专题02 动点与动角问题（期末复习专项训练）六年级数学下学期新教材鲁教版五四制

**基本信息** 聚焦动点与动角动态问题，按“线段计算-数量关系-定值探究-运动时间”及“角定值-角数量关系”递进设计，覆盖中考高频考点，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |动点问题|约20题|含线段长度计算、数量关系证明、定值探究及运动时间求解，标注“难”“重”点|从具体线段计算到抽象定值规律，结合中点、速度等概念，体现“静态到动态”的空间观念发展| |动角问题|约18题|涉及角平分线、旋转及角的定值与数量关系证明|类比动点问题逻辑，通过角的动态变化探究不变量，强化推理意识与数学表达能力|

专题02 动点与动角问题 题型1 动点问题中求线段长度 题型4 动点问题中的运动时间（重） 题型2 动点问题中求线段之间的数量关系（难） 题型5 动角问题中的定值问题 题型3 动点问题中的定值问题 题型6 动角问题中角之间的数量关系（难） 2 / 24 学科 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 动点问题中求线段长度 1．如图，线段的长为，点为上一动点（不与，重合），为中点，为中点，随着点的运动，线段的长度（   ） A．随之变化 B．不改变，且为 C．不改变，且为 D．不改变，且为 【答案】D 【详解】∵为中点，为中点， ∴DC= AC，CE= BC ∴DE=DC+CE =AC+BC =AB =m 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是线段动点问题以及线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解答本题的关键． 2．如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置.开关绕点O顺时针旋转180°后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4.已知，，则 mm. 【答案】24 【详解】解：由图3得，当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为， 由图4得，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：24． 【点睛】题目主要考查线段间的数量关系，理解题意，结合图形求解是解题关键． 3．已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）． 【答案】/ 【详解】解：∵M为的中点，N为的中点， ∴，． ∵线段和线段在同一直线上， 线段（A在左，B在右）的长为a， 长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动， ∴分以下5种情况说明： ①当在左侧时，如图1， 即， ， ， ； ②当点D与点A重合时，如图2， 即 ， ； ③当在内部时，如图3， 即 ， ； ④当点C在点B右侧时， 同理可得：； ⑤当在右侧时， 同理可得：； 综上所述：线段的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查线段的和差，根据题意画出对应情况的图形是解题的关键，注意分类讨论思想的运用． 4．如图直线l上有AB两点，，点O是线段AB上的一点，，若点C是射线AB上一点，且满足，则OC＝ cm． 【答案】或 【详解】∵AB=12cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB， ∴，． 设， 分类讨论：①当点C在AO之间时，如图， 由图可知，，， ∵， ∴， 解得：． 故此时； ②当点C在OB之间时，如图， 由图可知，，． ∴此时不成立； ③当点C在点B右侧时，如图， 由图可知，，， ∵， ∴， 解得：． 故此时； 综上可知OC的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查线段n等分点的有关计算，与线段有关的动点问题的计算．利用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键． 5．如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． (1)当时，，请求出的长； (2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】 【详解】（1）解：当时，，， 则， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 则； （2）解：设运动时间为， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 则； （3）解：当点在线段上时， ∵， ∴, ∵， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴； 当点在的延长线上时， ． 综上所述，或． 6．线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点． (1)如图1，当AC＝4时，求DE的长． (2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）∵AB＝16，CD＝2，AC＝4， ∴，, ∵E为BC的中点， ∴， ∴； （2）线段EF的长度不会发生变化，， ∵AB＝16，CD＝2， ∴， ∵F为AD的中点，E为BC的中点， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分析题目中线段之间的数量关系． 7．如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． (1)当时，若，的长为______； (2)当时，若，试说明点为的中点； (3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设且运动时间为， ∴，， 故， 即， 当时，， 即， 若， 则， 可得出， 则． 故答案为：． （2）解：由（1）可得， 当时，， 即， 若， 则， 可得出， 则， 即， 故点为的中点． （3）解：由（1）可得， 即， 若点，运动到任一时刻，总有， 即， 整理得， ∴， 故的长为． 题型2 动点问题中求线段之间的数量关系 8．如图，是线段上的点，，两点分别从同时出发，以个单位长度/秒，个单位长度/秒的速度沿直线向左运动，当点和点分别在线段上时，求的值． 【答案】 【详解】解：如图，设，则， 设运动的时间为，则，， ∴，， ∴， ∴． 9．如图，点C在线段上，，点D，E在直线上，点D在点E的左侧． (1)若，且D为的中点，求的长． (2)若D为的中点，E为的中点，求的值． (3)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】 【详解】（1）解：，， ， D为的中点， ， ， ； （2）解： D为的中点，E为的中点， ， ， ， ， ， ； （3）解：，， 设，则， ， 当E在A的左侧时， 有， 解得， ， ； 当A在之间时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 当在之间时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 当在之间， 在之间时， 有， 解得， ， ， ； 当在之间， 在右侧时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 当在之间， 在右侧时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 当在右侧时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 综上所述，的值为或． 10．如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】 【详解】（1）解：∵是线段的中点，．∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵点在线段上且， ∴；    （2）解：①存在， 当P、Q相遇时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当P、Q相遇后， ∵， ∴， 解得； 故或；       ②，理由： ∵分别是线段和的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．    11．如图1，已知线段，点M是线段上一点，点C在线段上，点D在线段上，C、D两点分别从M、B出发以的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示，其中a、b满足条件：． (1)直接写出：____________，_____________； (2)若，当点C、D运动了，求的值； (3)如图2，若，点N是直线上一点，且，求与的数量关系． 【答案】(1)1，3 (2)8cm (3)或 【分析】 【详解】（1）解：∵|a−1|+|b−3|=0 ∴a-1=0，b-3=0， ∴a=1，b=3， 故答案为：1；3； （2）当C、D运动时，，， ∴． （3）当点N在线段上时， ∵， 又∵， ∴， ∴． 当点N在线段的延长线上时， ∵， 又∵， ∴． 综上所述，或． 【点睛】题目主要考查绝对值的非负性及点的运动，线段间的数量关系等，理解题意，根据图象得出线段间的数量关系是解题关键． 12．如图，数轴上点A在原点左侧，点B在原点右侧，且，动点P､Q分别从A､B两点同时出发，都向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）若点A表示的数为，则点B表示的数为________，线段中点表示的数为___________； （2）在（1）的条件下，若，求t的值； （3）当点P在线段上运动时，若，请探究线段与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）6；-3；（2）或13；（3）或，见解析 【分析】 【详解】（1）∵点A表示的数为，AO＝2OB， ∴AO＝12，OB＝6， ∴AB＝18， ∴线段中点表示的数为3． 故答案是：6；﹣3； （2）当P､Q相遇时，（秒）， ∴．当点P在上时，， ∵， ∴，，符合； 当点P在原点O右侧时，， ∵，， ，符合． 综上所述，若，t的值为或13. （3）设线段的长为b，则． ∵点P在线段上运动， ∴．． 若，则， ∴， ∴， 解得． ∴， 又∵， ∴； 若，则， ∴， ∴， 解得． ∴． ∵． ∴． 综上所述，线段与线段之间的数量关系为或． 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值． 13．如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒． (1)若点P在线段AB上的运动，当时， ； (2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值； (3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 【答案】(1) (2)8或24 (3)，见解析 【分析】 【详解】（1）解：∵ M为AP的中点，， ∴ ， ∵线段，N为BP的中点， ∴． 故答案是：2； （2）解：①当点P在线段AB上，时，如图， ∵，， ∴，解得：． ②当点P在线段AB的延长线上，时，如图， ∵，， ∴，解得：． 综上所述，当时，点P的运动时间t的值为8或24． （3）解：当点P在线段AB的反向延长线上时，， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了点的运动和线段之间的关系，熟练掌握几何的基础知识是解答本题的关键． 题型3 动点问题中的定值问题 14．如图，线段 ，动点从出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动，为的中点．设点的运动时间为秒． (1) 秒后，． (2)当在线段上运动时，试说明为定值． (3)当在线段的延长线上运动时，为的中点，求的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）点从出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动， 设点的运动时间为秒， 为的中点， ， 当点在线段上时， 当点在线段的延长线上时， ，无解； 综上所述，当点出发秒后，； （2）由（1）知，，， ，， 为定值； （3）由（1）知，，， 当点在线段的延长线上时， 为的中点， ． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离，用含时间的式子表示出各线段的长度是解本题的关键． 15．如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 【答案】(1)①出发6秒后，；②见解析 (2)①长度不变，； 【分析】 【详解】（1）解：①设出发秒后， 则，， 为中点， ， ， 解得：， 出发6秒后，； ②设，则，， 为定值． （2）解：①长度不变，； 理由：如图 设， 为中点， ，， 为的中点， ①，长度不变； ②，长度变化； ①长度不变，． 16．已知有理数a，b，c在数轴上对应的点从左到右顺次为A，B，C，其中b是最小的正整数，a在最大的负整数左侧1个单位长度，BC=2AB． （1）填空：a=　　，b=　　，c=　　 （2）点D从点A开始，点E从点B开始， 点F从点C开始，分别以每秒1个单位长度、1个单位长度、4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，点F追上点D时停止动，设运动时间为t秒．试问： ①当三点开始运动以后，t为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的中点？ ②F在追上E点前，是否存在常数k，使得的值与它们的运动时间无关，为定值．若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）-2，1，7；（2）①t=1或t=；②k=-1 【分析】 【详解】解：（1）∵最小正数为1．最大的负整数为小-1，a在最大的负整数左侧1个单位长度 ∴点A表示的数a为-1-1=-2，点B表示的数b为1， ∴AB=1-（-2）=3 ∵， ∴点C表示的数为c=1+6=7， 故答案为：-2，1，7； （2）①依题意，点F的运动距离为4t，点D、E运动的距离为t, ∴点D、E、F分别表示的数为-2-t，1-t， 7-4t, 当点F追上点D时，必将超过点B， ∴存在两种情况，即DE=EF和DF=EF， 如图，当DE=EF，即E为DF的中点时， ， 解得，t=1， 如图，当EF=DF，即F为DE中点时， ， 解得t=， 综上所述，当ｔ=１秒和ｔ＝时，满足题意． ②存在，理由： 点D、E、F分别表示的数为-2-t，1-t，7-4t, 如图，F在追上E点前， ，， ， 当与t无关时，需满足3+3k=0， 即k=-1时，满足条件． 【点睛】本题考查了数有理数的性质，数轴上点与数的对应关系及两点的距离，点的平移及线段的中点及分类讨论思想，正确理解点的运动与点的平移的关系是解本题的关键． 17．如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：，且m，n满足，点M，N分别为中点．    (1)求线段的长； (2)线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，，求此时线段的长； (3)若，将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，在线段向右运动的某一个时间段t内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 【答案】(1)线段的长是4，线段的长是8 (2)10或2； (3)当时，为定值，定值为6 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 即线段的长是4，线段的长是8； （2）解：设直线为数轴， ∵，， ∴，， 设点B表示的数为x，点C表示的数为y, ∵点M，N分别为中点． ∴点M表示的数是，点N表示的数是， 运动后点M表示的数是，点N表示的数是， ∵， ∴ 解得，或 运动后 ∴或 即线段的长为10或2； （3）解：∵，，， ∴，， ∵线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动， ∴运动t秒后，，， 当时，； 当时，； 当时，； 故当时，为定值，定值为6． 【点睛】本题考查非负数的性质，一元一次方程的应用，线段的和差关系，以及数轴上的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论思想． 18．如图，已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），若． （1）求线段，的长； （2）若点，分别为线段，的中点，，求线段的长； （3）当运动到某一时刻时，点与点重合，点是线段的延长线上任意一点，下列两个结论：①是定值，②是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明． 【答案】（1），；（2）9；（3）②正确，，见解析 【分析】 【详解】解：（1）由，， ， 得，， 所以，； （2）当点在点的右侧时，如图， 因为点，分别为线段，的中点，， 所以，， 又因为， 所以， 当点在点的左侧时，如图， 因为点，分别为线段，的中点， 所以，， 所以 所以． 综上，线段的长为9； （3）②正确，且．理由如下： 因为点与点重合，所以， 所以，所以， 所以． 【点睛】本题考查非负数的性质，线段中点，线段和差，线段的比问题，掌握非负数的性质，线段中点，线段和差，线段的比，关键是利用线段和差PA=PC+AC，PB=PC-BC，求出PA+PB=2PC． 19．如图，数轴上有两个点，为原点，，点所表示的数为．    ⑴ ； ⑵求点所表示的数； ⑶动点分别自两点同时出发，均以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点为线段的中点，点为线段的中点，在运动过程中，线段的长度是否为定值？若是，请求出线段的长度；若不是，请说明理由． 【答案】(1) 4；(2)-8;(3)EF长度不变，EF=2，证明见解析 【分析】 【详解】解: (1)∵ OA=16,点B所表示的数为20, ∴OB=20, ∴AB=OB-OA=20-16=4, 故答案为：4 (2)∵AB=4，AC=6AB． ∴AC=24, ∴OC=24- 16=8, ∴点C所表示的数为-8; (3)EF长度不变，EF=2，理由如下： 设运动时间为t， 当 时，点P，Q在点C的右侧，则AP=BQ=2t,    ∵AC=24，BC=28, ∴PC=24-2t， CQ=28- 2t． ∵点E为线段CP的中点，点F为线段CQ的中点, ∴ ∴EF=CF-CE=2: 当t=12时,C、P重合，此时PC=0， CQ=28-24=4．    ∵点F为线段CQ的中点, ∴ ∴ 当12<t<14时，点P，Q在点C的左右，PC=2t-24, CQ=28-2t,    ∵点E为线段CP的中点，点F为线段CQ的中点, ∴ ∴EF=CE+CF=2, 当t=14时,C、Q重合，此时PC=4， CQ=0    ∵点E为线段CP的中点, ∴ ∴ 当t> 14时，点P、Q在点C的左侧，PC=2t-24， CQ=2t-28,    ∴ ∴EF=CE-CF=2． 综上所述，EF长度不变，EF=2． 【点睛】本题考查两点间的距离，数轴，线段中点的定义线段和差，正确的理解题意是解题的关键． 20．【阅读】我们知道，数轴上原点右侧的数是正数，越往右走，数字越大，原点左侧则相反．于是，我们可以假设：若点P从原点出发，沿数轴的正方向以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是；反之，若点P从原点出发，沿数轴的负方向以每秒2个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是． 【探究】已知数轴上两点表示的数分别为，且分别为． (1)如图1，若点P和点Q分别从点同时出发，都沿数轴的负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位长度，点Q的运动速度为每秒6个单位长度，设运动的时间为t秒． ①t秒后，点P表示的数是_______，点Q表示的数是________； ②当两点之间的距离为4时，则t的值为_______． (2)如图2，若点P从点A出发，沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动，到点B时停止运动，分别是线段的中点，则在运动过程中，线段的长度是否为定值？若是，请直接写出线段的长度；若不是，请说明理由． 【答案】(1)①，；②4或2 (2)线段的长度为定值，6 【分析】 【详解】（1）①点P表示的数是，点Q表示的数是， 故答案为：，； ②因为点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵ ∴， 解得：或2； （2）（2）线段的长度为定值，的长度为6． ∵分别为线段的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，线段的中点以及解绝对值方程．用t表示出点所表示的数和两点之间的距离是解题关键． 题型4 动点问题中的运动时间 21．如图，线段，O是线段上的中点，P、Q是线段上的动点，点P沿以的速度运动，点Q沿以的速度运动．若P、Q点同时运动，当时，运动时间为（     ）． A．、或 B．、或 C．、、或 D．、、或 【答案】C 【详解】解：线段，O是线段上的中点， ， 设运动时间为，则， ， ， 点P沿以的速度运动， 分两种情况讨论： ①当点P沿运动时，点P到达点需要时间， 当时，， ， ， ， 或， 解得：或， ②当点P沿运动时，此时，， ， ， ， ， 或， 解得：或， 综上所述，当时，运动时间为、、或． 故选：C． 22．已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动． 设运动时间为秒．    （1）当点到达终点时，点在边 ； （2）当点在边上运动时，用表示的式子为 ； （3）点、相遇时， 秒． 【答案】 7.2 【分析】 【详解】（1）解：由题意知，点从，运动时间为秒， 点从，运动时间为秒， ∵， ∴当点到达终点时，点运动路程为， ∵， ∴点在边上， 故答案为：； （2）解：由题意知，， 故答案为：； （3）解：由题意知，， 解得，， 故答案为：7.2． 【点睛】本题考查了动点，列代数式，一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 23．如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发．当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为．连接，当线段经过点时，的值为 ． 【答案】1或2/2或1 【详解】解：当线段经过点C时，如图： 在和中， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 当点从点出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动， ∴，， ∴， ∴，解得； 当点从点出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动， ∴，，， ∴，解得； 综上：当或时，线段经过点． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定以及动点问题，解题的关键是熟练掌握全等三角三角形全等的判定方法，并且理解动点的运动过程． 24．如图，点B在线段上，且，．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．设点Q的运动时间为． (1)线段、的中点之间的距离为_______． (2)当点P到点C时，求的长． (3)求的长（用含t的代数式表示）． (4)设时，直接写出t的值． 【答案】(1)6 (2)6 (3)当时，；当时，；当时，； (4)或 【分析】 【详解】（1）解：设点的中点为M，的中点为N， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动 ∴当P到点C时，， ∴； （3）解：当点P、Q相遇时，． 当时，； 当时，； 当时，； （4）解：当时，，解得； 当时，，解得． 当时，，（舍）． ∴或． 【点睛】本题考查在动点问题的背景下考查线段的和差运算，线段中点的性质，一元一次方程的应用等知识，关键是理清点的运动状态，找到临界点． 25．如图，已知长方形ABCD的长米，宽米，x，y满足，一动点P从A出发以每秒1米的速度沿着运动，另一动点Q从B出发以每秒2米的速度沿运动，P，Q同时出发，运动时间为t． (1)______________，______________． (2)当时，求的面积； (3)当P，Q都在DC上，且PQ距离为1时，求t的值 【答案】(1)5，4 (2)平方米 (3) 【分析】 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∴x=5，y=4， 故答案为：5，4； （2）解：当t=4.5时，P走过的路程为4.5米，此时点P在CD上，DP=0.5米，Q走过的路程为9米，刚好到达点D处， ∴米， ∴平方米； （3）解：点P在DC上，，点Q在DC上，， ∴， 当P左Q右时，，， ∴， ∴， 解得： 当Q左P右时，，， ∴， ∴， 解得，不符题意，舍去． 综上，满足题意的． 【点睛】本题主要考查了动点问题，涉及绝对值和平方式的非负性，三角形面积的求解，解题的关键是关键题意用时间t表示出线段长度，列式求出t的值． 26．如图，已知数轴上点A表示的数为a，B表示的数为b，且a、b满足．动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）写出数轴上点A表示的数是____________，点B表示的数是______，点P表示的数是____________（用含t的式子表示）； （2）当点P在点B的左侧运动时，M、N分别是PA、PB的中点，求PM－PN的值 （3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动多少秒时P、Q两点相距4个单位长度？ 【答案】（1）10，-6，10-8t；（2）8；（3）t=3或5 【分析】 【详解】解：（1）∵，≥0，≥0， ∴=0，=0，即：a=10，b=-6， ∴A表示的数是10，点B表示的数是-6， ∵动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点P表示的数是：10-8t， 故答案是：10，-6，10-8t； （2）当点P在点B的左侧运动时，PA=8t，PB=8t-16， ∵M、N分别是PA、PB的中点， ∴PM=PA=4t，PN=PB=4t-8， ∴PM－PN=4t-（4t-8）=8； （3）设运动t秒，P所在点表示的数为：10-8t，Q所在点表示的数为：-6-4t， ∴（10-8t）-（-6-4t）=±4，解得：t=3或5． 【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，用代数式表示出两点间的距离公式，是解题的关键． 题型5 动角问题中的定值问题 27．如图，在同一平面内，是绕点按顺时针方向旋转得到的，是的平分线，是的平分线． (1)若，即，则________，________． (2)在的变化过程中，的度数是一个定值吗？若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的度数是一个定值，为． 【分析】 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：，． （2）在的变化过程中，的度数是一个定值． ∵是的平分线， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴， 即的度数是一个定值，为． 【点睛】本题考查了角平分线，解题的关键是寻找各角之间的关系进行运算． 28．点在直线上，在直线的下方作射线、，满足（其中），将射线绕着点逆时针旋转90°得到射线． (1)①如图1，当时，直接写出的度数___________； ②若比大15°，求出的值； (2)如图2，若，射线从开始绕着点以的速度逆时针旋转至结束，设旋转时间为，射线是由射线绕点逆时针旋转得到，作射线平分，当为定值时，求的取值范围及对应的定值． 【答案】(1)①；②或或 (2)当时，是定值，， 【分析】 【详解】（1）解：①∵将射线绕着点逆时针旋转得到射线， ∴， ∵， ∴ ， ∴的度数为， 故答案为：； ②当，如图1， ∵将射线绕着点逆时针旋转得到射线， ∴， ∵，比大， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时，如图： ∵将射线绕着点逆时针旋转得到射线， ∴， ∵，比大， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时，此时，不符合题意； 当时，如图： ∵将射线绕着点逆时针旋转得到射线， ∴， ∵，比大， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，的值为或或； （2）解：∵射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转，射线平分，射线是由射线绕点逆时针旋转得到， ∴，，， 当与重合时，， 则，解得； 当与重合时，， 则，解得； ①当时，如图， 则，， ∴， ∴，不是定值； 当时，如图： 则，， ∴， ∴，是定值， 综上所述，当时，，是定值． 29．如图，直角，锐角，是的平分线，是的平分线． (1)当时， ， ； (2)当的大小发生改变时，的大小是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的大小是定值为 【分析】 【详解】（1）解：，， ， 是的平分线， ， 是的平分线，， ， ， 故答案为：，； （2）的大小是定值， 设，则， 是的平分线，， ， 是的平分线，， ， ， 的大小是定值为． 30．如图，把一副三角尺拼在一起，其中是等腰直角三角形，，并且三点在同一直线上． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若射线分别从位置开始，同时绕点以每秒的速度顺时针旋转，平分平分，设旋转的时间为秒． ①当时，求的度数； ②当时，的度数是否等于一个定值？若是，请求出这个定值；若不是请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②是定值， 【分析】 【详解】（1）解：∵三角形是等腰直角三角形，， ． ． （2）解：①当时，， ∵平分平分， ∴， ∴, ∴； ②的度数是等于一个定值为，理由如下． ，旋转速度相同， 设， 当时，则，． 平分，． 平分，． ． ． 【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，角平分线的定义，准确识图，找准角的和差关系是关键． 31．如图，线段在线段上运动，点、点分别是、的中点． (1)若线段，，求的长． (2)若，，由此可以猜想______（用、表示）． (3)我们发现角的很多规律和线段一样：如图，在的内部，绕点逆时针旋转（初始位置、重合），、分别平分和，若，，在旋转过程中，的大小是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的度数不变，恒为 【分析】 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点、点分别是，的中点， ∴，， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵分别是的中点， ∴，， ， ， 故答案为：； （3）解：的度数不变，恒为 ∵，， ∴， ∵分别平分和， ∴， ， ∴； 综上，的度数不变，恒为． 【点睛】本题考查了线段的和差，线段的中点定义，角的和差，角平分线的定义，正确识图是解题的关键． 32．已知，射线在的内部，．将射线绕点O逆时针旋转形成射线． (1)如图1，若，那么和的度数相等吗？为什么？ (2)作射线，使射线为的平分线．如图2，当射线恰好平分时，求的度数； (3)若射线在的内部，且，若的值为定值，试求出n与这个定值． 【答案】(1)和的度数相等，理由见解析 (2)； (3)，此定值为． 【分析】 【详解】（1）解：和的度数相等，理由如下： ，， ， ，， ，     ， （2）解：如图， 平分， ， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ． 即的度数是； （3）解：设， ， ， ∴， ∵， ， ， ， ∵的值为定值， ∴， ∴，此定值为． 题型6 动角问题中角之间的数量关系 33．（1）如图，是平角，，，分别是的平分线，求的度数． （2）如图，已知是平角，分别是的平分线，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】 【详解】解：（1）∵是平角， ∴． ∵分别是的平分线， ∴， ， ∴． （2） 理由：∵是平角， ∴， ∵分别是的平分线， ∴， ， ∴ ， 即． 34．如图，已知，小明用尺规作出了，其中，点B在上，点C在上． (1)请根据作图痕迹描述小明的作图过程． (2)测量一下线段与的长度，并指出它们具有怎样的数量关系． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）解：以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，以点B为圆心，同样长为半径画弧，交于点，以为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点，过作射线，射线交射线于点C； （2）解：测得，， ． 35．点O是直线上一点，，平分． (1)如图1，若，则_____________，_____________； (2)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2所示的位置，其他条件不变，若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图3所示的位置，其他条件不变，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，15 (2) (3)，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：∵点是直线上的一点，是直角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：，15； （2）解：∵点是直线上的一点，， ， ∵平分， ， ∵是直角， ， ； （3）解：和之间的数量关系为，理由如下： 设， ∵点是直线上的一点， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴， ∴， ∴， 即． 36．如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，当是直角，时，求的度数是多少？ (2)如图2，当，时，尝试发现与的数量关系． (3)如图3，当，时，猜想：与、有数量关系吗？直接写出结论即可． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，与的大小无关 【分析】 【详解】（1）解：是直角，， ， 是的平分线，是的平分线， ， , ； （2）解：，理由如下： ，， ， 是的平分线，是的平分线， ， , , 即； （3）解：，与的大小无关，理由如下： ，， ， 是的平分线，是的平分线， ， , ， 即． 37．以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，且直角三角板在直线的上方． (1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，则的度数为___________； (2)如图2，直角三角板的边在的内部，若恰好平分，求此时的度数： (3)在图2中，请直接写出与之间的数量关系：___________ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵恰好平分， ∴； （3）解：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 38．已知是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图①，若，求的度数； (2)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，猜想与之间存在什么样的数量关系，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴， ∴； ∵， ∴． $专题02 动点与动角问题 题型1 动点问题中求线段长度 题型4 动点问题中的运动时间（重） 题型2 动点问题中求线段之间的数量关系（难） 题型5 动角问题中的定值问题 题型3 动点问题中的定值问题 题型6 动角问题中角之间的数量关系（难） 2 / 24 学科 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 动点问题中求线段长度 1．如图，线段的长为，点为上一动点（不与，重合），为中点，为中点，随着点的运动，线段的长度（   ） A．随之变化 B．不改变，且为 C．不改变，且为 D．不改变，且为 2．如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置.开关绕点O顺时针旋转180°后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4.已知，，则 mm. 3．已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）． 4．如图直线l上有AB两点，，点O是线段AB上的一点，，若点C是射线AB上一点，且满足，则OC＝ cm． 5．如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． (1)当时，，请求出的长； (2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． 6．线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点． (1)如图1，当AC＝4时，求DE的长． (2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长． 7．如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． (1)当时，若，的长为______； (2)当时，若，试说明点为的中点； (3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 题型2 动点问题中求线段之间的数量关系 8．如图，是线段上的点，，两点分别从同时出发，以个单位长度/秒，个单位长度/秒的速度沿直线向左运动，当点和点分别在线段上时，求的值． 9．如图，点C在线段上，，点D，E在直线上，点D在点E的左侧． (1)若，且D为的中点，求的长． (2)若D为的中点，E为的中点，求的值． (3)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 10．如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 11．如图1，已知线段，点M是线段上一点，点C在线段上，点D在线段上，C、D两点分别从M、B出发以的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示，其中a、b满足条件：． (1)直接写出：____________，_____________； (2)若，当点C、D运动了，求的值； (3)如图2，若，点N是直线上一点，且，求与的数量关系． 12．如图，数轴上点A在原点左侧，点B在原点右侧，且，动点P､Q分别从A､B两点同时出发，都向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）若点A表示的数为，则点B表示的数为________，线段中点表示的数为___________； （2）在（1）的条件下，若，求t的值； （3）当点P在线段上运动时，若，请探究线段与线段之间的数量关系，并说明理由． 13．如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒． (1)若点P在线段AB上的运动，当时， ； (2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值； (3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 题型3 动点问题中的定值问题 14．如图，线段 ，动点从出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动，为的中点．设点的运动时间为秒． (1) 秒后，． (2)当在线段上运动时，试说明为定值． (3)当在线段的延长线上运动时，为的中点，求的长度． 15．如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 16．已知有理数a，b，c在数轴上对应的点从左到右顺次为A，B，C，其中b是最小的正整数，a在最大的负整数左侧1个单位长度，BC=2AB． （1）填空：a=　　，b=　　，c=　　 （2）点D从点A开始，点E从点B开始， 点F从点C开始，分别以每秒1个单位长度、1个单位长度、4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，点F追上点D时停止动，设运动时间为t秒．试问： ①当三点开始运动以后，t为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的中点？ ②F在追上E点前，是否存在常数k，使得的值与它们的运动时间无关，为定值．若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 17．如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：，且m，n满足，点M，N分别为中点．    (1)求线段的长； (2)线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，，求此时线段的长； (3)若，将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，在线段向右运动的某一个时间段t内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 18．如图，已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），若． （1）求线段，的长； （2）若点，分别为线段，的中点，，求线段的长； （3）当运动到某一时刻时，点与点重合，点是线段的延长线上任意一点，下列两个结论：①是定值，②是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明． 19．如图，数轴上有两个点，为原点，，点所表示的数为．    ⑴ ； ⑵求点所表示的数； ⑶动点分别自两点同时出发，均以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点为线段的中点，点为线段的中点，在运动过程中，线段的长度是否为定值？若是，请求出线段的长度；若不是，请说明理由． 20．【阅读】我们知道，数轴上原点右侧的数是正数，越往右走，数字越大，原点左侧则相反．于是，我们可以假设：若点P从原点出发，沿数轴的正方向以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是；反之，若点P从原点出发，沿数轴的负方向以每秒2个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是． 【探究】已知数轴上两点表示的数分别为，且分别为． (1)如图1，若点P和点Q分别从点同时出发，都沿数轴的负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位长度，点Q的运动速度为每秒6个单位长度，设运动的时间为t秒． ①t秒后，点P表示的数是_______，点Q表示的数是________； ②当两点之间的距离为4时，则t的值为_______． (2)如图2，若点P从点A出发，沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动，到点B时停止运动，分别是线段的中点，则在运动过程中，线段的长度是否为定值？若是，请直接写出线段的长度；若不是，请说明理由． 题型4 动点问题中的运动时间 21．如图，线段，O是线段上的中点，P、Q是线段上的动点，点P沿以的速度运动，点Q沿以的速度运动．若P、Q点同时运动，当时，运动时间为（     ）． A．、或 B．、或 C．、、或 D．、、或 22．已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动． 设运动时间为秒．    （1）当点到达终点时，点在边 ； （2）当点在边上运动时，用表示的式子为 ； （3）点、相遇时， 秒． 23．如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发．当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为．连接，当线段经过点时，的值为 ． 24．如图，点B在线段上，且，．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．设点Q的运动时间为． (1)线段、的中点之间的距离为_______． (2)当点P到点C时，求的长． (3)求的长（用含t的代数式表示）． (4)设时，直接写出t的值． 25．如图，已知长方形ABCD的长米，宽米，x，y满足，一动点P从A出发以每秒1米的速度沿着运动，另一动点Q从B出发以每秒2米的速度沿运动，P，Q同时出发，运动时间为t． (1)______________，______________． (2)当时，求的面积； (3)当P，Q都在DC上，且PQ距离为1时，求t的值 26．如图，已知数轴上点A表示的数为a，B表示的数为b，且a、b满足．动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）写出数轴上点A表示的数是____________，点B表示的数是______，点P表示的数是____________（用含t的式子表示）； （2）当点P在点B的左侧运动时，M、N分别是PA、PB的中点，求PM－PN的值 （3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动多少秒时P、Q两点相距4个单位长度？ 题型5 动角问题中的定值问题 27．如图，在同一平面内，是绕点按顺时针方向旋转得到的，是的平分线，是的平分线． (1)若，即，则________，________． (2)在的变化过程中，的度数是一个定值吗？若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由． 28．点在直线上，在直线的下方作射线、，满足（其中），将射线绕着点逆时针旋转90°得到射线． (1)①如图1，当时，直接写出的度数___________； ②若比大15°，求出的值； (2)如图2，若，射线从开始绕着点以的速度逆时针旋转至结束，设旋转时间为，射线是由射线绕点逆时针旋转得到，作射线平分，当为定值时，求的取值范围及对应的定值． 29．如图，直角，锐角，是的平分线，是的平分线． (1)当时， ， ； (2)当的大小发生改变时，的大小是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 30．如图，把一副三角尺拼在一起，其中是等腰直角三角形，，并且三点在同一直线上． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若射线分别从位置开始，同时绕点以每秒的速度顺时针旋转，平分平分，设旋转的时间为秒． ①当时，求的度数； ②当时，的度数是否等于一个定值？若是，请求出这个定值；若不是请说明理由． 31．如图，线段在线段上运动，点、点分别是、的中点． (1)若线段，，求的长． (2)若，，由此可以猜想______（用、表示）． (3)我们发现角的很多规律和线段一样：如图，在的内部，绕点逆时针旋转（初始位置、重合），、分别平分和，若，，在旋转过程中，的大小是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由． 32．已知，射线在的内部，．将射线绕点O逆时针旋转形成射线． (1)如图1，若，那么和的度数相等吗？为什么？ (2)作射线，使射线为的平分线．如图2，当射线恰好平分时，求的度数； (3)若射线在的内部，且，若的值为定值，试求出n与这个定值． 题型6 动角问题中角之间的数量关系 33．（1）如图，是平角，，，分别是的平分线，求的度数． （2）如图，已知是平角，分别是的平分线，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 34．如图，已知，小明用尺规作出了，其中，点B在上，点C在上． (1)请根据作图痕迹描述小明的作图过程． (2)测量一下线段与的长度，并指出它们具有怎样的数量关系． 35．点O是直线上一点，，平分． (1)如图1，若，则_____________，_____________； (2)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2所示的位置，其他条件不变，若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图3所示的位置，其他条件不变，请直接写出与之间的数量关系． 36．如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，当是直角，时，求的度数是多少？ (2)如图2，当，时，尝试发现与的数量关系． (3)如图3，当，时，猜想：与、有数量关系吗？直接写出结论即可． 37．以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，且直角三角板在直线的上方． (1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，则的度数为___________； (2)如图2，直角三角板的边在的内部，若恰好平分，求此时的度数： (3)在图2中，请直接写出与之间的数量关系：___________ 38．已知是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图①，若，求的度数； (2)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，猜想与之间存在什么样的数量关系，写出你的结论，并说明理由． $