探究月历中的方程问题教案2025-2026学年苏科版数学七年级上册

该教案聚焦月历中的方程问题，结合一元一次方程应用，通过小明旅行观察月历的情境导入，从具体框数关系入手，引导学生先探究行（递增1）、列（递增7）规律，再抽象不同方框中数的和与中间数关系，搭建从具体到抽象的学习支架。 以生活化月历为载体，采用“观察—猜想—验证—应用”探究式教学，培养数学眼光（抽象数据规律）、思维（推理和与中间数关系）、语言（建立方程模型）。如十字框5个数和为中心数5倍，学生自主设计框型提升创新意识，助力教师落实核心素养，增强课堂互动与学生参与度。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 七年级 学期 秋季 课题 月历中的方程问题 教学目标 1.经历“问题情境—建立数学模型—解释、应用与拓展”的过程，体会数学的应用价值. 2.以月历为载体引导学生自己设计问题并分析、解决该问题，培养应用意识和创新意识. 教学重难点 教学重点： 1. 经历从特殊到一般的探究过程，发现月历中数据的基本排列规律； 2. 根据月历中数据排列规律列方程解决实际问题. 教学难点： 以月历为载体引导学生自己设计问题，并判断该问题是否有解. 教学过程 1、 情境创设 在五一劳动节期间，小明计划外出旅行，在安排日程时观察到月历里的数据存在某些规律，于是他用蓝色框和黄色框分别框住了4个和9个数字，并提出了以下几个问题： （1） 月历中蓝色方框内的4个数之间有什么关系？如果将方框移动，框住另外4个数，这4个数也有这样的关系吗？ （2） 月历中黄色方框内有9个数，你能发现这9个数之间的关系吗？ （3） 小明一家在这个月的某天出发外出旅游5天，这5天的日期之和是25，最后一天是几号？ 今天这堂课，我们一起来探究月历中的方程问题. 2、 探究活动 观察下边的这份月历，它是由星期和日期组成，里面蕴含什么数学知识？ 探究活动一： 你能说说第一行表示什么意思吗？ 观察可得最上面一行从周日、周一、一直到周六表示一星期有7天.月历中的数字又是怎样排列的呢？请同学们继续观察. 这些数有序地排成了行与列，可以先从行与列开始研究. 首先关于行的思考，我们可以提出哪些问题呢？ 预设1：该月历有多少行？ 预设2：同一行这些数是怎么排列的？ 从左到右数字依次递增1，同一行的数中最大的数和最小的数分别是多少？比如第一行最小的数是1，最大的数是6；第五行最小的数28，最大的数是31；最后一行只有4个数. 还可以提出同一行所有数的和是多少等等问题. 关于列的思考，又能提出哪些问题呢？ 预设1：一共有多少列？ 预设2：同一列里的数是怎么排列的呢？ 从上到下数字依次递增7，同一列这些数中最大的数和最小的数分别是什么？比如第一列只有4个数；第二列最小的数是1，最大的数就是29；最后一列最大的数是27，最小的数是6.此外，还可以提出同一列所有数的和是多少等等问题. 探究活动二： 类比行与列的探究，还可以怎样进行研究？ 比如用一个长方形的方框框一些数来研究，可以思考这样几个问题： （1）框几个数？3个、4个、6个还是7个等等. （2）可以研究什么？研究这些数的和还是差，或者是其中几个数的关系——相等关系、倍数关系等等. 首先尝试用一个3×1的横排方框来研究. （1） 请同学用粉色方框，框月历中的3个数，并将3个数的和告诉小伙伴，请他求出这三个数分别是多少. 想要解决这个问题，能否利用字母来探寻其一般规律？如何设字母可以简化表示方法和简化计算呢？请学生尝试几个不同的办法，从而找到最优方案：那就是设中间数为x，根据每行数之间的关系，从左到右依次递增1，可以表示出x左边的数是x-1，x右边的数是x+1，三个数的和就是x-1+x+x+1=3x. 可以得到这个结论：任意3×1方框内的3个数的和是中间数的3倍. 追问：这个结论对于任何一个月的月历都成立吗，改变方框的位置，还成立吗？ 成立，因为字母x可以表示满足条件的任意数.（同时引导学生思考，x需满足什么条件？ 比如第一行x只能取2到5之间的整数） （2）小明说的和是33，就可以找到等量关系式：三个数的和是33，得到化简后的方程3x=33,x=11.观察到11在这个月历中在第二行，第五列，左边的数是10，右边的数是12，在这个月历中成立. （3）小华说的和是34，就可以找到等量关系式：三个数的和是34，得到化简后的方程3x=34，x=，不是整数，月历中的数字均是整数，所以经检验，三数的和不可能是34. （4）小刚说和是39，就可以得到化简后的方程3x=39,x=13.13在这个月历中在第二行，第七列，右边没有数字，所以经检验，三数的和不可能是39. （5）还有的同学刚开始说的和是99，就可以得到化简后的方程3x=99,x=33.33在月历中是不存在的，所以经检验，三数的和不可能是99. 解决问题后，要检验答案的合理性.而这个答案的合理性取决于三方面，第一方面结果是否为整数，第二方面结果是否为月历中出现的数字，第三方面特别重要就是它的位置. （6）3×1的方框框月历中的数，三数的和还可以是多少呢？请同学课后可以继续探究. 探究活动三： 除了横排框，还可以用竖排框来研究. （1）请同学用1×3的竖排方框，框月历中的3个数，并将3个数的和告诉周围同学，让同学说出这3个数是多少. 让学生尝试几个不同的方法后找到最优方案：设方框中间的数为x，根据每列个数之间的关系，从上到下依次递增7，可表示出x上面的数是x-7，x下面的数是x+7，三个数的和就是x-7+x+x+7=3x.概括得到结论：任意1×3方框内的3个数的和都是中间数的3倍. （2）小明说的和是30，就可以得到化简后的方程3x=30,x=10.看一下10在这个月历中在第二行，第四列，上边的数是3，下边的数是17.成立. （3）小华说的和是71，就可以得到化简后的方程3x=71，x=，不是整数，月历中的数字均是整数，不存在分数，所以经检验，三数的和不可能是71. （4）还有的同学说的和是120，就可以得到化简后的方程3x=120,x=40.看一下40在月历中不存在，所以经检验，三数的和不可能是120. 再次强调做好题目之后要检验答案的合理性. 探究活动四： 接下来就用一个十字框来研究. （1）请同学用十字框，框月历中的5个数，并将5个数的和告诉周围同学，让同学求出这5个数分别是多少. 为了简化表示方法和简化计算，可以设十字形正中心的数为x，根据每行个数之间的数字规律，可以表示出x左边的数是x-1，右边的数为x+1，上边的数为x-7，下边的数为x+7.引导学生观察5个算式，再把这5个数的加在一起，观察结果.经过化简可以得到和为5x，恰好是正中心数x的5倍.总结得出结论：任意十字形框内的5个数的和是正中心数的5倍. 根据以上几个问题，同学们是否体会到了式子比数字更具有一般性？这也是我们从特殊到一般的探究方法. （2）譬如刚开始说的和是120，就可以得到化简后的方程5x=120,x=24.看一下24在这个月历中在第四行，第四列，上边、下边、左边、右边均有数字，框住的5个数的和是120成立.这五个数分别是17、23、24、25、31. 探究活动五： 鼓励学生用其他形状来做前面的探究，比如工字型、回字型、凹字型、H型、X型框框出一些数字，这里边的数字和又可以是多少呢？可以列出怎样的方程来解决他们呢？每种字型是否有一定的局限性呢？大家课后可以进一步探究一下. 最后来解决课刚开始时小明提出的问题： （1）可以设正方形左上方的数为x，那么根据行与列的数字规律，可表示出x右边的数为 x+1，x下方的数为x+7，以此类推右下角的数可以表示为x+8，再把对角线上的两数的和加在一起，x与x+8的和是2x+8，x+1与x+7的和也是2x+8，所以它们具有相等关系.这个结论可以用语言表示成：2×2方框的对角线上的两个数的和相等. （2）设方形框正中心的数为x，根据每行个数之间的关系，从左到右依次递增1，可以表示出x左边的数是x-1，x右边的数是x+1，根据每列数之间的关系，从上到下依次递增7，可以表示出x上方的数是x-7，下方的数是x+7，以此类推，可以分别表示出它左上方的数是x-8，左下方的数是x+6，右上方的数是x-6，右下方的数是x+8，这时可把这9个式子加在一起，利用整式的加减运算法则并进行化简可以得到9x.概括得出这个结论：任意3×3方框内的9个数的和都是正中心数的9倍. 3×3方框里的数是否还有其他数量关系？比如四个顶点处的数有怎样的规律等等，同学们课后可以继续进行相关研究. （3）设小明一家出发后的第三天日期为x，那其余4天日期分别是x-1、x-2、x+1、x+2，可以得到方程x+x-1+x-2+x+1+x+2=25，化简得5x=25，解得x=5.由于外出旅游是连续的5天，所以最后一天是7号.这里请同学们区别于用5×1的方框来框5个数的这种类型的问题. 同学们，生活中处处有数学，数学来源于生活，又应用于生活. 三、课堂小结 回顾本节课的主要内容： 1.本节课我们重点研究了什么问题？我们重点研究了用一元一次方程解决生活中与月历相关的问题。 2.在解决这些问题时，我们主要经历了怎样的过程？ 我们主要经历了“问题情境—建立数学模型—解释、应用与拓展”的过程。强调解完方程以后要注重检验答案的合理性. 学科网（北京）股份有限公司 $