精品解析：甘肃陇南市宕昌县第一中学、第二中学、两当县第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

2025-2026年宕昌第一中学、第二中学、两当第一中学 高二下学期期中考试数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用超几何分布求出，再利用最大值情况列出不等式求解. 【详解】依题意，服从超几何分布，则， 当取得最大值时，，即， 解得，，所以. 故选：B 2. 已知直线与曲线相切，则的方程不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出根据导函数的几何意义，分别解以及，得出切点坐标，代入点斜式方程求解，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 由导数的几何意义可得，曲线在点处的切线的斜率. 对于A、B项，由可得，，解得. 当时，切点为，此时切线方程为， 整理可得，切线方程为，故B项正确. 当时，切点为，此时切线方程为， 整理可得，切线方程为，故A项正确； 对于C、D项，由可得，，解得，切点为， 此时切线方程为，整理可得，切线方程为，故C项正确，D项错误. 故选：D. 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数后代入计算. 【详解】由已知， 所以， 故选：B. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设， 令，得； 令，得； 故． 5. 已知两函数，的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则（ ） A. 0 B. 1 C. 0或 D. 0或1 【答案】D 【解析】 【分析】根据切线重合列方程，求得切点的横坐标，进而求得的值. 【详解】设两函数，的图象公共点的坐标为，则有①. 分别对两函数求导可得及， 由两函数在公共点处的切线重合，可得两函数在处的斜率相等， 即，即，解得或. 将代入①可得；将代入①可得，解得， 所以的值为0或1. 6. 林老师希望从中选2个不同的字母，从中选3个不同的数字编拟车牌号鄂J×××××的后五位，要求数字互不相邻，那么满足要求的车牌号有（ ） A. 576个 B. 288个 C. 144个 D. 72个 【答案】C 【解析】 【分析】利用先选后排及插空法，结合分步乘法计数原理即可求解. 【详解】依题意，从中选2个不同的字母有种，然后从中选3个不同的数字有种，再从选出的2个不同的字母有种排法，最后从选出3个不同的数字插空有种，根据分步乘法计数原理知，满足要求的车牌号有种. 故选：C. 7. 已知定义在上的函数的导函数为，且的图象如图所示，则在上的极值点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】由图可得在上有2个变号零点，所以在上的极值点个数为2. 8. 已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化求解即可得到结论. 【详解】构造函数，， 当时，，所以，所以在上单调递减， 因为，函数是定义在区间上， 所以，即， 不等式化为，即， 所以，即， 所以不等式解集为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式的二项式系数和为 C. 展开式的各项系数和为 D. 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A：由题意可得，则，故A正确；对于B：因为，所以展开式的二项式系数和为，故B不正确； 对于C：令，则展开式的各项系数和为，所以C不正确； 对于D：令，得，令，得，所以，故D正确． 10. 若点是函数f（x）的图象上任意两点，且函数f（x）在点A和点B处的切线互相垂直，则下列结论正确的是（ ） A. x1＜0 B. 0＜x1＜1 C. 最小值为e D. x1x2最大值为e 【答案】CD 【解析】 【分析】根据,分三种情况讨论: ,或.对函数求导,由导数的几何意义及函数在点A和点B处的切线互相垂直,即可得的关系,进而判断选项即可. 【详解】因为,点 所以 因为在点A和点B处的切线互相垂直 由导数几何意义可知, 在点A和点B处的切线的斜率之积为 所以时,满足,即.因为,所以 所以,所以A、B错误; 对于C,可知,令, 所以 令,得 所以当时, ,则在时单调递减 所以在时取得极小值,即最小值为,所以C正确; 对于D,可知 令, 则 令,解得 所以当时, ,则在时单调递减 当时, ,则在时单调递增 所以在时取得极小值,即最小值为. 当时取得最大值, ,所以D正确. 当时,满足,即 此方程无解,所以不成立. 综上可知,D为正确选项. 故选:CD 【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值中的应用，注意根据导数的性质确定切点的位置，而多元函数的最值问题一般可转化为一元函数的最值问题，后者可利用导数来处理. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有三个零点 B. C. 曲线上不同的两点，处的切线分别为，，若，则 D. 若方程有三个不同的实数根，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】求导，根据导数得函数单调性，根据零点的存在性定理判断A；根据对称性质及单调性计算判断B；根据导数的几何意义解方程判断C；根据题意化简计算判断D. 【详解】由，得， 令，得，令，得或， 所以在区间单调递减，在区间，单调递增. 对于A，因为，，， 所以在区间内存在1个零点，故在上有2个零点，故A错误； 对于B，因为， 所以的图象关于点中心对称， 令，得， 又，所以，故B正确； 对于C，依题意，即， 所以，因为，所以.故C正确； 对于D，设， 所以，所以为定值，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为______________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式，分析的展开式中含项的系数，含项的系数，即可得解． 【详解】由二项式的展开式的通项为， 其中含项的系数为0，含项的系数为， 所以的展开式中的系数为． 13. 考古时在埃及金字塔内发现“142857”这组神秘的数字，其神秘性表现在具有这样的特征：，，，．且．这类数因其“循环”的特征，常称为走马灯数．若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数构成一个三位数，则满足是剩下的3个数字构成的一个三位数的的个数为____________ 【答案】48 【解析】 【分析】把这6个数按和为9分成三类：，，，，，，只要每类中取一个数字然后组成三位数即符合题意，由此可得结论． 【详解】根据题意，注意到1，4，2，8，5，7这6个数中，， 将它们分成三组：，，，，，， 由题意知满足“是剩下的3个数字构成的一个三位数“的为每组中取1个数的不同排列， 其个数， 故答案为：48． 14. 已知函数，若，则函数的零点个数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题需要先分析函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性和极值，得到函数的图象，然后再通过换元法，把零点问题转换成两个函数图象的交点问题. 【详解】函数的定义域为，由，得， 所以函数是偶函数， 当时，， 当时，， 当时，， 故在上单调递增，上单调递减， 又为偶函数， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，又时，，所以的值域为． 令，则，由，得， 因为，所以，画出与的图象如图所示， 所以在区间有唯一零点， 令，,函数的图象与函数的图象有4个交点，故函数的零点个数是4． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标． 【答案】（1） （2），切点为 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）根据导数的几何意义求出切线方程，再将原点代入即可求解. 【小问1详解】 由，得， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 设切点为，由（1）得， 所以切线方程为， 因为切线经过原点， 所以， 所以，． 则， 所以所求的切线方程为，切点为． 16. 已知函数，． （1）令，讨论在的单调性； （2）证明：，. 【答案】（1）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导后，分、、、讨论即可； （2）构造函数，根据导数与最值的关系得到，当且仅当，等号成立. 令，得到，从而有，即，结合等比数列的前项和公式即可证明. 【小问1详解】 ，，则， ①当时，恒成立，所以在上单调递减； ②当时，令，则，解得. 若，即时，，则，所以在上单调递增； 若，即时，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ③当时，在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 令，则，令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以当时，取极小值， 所以，即，所以，当且仅当，等号成立. 令，则，所以，则. 所以. 综上，，. 17. 解决下列问题 （1）包含甲、乙、丙、丁四人在内的七个人站成一排，求甲、乙相邻，丙、丁不相邻的情况总数；（结果用数字作答且书写出步骤） （2）一支医疗小队由名医生和名护士组成，现将他们平均分配到三家不同的医院工作，每家医院分到名医生和名护士，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，求不同的分配方法种数；（结果用数字作答且书写出步骤） （3）请你构造一个实际背景，对等式作出解释. （请注意不要使用生活中的真人名，以及用语规范） 【答案】（1） （2） （3）解释见解析 【解析】 【分析】（1）直接由分步乘法原理：先把甲乙捆绑和除丙丁外的三人排序，最后再将丙丁插空排列可得. （2）先分三个医生有，再分配护士，先分甲乙组有种，再分其余4人有种，最后由乘法原理可得. （3）构造排一个六位数的问题，一种是用间接法计算，一种是用直接法计算，从而可得结果. 【小问1详解】 分三步完成： 第一步：将甲、乙捆绑成一个整体有种不同结果， 第二步：再把剩下的三人和甲、乙整体进行排列有种不同结果， 第三步：最后将丙、丁两人插空进入刚才的队伍，有种不同结果， 根据分步乘法计数原理，因此一共有种； 【小问2详解】 先将三名医生分配到三家医院有种，再分配护士：先分甲乙两人组有种，再分其余4人有种， 护士共有种不同分配方法，因此一共有种； 【小问3详解】 用六个数字排成一个六位数. 先个数全排列，有种排法，再去掉占最高位的方法数，即. 也可以分步先排的位置，除了最高位，剩下的个位置选一个去占，有种， 剩下的个数，个位置随便安排有种，根据分步计数原理，一共有种 同一个问题，结果一样，因此. 18. 根据下列条件求值： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过赋值法即可求解； （2）由二项展开式通项公式即可求解； （3）通过令，，再联立两式，即可求解. 【小问1详解】 令，即， 得. 【小问2详解】 因为的展开式的通项为，，，，，， 所以，，，，，， 则为偶数时，，为奇数时，， . 令， 得. 【小问3详解】 令，得；① 令，得.② （①+②），得； （①-②），得. 所以. 19. 已知函数（）. （1）讨论函数的单调性； （2）已知，函数，对任意，存在，使，求实数的取值范围； （3）已知，函数有两个不同的零点，，且有唯一的极值点，记，，，判断是否可能为等腰三角形，并说明理由. 【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减. （2） （3）不可能为等腰三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论可求得函数的单调性； （2）利用辅助角公式可求得，结合（1）可求得，由题意可得，进而求解即可； （3）由（1）可得有唯一的极大值点，设，作出函数的图象，过点作轴于点，则，①比较与的大小等价于比较与的大小，利用导数可得；②比较与的大小，计算可知等价于比较与的大小，利用导数可证明，从而可得结论. 【小问1详解】 函数的定义域为，，， 当时，，在上单调递减； 当时，令，则， 令，则；令，则； 在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 ，，， 当时，即，. 由（1）知，当时，，在上单调递增，在上单调递减. 对任意， 对任意，存在，使，则. ，，， 即实数的取值范围为. 【小问3详解】 不可能为等腰三角形，理由如下： 由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减， 有唯一的极大值点，不妨设， ，，， 过点作轴于点，则. ①比较与的大小，等价于比较与的大小，等价于比较与的大小，即比较与的大小. ， 设，，， 在上单调递减， 所以，即， 在上单调递减，， 即，，由勾股定理可得， ②比较与的大小，，， 先证明（），设，， 在上单调递增，，即（）， ， ， ， 下面比较与的大小， ， 设，，， 设，， 则 ， ，，，即，在上单调递增， ，在上单调递增， ，， 在上单调递减，， 即， ， 综上，不可能为等腰三角形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年宕昌第一中学、第二中学、两当第一中学 高二下学期期中考试数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 已知直线与曲线相切，则的方程不可能是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知两函数，的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则（ ） A. 0 B. 1 C. 0或 D. 0或1 6. 林老师希望从中选2个不同的字母，从中选3个不同的数字编拟车牌号鄂J×××××的后五位，要求数字互不相邻，那么满足要求的车牌号有（ ） A. 576个 B. 288个 C. 144个 D. 72个 7. 已知定义在上的函数的导函数为，且的图象如图所示，则在上的极值点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式的二项式系数和为 C. 展开式的各项系数和为 D. 10. 若点是函数f（x）的图象上任意两点，且函数f（x）在点A和点B处的切线互相垂直，则下列结论正确的是（ ） A. x1＜0 B. 0＜x1＜1 C. 最小值为e D. x1x2最大值为e 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有三个零点 B. C. 曲线上不同的两点，处的切线分别为，，若，则 D. 若方程有三个不同的实数根，，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为______________．（用数字作答） 13. 考古时在埃及金字塔内发现“142857”这组神秘的数字，其神秘性表现在具有这样的特征：，，，．且．这类数因其“循环”的特征，常称为走马灯数．若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数构成一个三位数，则满足是剩下的3个数字构成的一个三位数的的个数为____________ 14. 已知函数，若，则函数的零点个数是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标． 16. 已知函数，． （1）令，讨论在的单调性； （2）证明：，. 17. 解决下列问题 （1）包含甲、乙、丙、丁四人在内的七个人站成一排，求甲、乙相邻，丙、丁不相邻的情况总数；（结果用数字作答且书写出步骤） （2）一支医疗小队由名医生和名护士组成，现将他们平均分配到三家不同的医院工作，每家医院分到名医生和名护士，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，求不同的分配方法种数；（结果用数字作答且书写出步骤） （3）请你构造一个实际背景，对等式作出解释. （请注意不要使用生活中的真人名，以及用语规范） 18. 根据下列条件求值： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值. 19. 已知函数（）. （1）讨论函数的单调性； （2）已知，函数，对任意，存在，使，求实数的取值范围； （3）已知，函数有两个不同的零点，，且有唯一的极值点，记，，，判断是否可能为等腰三角形，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $