期末压轴专题05 一次函数的综合五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册

**基本信息** 以“方法总结+解题技巧”为双引擎，系统构建一次函数从图象性质到几何综合的五类题型突破体系，强化抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图象和性质|1例+3变式|图象特征（k/b作用）、性质应用（|k|/平行）、画草图/待定系数法|从概念（k/b意义）到性质应用，形成“参数-图象-性质”认知链| |图象共存问题|1例+3变式|符号一致、代入检验，先定范围再验证|通过参数符号关联多函数图象位置，培养推理意识| |与方程（组）、不等式|1例+3变式|数形结合（交点即解）、联立方程组|构建“函数图象-方程解-不等式解集”转化桥梁，发展数学思维| |解决实际问题|1例+3变式|建模列式（变量关系）、解模作答（增减性求最值）、列表/草图辅助|从实际情境抽象函数模型，强化应用意识与数据观念| |与几何综合|1例+3变式|坐标转化（参数表示点）、数形结合、分类讨论|融合函数与几何性质，提升空间观念与创新意识|

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末压轴专题05一次函数的综合五类综合题型 目录 典例详解 类型一、一次函数的图象和性质 类型二、一次函数的图象共存问题 类型三、一次函数与方程（组）、不等式 类型四、利用一次函数解决实际问题 类型五、一次函数与几何综合问题 压轴专练 理 典例详解 类型一、一次函数的图象和性质 *方法总结* 1.*图象特征*：一次函数y=kx+b图象为直线，k决定方向(k>0上升，k<0下降)，b决定与y轴交点 (0,b)。 2.*性质应用*：k越大直线越陡；两直线平行则k相等；b相等则交于y轴同点。 *解题技巧* 1.*画草图*：根据k、b正负快速画出直线位置（过哪几个象限）。 2.*待定系数法*：己知两点或一点加k可确定解析式。 例1.(25-26八年级上·安徽合肥期末)关于一次函数y=3x-2的性质及其图象，下列说法正确的是() A.y的值随x值的增大而减小 B.该函数的图象经过第一、二、三象限 C.点(-1，-5)一定在函数图象上 D.（-3,)和2，y)是图象上两点，则>y2 【变式1-1】(25-26八年级上浙江杭州期末)对于一次函数y=2x-8,下列结论正确的是() A.函数图象经过点(1，-4) B.函数图象与y轴的交点坐标是(0,8) C.函数的图象不经过第一象限 D.函数图象向左平移4个单位得到函数y=2x的图象 【变式1-2】(25-26八年级上江苏淮安期末)对于一次函数y=5x-10,下列结论正确的是() A.它的图象与y轴的交点为(0,10) 1/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B.函数值y随自变量x的增大而减小 C.当x>2时，y>0 D.它的图象经过第一、二、三象限 【变式1-3】(25-26八年级上·陕西咸阳·期末)已知一次函数y=c-8(k为常数且k<0)的图象与坐标轴 围成的面积为8，则下列关于一次函数y=x-8的结论错误的是() A.函数值随自变量的增大而减小 B.函数图象经过第二、三、四象限 C.函数图象与x轴的交点坐标是(2,0 D.函数图象可由函数y=-4x的图象平移得到 类型二、一次函数的图象共存问题 *方法总结* 1.*符号一致*：多个一次函数图象(y=kx+b)在同一坐标系中，其k、b的符号应满足图象位置（如 过象限)的一致性。 2.*代入检验*：取满足其中一个图象的参数值，代入其他函数解析式，验证图象位置是否矛盾。 *解题技巧* 1.*先定范围*：根据一个图象的位置（如过一、二、四象限）确定参数的初步取值范围。 2.*同步验证*：用该范围同时检验所有图象是否合理，排除矛盾情形。 例2.(25-26七年级上山东济南期末)将一次函数y=mx+n与y=mnx(m、均不为0)的图象画在同 一坐标系中，它们的图象可能是() D 【变式2-1】(25-26八年级上山东济南期末)在同一平面直角坐标系中，函数y=kx(k≠0)和 y=-x+k(k≠0)的图象可能是() 【变式2-2】(25-26八年级上山东青岛·期末)一次函数y=c-b与正比例函数y=-kbx在同一坐标系中的 图象可能为() 2/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2-3】(25-26八年级上山东青岛期末)正比例函数y=ar与一次函数y=ax+2a在同一平面直角坐 标系中的图象可能是() 类型三、一次函数与方程（组）、不等式 *方法总结* 1. *方程与函数*：一次函数y=kx+b的图象与x轴交点横坐标即方程kx+b=0的解。 2.**不等式与函数*：函数图象在x轴上方部分对应kx+b>0的解集，下方部分对应kx+b<0的解集。 *解题技巧* 1.*数形结合*：画出函数图象，交点即方程解，上下位置即不等式解集。 2.*联立方程组*：两图象交点坐标即对应二元一次方程组的解 例3.(25-26八年级上安微合肥期末)如图，直线%=分+1与直线%=2x+6分别与X销交于点4，， 两直线交于点P. y 2=2x+6 =-x+1 (I)求点P的坐标及△ABP的面积： (2)利用图象直接写出当片<y2时，x取值范围. 【变式3-1】(25-26八年级上河北张家口·期末)如图，直线：y=kx+1与x轴交于点A-2,0),直线 1:y=-x+b与y轴交于点B(0,4),与直线1交于点C. 3/13 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 12 B AO (1)求k,b的值； y=k+1 (2)关于x,y的方程组 y=-x+b 的解为_； (3)若直线马平行于x轴，且到x轴的距离为1，求直线4被4，所截得的线段长 【变式3-2】(25-26八年级上江苏连云港期末)如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A,一次函数 y=c+b的图象经过点B(0,-1,与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D(1,m). y=kx+b y=x+1 B (I)求一次函数y=c+b的表达式： (2)根据图象直接写出不等式kx+b≥x+1的解集， (3)若直线I与直线BD关于直线AD对称，求直线I的表达式. 【变式3-3】(25-26八年级上安微合肥期末)如图，直线y=kx+b与坐标轴交于A0,2),B(m,0)两点， 与直线y2=-4x+12交于点P(2,n),直线y2=-4x+12交x轴于点C,交y轴于点D. (1)求m,的值； 4/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y=kx+b (2)直接写出方程组 的解为 y=-4x+12 (3)求△PBC的面积. 类型四、利用一次函数解决实际问题 *方法总结 1.*建模列式*：分析问题，确定自变量与函数，根据已知条件建立一次函数关系式。 2.*解模作答*：利用一次函数性质（增减性）求最值，结合实际意义（整数、范围）确定答案。 *解题技巧* 1. *列表审题*：用表格整理变量对应关系，避免漏掉隐含条件。 2.*草图辅助*：画出函数草图，直观判断增减趋势和临界点。 例4.(25-26八年级上·安徽六安期末)为迎接六安市第九中学建校50周年庆典暨第二十届校园文化艺术节， 学校庐剧社团需要为节目《今日高唱凯歌归》采购道具包.现有两种道具包：A(乐器+舞具)和B(戏服 +头饰).己知每个B道具包的单价比A道具包的单价高5元，且用1200元购买A道具包的数量是用650元购 买B道具包数量的2倍， (①)求A、B两种道具包的单价： (②)在实际采购中，学校预算不超过6200元，计划购买A、B两种道具包共100个，且A道具包数量不高于 B道具包数量的3倍；应如何安排采购方案，才能使总采购成本最低？最低成本是多少？（请用函数知识解 答) 【变式4-1】(25-26八年级上·安微六安期末)A,B两地相距80km,甲、乙两人骑车分别从A,B两地同 时相向而行，他们都保持匀速行驶.如图，4，马分别表示甲、乙两人离B地的距离y(km)与骑车时间 x(h)的函数关系. y/km 80 60 50 3 (1)4对应的函数表达式为 马对应的函数表达式为 ； (2)求甲到达B地所用的时间； (3)求经过多少小时后两人相距10km. 【变式4-2】(25-26八年级上·安微池州期末)综合与实践 5/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 砀山梨是皖北特产，八年级社会实践社团为水果超市解决A,B两种砀山梨销售问题，已知今年A,B两种 砀山梨的购进成本价如下表： A B 购进成本价（元/千克） 10 6 个卖出数量/千克 2000 1000 10 20售价/元 【问题解决】 (I)已知甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系如图所示，求该超市以12元/千克零售A种砀山梨 所获得的利润； (②)乙超市准备购进A,B两种砀山梨共2000千克，并分别以12元/千克和9元/千克的价格零售，购进总成 本不超过14000元，且不少于13000元.问：分别购进A,B两种砀山梨各多少千克，售完后可获得最大利 润？并求出最大利润 【变式4-3】(25-26八年级上·浙江台州期末)为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费.水价分三个 等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3);第二级为月用水量超过17m但不超过30m’；第三级为月 用水量超过30m(不包括30m3).下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）. 居民生活用水消费明细 计费日期：2025-7-12025-7-31 白来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m) 金额/元用水量/m 单价/（元/m) 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 1今 阶段二：▲ 2.5 阶段二：▲ 本期实付金额 (大写) (注：居民生活用水水费-自米水费+污水处理费) 己知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3,且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍. (I)设该居民7月份的用水量为m,求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元： (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量. 6/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型五、 次函数与几何综合问题 *方法总结* 1.*坐标转化*：设几何图形中关键点坐标为含参数的函数表达式，利用几何条件（如距离、垂直、平 行)列方程。 2.*数形结合*：画出函数图象与几何图形，分析交点、临界位置，将几何关系转化为代数运算。 *解题技巧* 1. *分类讨论*：根据动点位置或图形形状变化，分情况讨论，避免漏解。 2.*设参列式*：设动点坐标为(x,kx+b),代入距离公式或面积公式列方程求解。 例5.(25-26八年级上·安徽宿州期末)如图，在平面直角坐标系中，直线AB交坐标轴于点A(0,6), B(8,O),点C为x轴正半轴上一点，连接AC,将ABC沿AC所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D 重合 A B (I)求直线AB对应的函数表达式： (2)求0C的长： 9 6P为直线AB上一点，S.co=4,求点P的坐标 【变式5-1】(25-26八年级上·福建漳州期末)如图，在长方形ABC0中，点0为坐标原点，点B的坐标为 (8,6),点A,C在坐标轴上，直线y=2x-6与AB交于点D,与y轴交于点E. D D E 备用图 (1)分别求点D,E的坐标： 7/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②)连接CD,CE,求aCDE的面积： (3)动点P在直线BC上，点Q是坐标平面第一象限内的点，且在直线y=2x-6上，是否存在以点Q为直角 顶点的等腰直角三角形APQ,若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由， 【变式5-2】(25-26八年级上四川达州期末)如图1，已知直线4：y=x+b交x轴于A(6,0),交y轴于 B(0,6). P :a A MO 图1 图2 图3 (1)求直线1的表达式： (2)如图2，直线CP的表达式为y 2r+C,点P为线段AB的中点，在直线CP上找一点Q,使得OQ+AQ 最小，并求出最小值： (3)如图3，已知点M-2,0),点N(m,2m-6为直线AB右侧一点，且满足∠0BM=∠ABN,求m的值. 【变式5-3】(25-26九年级上广东·期末)已知如图，在平面直角坐标系中，矩形0ABC的顶点A、C分别 落在x轴、y轴上，点E在边OA上，点D在边OC上，且AE=DE,己知点B(8,6),点D(0,4). B E (I)求点E的坐标： (2)若动点P、Q同时从点A出发，点P以每秒1个单位的速度向点O运动，点Q以每秒2个单位的速度沿 射线AB方向运动.当点P运动到点O停止，Q点也同时停止运动.设PQE的面积为S.点P、Q的运动 时间为t,用含t的代数式表示S; (3)在(2)的条件下，点M是射线CB上的一点，点N为平面内一点，当四边形POMN是正方形时，请求 出此时的t值与点M的坐标. 8/13 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 压轴专练 一、单选题 1.(25-26八年级上浙江宁波·期末)下列关于一次函数y=2x-3的叙述，结论正确的是() A.图象经过点(-3,0 B.y随x的增大而减小 C.图象经过第一、三、四象限 D.当x>2时，y<1 2.(25-26八年级上山东青岛·期末)已知mn≠0，则一次函数y=-2mx+n和y=2nx+m在同一坐标系内 的图象可能是() D 3.(25-26八年级上·河南郑州期末)如图，将一个等腰直角三角板ABC按如图方式摆放在平面直角坐标系 中，其中直角边AC在x轴上.将直线：y=x-3沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移.设平移过 程中该直线被ABC的边截得的线段长度为m,平移时间为t,m与t的函数图象如图2所示.下列说法正 确的是() 9/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 b C OA了M 02 107 图1 图2 A.点A的坐标为2,0) B.ABC的面积为16 C.边AB所在直线的表达式为y=-x+1 D.D点坐标为(6,4 二、填空题 4.(25-26八年级上浙江丽水期末)若点(-1，y),(2,y2)在一次函数=3x+b的图象上，则y,的大小 关系是_（填“>”或“<”） 5.(25-26八年级上江苏南京·期末)如图，是函数=kx+b与y2=mx+n的图象，则关于x的不等式 kx+b>mx+n的解集是 yA y=kx+b y=mx+n 3 -20 6.(25-26八年级上浙江丽水·期末)如图1，桌面上有甲、乙两个形状大小完全相同的烧杯.初始时，甲 烧杯内的水面离杯底的高度为12cm,乙烧杯中无水.用一根U型管可将垫有木垫的甲烧杯中的水引流至乙 烧杯中，当两烧杯的水面离桌面高度相平时，引流会自动停止.引流过程中，设甲、乙烧杯内的水面离杯 底的高度分别为y,y2(单位：Cm),如图2是，y与引流时间x(单位：s)的函数图象，若第2.5秒时引流停止， 则木垫的高度为 cm 10/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (cm) U型管 12 甲烧杯 乙烧杯 木垫 11 72 7777 0 22.5 x(s) 图1 图2 三、解答题 7.(25-26八年级上浙江宁波期末)已知y和x+1成正比，当x=1时，y=-2. (1)求y与x的函数关系式： (2)当x=-2时，求y的值. 8.(25-26九年级上·河南周口·期末)洛阳牡丹甲天下，洛阳的牡丹饼也深受广大消费者的喜爱.己知某品 牌牡丹饼销售A种20盒和B种30盒的利润为1200元，销售A种40盒和B种10盒的利润为900元. (I)求每盒A种牡丹饼和每盒B种牡丹饼的销售利润各为多少元； (2)春节期间，某经销商打算一次性购进两种牡丹饼共200盒，其中B种牡丹饼的进货量不超过A种的3倍， 请你帮该经销商设计一种进货方案，使销售总利润最大，并求出最大利润 4 9.(25-26八年级上江苏盐城期末)已知一次函数y=-二x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,点 5 P从点A出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为(S). B (I)当t为何值时，△APB为直角三角形？ (2)点Q为坐标平面内一点，当t为何值时，以点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形，并写出此时点Q的 坐标 10.(25-26八年级上河南郑州期末)李华步行去离家1200米的学校上学，出发十分钟后爸爸发现李华的 数学作业忘在家里了，便骑车追赶李华，图中(，分别表示了李华和爸爸离家的路程y(米)与李华出发 时间t（分钟)之间的关系. 11/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y/米 600 360 0 1012 t/分钟 ()李华步行的速度为 米/分，爸爸骑车的速度为 米/分，点A表示的实际意义是 (2)分别求出l,2的函数表达式 (3)请通过计算说明爸爸能否在李华到达学校前追上李华？ 11.(25-26八年级上四川成都期末)直线m:y=x+b交x轴于点A-4,0),交y轴于点B(0,3). E E B B C衣 备用图 (①)求直线m的解析式： (②)延长线段AB到点E,使BE=AB,x轴上有一动点P,当PB+PE最小时，求P点坐标： (3)定义：若四边形有两个内角是直角，则称该四边形是双直四边形.若x轴上有一点C(6,0),D为平面内 一点，当四边形ABCD是双直四边形时，求点D的坐标 12.(25-26七年级上山东济宁·期末)如图，已知一次函数y=2x+2与x轴相交于点A,与y轴交于点B. (①I)求出点A和点B的坐标. 12/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若点C的坐标是(1,0)， ①ABC是 三角形（按角分类）. ②点P是X轴上的点，若SA=2 SAARC 请求出点P的坐标. ③在直线AB上是否存在点D,使得△BCD是等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点D的坐标，如果 不存在，请说明理由。 13/13 期末压轴专题05 一次函数的综合五类综合题型 目录 典例详解 类型一、一次函数的图象和性质 类型二、一次函数的图象共存问题 类型三、一次函数与方程（组）、不等式 类型四、利用一次函数解决实际问题 类型五、一次函数与几何综合问题 压轴专练 类型一、一次函数的图象和性质 **方法总结** 1. **图象特征**：一次函数y=kx+b图象为直线，k决定方向（k>0上升，k<0下降），b决定与y轴交点 (0,b)。 2. **性质应用**：|k|越大直线越陡；两直线平行则k相等；b相等则交于y轴同点。 **解题技巧** 1. **画草图**：根据k、b正负快速画出直线位置（过哪几个象限）。 2. **待定系数法**：已知两点或一点加k可确定解析式。 例1．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）关于一次函数的性质及其图象，下列说法正确的是（   ） A．y的值随x值的增大而减小 B．该函数的图象经过第一、二、三象限 C．点一定在函数图象上 D．和是图象上两点，则 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图像与性质，灵活运用一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的增减性、图像经过的象限、点与函数图像的关系逐项判断即可． 【详解】解：∵一次函数为，其中，， ∴A．由，则的值随值的增大而增大，故A错误，不符合题意； B．由，，则该函数图像经过第一、三、四象限，故B错误，不符合题意； C．当时，，即点一定在函数图像上，故C正确，符合题意； D．由，随的增大而增大，且，即，故D错误，不符合题意． 故选C． 【变式1-1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数图象经过点 B．函数图象与y轴的交点坐标是 C．函数的图象不经过第一象限 D．函数图象向左平移4个单位得到函数的图象 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，涉及函数上的点、与坐标轴交点、图象经过象限、函数平移等知识点，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】A、当时，，函数图象不经过点，此选项错误，不符合题意； B、当时，，函数图象与轴的交点坐标是，此选项错误，不符合题意； C、在中，，，函数图象经过第一、三、四象限，此选项错误，不符合题意； D、函数图象向左平移4个单位，根据“左加右减”的平移原则，平移后解析式为，此选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏淮安·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象与轴的交点为 B．函数值随自变量的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的图象与性质对各选项逐一判断即可． 【详解】解：对于一次函数，时，随的增大而增大， 当时，，即图象与轴交点为， 且时，图象经过第一、三、四象限， A选项：当时，，图象与轴交点为，故A错误，不符合题意； B选项：，随的增大而增大，故B错误，不符合题意； C选项：，，，即，故C正确，符合题意； D选项：，，图象经过第一、三、四象限，故D错误，不符合题意． 故选：C． 【变式1-3】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知一次函数（k为常数且）的图象与坐标轴围成的面积为8，则下列关于一次函数的结论错误的是（    ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．函数图象经过第二、三、四象限 C．函数图象与x轴的交点坐标是 D．函数图象可由函数的图象平移得到 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数图象的平移问题，一次函数的增减性和一次函数图象经过的象限，求出一次函数与坐标轴的交点坐标，结合围成的面积求出k的值，再根据一次函数的性质逐一判断选项正误． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴一次函数（k为常数且）的图象与x轴、y轴分别交于点， ∵一次函数（k为常数且）的图象与坐标轴围成的面积为8， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为， ∴函数值随自变量的增大而减小，函数图象经过第二、三、四象限，函数图象与x轴的交点坐标是，函数图象可由函数的图象平移得到， ∴四个选项中只有C选项中的结论错误，符合题意， 故选：C． 类型二、一次函数的图象共存问题 **方法总结** 1. **符号一致**：多个一次函数图象（y=kx+b）在同一坐标系中，其k、b的符号应满足图象位置（如过象限）的一致性。 2. **代入检验**：取满足其中一个图象的参数值，代入其他函数解析式，验证图象位置是否矛盾。 **解题技巧** 1. **先定范围**：根据一个图象的位置（如过一、二、四象限）确定参数的初步取值范围。 2. **同步验证**：用该范围同时检验所有图象是否合理，排除矛盾情形。 例2．（25-26七年级上·山东济南·期末）将一次函数与（、均不为0）的图象画在同一坐标系中，它们的图象可能是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，一次函数，当时，图象经过第一、二、三象限；当时，图象经过第一、三、四象限；当时，图象经过第一、二、四象限；当时，图象经过第二、三、四象限． 分情况判断是否有图象符合要求即可． 【详解】解：当时，， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，的图象经过第一、三象限，A，B，C，D选项均不符合； 当时，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，的图象经过第二、四象限，A，B，C选项均不符合，D选项符合； 当时，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，的图象经过第二、四象限，A，B，C，D选项均不符合； 当时，， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限，的图象经过第一、三象限，A，B，C，D选项均不符合； 综上所述，它们的图象可能是D． 故选：D． 【变式2-1】（25-26八年级上·山东济南·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（　　） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数和正比例函数的图象，熟记一次函数的性质是解题的关键，先根据一次函数与坐标轴的交点排除A、B、C，进而可得出D正确． 【详解】解：，一次函数过点． A、一次函数过点， 由一次函数的图象可得，即， 而正比例函数图象可得，不合题意； B、一次函数不过点，不合题意； C、一次函数不过点，不合题意； D、一次函数过点， 由一次函数的图象可得，即， 而正比例函数图象可得，符合题意． 故选：D． 【变式2-2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数图象．由一次函数图象分析可得k、的符号，进而可得的符号是关键． 根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得k、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解：A、由一次函数图象可知，则；由正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； B、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； C、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； 故选：A 【变式2-3】（25-26八年级上·山东青岛·期末）正比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的图象以及一次函数图象与系数的关系．熟练掌握该知识点是关键． 根据自变量的系数相同可排除C和D，再分析A和B即可得出答案． 【详解】解：∵自变量的系数相同， ∴两直线平行，故C和D不符合题意； A．由一次函数图象与y轴的正半轴相交得，由一次函数y随x的增大而减小得，矛盾，故A不符合题意； B．由正比例函数图象得，由一次函数图象得，故B符合题意． 故选：B． 类型三、一次函数与方程（组）、不等式 **方法总结** 1. **方程与函数**：一次函数y=kx+b的图象与x轴交点横坐标即方程kx+b=0的解。 2. **不等式与函数**：函数图象在x轴上方部分对应kx+b>0的解集，下方部分对应kx+b<0的解集。 **解题技巧** 1. **数形结合**：画出函数图象，交点即方程解，上下位置即不等式解集。 2. **联立方程组**：两图象交点坐标即对应二元一次方程组的解。 例3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与直线分别与轴交于点，，两直线交于点． (1)求点P的坐标及的面积； (2)利用图象直接写出当时，x取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数图象与性质以及一次函数和一元一次不等式和二元一次方程组的关系，准确求出各点坐标是解题关键． （1）先分别求出点坐标，即可求解，然后联立两直线的表达式求出点，再由三角形面积公式求解的面积； （2）时，不等式的解集即为直线在直线下方时对应的取值范围． 【详解】（1）解：把代入中得：， 解得：，所以 把代入中得：， 解得：，所以， 所以， 联立与得，， 解得， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以由图象可得当时，； 【变式3-1】（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，直线与x轴交于点，直线与y轴交于点，与直线交于点C． (1)求k，b的值； (2)关于x，y的方程组的解为 ； (3)若直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，求直线被，所截得的线段长． 【答案】(1)， (2) (3)3或9 【分析】（1）依据题意，由直线与x轴交于点，则，可得k的值，又直线与y轴交于点，故，则，从而得解； （2）联立方程组，解方程组，进而可以得解； （3）根据直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，分两种情况求出结果即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点， ∴，解得：， ∵直线与y轴交于点， ∴， 解得：； （2）解：由题意，结合（1）联立方程组， 解得：， ∴方程组的解为． （3）解：由题意，∵直线平行于x轴，且到x轴的距离为1， ∴令，则；，则， 故直线被，所截得的线段长为； 令，则；，则， 故直线被，所截得的线段长为； 答：直线被，所截得的线段长为3或9． 【变式3-2】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集， (3)若直线与直线关于直线对称，求直线的表达式． 【答案】(1)． (2)． (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数的表达式求解、不等式的解集与函数图象的关系、点关于直线的对称以及直线表达式的求解，熟练掌握一次函数的性质、对称点的求法以及利用待定系数法求函数表达式是解题的关键． （1）先将点代入求出的值，再将点和点代入，解方程组求出、，从而得到一次函数表达式． （2）根据函数图象，不等式的解集是直线在直线上方（含交点）时对应的的取值范围． （3）先求出点的坐标，再利用几何性质求出点关于直线（即）的对称点，最后利用点和求出直线的表达式． 【详解】（1）解：∵点在上， ∴， ∴． ∵过和， ∴，解得， ∴一次函数表达式为． （2）解：函数的图象与一次函数的图象交于点， 由图象可知，当时，直线在直线上方（含交点）， ∴不等式的解集为． （3）解：设点关于直线的对称点为点，直线交轴于点， ∵与轴交于， ∴． 当时，，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点关于直线的对称点为点， ∴，， ∴， ∵，，两点在轴上，且， ∴点关于直线的对称点满足：， ∴． ∵直线过和， 设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为． 【变式3-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与坐标轴交于，两点，与直线交于点，直线交轴于点，交轴于点． (1)求，的值； (2)直接写出方程组的解为__________； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，待定系数法的应用，直线交点与二元一次方程组的关系，坐标与图形性质等知识，熟知函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键． （1）根据一次函数交点情况，将交点代入解析式，先求出，的值，进而求出的值，再将代入求解，即可求出的值； （2）直接根据（1）中求出的两直线交点坐标求解，即可解题； （3）根据一次函数与轴交点情况求出点，进而得到，再结合三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】（1）解：直线与坐标轴交于， ， 解得， 与直线交于点， ，即， ， 解得， 直线， 直线过点， ， 解得； （2）解：由（1）知两直线交点为， 方程组的解为； 故答案为：． （3）解：当时，有，解得， 点坐标为， ， ， 则的面积为． 类型四、利用一次函数解决实际问题 **方法总结** 1. **建模列式**：分析问题，确定自变量与函数，根据已知条件建立一次函数关系式。 2. **解模作答**：利用一次函数性质（增减性）求最值，结合实际意义（整数、范围）确定答案。 **解题技巧** 1. **列表审题**：用表格整理变量对应关系，避免漏掉隐含条件。 2. **草图辅助**：画出函数草图，直观判断增减趋势和临界点。 例4．（25-26八年级上·安徽六安·期末）为迎接六安市第九中学建校周年庆典暨第二十届校园文化艺术节，学校庐剧社团需要为节目《今日高唱凯歌归》采购道具包．现有两种道具包：（乐器+舞具）和（戏服+头饰）．已知每个道具包的单价比道具包的单价高元，且用元购买道具包的数量是用元购买道具包数量的倍． (1)求、两种道具包的单价； (2)在实际采购中，学校预算不超过元，计划购买、两种道具包共个，且道具包数量不高于道具包数量的倍；应如何安排采购方案，才能使总采购成本最低？最低成本是多少？（请用函数知识解答） 【答案】(1)道具包的单价为元，道具包的单价为元； (2)购买道具包个，道具包个，总采购成本最低，最低成本是元． 【分析】（1）设道具包的单价为元，则道具包的单价为元，用元购买道具包的数量是用元购买道具包数量的倍为相等关系列出方程求解即可 （2）设购买总成本为元，购买道具包个，道具包个，道具包的总采购价格道具包的总采购价格，进而根据学校预算不超过元，道具包数量不高于道具包数量的倍可得自变量的取值范围，那么根据函数的增减性和自变量的取值范围可得最低采购成本． 【详解】（1）解：设道具包的单价为元，则道具包的单价为元， ， 解得：， 经检验：是原方程的解． ∴． 答：道具包的单价为元，道具包的单价为元； （2）解：设购买总成本为元，购买道具包个，道具包个， 得：， ∵， ∴随的增大而减小， 由题意得：， 解得：， ∴当时，最小，， ∴． 答：购买道具包个，道具包个，总采购成本最低，最低成本是元． 【变式4-1】（25-26八年级上·安徽六安·期末）A，B两地相距80km，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时相向而行，他们都保持匀速行驶．如图，，分别表示甲、乙两人离B地的距离与骑车时间的函数关系． (1)对应的函数表达式为_____，对应的函数表达式为_____； (2)求甲到达B地所用的时间； (3)求经过多少小时后两人相距． 【答案】(1)， (2)甲到达B地用了小时 (3)或小时 【分析】本题考查了一次函数的表达式求解及一次函数的实际应用． （1）设的函数表达式为，的函数表达式为，结合图象利用待定系数法即可求得函数表达式； （2）甲到达B地时，离B地的距离，将代入的函数表达式即可求得x的值； （3）分两种情况讨论：两人相遇前相距，两人相遇后相距，根据不同的情况列方程求解x的值即可． 【详解】（1）解：设的函数表达式为， 由图可知，过点和，代入， 得，解得， ∴的函数表达式为， 设的函数表达式为， 由图可知，过点和，代入， 得，解得， ∴的函数表达式为， 故答案为：，． （2）解：甲到达B地时，离B地的距离， 对于的函数表达式，令，则：， 解得， ∴甲到达B地用了小时． （3）解：分两种情况讨论： 情形一：两人相遇前相距10千米，则有， 解得； 情形二：两人相遇后相距10千米，则有， 解得． 【变式4-2】（25-26八年级上·安徽池州·期末）综合与实践 砀山梨是皖北特产，八年级社会实践社团为水果超市解决A，B两种砀山梨销售问题，已知今年A，B两种砀山梨的购进成本价如下表： A B 购进成本价（元/千克） 10 6 【问题解决】 (1)已知甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系如图所示，求该超市以12元/千克零售A种砀山梨所获得的利润； (2)乙超市准备购进A，B两种砀山梨共2000千克，并分别以12元/千克和9元/千克的价格零售，购进总成本不超过14000元，且不少于13000元．问：分别购进A，B两种砀山梨各多少千克，售完后可获得最大利润？并求出最大利润． 【答案】(1)3600元 (2)购进A种砀山梨250千克，B种砀山梨1750千克，售完后可获得最大利润，最大利润为5750元 【分析】本题考查的是一次函数的应用． （1）设甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的解析式为，再利用待定系数法求解即可． （2）先求解，设售完后可获得利润为元，得到，再利用函数性质求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系为一次函数， 设其解析式为（）， 将点，代入， 得， 解得， 卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系式为， 当时，则， 利润为， 答：甲超市以12元/千克零售A种砀山梨所获得的利润为3600元； （2）解：设乙超市购进A种砀山梨m千克，则购进B种砀山梨千克， 由题意得， 解得， 设售完后可获得利润为元，则 ， 随m的增大而减少， 当时，利润w取得最大值为（元）， 此时B种砀山梨数量为（千克）， 答：分别购进A种砀山梨250千克，B种砀山梨1750千克，售完后可获得最大利润，最大利润为5750元． 【变式4-3】（25-26八年级上·浙江台州·期末）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用——分段计费，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握每段水费与单价和吨数的关系列式与列方程． （1）由题意列出不等式组即可求解； （2）根据阶梯收费标准列出一次函数，求出7月份水费最大值即可； （3）分和分别列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵该居民7月份用水量为，则6月份用水量为， 由题意得，， 解得， 答：x的取值范围为． （2）解：∵， ∴7月份的水费， ∵， ∴随增大而增大， ∴当时，7月份的水费最多为（元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元． （3）解：当时，该居民6月份用水量超过了， ∴ 解得，不符合题意，舍去； 当时，该居民6月份用水量未超过， ∴， 解得， 答：该居民7月份的用水量为． 类型五、一次函数与几何综合问题 **方法总结** 1. **坐标转化**：设几何图形中关键点坐标为含参数的函数表达式，利用几何条件（如距离、垂直、平行）列方程。 2. **数形结合**：画出函数图象与几何图形，分析交点、临界位置，将几何关系转化为代数运算。 **解题技巧** 1. **分类讨论**：根据动点位置或图形形状变化，分情况讨论，避免漏解。 2. **设参列式**：设动点坐标为(x, kx+b)，代入距离公式或面积公式列方程求解。 例5．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求的长； (3)P为直线上一点，，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数表达式的求解，勾股定理的应用及三角形面积公式的运用． （1）利用待定系数法，将直线所过的两个点的坐标代入一次函数表达式，求解出函数表达式； （2）先根据勾股定理求出的长度，再利用折叠的性质得到相关线段的长度关系，通过设未知数，根据勾股定理列出方程求解的长； （3）设出点P的坐标，根据三角形面积公式列出方程，求解得到点P的坐标． 【详解】（1）解：设直线对应的函数表达式为：， ∵直线交坐标轴于点，， ∴， 解得：， ∴直线对应的函数表达式为：． （2）解：由题意可知：，，， ∴， ∵将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合， ，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得， 即． （3）解：∵P在直线上， ∴设， ∵， ∴， 解得或， ①当时，， ②当时，， ∴或． 【变式5-1】（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为，点在坐标轴上，直线与交于点，与轴交于点． (1)分别求点的坐标； (2)连接求的面积； (3)动点在直线上，点是坐标平面第一象限内的点，且在直线上，是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了平面几何图形与一次函数的结合，图形面积的计算，等腰直角三角形的性质与存在性问题．熟悉求直线与坐标轴、直线与直线的交点坐标的方法，利用坐标计算三角形的面积的方法，根据等腰直角三角形的性质，结合一次函数，全等三角形的知识，解决动点条件下的几何存在性问题的方法，是解题的关键． （1）根据长方形的性质和平行的性质，计算直线与坐标轴，直线与直线的交点坐标． （2）根据直线与坐标轴的交点坐标，利用割补法计算的面积． （3）设，过点作交所在直线于点，交所在直线于点，分①点在上方，②点在下方，两种情况讨论，通过证明，，得到对应线段相等，建立关于的一元一次方程，得到的值，继而得到点的坐标． 【详解】（1）解：在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为， ，，轴， ∵直线与交于点，与轴交于点， ∴当时，，解得， 当时，， ，： （2）解：如图，令与轴的交点为， 令，解得， ， ， ，，； ，，， ， ； （3）解：点是坐标平面第一象限内的点，且在直线上， ∴设， 如图，过点作交所在直线于点，交所在直线于点， ①若点在上方， 是等腰直角三角形，且， ，， ， ， ， 在与中，， ， ， ， ，解得：， ； ②若点在下方，同理可证，， ， ， 即，解得， ， 综上可知，点的坐标为或． 【变式5-2】（25-26八年级上·四川达州·期末）如图1，已知直线：交x轴于，交y轴于． (1)求直线l的表达式； (2)如图2，直线的表达式为，点P为线段的中点，在直线上找一点Q，使得最小，并求出最小值； (3)如图3，已知点，点为直线右侧一点，且满足，求m的值． 【答案】(1) (2)作点关于的对称点，连接交于点，则此时的值最小，最小值为 (3) 【分析】（1）把，代入，即可求解； （2）如图：作点关于的对称点，连接交于点，则此时最小，设交于点，则点是的中点，先根据中点坐标公式求出点的坐标为，进而求出直线的表达式为，然后求出点的坐标为，设点的坐标为，根据两点之间的距离公式得出，，根据勾股定理，列出方程，求出的值，得出点的坐标为；先根据中点坐标公式求出点的坐标为，根据两点之间的距离公式求出的值，即可求解； （3）作关于轴的对称点，以为直角顶点，为直角边在右侧作等腰直角三角形，过作轴于，根据等腰直角三角形的判定和性质推得，根据直角三角形两个锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，推得点的坐标为，待定系数法求出直线的表达式为．得出点的坐标，结合题意，列出方程，即可求出的值． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， 故直线的表达式为． （2）解：如图：作点关于的对称点，连接交于点，则此时最小， 理由：， 设交于点，则点是的中点， ∵，，点为线段的中点， ∴点的坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为． 令，则， 解得：， 即点的坐标为； 则， 设点的坐标为，则，， 在中，， 即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 故点的坐标为； 又∵点是的中点， ∴点的坐标为， ∴； 即最小值为． （3）解：作关于轴的对称点，以为直角顶点，为直角边在右侧作等腰直角三角形，过作轴于，如图： 则， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴在直线上， ∵，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为， 将，代入，得， 解得：， ∴直线的表达式为． ∵点在直线上，故当时，， 即点的坐标为， ∴， 解得． 【变式5-3】（25-26九年级上·广东·期末）已知如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别落在x轴、y轴上，点E在边上，点D在边上，且，已知点，点． (1)求点E的坐标； (2)若动点P、Q同时从点A出发，点P以每秒1个单位的速度向点O运动，点Q以每秒2个单位的速度沿射线方向运动．当点P运动到点O停止，Q点也同时停止运动．设的面积为S．点P、Q的运动时间为t，用含t的代数式表示S； (3)在（2）的条件下，点M是射线上的一点，点N为平面内一点，当四边形是正方形时，请求出此时的t值与点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【分析】（1）根据矩形性质得、，设表示出，在中利用勾股定理列方程求解x，进而求出的长度得到点E坐标。 （2）分点P在E右侧（）和左侧（）两种情况，分别用t表示出和的长度，结合三角形面积公式列出S关于t的代数式。 （3）根据正方形性质得出与全等，分Q点在上、Q点在延长线上两种情况，利用全等三角形对应边相等列方程求t值，再结合矩形边长计算出点M的坐标。 【详解】（1）解：∵点，点，四边形为矩形， ∴，，， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 即， 解得， ∴， ∴点E的坐标为； （2）解：①如图，当点P在点E右侧时， 根据题意知，， ∴， ∴； ②如图，当点P在点E左侧时， 根据题意知，， ∴， ∴， 综上所述，； （3）解：若四边形PQMN是正方形时，则点P、M、Q三点围成的三角形为等腰直角三角形，分情况讨论： ①如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，若满足四边形是正方形，当时，；当时，． 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）下列关于一次函数的叙述，结论正确的是（    ） A．图象经过点 B．随的增大而减小 C．图象经过第一、三、四象限 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质．根据一次函数的图象与性质逐一判断即可． 【详解】解：∵一次函数中，，， ∴图象经过第一、三、四象限，随的增大而增大，故选项B错误；C正确； ∵当时，， ∴图象不经过，选项A错误； ∵当时，，随的增大而增大， ∴当时，，选项D错误； 故选：C． 2．（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知，则一次函数和在同一坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据，排除A、D，再根据B、C，分“，”、“，”两种情况讨论，然后作出选择． 【详解】解：∵， ∴一次函数和的图象都不过原点， 故A、D均错误； 由B、C可知，两直线中一条交于y轴正半轴，另一条交于y轴负半轴， ∴一次函数和中，m与n异号， 情况1∶，， ，， 一次函数的图象经过第二、三、四象限， ，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故C符合； 情况2∶，， ，， 一次函数的图象经过第一、二、三象限， ，， 一次函数的图象经过第一、三、四象限， 没有选项符合， 故选：C． 3．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，将一个等腰直角三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在x轴上．将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图2所示．下列说法正确的是（   ） A．点A的坐标为 B．的面积为16 C．边所在直线的表达式为 D．D点坐标为 【答案】C 【分析】由函数图象可知，当时，直线l经过点A，得，可得，可判断A；由函数图象可知：当时，直线l经过点C，，，得的面积：，可判断B；由，可得直线的解析式为，可判断C；由，得当l经过点C时，由，得，得，可判断D． 【详解】解：A、令直线， 解得：， ∴点M的坐标为， ∴， 由函数图象可知：当时，直线l经过点A， ∴， ∴ 点A的坐标为， ∴A错误； B、由函数图象可知：当时，直线l经过点C， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， ∴， ∴的面积：， ∴B不正确； C、∵， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， ∴C正确； D、∵， ∴，直线l和x轴正方向的夹角为， ∴， ∵， ∴当l经过点C时， ， ∴， ∴D不正确； 故选：C. 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，一次函数的平移，等腰直角三角形性质，从函数图象获取信息的能力，勾股定理，坐标与图形性质是解题的关键． 二、填空题 4．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）若点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是 （填“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵在一次函数中，比例系数， ∴随的增大而增大， 又∵， ∴． 5．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，是函数与的图象，则关于x的不等式的解集是___________． 【答案】 【分析】直接利用函数图象，结合，得出x的取值范围． 【详解】解：∵交点坐标可知，当时，函数的图象位于函数的图象的上方， ∴不等式的解集为 6．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图1，桌面上有甲、乙两个形状大小完全相同的烧杯．初始时，甲烧杯内的水面离杯底的高度为，乙烧杯中无水．用一根U型管可将垫有木垫的甲烧杯中的水引流至乙烧杯中，当两烧杯的水面离桌面高度相平时，引流会自动停止．引流过程中，设甲、乙烧杯内的水面离杯底的高度分别为(单位：)，如图2是与引流时间x(单位∶s)的函数图象，若第2.5秒时引流停止，则木垫的高度为_____ ． 【答案】3 【分析】根据题意，得出当时，两个杯子中的水面离杯底的高度相等，都是，据此求出和的函数解析式，再进一步求出时两个函数值的差即可解决问题． 【详解】解：由所给函数图象可知， 当时，两个杯子中的水面离杯底的高度相等． ∵初始时，甲烧杯内的水面离杯底的高度为，乙烧杯中无水， ∴时，两个杯子中的水面离杯底的高度都是． 设，把代入得， 解得， ∴； 同法可得：． ∵当时，两个杯子中的水面离桌面高度相平， ∴木垫的高度为∶． 三、解答题 7．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知和成正比，当时，． (1)求与的函数关系式； (2)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求函数值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设，把当时，代入求出的值即可； （）将代入（）中函数解析式进而得出答案． 【详解】（1）解：由题意设与的函数关系式为， 把当时，代入得， 解得：， ∴与的函数关系式为； （2）解：当时，， ∴的值为． 8．（25-26九年级上·河南周口·期末）洛阳牡丹甲天下，洛阳的牡丹饼也深受广大消费者的喜爱．已知某品牌牡丹饼销售A种20盒和B种30盒的利润为1200元，销售A种40盒和B种10盒的利润为900元． (1)求每盒A种牡丹饼和每盒B种牡丹饼的销售利润各为多少元； (2)春节期间，某经销商打算一次性购进两种牡丹饼共200盒，其中B种牡丹饼的进货量不超过A种的3倍，请你帮该经销商设计一种进货方案，使销售总利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)每盒A种牡丹饼的销售利润为15元，每盒B种牡丹饼的销售利润为30元； (2)当购进A种牡丹饼50盒，B种牡丹饼150盒时，销售总利润最大，最大利润为5250元 【分析】（1）设每盒A种牡丹饼的销售利润为x元，每盒B种牡丹饼的销售利润为y元，根据销售A种20盒和B种30盒的利润为1200元，销售A种40盒和B种10盒的利润为900元列二元一次方程组解答； （2）设总利润为w元，购进A种牡丹饼m盒，则购进B种牡丹饼盒．一次性购进两种牡丹饼共200盒，其中B种牡丹饼的进货量不超过A种的3倍，列函数解析式解答． 【详解】（1）解：（1）设每盒A种牡丹饼的销售利润为x元，每盒B种牡丹饼的销售利润为y元，根据题意， 得， 解得， 答：每盒A种牡丹饼的销售利润为15元，每盒B种牡丹饼的销售利润为30元； （2）解：设总利润为w元，购进A种牡丹饼m盒，则购进B种牡丹饼盒． 根据题意得，， ∵B种牡丹饼的进货量不超过A种的3倍， ∴，， 解得，， ∴，m为整数， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w最大，最大值为， 则， 答：当购进A种牡丹饼50盒，B种牡丹饼150盒时，销售总利润最大，最大利润为5250元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一次函数的应用．熟练掌握总价与单价和数量的关系，利润与售价和成本的关系，列二元一次方程组，列一次函数解析式，求一次函数最值，是解题的关键． 9．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，点从点出发，沿轴以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动时间为． (1)当为何值时，为直角三角形？ (2)点为坐标平面内一点，当为何值时，以点、、、为顶点的四边形为菱形，并写出此时点的坐标． 【答案】(1)或 (2)，时，，时，，时，以点、、、为顶点的四边形为菱形． 【分析】本题考查了图形与坐标、一次函数的性质、勾股定理及菱形的性质，掌握菱形的性质及一次函数的性质是解题关键． （1）根据一次函数解析式得出，，分和两种情况，分别求出的长即可； （2）分、、三种情况，利用菱形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点A、B， ∴当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∴， 为直角三角形，分两种情况： ①当时，点与点重合， ∴， ∵点从点出发，沿轴以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动时间为， ∴当的值为时，为直角三角形； ②当时，设， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴当的值为时，为直角三角形； 综上，当的值为或时，为直角三角形． （2）解：由题意得， ①当时，， 在中，， ∴， 解得：t， ∴当的值为时，四边形为菱形，， ∵， ∴ ②当时， ∴当的值为时，四边形为菱形，， ∵， ∴ ③当时， ∵，， ∴， ∴， ∴当的值为时，四边形为菱形， ∵， ∴． 综上所述：，时，，时，，时，以点、、、为顶点的四边形为菱形． 10．（25-26八年级上·河南郑州·期末）李华步行去离家1200米的学校上学，出发十分钟后爸爸发现李华的数学作业忘在家里了，便骑车追赶李华，图中，分别表示了李华和爸爸离家的路程y（米）与李华出发时间t（分钟）之间的关系． (1)李华步行的速度为___________米/分，爸爸骑车的速度为___________米/分，点A表示的实际意义是___________． (2)分别求出的函数表达式 (3)请通过计算说明爸爸能否在李华到达学校前追上李华？ 【答案】(1)60；180；李华出发10分钟时，李华离家600米 (2)：；： (3)能追上 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用． （1）根据速度等于路程除以时间可得答案，结合图象可得点A表示的实际意义． （2）利用待定系数法求解的函数表达式即可． （3）先求解的解，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：李华步行的速度为米/分， 爸爸骑车的速度为米/分， 点A表示的实际意义是：李华出发10分钟时，李华离家600米． （2）解：由题意设的表达式为， 当时， ，解得：， 的表达式为， 由题意设的表达式为， 当时，， ，解得：， 的表达式为． （3）解：当时， 解得：， 把代入， 得：， ， 能追上． 11．（25-26八年级上·四川成都·期末）直线：交轴于点，交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)延长线段到点，使，轴上有一动点，当最小时，求点坐标； (3)定义：若四边形有两个内角是直角，则称该四边形是双直四边形．若轴上有一点，为平面内一点，当四边形是双直四边形时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或或 【分析】本题考查了一次函数的待定系数法、轴对称求最短路径、中点坐标公式、勾股定理以及分类讨论思想的综合应用，关键是将几何问题转化为代数方程问题求解，同时结合“双直四边形”的定义做到分类讨论不重不漏． （1）利用直线上两个已知点的坐标，代入一次函数的一般式，通过解二元一次方程组求出斜率和截距，进而确定直线解析式； （2）先根据线段中点的性质求出点的坐标，再利用轴对称的性质将转化为对称点到的距离，结合“两点之间线段最短”，求出对称点与点连线的直线解析式，该直线与轴的交点即为所求点； （3）先设出点的坐标，利用勾股定理表示出相关线段的平方，再根据“双直四边形”的定义分三种两个内角为直角的情况，分别列出方程组，求解后舍去点重合的增根，得到点的所有可能坐标． 【详解】（1）解：将点、代入， 得，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵，即点是线段的中点，设， 根据中点坐标公式，，，解得，， ∴； 作点关于轴的对称点，连接， ∵， ∴， 根据两点之间线段最短，当为与轴的交点时，取得最小值； 设直线的解析式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的解析式为； 令，则，解得， ∴点的坐标为； （3）解：设，已知，，， 由勾股定理得， ， ， ， ，， ①当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由②化简得， 代入①，整理得，解得(舍去，此时与重合)或， 将代入，得， ∴； ②当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由④化简得， 代入③，整理得，解得或(舍去，此时与重合)， 将代入，得， ∴； ③当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 由⑤化简得，由⑥化简得， 联立解得， ∴； 综上所述，的坐标为或或． 12．（25-26七年级上·山东济宁·期末）如图，已知一次函数与x轴相交于点A，与y轴交于点B． (1)求出点A和点B的坐标． (2)若点的坐标是， ①是_______三角形（按角分类）． ②点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ③在直线上是否存在点，使得是等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①直角；②或；③存在，或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理及其逆定理等知识． （1）令可求出点A的坐标，令可求出点B的坐标； （2）①根据勾股定理及其逆定理判断即可； ②根据求出长即可求解； ③先排除和的情况，然后根据，分两种情况，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，，， ∴． ∵当时，， ∴； （2）解：①∵，，点的坐标是， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角； ②∵， ∴， ∴， ∴或即或； ③∵当时，则，不符合题意， 当时，则，不符合题意， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴，， 如图，当点D在点B的左边时，过点作于点E，设，则，． ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴ 当时，， ∴； 当点D在点B的右边时，过点作于点F，设，则，． ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴ 当时，， ∴； 综上可知，点的坐标为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $