4.7 解三角形中的最值与范围问题讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦三角函数与解三角形中的最值与范围问题，整合正余弦定理、均值不等式、三角函数有界性等核心考点，按利用基本不等式、转化为三角函数、转化为其他函数三类题型构建知识体系。通过考向预测明确高考要求，题型突破结合典例精讲与跟踪训练，限时训练覆盖选择、填空、解答题，形成“考点梳理-方法指导-真题演练”的系统复习流程，助力学生突破高考重难点。 资料突出高考命题规律把握，创新采用多变量联动分析与临界条件判定策略，如例1通过边角互化结合均值不等式求面积最大值，培养学生数学思维与运算能力。设置分层限时训练，基础题巩固方法，拔高题强化综合应用，有效提升学生等价转化与精准求解能力，为教师提供清晰复习路径，保障高效备考。

第四章 三角函数与解三角形 §4.7　解三角形中的最值与范围问题 【高考考向预测】 近三年高考解三角形最值与范围问题考查频次极高，多作为选填压轴及解答题拔高小问出现，常结合正余弦定理、边角互化、均值不等式、三角函数有界性求解边长、周长、面积、角及代数式取值范围，灵活融合换元与函数思想；2027 年依旧是热门重难点，命题更侧重隐藏约束条件、多变量联动范围探究，增多结合平面几何与向量的综合题型，强化角范围优先判定，弱化套路解法，侧重考查等价转化、临界分析以及利用三角恒等变换结合函数性质精准求解的综合能力。 重点解读 解三角形中的最值与范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立角与边的数量关系. 【题型突破●明方向】 题型一　利用基本不等式求最值(范围) 例1　(2025·保定模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b(acos B+bcos A)=c，B=. (1)求b的值； (2)求△ABC面积的最大值； (3)求△ABC周长的取值范围. 【跟踪训练】1　(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=60°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=，则下列说法正确的是(　　) A.ac的最小值是4 B.ac的最大值是4 C.a+3c的最小值是3+2 D.a+3c的最小值是4+2 题型二　转化为三角函数求最值(范围) 例2　(2025·哈尔滨模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin=bsin A. (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，b=，求2a-c的取值范围. 【跟踪训练】2　(2026·杭州模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是△ABC外一点，若a=b，且(acos C+ccos A)=2bsin B. (1)求角B的大小； (2)若DA=2，DC=1，求四边形ABCD面积的最大值. 题型三　转化为其他函数求最值(范围) 例3　已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足=. (1)若C=，求B； (2)求的取值范围. 【跟踪训练】3　(2025·葫芦岛模拟)在△ABC中，若C=2A，则sin B+sin A的最大值是　　　　.  【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共20分) 1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b，a，c成等差数列，则A的最大值为(　　) A. B. C. D. 2.(2026·秦皇岛模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=2，B=的三角形有两个，则b的取值范围为(　　) A.(0，2) B.(2，4) C.(2，4) D.(2，2) 3.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，A=，则b的取值范围是(　　) A.(0，2) B.(，2) C.(，3) D.(，3) 4.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=，则的最小值为(　　) A.1 B. C.4-5 D.2-2 二、多项选择题(共6分) 5.(2025·济宁模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=，且2c-b=2acos B，则下列结论正确的是(　　) A.A= B.△ABC外接圆的面积为π C.△ABC面积的最大值为 D.△ABC周长的最大值为3 三、填空题(共5分) 6.(2025·成都模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=1，b=2，则B+C的取值范围是　　　　　　　.  四、解答题(共29分) 7.(14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos B-bcos A-a+c=0. (1)求B的值；(6分) (2)若M为AC的中点，且a+c=4，求BM的最小值.(8分) 8.(15分)(2025·深圳模拟)记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csin B=. (1)求B；(6分) (2)若b=，求△ABC面积的取值范围.(9分) 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角函数与解三角形 §4.7　解三角形中的最值与范围问题 【高考考向预测】 近三年高考解三角形最值与范围问题考查频次极高，多作为选填压轴及解答题拔高小问出现，常结合正余弦定理、边角互化、均值不等式、三角函数有界性求解边长、周长、面积、角及代数式取值范围，灵活融合换元与函数思想；2027 年依旧是热门重难点，命题更侧重隐藏约束条件、多变量联动范围探究，增多结合平面几何与向量的综合题型，强化角范围优先判定，弱化套路解法，侧重考查等价转化、临界分析以及利用三角恒等变换结合函数性质精准求解的综合能力。 重点解读 解三角形中的最值与范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立角与边的数量关系. 【题型突破●明方向】 题型一　利用基本不等式求最值(范围) 例1　(2025·保定模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b(acos B+bcos A)=c，B=. (1)求b的值； (2)求△ABC面积的最大值； (3)求△ABC周长的取值范围. 【解析】(1)因为b(acos B+bcos A)=c， 由正弦定理可得，b(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C， 所以bsin(A+B)=sin C， 又A+B=π-C， 所以bsin C=sin C， 因为sin C≠0，所以b=1. (2)因为B=，b=1， 由余弦定理得1=a2+c2-ac， 所以1=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac， 即ac≤1，当且仅当a=c=1时等号成立， 所以S△ABC=acsin B =ac≤， 故△ABC面积的最大值为. (3)由(2)知1=a2+c2-ac， 所以1=(a+c)2-3ac≥(a+c)2-3， 化简得(a+c)2≤4，即a+c≤2，当且仅当a=c=1时等号成立， 又a+c>b=1，所以1<a+c≤2， 所以2<a+b+c≤3， 故△ABC周长的取值范围是(2，3]. 【思维升华】求解三角形中面积和周长最值问题的常用方法 在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设已知A，a，根据余弦定理a2=b2+c2-2bccos A，即可得到“b2+c2”与“bc”的等量关系. (1)求面积最值时，S=bcsin A，即求bc的最值，在等量关系中利用基本不等式b2+c2≥2bc，即可求得bc的最值. (2)求周长a+b+c的最值时，即求b+c的最值，在等量关系中，把b2+c2换成(b+c)2-2bc，再利用基本不等式bc≤，即可求得b+c的最值. 【跟踪训练】1　(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=60°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=，则下列说法正确的是(　　) A.ac的最小值是4 B.ac的最大值是4 C.a+3c的最小值是3+2 D.a+3c的最小值是4+2 【答案】AD 【解析】由题意知S△ABC=S△ABD+S△BDC， 由角平分线的性质以及面积公式可得ac·sin 60°=×c·sin 30°+×a·sin 30°， 化简得ac=a+c， ∴ac=a+c≥2，解得ac≥4，当且仅当a=c=2时，等号成立，故A正确，B错误； ∵ac=a+c，∴1=+， ∴a+3c=(a+3c)=4++≥4+2=4+2， 当且仅当=，即a=+1，c=时等号成立，故C错误，D正确. 题型二　转化为三角函数求最值(范围) 例2　(2025·哈尔滨模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin=bsin A. (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，b=，求2a-c的取值范围. 【解析】(1)因为asin=bsin A， A+C=π-B， 由正弦定理得sin Asin=sin Bsin A， 故sin Acos=2sincossin A， 在△ABC中，0<A<π，0<B<π， 所以sin A>0，0<<， 则cos>0， 可得sin=， 所以=，所以B=. (2)由正弦定理可得2R=====2(R为△ABC外接圆的半径)， 所以a=2sin A，c=2sin C， 因为B=，则A+C=，C=-A， 所以2a-c=4sin A-2sin=3sin A-cos A=2sin， 因为△ABC为锐角三角形， 则解得<A<， 则A-∈，sin∈， 故2a-c的取值范围是(0，3). 【思维升华】利用正弦定理、余弦定理，把所求量转化为关于某个角的三角函数，利用三角函数的有界性、单调性再结合角的范围确定最值或范围.要特别注意题目隐含条件的应用，如锐角三角形、钝角三角形、三角形内角和为π等. 【跟踪训练】2　(2026·杭州模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是△ABC外一点，若a=b，且(acos C+ccos A)=2bsin B. (1)求角B的大小； (2)若DA=2，DC=1，求四边形ABCD面积的最大值. 【解析】(1)由题意及正弦定理得(sin Acos C+sin Ccos A)=2sin2B， 即sin(A+C)=2sin2B， 所以sin(π-B)=sin B=2sin2B， 而sin B>0，故sin B=， 又a=b⇒A=B，则0<A+B=2B<π， 即0<B<， 故B=. (2)易知△ABC为等边三角形， 令∠ADC=θ，θ∈(0，π)， 则由余弦定理得AC2=1+4-2×1×2×cos θ=5-4cos θ， 所以S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD =×AC2×sin+×DC×DA×sin θ =(5-4cos θ)+sin θ =sin θ-cos θ+ =2sin+， 故当θ=时，四边形ABCD的面积取得最大值2+. 题型三　转化为其他函数求最值(范围) 例3　已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足=. (1)若C=，求B； (2)求的取值范围. 【解析】(1)由=及正弦定理可得， =，即c2=b2+ab， ∵C=，∴c2=a2+b2， ∴b2+ab=a2+b2，则a=b，即A=B， 又C=，∴B=. (2)由(1)知，c2=b2+ab， ∴a=，c>b， 由三角形三边关系可得 代入化简可得b<c<2b， ∴==+-1， 令x=，则x∈(1，2)， 令f(x)=x2+x-1，1<x<2， ∴f(x)=-∈(1，5)， ∴+-1∈(1，5)， ∴的取值范围是(1，5). 【思维升华】解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解. 【跟踪训练】3　(2025·葫芦岛模拟)在△ABC中，若C=2A，则sin B+sin A的最大值是　　　　.  【答案】 【解析】因为C=2A，所以0<A+C=3A<π， 即0<A<， 所以sin B+sin A=sin 3A+sin A =sin Acos 2A+cos Asin 2A+sin A =sin A(1-2sin2A)+2cos2Asin A+sin A =sin A-2sin3A+2(1-sin2A)sin A+sin A =-4sin3A+4sin A， 令t=sin A∈，则f(t)=-4t3+4t， 所以f'(t)=-12t2+4=-12=-12， 当t∈时，f'(t)>0， 则f(t)在上单调递增； 当t∈时，f'(t)<0， 则f(t)在上单调递减， 所以f(t)max=-4×+4×=， 即sin B+sin A的最大值是. 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共20分) 1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b，a，c成等差数列，则A的最大值为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】依题意b+c=2a. 则cos A== =≥=， 当且仅当b=c时，等号成立， 又A∈(0，π)， 所以A的最大值为. 2.(2026·秦皇岛模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=2，B=的三角形有两个，则b的取值范围为(　　) A.(0，2) B.(2，4) C.(2，4) D.(2，2) 【答案】D 【解析】在△ABC中，a=2，B=，由△ABC有两解，得 即解得2<b<2， 所以b的取值范围为(2，2). 3.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，A=，则b的取值范围是(　　) A.(0，2) B.(，2) C.(，3) D.(，3) 【答案】B 【解析】由正弦定理得=， 即b===2sin B， 又△ABC为锐角三角形，C=π-A-B=-B， 又0<B<，0<C<， 则0<-B<， 解得<B<，而当<x<时，y=sin x单调递增， 故sin B∈， 所以b=2sin B∈(，2). 4.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=，则的最小值为(　　) A.1 B. C.4-5 D.2-2 【答案】C 【解析】因为=， 则sin B=cos Acos B-sin Asin B =cos(A+B)=-cos C=sin， 所以C=+B，即有A=-2B， 所以B∈， 由正弦定理得= = = =4cos2B+-5≥2-5=4-5. 当且仅当cos2B=时取等号， 所以的最小值为4-5. 二、多项选择题(共6分) 5.(2025·济宁模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=，且2c-b=2acos B，则下列结论正确的是(　　) A.A= B.△ABC外接圆的面积为π C.△ABC面积的最大值为 D.△ABC周长的最大值为3 【答案】BCD 【解析】对于选项A，因为2c-b=2acos B， 由余弦定理得2c-b=2a×=，整理得b2+c2-a2=bc， 则cos A===， 又A∈(0，π)，所以A=，故A错误； 对于选项B，由正弦定理可得△ABC外接圆的半径R===1， 所以△ABC外接圆的面积为πR2=π，故B正确； 对于选项C，由b2+c2-a2=bc可得b2+c2=a2+bc=3+bc， 且b2+c2≥2bc，即3+bc≥2bc，解得bc≤3，当且仅当b=c=时，等号成立， 所以△ABC面积的最大值为×3×=，故C正确； 对于选项D，由b2+c2=3+bc可得(b+c)2=3+3bc，即bc=， 又bc≤，则≤， 解得(b+c)2≤12，即b+c≤2，当且仅当b=c=时，等号成立， 所以△ABC周长的最大值为2+=3，故D正确. 三、填空题(共5分) 6.(2025·成都模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=1，b=2，则B+C的取值范围是　　　　　　　.  【答案】 【解析】根据三角形三边关系可得|a-b|<c<a+b，即1<c<3， 又cos A===， 因为函数y=x+在(1，)上单调递减，在(，3)上单调递增， 所以=+=2， 又1+=4，3+=4， 所以2≤c+<4，所以≤cos A<1， 又A为三角形的内角， 所以0<A≤，所以≤B+C<π. 四、解答题(共29分) 7.(14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos B-bcos A-a+c=0. (1)求B的值；(6分) (2)若M为AC的中点，且a+c=4，求BM的最小值.(8分) 【解析】(1)由正弦定理及acos B-bcos A-a+c=0， 得sin Acos B-sin Bcos A-sin A+sin C=0， 又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B， ∴2sin Acos B-sin A=0， 又A∈(0，π)，∴sin A>0， ∴2cos B-1=0，即cos B=， 又B∈(0，π)，∴B=. (2)由M为AC的中点，得=+， 而a+c=4， ∴= =++· =c2+a2+accos∠ABC =[(a+c)2-ac] =(16-ac)=4-ac≥4-=3， 当且仅当 即a=c=2时等号成立，∴BM的最小值为. 8.(15分)(2025·深圳模拟)记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csin B=. (1)求B；(6分) (2)若b=，求△ABC面积的取值范围.(9分) 【解析】(1)因为csin B=， 由正弦定理可得sin Csin B= ==， 因为C∈，则sin C>0， 所以sin Bcos C+sin Bsin C=sin A， 又因为sin A=sin(π-B-C)=sin(B+C) =sin Bcos C+cos Bsin C， 所以sin Bsin C=cos Bsin C， 则sin B=cos B， 因为B∈，则sin B=cos B>0， 即tan B=1，所以B=. (2)因为C是锐角△ABC的内角，B=， 所以解得<C<， 由正弦定理得 ====2， 所以a=2sin A=2sin，c=2sin C， 所以S△ABC=acsin B =sin Csin =sin C =sin Ccos C+sin2C=sin 2C-cos 2C+ =sin+， 由<C<，得<2C-<， 所以<sin≤1， 即S△ABC=sin+∈， 所以△ABC面积的取值范围是. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $