第四章 必刷大题9 解三角形讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦三角函数与解三角形专题，围绕正余弦定理、面积公式、边角互化等核心考点，按高考考向预测-知识内在逻辑-题型能力突破的递进逻辑组织，通过考点系统梳理、解题方法精准指导、真题分层训练等环节，帮助学生构建完整知识框架，突破边角混合化简、最值范围求解等难点。 讲义突出数学思维与数学语言核心素养培养，如设计“点C运动时探究CD-CA是否为定值”的动态问题，引导学生运用逻辑推理分析变量关系，结合全国卷及模拟题真题讲解，强化公式灵活变通与实际应用能力，为教师提供分层次教学方案，助力学生高效提升解三角形综合解题能力。

第四章 三角函数与解三角形 必刷大题9　解三角形 [分值：60分] 【高考考向预测】 近三年高考解三角形为高频必考题型，常以选填小题与解答大题形式出现，核心考查正余弦定理、面积公式、边角互化、三角恒等变换及最值范围求解，多结合平面向量、实际测量情境命题；预测2027 年依旧保持核心考查地位，命题侧重多条件融合解题、边角混合式化简、三角形内取值范围与最值探究，增多隐藏条件题型，强化数形结合与分类讨论，愈发注重公式灵活变通与实际应用，常与三角函数性质综合设问，侧重考查逻辑运算与综合推演能力。 1.(13分)(2023·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=2. (1)求bc；(5分) (2)若-=1，求△ABC面积.(8分) 2.(15分)(2025·郑州模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2-a2=bc，2sin(C-A)=sin B. (1)求sin C；(7分) (2)设a=10，求BC边上的高.(8分) 3.(15分)(2026·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin B+sin C=2sin Acos B. (1)证明：a2-b2=bc；(5分) (2)如图，点D在线段AB的延长线上，且AB=3，BD=1，当点C运动时，探究CD-CA是否为定值？(10分) 4.(17分)(2025·南通模拟)已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，5(asin A-bsin B)=3csin C. (1)求证：tan A=4tan B；(7分) (2)若B∈，求tan C的取值范围.(10分) 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角函数与解三角形 必刷大题9　解三角形 [分值：60分] 【高考考向预测】 近三年高考解三角形为高频必考题型，常以选填小题与解答大题形式出现，核心考查正余弦定理、面积公式、边角互化、三角恒等变换及最值范围求解，多结合平面向量、实际测量情境命题；预测2027 年依旧保持核心考查地位，命题侧重多条件融合解题、边角混合式化简、三角形内取值范围与最值探究，增多隐藏条件题型，强化数形结合与分类讨论，愈发注重公式灵活变通与实际应用，常与三角函数性质综合设问，侧重考查逻辑运算与综合推演能力。 1.(13分)(2023·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=2. (1)求bc；(5分) (2)若-=1，求△ABC面积.(8分) 【解析】(1)由余弦定理知a2=b2+c2-2bccos A， 所以==2bc=2， 解得bc=1. (2)由正弦定理可得- =- =- ==1， 变形可得sin(A-B)-sin(A+B)=sin B， 即-2cos Asin B=sin B， 而0<sin B≤1， 所以cos A=-， 又0<A<π， 所以sin A=， 故△ABC的面积为S△ABC=bcsin A=×1×=. 2.(15分)(2025·郑州模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2-a2=bc，2sin(C-A)=sin B. (1)求sin C；(7分) (2)设a=10，求BC边上的高.(8分) 【解析】(1)在△ABC中， ∵b2+c2-a2=bc， ∴cos A===， 而A为三角形内角，∴A=. ∵2sin(C-A)=sin B， ∴2sin=sin， 整理得(sin C-cos C)=(cos C+sin C)，得sin C=3cos C， 又sin2C+cos2C=1，且sin C>0， ∴sin C=. (2)由(1)得，sin C=， 则cos C=，C∈， ∴sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=， 由正弦定理得=， ∴c=×sin C=×=6， 设BC边上的高为h， 则h=c×sin B=6×=12， ∴BC边上的高为12. 3.(15分)(2026·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin B+sin C=2sin Acos B. (1)证明：a2-b2=bc；(5分) (2)如图，点D在线段AB的延长线上，且AB=3，BD=1，当点C运动时，探究CD-CA是否为定值？(10分) (1)【证明】sin B+sin C=2sin Acos B， 由正弦定理可得b+c=2acos B， 又cos B=， ∴b+c=， ∴bc+c2=a2+c2-b2， ∴a2-b2=bc. (2)【解析】由(1)知b+c=2acos∠CBA， ∴cos∠CBA==， 在△BCD中，BC=a，BD=1， ∴cos∠CBD=， 又∵cos∠CBD=cos(π-∠CBA)=-cos∠CBA， ∴-=， ∴-b-3=1+a2-CD2，∴CD2=4+a2+b， 又∵a2-b2=bc，c=3， ∴CD2=4+b2+3b+b=b2+4b+4=(b+2)2， ∵CD>0，∴CD=b+2， ∴CD-CA=b+2-b=2. 综上所述，CD-CA为定值2. 4.(17分)(2025·南通模拟)已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，5(asin A-bsin B)=3csin C. (1)求证：tan A=4tan B；(7分) (2)若B∈，求tan C的取值范围.(10分) (1)【证明】由正弦定理得5(a2-b2)=3c2， ∴cos B===， ∴5acos B=4c， ∴5sin Acos B=4sin C=4sin(A+B) =4sin Acos B+4cos Asin B， ∴sin Acos B=4cos Asin B， ∴tan A=4tan B. (2)【解析】tan C=-tan(A+B)=- =-=， ∵<B<，∴<tan B<1， 令tan B=t，∴<t<1， tan C=， 令y=4t-， 由于y=4t，y=-在上单调递增， 则y=4t-也在上单调递增. ∴<4t-<3，∴<tan C<5， 即tan C的取值范围为. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $