边形的边上，请直接写出这个“垂中平行四边形” 的周长 【答案】)①不可能② (2)3√6 (3)10+2V13或10+43或10+√73 【分析】(1)①由菱形对角线的性质，就可以判定； 28 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 【详解】(1)解：①不可能.因为菱形的对角线互相垂直，点F与D点重合，不是AD中点，所以菱形不 是“垂中平行四边形”： ②过点D,作DH∥BF,交AC于点G,交BC于点H,如下图， F 0 E :四边形ABCD是“垂中平行四边形”， 分 C D-AD.FDI BH.AD BC :四边形BFDH是平行四边形， BH=FD=AD=BC,即点H也是BC中点， 2 21 .AE=EG=CG, 即AE AE AE 1 AC AE+EG+CG-3AE3 (2)解：过点B作BE⊥AC,垂足为F,交AD于点E,如下图 E D 矩形ABCD是“垂中平行四边形”， B =号0-6=，nc-6 1 :四边形ABCD是矩形， ·∠BAE=LABC=90°， :BE⊥AC,垂足为F, :∠BAC+∠ABE=90°，∠BAC+∠BCA=90°， ∠ABE=∠BCA, 又∠ABC=∠EAB=90°， .Rt△ABE∽Rt△BCA, .AE AB AB BC :AB2=AE.BC=33x63=54, ..AB=36. 29 ■了 (3)解：：CE=2AE=4, AE=2, 构成“垂中平行四边形”，分三种情况 ①过点A作AD,∥BC,过点C作CD,∥AB,AD与CD,相交于点D,延长BC交AD于点F,如下图 A F D E 四边形ABCD是平行四边形， 瓷装方即-c-0, 2 :点F是AD中点， :BE⊥AC, :四边形ABCD是“垂中平行四边形”， AB=CD=AE+BE2=22+32=13, AD=BC=BE2+CE2=32+42=5, P-4RCD =2AB+2AD =10+213: ②过点C作CD,∥AB,与BE的延长线交于点D,过点D作DE‖BC,交BA的延长线于点F,如下图 F D :四边形BCDF是平行四边形， B AB∥CD,BF=CD,BC=FD, AB AE 1 CDC距2即ABCD=8即，点4是r中点， 2 :BE⊥AC, :四边形BCDF是“垂中平行四边形 由①知AB=V13,BC=5, :P.8CDF =2BC+2CD =2BC+4AB=10+4v13: 30 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ③过点A作AD,∥BC,交BE的延长线于点D,连接CD,过点B作BF‖CD,交DA的延长线于点F,四 边形BCDF是平行四边形，如下图 F D E .BF=CD,BC=FD, B ADI BC, 提号器-方甲0c0,0E-8E 2 2 点A是DF的中点， :BE⊥AC,BD是对角线， ·四边形BCDF是“垂中平行四边形”， 在Rt△CDE中，CD=VDE2+CE 3 2 +4= 2 由①知BC=5, P-8CDF =2BC+2CD =10+73. 20.(2026陕西西安模拟预测)按要求解答问题： (I)如图①，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D在AC上，点E在AB上，以DE,CD为边作DEFC,点F在 BC上，若BF=2DE,则1 CD (2)如图②，在矩形ABCD中，BC=48,E为AD的中点，连接BE,CE,⊙O过点B,C,E,若 an∠BEC=,求边AB的长 (③)如图③，AB为某市一个大型荷塘边界，该市文旅集团计划依荷塘边界在荷塘外空地上修建一个小型观光 公园ABCM,其中CE,CM,ME为三条观光路线，AF附近为荷花集中区，M为最佳观光点.己知点A 。E,B共线F为线段B的中点，依据改计要求，C=,∠CEM=90°，为保证游客最佳观景效果， 还需使∠AMF最大，己知AB=2BC=480m,∠B=90°，请你计算此时观光路线CM的长度.（观光路的宽 度、观光点的大小均忽略不计) 31 C .0 M E B 图① 图② 图③ 【答案】片 (2)36 (3)60V30m 【详解】(1)解：：四边形DEFC平行四边形， EF∥AC,CF=DE, CF AE BF =2DE, BE=8F-2, AE CF :四边形DEFC平行四边形， .DE∥BC, ADAE1 CD BE2 (2)解：如图①，过点O作BC的垂线交BC于点H,连接OB,OC,OE, E D :OH⊥BC,OB=OC, :.BH=CH=BC=24,∠B0H=∠C0H. :四边形ABCD为矩形， AD=BC,AD∥BC, E为AD的中点， G4E-7AD ■■■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■ .AE =BH, .AE∥BH, :四边形ABHE为平行四边形， :OH⊥BC, :四边形ABHE为矩形， .∠BHE=90°，AB=EH, .E,O,H三点共线， BC=BC, :∠B0C=2∠BEC, tan∠BOH=tan∠BEC=BH_12 OH 5 0H=10, 在Rt△OHB中，OB=VOH2+BH2=26, 0E=26,则AB=EH=0E+0H=36; (3)解：CE-4 CM5'∠CEM=90°， CE4 ME 3' 如图②，在BF上取一点P,使得PB=3BC,连接PM,PC, 4 :∠B=∠CEM=90°， CE CB 4 ME PB 3' O FP E :△CPB∽△CME, .∠MCE=∠PCB, .∠MCP=∠ECB, .CM CP 5 CE CB 4' :△CMPn△CEB, :∠B=∠CPM=90°，即CP⊥MP. :点E在AB所在直线上运动， 33 ■ ·点M在过点P且垂直于CP的直线上运动， 作△AMF的外接圆⊙0，连接OM, 当⊙O与直线PM相切时，∠AMF最大， :PM⊥OM, ∠FMP+∠FM0=90°， 延长M0交⊙0于点G,连接GF, :MG为O0的直径， .∠MFG=90°， ∠MGF+∠GMF=90°， ∠FMP=∠MGF, MF =MF. ∠MAP=∠MGF, .∠FMP=∠MAP, .∠MPF=∠APM, .△PMF∽△PAM, PM PA PF PM' :PM2=AP PF, BC=240, .BP=180,CP=300, :AP=AB-BP=480-180=300, F为AB的中点， PF=BF-BP=1AB-BP=240-180=60, 2 PM=√AP.PF=V300×60=60V5, :在RtaCPM中，CM=VPM2+Cp2=60V30(m. :此时观光路线CM的长度为60√30m. 题型三、全等与相似综合（模型与压轴） 21.(2026安微阜阳二模)矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E,点F在DE的延长线上，BF⊥DF ,连接AF、CF,CF与AB交于G.以下选项不正确的是() 34 ■■■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ A.AE=BC B.AF=CF C.BF2=FG·FC D.EG·AE=BG·AB 【答案】C 【详解】解：DE平分∠ADC,∠ADC为直角， CZADE-7X90°=45，又∠DAB=90 ∴.ADE为等腰直角三角形， .AD AE, 又：四边形ABCD矩形， .AD=BC, .AE=BC, 故A选项正确，不符合题意： :∠BFE=90°，∠BEF=∠AED=45°， ∴△BFE为等腰直角三角形， 则有EF=BF,∠EBF=45°， 又：∠AEF=∠EFB+∠ABF=135°，∠CBF=∠ABC+∠EBF=135°， .∠AEF=LCBF, 在△AEF和CBF中， AE=BC ∠AEF=∠CBF, EF=BF △AEF≌aCBF(SAS, .AF CF, 故B选项正确，不符合题意； 假设BF2=FG·FC, 则可知aFBG∽aFCB, 由EF=BF,BF⊥DF可得∠FBG=4S ∠FBG=∠FCB=45°，则∠FBC=135°， 连接AC,如下图： 35 E G B 由题意可得：AE=BC,∠AEF=∠FBC=I35°，EF=BF △AEF≌ACBF, AF=CF,∠BFC=∠AFE, ·LAFC=LBFE=90°，即△AFC为等腰直角三角形， ∠ACF=45°， :∠ACB=90°，显然不可能，故C选项错误，符合题意； :∠BGF=180°-∠CGB,LDAF=90°+LEAF=90°+90°-∠AGF)=180°-LAGF,∠AGF=LBGC, .∠DAF=LBGF, :∠ADF=∠FBG=45°， .△ADF∽△GBF, :.AD-DF DF BG BF EF' :EG∥CD, :△FEGn△FDC, EFEG_EG DF CD AB BG GE ADAB EG·AD=BG·AB, 又：AD=AE, EG·AE=BG·AB,故D选项正确，不符合题意； 22.(2026山东淄博一模)如图，以BC为直径的半圆O与ABC的两边AB,AC相交于点D,E.己知 0E=EC=4,BC-BD=S,则BC BD-AD的值为() D 36 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ B. 3-5 C. D. 6 【答案】B 【详解】解：连接BE,如图： D B :BC为直径， ∠BEC=90°， DE =EC, .DE=EC, ∴.∠EBC=∠EBA, :∠EBC=∠EBA,BE=BE,LBEC=∠BEA=9O°， .△BEA≌△BEC(ASA, .AE=EC,BC=BA,∠BCE=∠BAE, .DE=EC=4, .AE=DE=4,AC=8, ∠ADE=∠DAE, .∠ADE=LDAE=LBCE 又：BC-BD=16 ·DA=BA-BD=16 :LADE=LBCE,∠BAE=∠DAE, ∴△EADn△BAC, :AE、AD AB AC 、2一夏正 AD 16 5 :BC=AB=10,BD=AB-AD=10-16_34 55 37 3416 BD-AD 55 93 三1 BC 10-V255 23.(2026山东淄博一模)如图，在等边ABC中，AB=8,点D在AB上，点E在BC上，且AD=BE=2 ·连接AE与CD交于点F,则CF.CD=() D B E A.36 B.42 C.48 D.60 【答案】C 【详解】解：“aABC是等边三角形 AB=AC=8,∠B=∠BAC=60°， 在△ABE和△CAD中 AB=CA ∠B=∠CAD, BE=AD △ABE≌△CAD(SAS .∠BAE=∠ACD :∠BAC=LBAE+∠CAE=60°， .∠ACD+∠CAE=60° .∠AFC=180°-∠ACD+∠CAE)=120°， .∠AFD=180°-∠AFC=60°， .·∠CAD=60 ·∠AFD=∠CAD 又：∠ADF=∠CDA .AADF△CDA :AD、DF CD DA' .AD2=CD·DF, 38 ■■■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■了 DF=CD-CF, .AD2=CD (CD-CF)=CD2-CD.CF .CD.CF CD2-AD2 过点C作CH⊥AB于H, D F Hb :aABC是等边三角形 B E .AH=-AB=4, :CH=AC2-AH2=82-42=43 .AD=2 DH=AH-AD=4-2=2, 在Rt0CDH中，CD2=CH2+DH2=(4V3)2+22=48+4=52, ∴CD.CF=52-22=48. 24.(2026黑龙江佳木斯·二模)如图，正方形ABCD的边长为2√5，点E是BC的中点，连接AE与对角线 BD交于点G,连接CG并延长，交AB于点F,连接DE交CF于点H,连接AH,以下结论：①CF⊥DE ®-子⑧GH5:④40=4H,其中正确结论的序号是℃ A.①②④ B.①②③ C.①③④ D.①②③④ 【答案】A 【详解】解：：四边形ABCD是边长为2√5的正方形，点E是BC的中点， AB=AD=BC=CD=2V5,BE=CE=V5,∠DCE=∠ABE=90°，LABD=LCBD=45°， △ABE≌△DCE(SAS), 39 .ZCDE ZBAE,DE AE :AB=BC,∠ABG=∠CBG=45°，BG=BG, △ABG≌ACBG(SAS, .∠BAE=LBCF, ∠BCF=∠CDE, 又：∠CDE+∠CED=90°， .∠BCF+∠CED=90°， ∠CHE=90°， CF⊥DE,故①正确： CD=25,CE=√5， ÷由勾股定理得，DE=VCD2+CE2=25+(5=5, S.pcE=CD.CE=IDE.CH, 2×25x5=5cH, 2 解得CH=2, :∠CHE=∠CBF=90°，∠BCF=∠ECH, .△ECHn△FCB, :CH、CE BC CF 话总 CF=5, .HF=CF-CH=3, F号，故②正确： 如图，过点A作AM⊥DE于点M, D M E F 40 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■了 "DC=25,CH=2, 由勾股定理得， DH=25-22=4, :∠CDH+∠ADM=90°，∠DAM+∠ADM=90°， ∠CDH=∠DAM, 又：AD=CD,∠CHD=∠AMD=90°， :△ADM≌△DCH(AAS), .CH DM=2,AM DH=4, .MH DM =2, 又：AM⊥DH, AD=AH,故④正确； DE=5,DH=4, ∴HE=I, .ME HE +MH =3, :AM⊥DE,CF⊥DE, .LAME=∠GHE, :∠HEG=∠MEA, △MEA∽△HEG, GH HE AM ME GH 1 4=3' 4 “HG=了，故③错误. 综上，正确的有：①②④. 25.(2026四川达州一模)如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D 的对称点为点F,EF交AD于点G,连接CG交PQ于点H,连接CE,下列四个结论中：①EC平分∠BEG ;②△PBE∽△QFG;③S.cEG=ScBE+S四边形CDOH;④GH2=GQGD,其中正确的是() 41 ■ B A.②④ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 【答案】B 【详解】解：由折叠可知，LGEC=∠DCE, :在正方形ABCD中，AB‖CD, ∠BEC=LDCE, .∠BEC=LGEC, ·EC平分LBEG; ∴①正确； :四边形ABCD是正方形， .∠A=∠B=LBCD=∠D=90°， 由折叠可知，∠GEP=∠BCD=90°，∠F=∠D=90°， :∠BEP+∠AEG=90°， :∠A=90°， :∠AEG+∠AGE=90°， .∠BEP=LAGE, ∠FGQ=∠AGE, ∴∠BEP=∠FGQ, :∠B=∠F=90°， △PBE∽△QFG, ∴②正确； 过点C作CM⊥EG,则∠EMC=90°， 42 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ A B 在BEC和△MEC中， ∠B=∠EMC ∠BEC=∠MEC, CE=CE △BEC≌△MEC(AAS), :.CB=CM =CD,S.BEC S.MEC, 在Rt△CMG和Rt△CDG中 CG=CG CM=CD :RtACMGS≌RtACDG(HL S.CMG S.CDG, .S.CEG=SBEc+S.CDG>SBEc+S四边形cDoH, ③错误； 连接DH,MH,HE, A D M .△BEC≌△MEC,Rt△CMG≌RtACDG, .∴.∠BCE=∠MCE,∠MCG=∠DCG, ·∠ECG=∠ECM+∠GCM=}∠BCD=45°， 43 ■了 :EC⊥HP, .∠CHP=45°， .∠GHQ=∠CHP=45°， 由折叠可得：∠EHP=∠CHP=45°， EH⊥CG, ..EG2-EH2=GH2, 由折叠可知：EH=CH, ..EG2-CH2=GH2, ,CM⊥EG,EH⊥CG, .∠EMC=∠EHC=90°， ∴.E,M,H,C四点共线， ∠HMC=∠HEC=45°， 在aCMH和△CDH中， CM =CD ∠MCG=∠DCG CH=CH △CMH≌aCDH(SAS) .∠CDH=∠CMH=45°， :∠CDA=90°， .∠GDH=45°， '∠GHQ=∠CHP=45°， .∠GHQ=∠GDH=45°， ∠HGQ=∠DGH, ∴AGHQ∽aGDH, GO GH GH GD' .GH2=GQ·GD ④正确； 综上所述，①②④正确. 26.(2026江苏泰州模拟预测)如图，在等边ABC中，边长为6，AD是BC边上的高，点E在AC上， 44 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 且AE=3,BE与AD交于点Q. B δ (I)求线段AQ与QD的长度： (2)连接CQ,求证：CQ平分∠ACB; (3)求△CQE的面积. 【答案】（①）QD=√5，AQ=2V5 (2)见解析 8)36 2 【详解】(1)解：：等边ABC,AD⊥BC,AB=6, BD=3=CD,AD=V62-32=3V5, 过E作EH⊥AD于H,AE=3,∠DAC=30°， 0=35-35-35, .AD⊥BC,EH⊥AD, .EH∥BC, .△EQH∽△BQD, BD OD EH HO 45 335 2 3 OD 解得：QD=V3,AQ=2V3 (2)证明：如图，连接CQ, Ha- B D BD=CD=AE=3, .CE=3=AE, :ABC为等边三角形， :AD,BE分别为∠ABC,∠BAC的平分线， .CQ平分∠ACB. (3)解：：ABC为等边三角形，CQ平分∠ACB. :∠QCD=∠QCE, Co=CO,CD=CE=3, △CQD≌ACQE(SAS, .S.oce=S.oc, 5.cge=S.0n=)x3x5_3N5 1 2 27.（2026河南周口三模)综合与实践 在矩形ABCD中，点P是射线BC上一个动点，连接AP,过点B作BM⊥AP于M,过点D作DN⊥AP于 N. D 图1 图2 备用图 (1)观察猜想 46 ■■■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■ 如图1，若AB=BC,点P在边BC上（不与点B、C重合）. ①写出图1中一个与∠BAP相等的角： ②用等式表示线段BM、MN、DN的数量关系： (2)类比探究 如图2，若AB=BC,点P在BC的延长线上，请依据题意补全图形（无需尺规作图），用等式写出线段BM、 MN、DN之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用 若B3 特BC亏BC=5CP,请直接写出 p的值. 【答案】(I)①∠ADN(答案不唯一)②BM+MN=DN (②)DN+MN=BM,理由见解析 %号 【详解】(1)解：①∠ADN(答案不唯一)②BM+MN=DN, 理由如下： 因为四边形ABCD是矩形，AB=BC, 所以四边形ABCD是正方形， 所以∠BAD=90°，∠BAP+∠DAP=90°，AB=AD, 因为BM⊥AP于M,DN⊥AP于N, 所以LAMB=LAND=90°，∠ABM+∠BAP=90°，∠ADN+∠DAP=90°， 所以LBAP=∠ADN,∠ABM=∠DAN, 在△ABM和aDAN中， ∠AMB=∠AND ∠ABM=∠DAN, AB=DA 所以△ABM≌△DAN(AAS), 所以BM=AN,AM=DN, 因为AN+MN=AM, 所以BM+MN=DN. (2)解：DN+MN=BM,理由如下： 如图，过点B作BM⊥AP于M,过点D作DN⊥AP于N, 47 M 入 C P 因为四边形ABCD是矩形，AB=BC, 所以四边形ABCD是正方形， 所以∠BAD=90°，∠BAP+∠DAP=90°，AB=AD, 因为BM⊥AP于M,DN⊥AP于N, 所以∠AMB=∠AND=90°，∠ABM+∠BAP=90°，∠ADN+∠DAP=90°， 所以∠ABM=∠DAN, 在△ABM和△DAN中， ∠AMB=∠AND ∠ABM=∠DAN, AB=DA 所以△ABM≌△DAN(AAS), 所以BM=AN,AM=DN, 因为AM+MN=AN, 所以DN+MN=BM. (3)解：分两种情况： 当P在C左侧时， M B P C 因为0-号0=5GP 设AB=3k,BC=5k,CP=k, 所以BP=BC-CP=4k, 在R1aABP中，AP=VAB2+BP2=V3k+(4k)2=5k, 48 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■ 所以3k4=5kBM,则BM=12k, 在w中4w=--3-侣- 因为AD∥BC, 所以LDAN=∠APB, 因为∠DNA=∠ABM=90°，AD=AP 所以△ADN≌△PAB(AAS), 所以AN=BP=4k, MN=AN-AM-4k-9k-Ik 55 MP=AP-AM=5k- MN 11 MP=16 16 当P在C右侧时， A D M B 因为B、3 BC-3'BC=SCP, 设AB=3k,BC=5k,CP=k, 所以BP=BC+CP=6k, 在R1aABP中，AP=AB2+BP=V3k)2+(6k)2=35k, S.-14B-BP=1AP.BM, 2 所以3k-6k=35kBM,则BM-65A 5 在R1aA8M中，AM=VAB2-BM=3k- 35k 5 因为AD∥BC, 49 ■■■ ■ 所以∠DAN=∠APB, 因为∠DNA=∠ABM=90°， 所以△ADN∽△PAB, 所袋把 AN 5k 6k3√5k 解得AN=2√5k, MN AN-AM =215k-35 2k, 5 MP=AP-AM=3W5k-356=125 -k= k, 5 5 75 MN k 5 MP-12V5-1 12 5 28.(2026山东济宁.二模)如图，P是△ACD下方的一点.连接PD交AC于点E,连接PC. (I)尺规作图：过点A作CD的平行线，分别交PC,PD于点B,F;(要求：保留作图痕迹，不写做法.) (②)在(1)的条件下，若F是PD的中点，DE=6,AD∥CP,求EF的长. 【答案】(1)见解析 (2)3 【详解】(1)解：如图所示，即为所求； (2)解：：AD∥CP, ∠FAD=∠FBP,∠FDA=∠FPB, :F是PD的中点， :PF DF, 50 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■ △ADF≌△BPF(AAS, :AF BF=-AB, 2 :AD∥CP,AB∥CD, :.四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD, 4F-Cp :AB∥CD, .△AEF∽△CED, EF AF 1 DE-CD-2' :.EF=DE=3. 29.(2026浙江台州二模)如图①，已知四边形ABCD是⊙0的内接四边形，AB、DC的延长线交于点E ,AD、BC的延长线交于点F,连接EF,已知BE=BF, 图① 图② (I)若∠EBF=100°，求∠EDF的度数； (2)求证：CE=AF; ③如图2，若4D是直径，CB=kM8,求D的值（用含k的代数式表示】 【答案】(1)80 (②)证明见解析 品 【详解】(1)解：：四边形ABCD是⊙O的内接四边形， :∠ABC+∠ADC=180°， 又：∠ABC+∠EBF=180°， 51 ■ :∠ADC=∠EBF=100°， ∠EDF=180°-∠ADC=80°. (2)解：在BE上截取一点G使EG=CF,连接FG, B BE=BF G ·∠BEF=∠BFE, EG=CF,EF=FE, ·△EGF≌aFCE(SAS), ·EC=FG,∠EGF=∠ECF, ∠AGF=∠BCE, :∠A+∠BCD=180°，∠BCD+∠BCE=180°， .∠A=∠BCE, ·∠A=∠AGF, :AF=FG, :.CE=AF. (3)解：过点F作FH⊥AE于点H,连接BD,在BE上截取一点G使EG=CF,连接FG, 根据(2)的结论，△EGF≌△FCE, BE=BF,EG=CF, ·BG=BC=KAB, 根据圆周角定理，∠BCD+∠A=180°，∠BCE+∠BCD=180°，∠ECF+∠BCE=180°，∠EGF+∠AGF=180°， ∴.∠A=∠BCE=∠AGF」 :△AFG是等腰三角形， 根据等腰三角形牲质，AH=GH=k牛AB, 2 BH=k-1AB, 2 :AD为直径， AB⊥BD, ·FH∥BD, 52 ■■■ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ ■ AD AB 2 DF BH k-1 图② 30.(2026海南省直辖县级单位一模)综合与探究 D B E B E 图1 图2 图3 (I)如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，且AE⊥BF, ①求证：△ABE≌△BCF; ②若AB=2,BE=1,连接EF,求∠EFC的度数； (②)【类比探究】如图2，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,点E,F分别在边BC,CD上，且AE⊥BF,求 5的瓶。 (3)【类比探究】如图3，在RtAABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=7,D为BC上一点，且BD=2,连接AD, 过点B作BE⊥AD交于点F,交AC于点E,求BE的长. 【答案】(1)①见解析；②45° a号 3)28v5 15 【详解】(1)①证明：设AE与BF相交于点P,如图， :四边形ABCD是正方形，∠ABC=∠BCF=90°，AB=BC, :AE⊥BF,.∠APB=90°， ∠BAE+∠ABP=90°， :∠ABP+∠CBF=90°， ∠BAE=∠CBF, 53 ■ ∴△ABE≌△BCF(ASA: ②解：连接EF, :四边形ABCD是正方形，AB=2,BE=1, .BC=AB=2, .CE=BC-BE=1, 由①知△ABE≌△BCF, .CF BE =1, .CE=CF=1, ∠EFC=∠FEC, .∠ECF=90°， FC∠FEC180°-∠BCF日 D P B E (2)解：AE⊥BF, ∠BAE+LABF=90°. 在矩形ABCD中，∠ABC=90°，AB=4,BC=AD=6, ∠CBF+∠ABF=90°， ∴.∠BAE=∠CBF, ∠ABE=∠BCF=90°， .△ABE∽△BCF, :5-AB42 :8F-8C63 (3)解：如图，过点A作AB的垂线，过点C作BC的垂线，两垂线交于点G,延长BE交CG于点H 54 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ H .LBAG=∠BCG=90° B D :∠ABC=90°， .四边形ABCG是矩形. :AB=4,BD=2,BC=7, .CD BC-BD=5, AD=VAB2+BD2=V42+22=2V5, 同理(2)得D4B-4, BH BC 7 BH-AD= 75 2 在R1aBCH中，CH=VBH2-BC-7 :AB∥CH, .△ABE∽△CHE, AB BE CH EH 4 BE :715-BE' 2 2 BE=285 15 55