4.6 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及应用讲义——2027届高三数学一轮复习

第六节　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及应用 知识清单 1.函数y＝A sin (ωx＋φ)的有关概念 y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ ____ f＝ ＝ ____ φ 2.用“五点法”画y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)一个周期内的简图时，要找五个特征点 ωx＋φ 0 π 2π x ____ ____ ____ ____ ____ y＝A sin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种途径 【常用结论】 1．函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”． 2．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是(ω>0)个单位长度． 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)将函数y＝3sin 2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin (2x＋)．(　　) (2)利用图象变换作图时，“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(　　) (3)将函数y＝2sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得函数y＝2sin 的图象．(　　) (4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．(　　) 2．(人教A版必修一P254T10改编)简谐运动可用函数f(x)＝sin (8x－)，x∈[0，＋∞)表示，则这个简谐运动的初相为(　　) A． B．－ C．8x－ D．8x 3．(人教A版必修一P239T2(2)改编)已知函数y＝3sin (x＋)的图象为C，为了得到函数y＝3sin (2x＋)的图象，只要把C上所有的点(　　) A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 4．(人教A版必修一P241T5改编)将函数y＝3sin (2x＋)的图象向左平移后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________． 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换 例1 已知函数f(x)＝2sin (2x＋)． (1)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)； (2)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？ [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)五点法作图，用“五点法”作y＝A sin (ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象； (2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝A sin (ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． 　跟踪训练　(人教A版必修一P254复习参考题T8(4))画出函数y＝3sin ()在长度为一个周期的闭区间上的简图，并指出是由函数y＝sin x，x∈R的图象经过怎样的变换得到的？ 命题点二　根据图象求函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式 例2 (1)(多选)如图是函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象，则sin (ωx＋φ)＝ (　　) A．sin (x＋) B．sin (－2x) C．cos (2x＋) D．cos (－2x) (2)(链接·2023年新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，如图A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________. [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　真题探源　(源自人教A版必修一P241T4)函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω>0，0＜φ＜π)在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为____________． 学霸笔记：确定y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝. (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝. (3)求φ．常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． 命题点三　三角函数模型的实际应用 例3 如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位：米)(在水面下则d为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：秒)之间的关系为d＝A sin (ωt＋φ)＋K(A>0，ω>0，－<φ<)，则(　　) A．ω＝ B．φ＝－ C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：已知函数的解析式利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系． 　跟踪训练　(衔接·人教A版必修一P245例1)如图，某地一天，从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)，则这段曲线的函数解析式为________． 提示：请完成课时作业27 第六节　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及应用 必备知识·助学教材 知识清单 1.　ωx＋φ 2.　　　　 3.|φ|　|| 自主诊断 1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．解析：该简谐运动的相位为8x－，当x＝0时的相位为初相，即初相为－. 答案：B 3．解析：把函数y＝3sin (x＋)的图象横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得到函数y＝3sin (2x＋)的图象． 答案：B 4．解析：函数y＝3sin (2x＋)的图象向左平移后得到函数y＝g(x)＝3sin [2(x＋)＋]＝3sin (2x＋)的图象，故g(x)＝3sin (2x＋). 答案：3sin (2x＋) 考教衔接·活用教材 例1　解析：因为x∈[0，π]，所以2x＋∈[，]. 列表如下： 2x＋ π 2π x 0 π f(x) 1 2 0 －2 0 1 描点、连线得图象如图所示． 解析：将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin (x＋)的图象，再将y＝sin (x＋)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin (2x＋)的图象，再将y＝sin (2x＋)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到f(x)＝2sin (2x＋)的图象． 跟踪训练　解析：(1)作图如下， 令－＝0⇒xA＝，依次求出xB＝xA＋＝2π， xC＝xA＋＝，xD＝xB＋＝5π，xE＝xA＋T＝. 变换方式：横坐标伸长到原来的3倍，再将图象关于y轴对称，向右移，最后纵坐标伸长到原来的3倍， 例2　解析：(1)由函数图象可知＝－＝，所以T＝π，则＝＝＝2，不妨令ω＝2，当x＝＝时，y＝－1，所以2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋(k∈Z)，即函数的解析式为y＝sin (2x＋＋2kπ)＝sin (2x＋＋)＝cos (2x＋)＝sin (－2x)，而cos (2x＋)＝－cos (－2x)．故选BC. (2)对比正弦函数y＝sin x的图象易知，点为“五点(画图)法”中的第五点，所以ω＋φ＝2π　①. 由题知|AB|＝xB－xA＝，两式相减，得ω(xB－xA)＝，即ω＝，解得ω＝4，代入①，得φ＝－，所以f(π)＝sin ＝－sin ＝－. 答案：(1)BC　(2)－ 真题探源　解析：由题图得A＝2，最小正周期T＝2(＋)＝π，则ω＝＝＝2，把(－，2)代入y＝2sin (2x＋φ)得2＝2sin (－＋φ)，即sin (－＋φ)＝1，所以－＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)，因为0＜φ＜π，所以φ＝，所以此函数的解析式为y＝2sin (2x＋). 答案：y＝2sin (2x＋) 例3　解析：点P到水面的距离d与时间t之间的关系为d＝A sin (ωt＋φ)＋K，对于A，依题意，A＝3，K＝1.5，T＝＝40，则ω＝＝＝，A错误；对于B，由t＝0时，得d＝3sin φ＋1.5＝0，即sin φ＝－，而－<φ<，则φ＝－，B错误；对于C，d＝3sin (t－)＋1.5，令d＝－1.5，得3sin (t－)＋1.5＝－1.5，解得sin (t－)＝－1，则t－＝，解得t＝，即盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，C错误；对于D，由d≤0，得3sin (t－)＋1.5≤0，即sin (t－)≤－，则＋2kπ≤t－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋40k≤t≤40＋40k，k∈Z，所以盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为40－＝秒，D正确．故选D. 答案：D 跟踪训练　解析：从题图中可以看出，从6～14时的是函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b的半个周期，又×＝14－6，所以ω＝.所以A＝(30－10)＝10，b＝(30＋10)＝20，又×10＋φ＝2π，解得φ＝，所以y＝10sin (x＋)＋20. 答案：y＝10sin (x＋)＋20 学科网（北京）股份有限公司 $