2026年中考数学三轮冲刺05：全等三角形中常见的基本模型（全国通用）

三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 中考数学三轮冲刺05:全等三角形中常见的基本模型专项 中考全国考情分析 1、考查地位与分值占比 全等三角形是中考几何的 “基石”，其基本模型是解决几何证明、计算（线段长度、角度）、综合题（结合四边形、圆、图形变换）的核心工具，全国各省市（江苏、山东、河南、安徽、黑龙江等）均为必考内容。该模块直接考查（选填、解答题第一问）分值占比约 4%-6%，间接考查（作为综合题解题关键步骤）占比更高，尤其在几何多解题、动态问题中，模型识别能力直接决定解题效率，是三轮冲刺需重点巩固的核心考点。 2、核心考查内容 基础模型应用：“手拉手”“一线三等角”“K 型”“翻折（轴对称）”“旋转” 等高频模型的识别与全等判定； 模型变形拓展：模型中线段位置（垂直、平行）、角度（特殊角 60°/90°）、边长关系的灵活转化； 综合应用场景：结合等腰 / 直角三角形、平行四边形、圆的性质，或与图形折叠、旋转、平移变换结合，通过全等实现 “边 / 角转移”； 解题目标：证明线段相等、角度相等，或利用全等推导后续线段长度、图形面积计算。 3、命题趋势 模型隐蔽化：不再直接呈现标准模型，需通过添加辅助线（如构造相等线段、补全模型）还原基本模型； 多模型融合：一道题中涉及多个全等模型（如 “手拉手 + K 型”），或与相似三角形、勾股定理综合考查； 动态化考查：在动点、动线段、动图形变换中，探究全等三角形的存在性，需结合分类讨论思想。 核心题型及具体解决方法 题型一、手拉手模型（旋转型全等） 模型特征：两个等腰三角形（或等边三角形、等腰直角三角形）共顶点，顶角相等，将其中一个三角形绕公共顶点旋转一定角度后，可与另一个三角形全等（“拉手线” 相等且夹角等于顶角）。 基础结构：△ABC 和△ADE 为等腰三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接 BD、CE，则△ABD≌△ACE； 特殊情况：等边三角形（顶角 60°，拉手线夹角 60°）、等腰直角三角形（顶角 90°，拉手线夹角 90°）。 解题方法： ① 识别公共顶点和等腰结构，标记相等的边（AB=AC、AD=AE）和相等的顶角（∠BAC=∠DAE）； ② 推导夹角相等：∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD → ∠BAD=∠CAE（或同理推导其他夹角）； ③ 用 “SAS” 判定全等：利用相等的两边和夹角证明△ABD≌△ACE； ④ 应用结论：全等后对应边相等（BD=CE）、对应角相等（∠ABD=∠ACE），可进一步推导线段平行、垂直或角度计算。 示例：如图，△ABC 和△ADE 均为等边三角形，连接 BD、CE，求证 BD=CE。 解：∵△ABC、△ADE 为等边三角形 ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60° ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD → ∠BAD=∠CAE 在△ABD 和△ACE 中， ∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴BD=CE。 （2026·广东深圳·二模）【综合探究】例题 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为． (1)【初步感知】如图1，连接，，将三角形纸片绕点旋转，求的值； (2)【深入探究】如图2，在三角形纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长； (3)【拓展延伸】在三角形纸片绕点旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长度；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，的长是或 【详解】（1）解： ∴， 由旋转得：， ， ， ∴； （2）如图2， 延长交于，连接交于， 由（1）知：， ∴， ∵是中线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∵， ， ∴， ， ， ，， ∴， ， 由勾股定理得：，即 解得， ； ∴ （3）分两种情况：①如图3，，过点作于，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即 ， ， 中，， ， 解得：(负值舍)， ∵， 即 ， ； ②如图，，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， 由勾股定理得：； 综上，的长是或． 题型二、一线三等角模型（K 型全等） 模型特征：一条直线上有三个相等的角（通常为直角 90°，也可为 60°/45°），三个角的顶点在同一直线上，两侧的两个三角形可通过 “AAS” 或 “ASA” 判定全等。 基础结构：直线 l 上有∠B=∠C=∠ADE=90°（或其他相等角），点 B、D、C 在 l 上，则△ABD≌△DCE； 核心条件：两角及其中一角的对边相等（AAS），或两角及夹边相等（ASA）。 解题方法： ① 标记共线顶点（B、D、C）和相等的角（∠B=∠C=∠ADE）； ② 推导一组对应角相等：∠ADB+∠ADE+∠EDC=180°（平角），结合∠ADE=90°，得∠ADB+∠EDC=90°；又∵∠ADB+∠A=90°（直角三角形内角和），∴∠A=∠EDC； ③ 确定相等的边：若题目中给出 AB=DC（或 BD=CE），直接结合角相等用 “AAS” 判定全等； ④ 应用结论：全等后对应边相等（AD=DE、BD=CE 等），可用于求线段长度或证明垂直。 易错提醒：注意角的位置对应，避免混淆 “夹边” 和 “对边”，若角为非直角，需确保推导的对应角相等逻辑严谨。 （2026·江苏苏州·一模）如图，在矩形中，为边的中点．例题 (1)求证：； (2)若，求边的长度． 【答案】(1)见解析 (2)2 【详解】（1）解：∵矩形，为边的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴. 题型三、翻折（轴对称）模型（折叠型全等） 模型特征：将一个图形沿某条直线折叠后，折叠前后的部分关于对称轴成轴对称，对应边相等、对应角相等，形成全等三角形（如角平分线、垂直平分线相关的全等）。 常见场景：三角形折叠（如将△ABC 沿 AD 折叠，点 B 落在 BC 上的点 E 处，则△ABD≌△AED）、矩形折叠、角平分线性质应用。 解题方法： ① 识别对称轴（折叠线），标记对应点（如 B 与 E）、对应边（AB=AE、BD=DE）、对应角（∠B=∠AED、∠BAD=∠EAD）； ② 利用折叠性质转化条件：将分散的边、角集中到全等三角形中，如折叠后 BD=DE，可将求 DE 转化为求 BD； ③ 结合其他性质：若对称轴为角平分线，可利用 “角平分线上的点到角两边距离相等” 补充条件；若为垂直平分线，可利用 “垂直平分线上的点到线段两端距离相等”。 示例：将△ABC 沿 AD 折叠，使点 B 落在 AC 上的点 E 处，已知 AB=6，AC=10，求 CE 的长度。 解：由折叠性质得△ABD≌△AED ∴AE=AB=6 ∵AC=10 ∴CE=AC - AE=10 - 6=4。 （2026·江苏连云港·一模）如图，长方形纸片，将纸片沿折叠，使点落在边上点处，再将右侧余下部分折叠，使与能在直线重合，折痕为．若，则的值为___________．例题 【答案】 【详解】解：连接，如图： 由折叠，得：，，，，，， 是矩形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 由折叠知：， 是等边三角形，且， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 题型四、平移模型（平行型全等） 模型特征：将一个三角形沿某一方向平移后，与另一个三角形重合，对应边平行且相等，对应角相等，形成全等三角形（核心是 “平行 + 相等边”）。 基础结构：△ABC 平移得到△DEF，AB∥DE，BC∥EF，AC∥DF，且 AB=DE，BC=EF，AC=DF，则△ABC≌△DEF。 解题方法： ① 识别平移方向和距离：通过平行关系（AB∥DE）确定平移方向，通过对应点连线（AD∥BE∥CF）确定平移距离； ② 利用平行推导角相等：两直线平行，同位角 / 内错角相等（如∠ABC=∠DEF）； ③ 结合相等边判定全等：用 “SAS”（平行推导的角 + 两组相等边）或 “SSS”（三组对应边相等）判定； ④ 应用：平移后全等三角形的高相等，可用于计算图形面积。 （2026·江西·模拟预测）如图，将沿射线平移，使点B与点C重合，得到，连接．F，G分别是的中点，连接．例题 (1)求证：． (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明:由平移可知， ∴四边形是平行四边形， ∴. ∵F，G分别是的中点， ∴， ∴. （2）证明:由平移可知， ∴四边形是平行四边形.     ∵， ∴. 又∵F是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴，     ∴平行四边形是矩形． 题型五、倍长中线模型（构造全等） 模型特征：三角形中出现中线（或类中线，即过中点的线段），通过延长中线至等长，构造全等三角形，实现线段 “转移”（将分散的边集中到同一三角形中）。 基础结构：在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线（BD=CD），延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 BE，则△ADC≌△EDB。 解题方法： ① 识别中线条件：确认 BD=CD（或中点 D）； ② 构造全等：延长 AD 至 E，使 DE=AD（关键步骤，确保 AD=ED）； ③ 判定全等：在△ADC 和△EDB 中，，用 “SAS” 证明全等； ④ 转化线段：全等后 AC=BE，∠CAD=∠BED，可将求 AC 转化为求 BE，或利用 BE 与 AB 的关系（如 AB+BE>AE）解决最值问题。 适用场景：题目中出现 “中线”“中点”，且需证明线段相等、和差关系或最值时，优先考虑倍长中线。 （2026·江苏扬州·一模）综合与探究例题 学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图1，在中，取的中点O，连接并延长，使得，连接、，四边形为平行四边形． 初步探究： (1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将保持固定，绕点A按逆时针方向旋转，其中，若，当点E落在AB边上时，连接并延长，使得，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图3，当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接、，取的中点P，连接交于点Q，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接，M是射线上的一点，连接，过点A作的垂线交于点G，若G是的三等分点，请直接写出的值． 【答案】(1)矩形，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3)或2 【详解】（1）解：，，， ，， 点 落在 边上， 中，，， 是等边三角形， ，， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ∴E 是 中点，， 在 和 中： ，， （SAS）， ，， ∴， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． （2），且 ， 理由：延长至点 ，使 ， 连接， 是的中点， ， 在 和 中： ， ， ， （SAS）， ，， ， 是绕点 逆时针旋转 得到， ，， ， ∴C、B、F共线， ， 在 和 中： ， ， ， ， ，， ， ，即 ， ， ． （3）解：延长交延长线于点F， 是绕点 逆时针旋转 得到， ，， ， ， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ， ， ∵ ， ， ∵G是的三等分点 ∴当 时，， 当 时，， 或 ． 题型六、截长补短模型（构造全等） 模型特征：题目中出现线段的和差关系（如 AB+CD=EF），通过 “截长”（在长线段上截取一段等于某短线段）或 “补短”（延长短线段至与长线段相等）构造全等三角形，证明和差关系。 截长法：在 EF 上截取 EG=AB，证明 GF=CD，需构造△EGB≌△ABC； 补短法：延长 AB 至 H，使 BH=CD，证明 AH=EF，需构造△BHC≌△CDA。 解题方法： ① 分析线段关系：明确待证明的和差等式（如 AB+CD=EF），确定长线段（EF）和短线段（AB、CD）； ② 选择构造方式：截长或补短（优先选择与已知条件关联紧密的方式）； ③ 证明全等：通过截取 / 延长得到相等线段，结合已知角相等、公共边等条件，用 “SAS”“ASA” 等判定全等； ④ 推导结论：由全等得对应边相等，进而证明线段和差关系。 示例：在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，BD 平分∠ABC，交 AC 于 D，求证：BC=AB+AD。 解（截长法）：在 BC 上截取 BE=AB，连接 DE ∵BD 平分∠ABC ∴∠ABD=∠EBD 在△ABD 和△EBD 中，∴△ABD≌△EBD（SAS） ∴AD=ED，∠A=∠BED=90° ∵AB=AC ∴∠C=45° ∴△DEC 为等腰直角三角形 ∴ED=EC ∴AD=EC ∵BC=BE+EC ∴BC=AB+AD。 （2026·甘肃平凉·一模）观察发现例题 (1)如图1，将正方形折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别与，交于点，则折痕和的数量和位置关系分别是_____． 类比探究 (2)在（1）的条件下，设EF与交于点，连接交于点，如图2．求证：． 拓展应用 (3)如图3，正方形的边长为9，M是边上的一个动点，点在边上，且，连接，将正方形沿折叠，使点分别落在点处，当点落在直线上时，求线段的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)2或8 【详解】（1）解：如图，过点F作于点H，设与交于点O． 根据折叠的性质可得垂直平分， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）证明：如图，连接，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴在四边形中，， ∴， 又∵， ∴， ∵由（1）有， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：线段的长为2或8． 连接，设， ∵，， ∴，， 在中，， 当点Q落在线段上时，如图， 此时， 在中，， 在中，， 则， 解得， ∴； 当点Q在延长线上时，如图， 此时， 在中，， 在中，， 则， 解得， ∴； 综上，线段的长为2或8． 经典模拟题 1．（2026·浙江杭州·一模）如图，已知，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点；②以点为圆心，大于长为半径画弧，分别交边于点；③连接，交点为，作射线.则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由作图步骤可知：， 在和中， ， ； ； ， ， ， ， 即； 在和中， ， ； ； 在和中， ， ； ， 即. 其它选项均无法得到. 2．（2026·陕西西安·二模）如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接、，的延长线交于点F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，． ∵在和中， ， ∴（）． ∴． 设，则． ∵， ∴． ∵在中，， ∴． ∵， ∴． ∵在中，， ∴． ∴， ∴，即． 3．（2026·山东淄博·一模）如图，在等边中，，点D在上，点E在上，且．连接与交于点F，则（    ） A．36 B．42 C．48 D．60 【答案】C 【详解】解：是等边三角形 ， 在和中 ， ， ， ， 又 ， ， ， ， 过点作于， 是等边三角形 ， ， 在中，， ． 4．（2026·陕西西安·三模）如图，在菱形中，点E，F分别在，边上，，求证：． 【答案】证明见详解 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，等腰中，，于，的平分线分别交，于，，点为的中点，的延长线交于，连接，，．下列结论；①为等腰三角形；②；③平分；④．其中正确的是______（填序号）． 【答案】①②④ 【详解】解：等腰中，，于， ， 平分， ， ，， ， ， 为等腰三角形，故①正确； 等腰中，，， ，， ，是的中点， ， ， ， ， ，故②正确； ，，， ， ， ， ， ， ∴， ∴， 不平分，故③错误； , ， ， ， ，， ， ， ， ， ，故④正确； 综上，正确的有①②④． 6．（2026·广东梅州·一模）如图，在中，，．点在斜边上运动，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接点与的中点，则长的最小值为___________． 【答案】 【详解】解：，， ， 由旋转知， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， 当时，则垂直平分， 则， 此时为中点， ， ∴， ∴ ， ， 此时点M在上，即， ． 7．（2026·江苏泰州·模拟预测）在正方形中，，E为边上一点，将沿翻折，点A落在点F处，连接并延长交射线于点G，连接．若和全等，则 _______ ． 【答案】1或 【详解】解：当点G在的延长线上时， 翻折变换的性质可知， ∵， ∴， 设，则， ∴． ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； 当点G在线段上时， 由翻折变换的性质可知， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的值为1或． 8．（2026·陕西商洛·二模）如图，在菱形中，，，M为对角线上一动点，N为菱形外一点，且，，连接，，则的最小值为_____________． 【答案】 【详解】解：如图1，连接交于点O，连接． ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 如图2，作点D关于所在直线的对称点E，过点C作的平行线交的延长线于点F，连接，，由对称性知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，由勾股定理，得， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理，得． ∵， ∴当C，N，E三点共线时，取等号，此时的值最小， 故的最小值为． 9．（2026·广东深圳·一模）综合探究 (1)问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． (2)问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． (3)问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴， 即， ∴； （2）证明：如图所示，取的中点，连接， ∵是的中点，是的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点作，则四边形是矩形，连接， ∵， ∴， 设，则，， 在中，， ∵，由（2）， ∴， 又∵是的中点， ∴垂直平分， ∴，， 在中， ， ∴， 设，则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴． 10．（2026·山西运城·一模）综合与探究 问题情境：在数学综合实践课上，同学们开展图形旋转探究活动．如图1，是边长为的等边三角形，点是内部一点，且满足．将绕点逆时针旋转，得到，连接并延长交于点，交于点． 猜想证明： (1)猜想与的数量关系，并证明你的猜想； (2)善思学习小组经深入研究发现点为平面内任意一点，只要满足，点始终是线段的中点，请你借助图2进行证明； 拓展延伸： (3)在点为平面内任意一点的条件下，请直接写出时线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 (3)或 【详解】（1）解：， 证明：由旋转知，，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴（即）， 又， ∴； （2）证明：如图，过点作交的延长线于点， 由（1）知，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点是线段的中点； （3）解：设（或的延长线）交于点， ∵是边长为的等边三角形，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴ ∵点是线段的中点， ∴， 点在直线上，分两种情况讨论： ①点在内部，如图，过点作于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②点在外部，如图，过点作于点， 同①得，， ∵， ∴， ∴； 综上，线段的长为或． 真题再现 1．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，点、在的对角线上．若_________，则四边形是平行四边形．请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】②或③，理由见解析 【详解】解：添加②为条件，则四边形是平行四边形． 理由如下，如图，连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形． 添加③为条件，则四边形是平行四边形． 理由如下，∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 选择①无法得出四边形是平行四边形． 2．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，点，，，分别在边，，，上，且，将分成面积相等的四部分．若，则的长为_____． 【答案】 【详解】解：过A作于点H， ， 在中，． ， ∵，将分成面积相等的四部分， ∴每部分面积为，交点即为平行四边形的中心O， 在中，，， ∴，．，， 连接， ∴经过中心点O， ∴， ∵ ． 同理得：， ∴，． 设，过作于点Q， 在中， 在中，由三角形面积公式：   ． 过E作于延长线上点G， 又，， 且． 在中， 又平行四边形的对称性与面积平衡可得， ， 解得， ． 过M作交于P，过A作于点H， 则． ，． ． 在中，由勾股定理：   ． 故答案为：． 3．（2025·西藏·中考真题）如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 由折叠的性质易知， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． ∵E为边的中点， ∴． 设，则， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．（2025·山东济南·中考真题）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，，则___________． 【答案】/ 【详解】解：如图，连接交于点，过点作，垂足为， 则， ∵正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠可知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 设正方形边长为，则， ∵， ∴， 在中，，即 解得：或（不合题意舍去） ∴． 故答案为：． 5．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【详解】解：由作图可知，，设交于点，则：， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴的周长为； 故选B 6．（2025·西藏·中考真题）如图，在菱形中，，，连接，点P是上的一个动点，连接，，则的最小值是_________． 【答案】 【详解】如图，将线段绕点A顺时针方向旋转，得到线段，连接，，， 由题意知，在菱形中，，， ∴和为等边三角形， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即点B，，P，D四点共线时，的最小， 此时最小值的长度为． 故答案为：． 7．（2025·四川巴中·中考真题）在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（   ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】B 【详解】解：如图，延长至点，使， D为中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴，即， ， 点是的中点， ，D为中点， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上，如图， 当时，边上的高取的最大值，即此时面积最大， ， ，即为等腰直角三角形， ∵，， ， ． 故选：B． 8．（2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点， 则， 又∵， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即当点P在时，的值最大为长， ∵是正方形， ， ∴， ∴的值最大为， ∴的最大面积是， 故选：C． 9．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：在正方形的内侧作等边三角形，连接，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，过点作，交的延长线于点，平分，交于点，连接，交于点，连接交于点，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图②中四条与线段相等的线段（线段，除外）． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形， ∴，， ∵ 是等边三角形， ∴，， ∴， ∴； （2）解：与线段相等的线段有，，，，理由如下， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵四边形 是正方形， 为对角线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 10．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：内接于，圆心在的内部，为的直径，连接，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，过点作的切线，交的延长线于点，求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，，连接并延长至点，连接交于点，，为上一点，，连接，点在上，连接，，，点为的中点，连接，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）证明：为的直径， ． 设． ， ， ， ． ． ． ． （2）证明：连接，，并延长交于点． ， 垂直平分， ，， 是的切线， ． 是的直径， ， 四边形是矩形， ， ． （3）解：如图，连接，，并延长交于点， 为的中点， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴≌， ， ， 设，则． 四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ∴， ，， ， ， 过点作于点， ， ， ， ， ，， ，　　　 ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 中考数学三轮冲刺05:全等三角形中常见的基本模型专项 中考全国考情分析 1、考查地位与分值占比 全等三角形是中考几何的 “基石”，其基本模型是解决几何证明、计算（线段长度、角度）、综合题（结合四边形、圆、图形变换）的核心工具，全国各省市（江苏、山东、河南、安徽、黑龙江等）均为必考内容。该模块直接考查（选填、解答题第一问）分值占比约 4%-6%，间接考查（作为综合题解题关键步骤）占比更高，尤其在几何多解题、动态问题中，模型识别能力直接决定解题效率，是三轮冲刺需重点巩固的核心考点。 2、核心考查内容 基础模型应用：“手拉手”“一线三等角”“K 型”“翻折（轴对称）”“旋转” 等高频模型的识别与全等判定； 模型变形拓展：模型中线段位置（垂直、平行）、角度（特殊角 60°/90°）、边长关系的灵活转化； 综合应用场景：结合等腰 / 直角三角形、平行四边形、圆的性质，或与图形折叠、旋转、平移变换结合，通过全等实现 “边 / 角转移”； 解题目标：证明线段相等、角度相等，或利用全等推导后续线段长度、图形面积计算。 3、命题趋势 模型隐蔽化：不再直接呈现标准模型，需通过添加辅助线（如构造相等线段、补全模型）还原基本模型； 多模型融合：一道题中涉及多个全等模型（如 “手拉手 + K 型”），或与相似三角形、勾股定理综合考查； 动态化考查：在动点、动线段、动图形变换中，探究全等三角形的存在性，需结合分类讨论思想。 核心题型及具体解决方法 题型一、手拉手模型（旋转型全等） 模型特征：两个等腰三角形（或等边三角形、等腰直角三角形）共顶点，顶角相等，将其中一个三角形绕公共顶点旋转一定角度后，可与另一个三角形全等（“拉手线” 相等且夹角等于顶角）。 基础结构：△ABC 和△ADE 为等腰三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接 BD、CE，则△ABD≌△ACE； 特殊情况：等边三角形（顶角 60°，拉手线夹角 60°）、等腰直角三角形（顶角 90°，拉手线夹角 90°）。 解题方法： ① 识别公共顶点和等腰结构，标记相等的边（AB=AC、AD=AE）和相等的顶角（∠BAC=∠DAE）； ② 推导夹角相等：∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD → ∠BAD=∠CAE（或同理推导其他夹角）； ③ 用 “SAS” 判定全等：利用相等的两边和夹角证明△ABD≌△ACE； ④ 应用结论：全等后对应边相等（BD=CE）、对应角相等（∠ABD=∠ACE），可进一步推导线段平行、垂直或角度计算。 示例：如图，△ABC 和△ADE 均为等边三角形，连接 BD、CE，求证 BD=CE。 解：∵△ABC、△ADE 为等边三角形 ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60° ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD → ∠BAD=∠CAE 在△ABD 和△ACE 中， ∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴BD=CE。 （2026·广东深圳·二模）【综合探究】例题 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为． (1)【初步感知】如图1，连接，，将三角形纸片绕点旋转，求的值； (2)【深入探究】如图2，在三角形纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长； (3)【拓展延伸】在三角形纸片绕点旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长度；若不能，请说明理由． 题型二、一线三等角模型（K 型全等） 模型特征：一条直线上有三个相等的角（通常为直角 90°，也可为 60°/45°），三个角的顶点在同一直线上，两侧的两个三角形可通过 “AAS” 或 “ASA” 判定全等。 基础结构：直线 l 上有∠B=∠C=∠ADE=90°（或其他相等角），点 B、D、C 在 l 上，则△ABD≌△DCE； 核心条件：两角及其中一角的对边相等（AAS），或两角及夹边相等（ASA）。 解题方法： ① 标记共线顶点（B、D、C）和相等的角（∠B=∠C=∠ADE）； ② 推导一组对应角相等：∠ADB+∠ADE+∠EDC=180°（平角），结合∠ADE=90°，得∠ADB+∠EDC=90°；又∵∠ADB+∠A=90°（直角三角形内角和），∴∠A=∠EDC； ③ 确定相等的边：若题目中给出 AB=DC（或 BD=CE），直接结合角相等用 “AAS” 判定全等； ④ 应用结论：全等后对应边相等（AD=DE、BD=CE 等），可用于求线段长度或证明垂直。 易错提醒：注意角的位置对应，避免混淆 “夹边” 和 “对边”，若角为非直角，需确保推导的对应角相等逻辑严谨。 （2026·江苏苏州·一模）如图，在矩形中，为边的中点．例题 (1)求证：； (2)若，求边的长度． 题型三、翻折（轴对称）模型（折叠型全等） 模型特征：将一个图形沿某条直线折叠后，折叠前后的部分关于对称轴成轴对称，对应边相等、对应角相等，形成全等三角形（如角平分线、垂直平分线相关的全等）。 常见场景：三角形折叠（如将△ABC 沿 AD 折叠，点 B 落在 BC 上的点 E 处，则△ABD≌△AED）、矩形折叠、角平分线性质应用。 解题方法： ① 识别对称轴（折叠线），标记对应点（如 B 与 E）、对应边（AB=AE、BD=DE）、对应角（∠B=∠AED、∠BAD=∠EAD）； ② 利用折叠性质转化条件：将分散的边、角集中到全等三角形中，如折叠后 BD=DE，可将求 DE 转化为求 BD； ③ 结合其他性质：若对称轴为角平分线，可利用 “角平分线上的点到角两边距离相等” 补充条件；若为垂直平分线，可利用 “垂直平分线上的点到线段两端距离相等”。 示例：将△ABC 沿 AD 折叠，使点 B 落在 AC 上的点 E 处，已知 AB=6，AC=10，求 CE 的长度。 解：由折叠性质得△ABD≌△AED ∴AE=AB=6 ∵AC=10 ∴CE=AC - AE=10 - 6=4。 （2026·江苏连云港·一模）如图，长方形纸片，将纸片沿折叠，使点落在边上点处，再将右侧余下部分折叠，使与能在直线重合，折痕为．若，则的值为___________．例题 题型四、平移模型（平行型全等） 模型特征：将一个三角形沿某一方向平移后，与另一个三角形重合，对应边平行且相等，对应角相等，形成全等三角形（核心是 “平行 + 相等边”）。 基础结构：△ABC 平移得到△DEF，AB∥DE，BC∥EF，AC∥DF，且 AB=DE，BC=EF，AC=DF，则△ABC≌△DEF。 解题方法： ① 识别平移方向和距离：通过平行关系（AB∥DE）确定平移方向，通过对应点连线（AD∥BE∥CF）确定平移距离； ② 利用平行推导角相等：两直线平行，同位角 / 内错角相等（如∠ABC=∠DEF）； ③ 结合相等边判定全等：用 “SAS”（平行推导的角 + 两组相等边）或 “SSS”（三组对应边相等）判定； ④ 应用：平移后全等三角形的高相等，可用于计算图形面积。 （2026·江西·模拟预测）如图，将沿射线平移，使点B与点C重合，得到，连接．F，G分别是的中点，连接．例题 (1)求证：． (2)若，求证：四边形是矩形． 题型五、倍长中线模型（构造全等） 模型特征：三角形中出现中线（或类中线，即过中点的线段），通过延长中线至等长，构造全等三角形，实现线段 “转移”（将分散的边集中到同一三角形中）。 基础结构：在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线（BD=CD），延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 BE，则△ADC≌△EDB。 解题方法： ① 识别中线条件：确认 BD=CD（或中点 D）； ② 构造全等：延长 AD 至 E，使 DE=AD（关键步骤，确保 AD=ED）； ③ 判定全等：在△ADC 和△EDB 中，，用 “SAS” 证明全等； ④ 转化线段：全等后 AC=BE，∠CAD=∠BED，可将求 AC 转化为求 BE，或利用 BE 与 AB 的关系（如 AB+BE>AE）解决最值问题。 适用场景：题目中出现 “中线”“中点”，且需证明线段相等、和差关系或最值时，优先考虑倍长中线。 （2026·江苏扬州·一模）综合与探究例题 学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图1，在中，取的中点O，连接并延长，使得，连接、，四边形为平行四边形． 初步探究： (1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将保持固定，绕点A按逆时针方向旋转，其中，若，当点E落在AB边上时，连接并延长，使得，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图3，当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接、，取的中点P，连接交于点Q，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接，M是射线上的一点，连接，过点A作的垂线交于点G，若G是的三等分点，请直接写出的值． 题型六、截长补短模型（构造全等） 模型特征：题目中出现线段的和差关系（如 AB+CD=EF），通过 “截长”（在长线段上截取一段等于某短线段）或 “补短”（延长短线段至与长线段相等）构造全等三角形，证明和差关系。 截长法：在 EF 上截取 EG=AB，证明 GF=CD，需构造△EGB≌△ABC； 补短法：延长 AB 至 H，使 BH=CD，证明 AH=EF，需构造△BHC≌△CDA。 解题方法： ① 分析线段关系：明确待证明的和差等式（如 AB+CD=EF），确定长线段（EF）和短线段（AB、CD）； ② 选择构造方式：截长或补短（优先选择与已知条件关联紧密的方式）； ③ 证明全等：通过截取 / 延长得到相等线段，结合已知角相等、公共边等条件，用 “SAS”“ASA” 等判定全等； ④ 推导结论：由全等得对应边相等，进而证明线段和差关系。 示例：在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，BD 平分∠ABC，交 AC 于 D，求证：BC=AB+AD。 解（截长法）：在 BC 上截取 BE=AB，连接 DE ∵BD 平分∠ABC ∴∠ABD=∠EBD 在△ABD 和△EBD 中，∴△ABD≌△EBD（SAS） ∴AD=ED，∠A=∠BED=90° ∵AB=AC ∴∠C=45° ∴△DEC 为等腰直角三角形 ∴ED=EC ∴AD=EC ∵BC=BE+EC ∴BC=AB+AD。 （2026·甘肃平凉·一模）观察发现例题 (1)如图1，将正方形折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别与，交于点，则折痕和的数量和位置关系分别是_____． 类比探究 (2)在（1）的条件下，设EF与交于点，连接交于点，如图2．求证：． 拓展应用 (3)如图3，正方形的边长为9，M是边上的一个动点，点在边上，且，连接，将正方形沿折叠，使点分别落在点处，当点落在直线上时，求线段的长． 经典模拟题 1．（2026·浙江杭州·一模）如图，已知，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点；②以点为圆心，大于长为半径画弧，分别交边于点；③连接，交点为，作射线.则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西西安·二模）如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接、，的延长线交于点F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山东淄博·一模）如图，在等边中，，点D在上，点E在上，且．连接与交于点F，则（    ） A．36 B．42 C．48 D．60 4．（2026·陕西西安·三模）如图，在菱形中，点E，F分别在，边上，，求证：． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，等腰中，，于，的平分线分别交，于，，点为的中点，的延长线交于，连接，，．下列结论；①为等腰三角形；②；③平分；④．其中正确的是______（填序号）． 6．（2026·广东梅州·一模）如图，在中，，．点在斜边上运动，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接点与的中点，则长的最小值为___________． 7．（2026·江苏泰州·模拟预测）在正方形中，，E为边上一点，将沿翻折，点A落在点F处，连接并延长交射线于点G，连接．若和全等，则 _______ ． 8．（2026·陕西商洛·二模）如图，在菱形中，，，M为对角线上一动点，N为菱形外一点，且，，连接，，则的最小值为_____________． 9．（2026·广东深圳·一模）综合探究 (1)问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． (2)问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． (3)问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值． 10．（2026·山西运城·一模）综合与探究 问题情境：在数学综合实践课上，同学们开展图形旋转探究活动．如图1，是边长为的等边三角形，点是内部一点，且满足．将绕点逆时针旋转，得到，连接并延长交于点，交于点． 猜想证明： (1)猜想与的数量关系，并证明你的猜想； (2)善思学习小组经深入研究发现点为平面内任意一点，只要满足，点始终是线段的中点，请你借助图2进行证明； 拓展延伸： (3)在点为平面内任意一点的条件下，请直接写出时线段的长． 真题再现 1．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，点、在的对角线上．若_________，则四边形是平行四边形．请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 2．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，点，，，分别在边，，，上，且，将分成面积相等的四部分．若，则的长为_____． 3．（2025·西藏·中考真题）如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 4．（2025·山东济南·中考真题）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，，则___________． 5．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 6．（2025·西藏·中考真题）如图，在菱形中，，，连接，点P是上的一个动点，连接，，则的最小值是_________． 7．（2025·四川巴中·中考真题）在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（   ） A． B．2 C．2 D．4 8．（2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：在正方形的内侧作等边三角形，连接，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，过点作，交的延长线于点，平分，交于点，连接，交于点，连接交于点，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图②中四条与线段相等的线段（线段，除外）． 10．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：内接于，圆心在的内部，为的直径，连接，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，过点作的切线，交的延长线于点，求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，，连接并延长至点，连接交于点，，为上一点，，连接，点在上，连接，，，点为的中点，连接，，求的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $