（期末专项复习）专题10三角形三边关系及内角和解决问题（专项训练）-2025-2026学年四年级数学下册高频易错题思维综合练（人教版）

**基本信息** 聚焦三角形三边关系及内角和，通过问题链构建“性质理解-变式应用-综合迁移”的方法体系，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三边关系应用|1-13题|两边之和大于第三边，两边之差小于第三边|从基本性质判断到剪拼、选棒等实际应用，覆盖整数边长、等腰三角形分类讨论| |内角和计算|14-27题|三角形内角和180°，多边形转化为三角形求内角和|从等腰三角形角的分类到四边形、多边形内角和推导，渗透转化思想|

（期末专项复习）专题10三角形三边关系及内角和解决问题 一、解答题 1．海海测量了两块三角形土地，并把测量结果画成了两张平面图（如下图）。乐乐看了这两张图说：“你测量有误。”想一想，为什么乐乐没有测量就知道海海的测量有误呢？ 2．如图，一个三角形的三条边都是整厘米数，第一条边长是4cm，第二条边长6cm，第三条边最长是几厘米？最短又是几厘米呢？ 3．用下面6根小棒，你能摆出几种三角形？（单位：厘米）这些三角形的边长是多少厘米？（写出边长即可，不用画图） 4．把一根长的吸管先剪成三段，再用这三段吸管围成一个三角形，可以怎样剪？（每段的长度都是整厘米数） 5．把一根12厘米的吸管剪成3段（每段都是整厘米数），摆成一个三角形，共有几种剪法，你能全部列举出来吗？ 6．从下面6根木棒中选3根，你能拼出哪些不同的三角形？把所有可能都写出来。 7．已知一个三角形的两条边分别是6厘米和10厘米，如果第三边的长恰好是整数，那么，第三边最长是多少厘米？最短又是多少厘米？（取整厘米数） 8．一根长280厘米的铜条，截成若干段后，首尾相连接拼成等腰三角形。已知等腰三角形有两条边分别是10厘米和15厘米，请你先确定第三条边的长度，再计算可以拼成这样的等腰三角形多少个？（先画一画草图，再计算，不计损耗。） 9．从下面每组小棒中，任意选出三根，摆出两种不同的三角形。（单位：厘米） 10．小瑜邀请你玩三角形拼组游戏，在规定时间内成功拼出不同规格的三角形，以多者胜。现有2、4、6、8厘米长的小棒各3根，小瑜已成功拼出6种不同的三角形。为了获胜，请你至少写出7种三角形拼组方案。可以用“（a，b，c）”来表示，如三条边长度都2厘米的，可以记作“（2，2，2）”。 11．一根长11厘米的铁丝，要把它分成三段，再首尾相连成一个三角形。李鑫在2厘米处剪了一刀，再在哪个刻度剪一刀就能围成一个三角形？请你先在图中标出剪的位置，再把想法写下来。（边长为整厘米数） 12．星期天，笑笑从家出发去奶奶家，走哪条路最近？走哪条路最远？最近的路与最远的路相差多少米？ 13．把一根8厘米长的吸管剪成长度为整厘米数的三段。 （1）如果第一次从3厘米处剪开，第二次可以从（    ）厘米处剪开，也可以从（    ）厘米处剪开，剪成的三小段正好可以围成一个三角形。 （2）如果第一次从4厘米处剪开，剪成的三小段能围成一个三角形吗？ 14．一个等腰三角形形状的风筝，两条边长分别是54厘米和27厘米，这个风筝的周长是多少厘米？ 15．用一根长60厘米的铁丝，围成一个底边是1分米的等腰三角形，这个等腰三角形的一条腰长是多少厘米？ 16．在一张长12厘米、宽9厘米的长方形纸上剪去两个等边三角形②和③后，刚好剩下图形①，那么图形①的周长是多少厘米？ 17．用一根铁丝围成一个边长为16厘米的等边三角形，如果改围成一个底边长是12厘米的等腰三角形，它的腰长是多少厘米？ 18．公园里有一个等腰三角形的草坪，它的周长是186米，一条腰长是57米，这块草坪的底边长是多少米？ 19．小芳家有一个等腰三角形的相框，她打算用丝带沿边围一周装饰这个相框。量得这个相框的腰长18厘米，底边长2分米，小芳至少需要买多少厘米长的丝带？ 20．在风筝节期间，田田制作了一个等腰三角形的风筝框架，已知其中一个角是40°，它的另外两个角分别是多少度？ 21．一面彩旗的形状是一个等腰三角形，其中一个角是70°，另外两个角分别是多少度？请列出所有情况。 22．下图中∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10的度数是多少？ 23．2024潍坊国际风筝嘉年华开幕，本届嘉年华创新扎制了众多特色鲜明的主题风筝。例如，以庆祝新中国成立75周年为主题的“祖国万岁”风筝、港珠澳大桥风筝和“蛟龙”号风筝等。小红买了一个形状是等腰三角形的风筝，已知该风筝的一个角是50°，另外两个角可能是多少度？ 24．数学课上，同学们在解决四边形的内角和的问题。下面是四位同学的不同方法。 （1）他们解答的方法正确吗？请你在方法不正确的同学名字旁的括号里画“×”； （2）在你认为正确的解法中，你最喜欢谁的解法？请你用文字解释说明这种解法的思路。 25．如图所示，将多边形分割成三角形。 （1）上图中四边形、五边形，六边形分别可分割出（    ）、（    ）、（    ）个三角形。每个三角形的内角和是（    ）。 （2）先将下面的多边形分割成三角形，然后求这个图形的内角和。 26．小棒AC长14厘米，小明第一次将小棒从B点剪开，得到两根小棒AB、BC，量得AB长6厘米。接着小明把其中一根小棒剪成两根，现在一共是3根小棒，可围成一个等腰三角形。 （1）请你在图中用“点D”标出小明第二次剪的位置。 （2）小明用3根小棒围成等腰三角形后，量得等腰三角形的顶角是98°，求这个三角形中一个底角的度数。 27．按要求做题。 （1）画出上图三角形指定边上的高。 （2）如果在上图三角形ABC中，∠B＝120°，∠A＝20°，那么∠C＝（    ）°。 （3）在计算∠C的度数时，你利用了三角形的内角和等于（    ）°。 如果让你验证“三角形的内角和等于180°”，你会用什么方法？请简要描述。 ____________________________________________________________________________。 参考答案 1．第一张图：10＋13＝23＜25，而三角形两边之和应大于第三边，所以测量有误。 第二张图：30＋42＝72，而三角形两边之和应大于第三边，所以测量有误。 【分析】三角形的基本性质是任意两边之和大于第三边，以此可判断测量是否有误。 【详解】第一张图：，，不满足三角形两边之和大于第三边的性质。 第二张图：，同样不满足三角形两边之和大于第三边的性质。 所以乐乐知道海海测量有误。 答：因为海海测量的三角形两边之和等于第三边，不符合三角形两边之和大于第三边的性质，所以测量有误。 2．9厘米；3厘米 【分析】根据三角形的特征：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；由此解答即可。 【详解】6－4＜第三边＜4＋6，所以：2＜第三边＜10， 即第三边的取值在2～10厘米（不包括2厘米和10厘米）。 因为三条边都是整厘米数，所以第三条边最长为：10－1＝9（厘米），最短为：2＋1＝3（厘米）； 答：第三条边最长是9厘米，最短是3厘米。 【点睛】此题解答关键是根据在三角形中，任意两边之和大于第三边的特征解决问题。 3．4种；2、6、6；5、6、6；6、6、6；2、5、6 【分析】解答此题要根据三角形三边关系来解答，在三角形里，任意两边之和都大于第三边。 【详解】2＋6＝8（厘米） 8＞6 2厘米、6厘米、6厘米可以摆出一个三角形； 5＋6＝11（厘米） 11＞6 5厘米、6厘米、6厘米可以摆出一个三角形； 6＋6＝12（厘米） 12＞6 6厘米、6厘米、6厘米可以摆出一个三角形； 2＋5＝7（厘米） 7＞6 2厘米、5厘米、6厘米可以摆出一个三角形； 一共有4种摆法。 【点睛】三角形三边的关系：三角形任意两边的和大于第三边。 4．见详解。 【分析】已知吸管的总长是，即三角形三条边的和是，且三条边中最长的边最大只能是，如果是的话，就违背了两边之和大于第三边的说法了。所以围绕着最长边是来判定其他两边的长度，经过梳理，一共有以上七种剪法。 【详解】根据分析可得： 第一种：，， 第二种：，， 第三种：，， 第四种：，， 第五种：，， 第六种：，， 第七种：，， 【点睛】本题主要考查三角形三边的关系。三角形任意两条边的和大于第三边，两边之差小于第三边。 5．3种，①3厘米、4厘米、5厘米；②4厘米、4厘米、4厘米；③2厘米、5厘米、5厘米 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。 【详解】12＝3＋4＋5＝4＋4＋4＝2＋5＋5， 答：共有3种剪法，可以是①3厘米、4厘米、5厘米；②4厘米、4厘米、4厘米；③2厘米、5厘米、5厘米。 【点睛】围成三角形中任意两条边的和大于第三边，即最长边要小于总长度的一半，是判断三条线段能否围成一个三角形的关键。 6．见详解 【分析】要找全所有的三角形，可以先有序思考，写出所有的组合情况，再根据三角形的三边关系判断能否拼成三角形。 【详解】 组合情况 能否组成三角形（能的画“√”） 、、 √ 、、 、、 √ 、、 √ 、、 √ 、、 √ 、、 √ 则从6根木棒中选3根，能拼出6种不同的三角形，分别为①、、；②、、；③、、；④、、；⑤、、；⑥、、。 【点睛】本题主要考查三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边。 7．15厘米，5厘米 【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；进行解答即可。 【详解】10＋6＝16（厘米） 10－6＝4（厘米） 则第三条边应比16厘米短，比4厘米长。因为要求取整厘米数，所以第三条边最长是15厘米，最短是5厘米 答：第三条边最长是15厘米，最短是5厘米。 【点睛】解答此题的关键是根据三角形的三边关系进行分析、解答。 8．8个或7个。 【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，可确定这个等腰三角形的腰是多少，据此解答。 【详解】（1）因为10＋10＝20＞15，10＋15＞10；所以10厘米、10厘米、15厘米能够成三角形； 所以当第三边是10厘米时，可以拼 280÷（10＋10＋15） ＝280÷35 ＝8（个） （2）因为15＋15＝30＞10，10＋15＞15；所以15厘米、15厘米、10厘米也能够成三角形。 所以当第三边是10厘米时，可以拼 280÷（15＋15＋10） ＝280÷40 ＝7（个） 答：当第三边是10厘米时，可以拼8个；当第三边是15厘米时，可以拼7个。 【点睛】本题的关键是根据三角形的任意两边之和大于第三边来确定这个等腰三角形的腰是多少。 9．见详解 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。 【详解】 4＋4＞5，所以从第一组中选出长度为4cm、4cm、5cm的小棒摆出三角形； 4＋4＞6，所以从第二组中选出长度为4cm、4cm、6cm的小棒摆出三角形。 【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，需熟练掌握。 10．见详解 【分析】根据三角形三边关系，即三角形任意两边之和大于第三条边进行列举即可。 【详解】三角形拼组方案如下： 等边三角形：（2，2，2）；（4，4，4）；（6，6，6）；（8，8，8）； 等腰三角形：（4，4，2）；（6，6，2）；（8，8，2）；（4，4，6）；（6，6，4）；（8，8，4）；（6，6，8）；（8，8，6）； 不等边三角形：（4，6，8）。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握三角形三条边之间的关系及应用。 11．在6厘米或7厘米处剪一刀就能围成一个三角形； 想法：根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断，当三角形三条边分别为2厘米、4厘米和5厘米的时候能够围成三角形。 【分析】在2厘米处剪一刀，剩余长度为9厘米。 根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断，当另外两边为4厘米和5厘米的时候能够围成三角形。因此可以在6厘米或者7厘米处剪一刀，就能围成一个三角形。 【详解】答：在6厘米或7厘米处剪一刀就能围成一个三角形； 答：在2厘米处剪一刀，剩余长度为9厘米。 9厘米可以分成： 1厘米、8厘米， 2厘米、7厘米， 3厘米、6厘米， 4厘米、5厘米， 根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断，当三角形另外两边分别为4厘米和5厘米的时候能够围成三角形。因此可以在铁丝6厘米或者7厘米处剪一刀，就能围成一个三角形。 【点睛】本题考查了三角形三边关系，掌握三角形三边的关系是解题的关键。 12．走直接去奶奶家那条路最近；走经过学校的那条路最远；相差1100米 【分析】根据题意可以发现笑笑从家到奶奶家有3条路，分别是直接去奶奶家；或者先经过商场再去奶奶家以及先经过学校再去奶奶家。可以看出图中3条路分别围成了两个三角形，根据三角形两边之和大于第三边，可知走直接去奶奶家那条路最近；分别计算剩下2条路的距离后，进行比较，得出最远的路；然后用最远的减去最近的即可解此题。 【详解】根据三角形两边之和大于第三边可知走直接去奶奶家那条路最近，1100米。 经过商场去奶奶家：1200＋700＝1900（米） 经过学校去奶奶家：900＋1300＝2200（米） 1900＜2200 所以走直接去奶奶家那条路最近，走经过学校的那条路最远。 2200－1100＝1100（米） 答：所以走直接去奶奶家那条路最近，走经过学校的那条路最远，最近的路与最远的路相差1100米。 13．（1）5；6 （2）不能 【分析】三角形的三边关系：三角形中任意两边的长度之和大于第三边。根据题意可知，8厘米长的吸管剪成长度为整厘米数的三段，如果较短的两段吸管的长度和大于最长吸管的长度，则三段吸管能围成三角形，否则不能围成三角形，据此解答即可。 【详解】（1）如果第二次从4厘米处剪开，则三段的长度分别是：3厘米、1厘米、4厘米，1厘米＋3厘米＝4厘米，剪成的三段不能围成三角形； 如果第二次从5厘米处剪开，则三段的长度分别是：3厘米、2厘米、3厘米，2厘米＋3厘米＞3厘米，剪成的三段能围成三角形； 如果第二次从6厘米处剪开，则三段的长度分别是：3厘米、3厘米、2厘米，3厘米＋2厘米＞3厘米，剪成的三段能围成三角形； 如果第二次从7厘米处剪开，则三段的长度分别是：3厘米、4厘米、1厘米，1厘米＋3厘米＝4厘米，剪成的三段不能围成三角形； 所以如果第一次从3厘米处剪开，第二次可以从5厘米处剪开，也可以从6厘米处剪开，剪成的三小段正好可以围成一个三角形。 （2）8－4＝4（厘米） 剩余两段的长度之和等于第三边，所以如果第一次从4厘米处剪开，剪成的三小段不能围成一个三角形。 14． 135厘米 【分析】根据等腰三角形的性质，第三条边的长度可能是54厘米或27厘米。需要依据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”进行验证，排除不能组成三角形的情况，再计算三角形的周长。 【详解】分两种情况讨论： 第一种情况：当腰长是27厘米，底边长是54厘米时。 因为27＋27＝54，不满足三角形任意两边之和大于第三边，所以不能组成三角形。 第二种情况：当腰长是54厘米，底边长是27厘米时。 因为54＋27＞54，满足三角形任意两边之和大于第三边，可以组成三角形。 周长计算如下： 54＋54＋27 ＝108＋27 ＝135（厘米） 答：这个风筝的周长是135厘米。 15．25厘米 【分析】等腰三角形的两腰长度相等，所以用铁丝的总长度减去底边的长度，再除以2，即可得到腰长。 【详解】1分米＝10厘米 60－10＝50（厘米） 50÷2＝25（厘米） 答：这个等腰三角形的一条腰长是25厘米。 16．51厘米 【分析】等边三角形的三条边都相等，所以图①的周长由2条12厘米长的边，1条9厘米长的边，2条6厘米长的边，2条3厘米长的边组成，相加即可。 【详解】12×2＋9＋6×2＋3×2 ＝24＋9＋12＋6 ＝33＋12＋6 ＝45＋6 ＝51（厘米） 答：图形①的周长是51厘米。 17．18厘米 【分析】等边三角形的三条边都相等，已知一条边长为16厘米，可以先求得等边三角形的周长，周长就是这根铁丝的长度。等腰三角形的两条腰相等，已知底边长是12厘米，用这根铁丝的长度减去底边长可以算出两条腰的长度之和，再算出一条腰的长度即可。 【详解】16×3＝48（厘米） 48－12＝36（厘米） 36÷2＝18（厘米） 答：它的腰长是18厘米。 18．72米 【分析】等腰三角形特征：两条腰长相等，三角形周长是三条边长之和，用186米减去2个57米即可求出底边长。 【详解】186－57×2 ＝186－114 ＝72（米） 答：这块草坪的底边长是72米。 19．56厘米 【分析】根据题意，求丝带的长就是求三角形的周长。根据等腰三角形两腰相等的特点，可知这个相框三边的长度为18厘米，18厘米，2分米；先根据1分米＝10厘米，把2分米换算成厘米单位，即20厘米，再把三条边的长度相加即可。据此解答。 【详解】2分米＝20厘米 18＋18＋20 ＝36＋20 ＝56（厘米） 答：小芳至少需要买56厘米长的丝带。 20．70°、70°或40°、100° 【分析】等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和是180°。题目中只给出一个角是40°，有两种情况，第一种情况是40°为顶角，求两个底角；第二种情况是40°为底角，求另一个底角和顶角。 【详解】当40°角是顶角时： （180°－40°）÷2 ＝140°÷2 ＝70° 此时另外两个角分别是70°、70°。 当40°角是底角时： 180°－40°×2 ＝180°－80° ＝100° 此时另外两个角分别是40°、100°。 21．55°和55°或者70°和40° 【分析】等腰三角形，两底角相等，要分情况讨论：70°可能是顶角也可能是底角。据此解答即可。 【详解】如果顶角是70°： （180°－70°）÷2 ＝110°÷2 ＝55° 则另外两个角是55°和55°； 如果底角是70°： 180°－70°－70°＝40° 则另外两个角是70°和40°。 答：一面彩旗的形状是一个等腰三角形，其中一个角是70°，另外两个角是55°和55°或者70°和40°。 22．360° 【分析】由图可知：∠1＋∠6＝∠2＋∠7＝∠3＋∠8＝∠4＋∠9＝∠5＋∠10＝180°，且五边形内角和为（52）×180°，也就是∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝540°，再用180°×5540°即可算出正确答案。 【详解】由图可知：∠1＋∠6＝∠2＋∠7＝∠3＋∠8＝∠4＋∠9＝∠5＋∠10＝180° ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5 ＝（52）×180° ＝3×180° ＝540° 那么∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10 ＝（180°∠1）＋（180°∠2）＋（180°∠3）＋（180°∠4）＋（180°∠5） ＝180°×5（∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5） ＝900°540° ＝360° 答：∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10的度数是360°。 【点睛】要计算这5个角的度数，必须认真观察，从中找出规律，经过观察发现∠1、∠6组成一个平角，同理，∠2、∠7等相邻的两个角也都是组成一个平角，其中∠1、∠2、∠3、∠4和∠5是一个五边形的内角，再经过转化后就可以计算出这些角度数的和。 23．50°和80°或者65°和65° 【分析】等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和为180°。已知该风筝的一个角是50°，如果这个角是底角，那么另一个底角也是50°，可以用180°减去两个底角的度数算出第三个角的度数。已知该风筝的一个角是50°，如果这个角是顶角，可以用180°减去顶角的度数算出两个底角的度数，再除以2即可算出一个底角的度数。 【详解】假设这个50°的角是底角，那么另一个底角也为50°。 180°－50°－50° ＝130°－50° ＝80° 假设这个50°的角是顶角 （180°－50°）÷2 ＝130°÷2 ＝65° 答：已知该风筝的一个角是50°，另外两个角可能是50°和80°或65°和65°。 24．（1）陈文（×） （2）我喜欢张帆的解法，因为他是把四边形的内角和转化为2个三角形的内角和，这样计算更加简便。（答案不唯一） 【分析】（1）王磊的方法是：将四边形四个角剪下来，然后拼成1个周长，1周角是360°，也就是说四边形的内角和是360°； 张帆的方法是：将四边形分成2个三角形，即四边形的内角和等于2个三角形的内角和。 李钰的方法是：将四边形分成4个三角形，由图可知，四边形的内角和比4个三角形的内角和少360°； 陈文的方法是：将四边形分成3个三角形，由图可知，四边形的内角和比3个三角形的内角和少180°；依此判断。 （2）根据自己的计算习惯进行选择并解答，言之合理即可。 【详解】（1）王磊的方法：1周角＝360°＝四边形的内角和，即王磊的方法正确； 张帆的方法：四边形的内角和＝180°×2＝360°，即张帆的方法正确； 李钰的方法：四边形的内角和＝180°×4－360°＝720°－360°＝360°，即李钰的方法正确； 陈文的方法：四边形的内角和＝180°×3－180°＝540°－180°＝360°，即陈文的方法错误； （2）我喜欢张帆的解法，因为他是把四边形的内角和转化为2个三角形的内角和，这样计算更加简便。 【点睛】熟练掌握多边形内角和的计算方法是解答此题的关键。 25．（1）2；3；4；180° （2）图见详解过程；900° 【分析】（1）根据图示按要求先数数再填空；根据三角形内角和定理：三角形的内角和是180°进行解答即可； （2）一个顶点的所有对角线把七边形分成5个三角形，然后用三角形的内角和乘5即可求解。 【详解】（1）上图中四边形、五边形，六边形分别可分割出2、3、4个三角形。每个三角形的内角和是180°。 （2）如图所示： 180°×5＝900° 这个图形的内角和是900°。 【点睛】本题主要考查了多边形和三角形的内角和，解题的关键是灵活运用三角形的内角和。 26．（1）见详解； （2）41° 【分析】（1）根据三角形的特征：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；等腰三角形是两个腰长相等，两个底角相等。由此解答即可。 （2）因为等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是180°，所以底角的度数＝（180°－顶角度数）÷2；代数计算即可。 【详解】（1）如图： 因为AB长6cm，可以把BC分成6厘米和2厘米或4厘米和4厘米。 （2）（180°－98°）÷2 ＝82°÷2 ＝41° 答：底角是41°。 【点睛】此题解答关键是根据在三角形中，任意两边之和大于第三边的特征及等腰三角形的特征解决问题。 27．（1）见详解； （2）40； （3）180；见详解 【分析】（1）作线段CB的延长线，从A点向CB的延长线作垂线，标记为点D， AD即为三角形ABC底边上的高，据此作答； （2）根据三角形的内角和＝180°，在三角形ABC中，∠B＝120°，∠A＝20°，那么∠C＝180°－120°－20°，据此作答。 （3）验证三角形的内角和等于180°，可以用拼接法，先把三角形的三个角剪下来，再拼一拼，看看是否能拼成一个平角，据此作答。 【详解】（1）作图如下： （2）180°－120°－20° ＝60°－20° ＝40° 所以∠C＝40°。 （3）理由如下： 如图，拼接成了一个平角，所以可以证明三角形的内角和是180°。 学科网（北京）股份有限公司 $