专题02 一元一次方程（期末复习讲义，知识必备+9大重难题型+过关验收）六年级数学下学期新教材鲁教版五四制

专题02 一元一次方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 一元一次方程的概念 能准确判断一个方程是否为一元一次方程，熟练掌握其标准式 基础必考点，常以选择题、填空题形式出现；易错点是忽略“未知数系数不为0”的条件 等式的性质 能运用等式的两条性质进行等式变形 高频基础考点，多结合解方程步骤考查；易错点是等式两边除以不为0的数这一条件遗漏，常出现除以0的错误。 正方体的展开与折叠 辨识正方体展开图，准确判断相对面 高频考点，常以小题形式出现 解一元一次方程 能按“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤规范求解 期末必考重点，小题、大题均有涉及；易错点包括去分母漏乘常数项、移项不变号、去括号符号出错 一元一次方程的实际应用 能按“审、设、列、解、验、答” 步骤，解决行程、工程、打折销售等常见实际问题 高分值考点，多以解答题形式呈现；易错点是找不准等量关系、单位不统一 知识点01 一元一次方程 1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程； 标准式：（是未知数，是已知数，且）； 方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值 示例：是一元一次方程 、不是一元一次方程 知识点02 等式的性质 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； 如果，那么; 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等； 如果，那么;如果，那么； 知识点03 解一元一次方程的步骤： 1.去分母：两边同乘最简公分母 2.去括号： （1）先去小括号，再去中括号，最后去大括号；（2）乘法分配律应满足分配到每一项 注意：特别是去掉括号，符合变化 3.移项： （1）定义：把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意：①移项要变符号；②一般把含有未知数的项移到左边，其余项移到右边． 4.合并同类项： （1）定义：把方程中的同类项分别合并，化成“”的形式（）； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5.系数化为1： （1）定义：方程两边同除以未知数的系数，得；（2）注意：分子、分母不能颠倒 示例：解方程的步骤： 解：去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 知识点04 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答． 由此可得解决此类问题的一般步骤为： ①“审”：指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系． ②“设”：就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数． ③“列”：就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一． ④“解”：就是解方程，求出未知数的值． ⑤“检验”：就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可． ⑥“答”：就是写出答案，注意单位要写清楚． 题型一 一元一次方程的定义 解｜题｜技｜巧 核心是紧扣“整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为1”且“标准式ax+b=0中a≠0”的核心条件，解题时先判断方程是否为整式方程，再排查未知数个数（仅1个）和最高次数（必为1），最后验证未知数系数是否不为0 例1．下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 例2．若关于的方程是一元一次方程，则 ． 变式1-1．下列说法正确的是（    ） A．是一元一次方程 B．是代数式 C．是方程的解 D．8是一次式 变式1-2．下列选项中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 变式1-3．若方程是关于x的一元一次方程，则m的值为 ． 题型二 已知方程的解求字母或代数式的值 解｜题｜技｜巧 先将已知解代入原方程，把方程转化为关于所求字母的新一元一次方程，再按 “去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤求解字母值；若求代数式的值，需在求出字母值后，代入代数式计算结果。 例3．若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 例4．方程与方程的解相同，求k的值． 变式2-1．若是方程的解，则m的值为 ． 变式2-2．已知是方程的解，则a = 变式2-3．已知x与关于x的代数式的值对应如下图： 则m的值为 ． 题型三 等式的基本性质 例5．下列各式进行的变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例6．由等式得到等式，应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 变式3-1．下列等式的变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 变式3-2．运用等式性质进行的变形，错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 变式3-3．阅读材料，回答下列问题： 问题：怎样将循环小数表示成分数？ 设① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦． (1)根据材料，判断_______有理数；（填“是”或“不是”） (2)从步骤①到步骤②，变形的依据是______；从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是______ 题型四 解一元一次方程 例7．若代数式的值如下表所示，则关于x的一元一次方程的解在数轴上表示的对应点是（   ） x … 0 2 … … 1 … A．A B．B C．C D．D 例8．解方程： (1) (2) 变式4-1．解方程： (1)． (2)． 变式4-2．解方程 (1) (2) 变式4-3．本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小菲同学的解题过程： 解方程：． 解：原方程可化为：．…第①步 方程两边同时乘以15，去分母，得：．…第②步 去括号，得：．…第③步 移项，得：．…第④步 合并同类项，得：．…第⑤步 系数化为1，得：．…第⑥步 所以为原方程的解． 上述小菲的解题过程中 (1)第①步的依据是________，第②步的依据是________； (2)第________（填序号）步开始出现错误，请从错误的一步开始，写出解方程的正确过程． 题型五 解一元一次方程错解复原 解｜题｜技｜巧 先对照解一元一次方程的标准步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），逐步排查错题中的错误环节（常见错因：去分母漏乘常数项、去括号符号出错、移项不变号、系数化为1时颠倒分子分母），再根据错误步骤反推或修正操作，还原正确解题过程，最终求出方程的正确解 例9．学习情境·错解问题  佳佳同学在解关于的方程时，去分母过程中忘记给右边的乘以6，最终解得方程为，则的值为（   ） A． B． C．7 D．19 例10．小明是七年级（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 变式5-1．小林在解方程去分母时，方程右边的忘记乘8，因而得到方程的错解．你能由此判断出的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 变式5-2．小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为．请根据上述信息求方程正确的解． 变式5-3．学习情境·错解问题 小明在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，请你帮助小明求出的值，并正确解出原方程． 题型六 已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数 例11．已知关于x的方程的解是整数，则满足条件的所有整数m的和为 ． 例12．已知关于x的方程的解为整数，则满足条件的整数k的所有值的和为 变式6-1．关于的方程的解为正整数，则的值为 ．（为整数）. 变式6-2．已知关于x的方程的解是整数．且k是正整数，则满足条件的所有k值的和为 ． 变式6-3．关于x的一元一次方程有正整数解，则 （1）此方程的解为 （用含a的代数式表示）； （2）整数a的值为 ． 题型七 已知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解 例13．关于的方程与的解互为相反数，求的值． 例14．已知是一个固定的数，当为何值时，关于的方程的解是的解的3倍？ 变式7-1．王老师在如下所示的木板上写了两个关于x的方程，并解出方程①的解比方程②的解小4，则a的值为（   ） ①； ②． A． B． C．2 D． 变式7-2．已知方程①的解与方程②的解互为相反数，求： (1)的值； (2)代数式的值． 变式7-3．已知方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值． 题型八 一元一次方程的应用 例15．已知、、三点在同一直线上，某人乘船由地顺流而下到地，然后又逆流而上到地，共乘船3小时，已知船在静水中的速度是7千米/小时，水流速度是1千米/小时，若、两地距离为2千米，则、两地之间的距离是 千米． 例16．大象的体重是，比犀的体重牛重．老虎的体重是犀牛的，老虎的体重是多少吨？ 变式8-1．某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过100元但不超过300元，一律9折；（3）一次性购物超过300元，一律8折．一人两次购物分别付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，那么应付款 元． 变式8-2．鞋店将两双进价不同的鞋都以300元的价格卖出．结果第一双鞋赚了，第二双鞋亏了，鞋店是亏了还是赚了？亏了（或赚了）多少元？ 变式8-3．学校食堂运进一批大米，第一周吃了总数的，第二周吃了总数的，两周一共吃了110千克，这批大米一共有多少千克？ 题型九 新定义问题 例17． “”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定如：． (1)的值为________； (2)若，求a的值； (3)若，（其中x为有理数），试比较m，n的大小． 例18．定义一种新运算． (1)试求的值； (2)若，求x的值． 变式9-1．定义一种新运算“&”：当时，；当时，；当时，．例如：．已知，则x的值为（    ） A．或 B．或2 C．或2 D．或或2 变式9-2．在有理数范围内定义一种新运算，规定（为常数），若． (1)求； (2)设，试比较M，N的大小； (3)无论取何值，都成立，求此时的值． 变式9-3．定义一种新运算“”，对任意两数x，y，当时，；当时，． (1)当时， 求的值； (2)当 时，求的值； (3)当时， 求y的值． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．小刘在某月的日历上圈出相邻的三个日期，并求出它们的和是21，则三个日期在日历中的排布不可能的是（   ） A． B． C． D． 3．若关于的一元一次方程与的解互为相反数，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．关于x的方程变形正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列等式变形错误的是（   ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题 6．足球比赛的规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场是0分．某队踢了17场比赛，负了5场，共得28分，那么这个队胜了 场． 7．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形和1个正方形，第②个图案有7个三角形和2个正方形，第③个图案有10个三角形和3个正方形，……．依此规律，如果第n个图案中正三角形和正方形的个数共有2025个，则 ． 8．当x取不同值时对应的多项式的值如下表所示，则关于x的方程的解是 ． x 0 1 2 3 14 10 6 2 9．已知关于的方程的解是整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 三、解答题 10．解方程 (1) (2) (3) 11．今年年初，新民大街历史文化街区保护提升活化利用工程启动，新民大街历史文化街区全长1445米，施工团队在修建了80天后，为加快建设脚步，抢抓工期，施工团队决定提升修建速度，每天修建长度是原来的1.5倍，共用140天完成全部任务，求原来每天施工长度． 12．定义新运算：对于任意有理数a、b，都满足（等号右边为常规的加、减、乘法运算）．例如：． (1)求的值； (2)若，求有理数x的值． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．有1．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．“三阶积幻方”是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵，其中每一横行，每一竖列，每条斜对角线上的三个数字之积均相等的幻方，如图为“三阶积幻方”，m，n为有理数，则的值是 ． 2．按下列流程图计算： 若输入，输出的结果为341；若输入，输出的结果为149．若输出结果为101，则输入正整数的值为 ． 3．若关于x的方程有无数个解，则的值为 ． 4．小军在解关于的方程去分母时，方程左边的没有乘，因而求得方程的解为，则这个方程的正确解为 ． 5．已知关于的方程，请回答下列问题． (1)k的值不可能是_______； (2)若该方程与方程的解相等，求k的值． 6．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为，开水的温度为，流速为． 物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，即温水的体积×温水升高的温度=开水的体积×开水降低的温度 (1)用空杯先接温水，再接开水，接完后杯中共有水______，水温为_______℃； (2)某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元一次方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 一元一次方程的概念 能准确判断一个方程是否为一元一次方程，熟练掌握其标准式 基础必考点，常以选择题、填空题形式出现；易错点是忽略“未知数系数不为0”的条件 等式的性质 能运用等式的两条性质进行等式变形 高频基础考点，多结合解方程步骤考查；易错点是等式两边除以不为0的数这一条件遗漏，常出现除以0的错误。 正方体的展开与折叠 辨识正方体展开图，准确判断相对面 高频考点，常以小题形式出现 解一元一次方程 能按“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤规范求解 期末必考重点，小题、大题均有涉及；易错点包括去分母漏乘常数项、移项不变号、去括号符号出错 一元一次方程的实际应用 能按“审、设、列、解、验、答” 步骤，解决行程、工程、打折销售等常见实际问题 高分值考点，多以解答题形式呈现；易错点是找不准等量关系、单位不统一 知识点01 一元一次方程 1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程； 标准式：（是未知数，是已知数，且）； 方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值 示例：是一元一次方程 、不是一元一次方程 知识点02 等式的性质 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； 如果，那么; 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等； 如果，那么;如果，那么； 知识点03 解一元一次方程的步骤： 1.去分母：两边同乘最简公分母 2.去括号： （1）先去小括号，再去中括号，最后去大括号；（2）乘法分配律应满足分配到每一项 注意：特别是去掉括号，符合变化 3.移项： （1）定义：把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意：①移项要变符号；②一般把含有未知数的项移到左边，其余项移到右边． 4.合并同类项： （1）定义：把方程中的同类项分别合并，化成“”的形式（）； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5.系数化为1： （1）定义：方程两边同除以未知数的系数，得；（2）注意：分子、分母不能颠倒 示例：解方程的步骤： 解：去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 知识点04 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答． 由此可得解决此类问题的一般步骤为： ①“审”：指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系． ②“设”：就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数． ③“列”：就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一． ④“解”：就是解方程，求出未知数的值． ⑤“检验”：就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可． ⑥“答”：就是写出答案，注意单位要写清楚． 题型一 一元一次方程的定义 解｜题｜技｜巧 核心是紧扣“整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为1”且“标准式ax+b=0中a≠0”的核心条件，解题时先判断方程是否为整式方程，再排查未知数个数（仅1个）和最高次数（必为1），最后验证未知数系数是否不为0 例1．下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】∵ 一元一次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为1；③整式方程． 选项A：，未知数次数为2，不符合②． 选项B：，只含未知数，次数为1，且为整式，符合定义． 选项C：，含两个未知数，不符合①． 选项D：，分母含未知数，不是整式方程，不符合③． ∴ 是一元一次方程的只有B． 故选B． 例2．若关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴二次项系数， 解得， 当时，一次项系数，满足条件． 故答案为：． 变式1-1．下列说法正确的是（    ） A．是一元一次方程 B．是代数式 C．是方程的解 D．8是一次式 【答案】C 【详解】解：A、方程不是一元一次方程，故该选项不符合题意； B、含有等号，是方程，不是代数式，故该选项不符合题意； C、当时，等式左边，等式右边，∵左边=右边，故是方程的解，故该选项符合题意； D、8是常数，没有未知数，则8不是一次式，故该选项不符合题意； 故选：C 变式1-2．下列选项中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：∵ 一元一次方程需满足：①是方程（有等号）；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为； A. 不是方程，无等号； B. 含有两个未知数，不是一元； C. 只含未知数，且最高次数为，是一元一次方程； D. 未知数最高次数为，不是一次． 故答案选：C． 变式1-3．若方程是关于x的一元一次方程，则m的值为 ． 【答案】0 【详解】解：方程是关于x的一元一次方程， 且， 解得． 故答案为：． 题型二 已知方程的解求字母或代数式的值 解｜题｜技｜巧 先将已知解代入原方程，把方程转化为关于所求字母的新一元一次方程，再按 “去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤求解字母值；若求代数式的值，需在求出字母值后，代入代数式计算结果。 例3．若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴， 即代数式的值是． 故选：C． 例4．方程与方程的解相同，求k的值． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式2-1．若是方程的解，则m的值为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：将代入方程， 得， 即， 移项得， 即， 解得． 故答案为：． 变式2-2．已知是方程的解，则a = 【答案】1 【详解】解：将 代入方程 ， 得， 解得：． 故答案为：1． 变式2-3．已知x与关于x的代数式的值对应如下图： 则m的值为 ． 【答案】7 【详解】当时，，代入可得，即， 当时，，代入可得，由得， 当时，， 故答案为：7． 题型三 等式的基本性质 例5．下列各式进行的变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】 【详解】解：∵等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立， ∴选项A（加2）和B（减5）正确； ∵从，两边同时除以6，得，即， ∴选项C正确； ∵从，两边同时乘以3，得， ∴选项D不正确． 故选：D． 例6．由等式得到等式，应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵由等式可得到等式， ， 解得. 故选：B ． 变式3-1．下列等式的变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【详解】解：、如果，那么，原选项错误，不符合题意； 、如果，那么，原选项错误，不符合题意； 、如果，那么，原选项正确，符合题意； 、如果，当时，那么，原选项错误，不符合题意； 故选：． 变式3-2．运用等式性质进行的变形，错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【详解】解：∵等式性质要求两边进行相同操作，选项B中表示左边加c、右边减c，操作不一致，错误； 选项A、C、D均符合等式性质（乘法、除法及逆运算），正确， 故选B． 变式3-3．阅读材料，回答下列问题： 问题：怎样将循环小数表示成分数？ 设① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦． (1)根据材料，判断_______有理数；（填“是”或“不是”） (2)从步骤①到步骤②，变形的依据是______；从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是______ 【答案】(1)是 (2)等式的性质；合并同类型和等式的性质 【分析】 【详解】（1）解： ， 是有理数； 故答案为：是； （2）解：从步骤①到步骤②，变形的依据是等式的基本性质； 从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是合并同类项和等式的基本性质． 故答案为：等式的基本性质；合并同类项和等式的基本性质． 题型四 解一元一次方程 例7．若代数式的值如下表所示，则关于x的一元一次方程的解在数轴上表示的对应点是（   ） x … 0 2 … … 1 … A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【详解】解：根据表格得：当时，， ∴， ∴原方程为， 解得：， ∴方程的解在数轴上表示的对应点是C． 故选：C 例8．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解： 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）解： 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 变式4-1．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 变式4-2．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 变式4-3．本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小菲同学的解题过程： 解方程：． 解：原方程可化为：．…第①步 方程两边同时乘以15，去分母，得：．…第②步 去括号，得：．…第③步 移项，得：．…第④步 合并同类项，得：．…第⑤步 系数化为1，得：．…第⑥步 所以为原方程的解． 上述小菲的解题过程中 (1)第①步的依据是________，第②步的依据是________； (2)第________（填序号）步开始出现错误，请从错误的一步开始，写出解方程的正确过程． 【答案】(1)分数的基本性质；等式的基本性质2 (2)③，见解析 【分析】 【详解】（1）解：第①步的依据是分数的基本性质，第②步的依据是：等式基本性质2； 故答案为：分数的基本性质；等式基本性质2； （2）解：从第③步开始，正确过程为： 去括号，得：； 移项，得：； 合并同类项，得：； 系数化为1，得：． 题型五 解一元一次方程错解复原 解｜题｜技｜巧 先对照解一元一次方程的标准步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），逐步排查错题中的错误环节（常见错因：去分母漏乘常数项、去括号符号出错、移项不变号、系数化为1时颠倒分子分母），再根据错误步骤反推或修正操作，还原正确解题过程，最终求出方程的正确解 例9．学习情境·错解问题  佳佳同学在解关于的方程时，去分母过程中忘记给右边的乘以6，最终解得方程为，则的值为（   ） A． B． C．7 D．19 【答案】D 【详解】解：去分母过程中忘记给右边的乘以6得到： ，则是该方程的解， ∴将代入中得， 故选：D． 例10．小明是七年级（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【答案】， 【详解】解：∵方程右边的忘记乘6，求出的解为， ∴， 解得， 则原方程为：， 去分母，得， 移项、合并同类项，得． 【点睛】本题考查了一元一次方程错解问题以及解一元一次方程，根据错误的解法得到a的值是解题的关键． 变式5-1．小林在解方程去分母时，方程右边的忘记乘8，因而得到方程的错解．你能由此判断出的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【答案】能，，方程正确的解为 【详解】解：由题意得，小林得到的方程为， 代入得，， 解得：， 原方程为：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， ∴方程正确的解为． 变式5-2．小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为．请根据上述信息求方程正确的解． 【答案】 【详解】解：小玲的解方程过程如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 小玲解得， ，， 将代入得： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 变式5-3．学习情境·错解问题 小明在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，请你帮助小明求出的值，并正确解出原方程． 【答案】 【详解】解：由题意得：方程的为， 将代入方程得：， 解得： ∴原方程为， 去分母：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 化系数为： 题型六 已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数 例11．已知关于x的方程的解是整数，则满足条件的所有整数m的和为 ． 【答案】0 【分析】 【详解】解：， 两边同乘6得： ， 即， 整理得：， 移项得：， 解得：， ∵为整数， ∴是5的因数，即， 当时，； 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； ∴满足条件的整数为1和， ∴满足条件的所有整数m的和为． 故答案为：． 例12．已知关于x的方程的解为整数，则满足条件的整数k的所有值的和为 【答案】4 【详解】解：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 化系数为1得：， 由于为整数，且为整数，因此， 解得：， 这些整数的和为：． 故答案为：4． 变式6-1．关于的方程的解为正整数，则的值为 ．（为整数）. 【答案】4或8 【详解】解： 则． ∵方程的解为正整数， ∴是的正因数． 的正因数有和． 当时，，此时，是正整数． 当时，，此时，是正整数． 故的值为或 ， 故答案为：或． 变式6-2．已知关于x的方程的解是整数．且k是正整数，则满足条件的所有k值的和为 ． 【答案】 【详解】解： 解得：， 方程的解为整数，且k是正整数， ∴是6的正约数， 当时，（正整数，符合） 当时，（不是正整数，舍去） 当时，（正整数，符合） 当时，（不是正整数，舍去） 所有值的和为 故答案为： 变式6-3．关于x的一元一次方程有正整数解，则 （1）此方程的解为 （用含a的代数式表示）； （2）整数a的值为 ． 【答案】 1或 【分析】 【详解】解：（1）解方程， 展开得：， 移项得：， 合并得：， 解得：（其中）， 故答案为：； （2）由为正整数，且为整数，得 设，则，且为整数，， 由于，故，且为整数， 因此为5的正因数，即或， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，；当时，，均为正整数， 故整数的值为或． 故答案为：或． 题型七 已知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解 例13．关于的方程与的解互为相反数，求的值． 【答案】 【详解】解： ， ， ， ， ∵解互为相反数， ∴ ， ， ． 例14．已知是一个固定的数，当为何值时，关于的方程的解是的解的3倍？ 【答案】 【详解】解：解方程得，， 解方程得，， 关于的方程的解是的解的3倍， 则， 解得：． 变式7-1．王老师在如下所示的木板上写了两个关于x的方程，并解出方程①的解比方程②的解小4，则a的值为（   ） ①； ②． A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：对于方程①：， ∵ 当 时，两边同乘6得 ，即，矛盾， ∴ ，即， 对于方程②： 移项得： ∴ 由题意，方程①的解比方程②的解小4，即， ， ， 解得， 因此，的值为2； 故选：C． 变式7-2．已知方程①的解与方程②的解互为相反数，求： (1)的值； (2)代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：方程的解为， 方程的解为， ∵方程①的解与方程②的解互为相反数， ∴， 解得． （2）解：由（1）已得：， 则 ． 变式7-3．已知方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值． 【答案】 【分析】 【详解】解：解方程得：． 因为方程的解与关于x的方程的解互为倒数， 所以关于x的方程的解是， 把代入方程得：，解得：． 题型八 一元一次方程的应用 例15．已知、、三点在同一直线上，某人乘船由地顺流而下到地，然后又逆流而上到地，共乘船3小时，已知船在静水中的速度是7千米/小时，水流速度是1千米/小时，若、两地距离为2千米，则、两地之间的距离是 千米． 【答案】或 【详解】解：由题意可得，船顺流速度为千米/小时，逆流速度为千米/小时， 设 、两地之间的距离为千米， 情况一：当在线段上时， 有， 两边同乘得：， 即， ， 解得； 情况二：当在线段的反向延长线上时， 有， 两边同乘得：， 即， ， 解得； 综上可知，、两地之间的距离为或千米， 故答案为：或． 例16．大象的体重是，比犀的体重牛重．老虎的体重是犀牛的，老虎的体重是多少吨？ 【答案】吨 【详解】解：设犀牛的体重是吨， ∵大象的体重是，比犀牛的体重重． ∴， 解得， ∵老虎的体重是犀牛的， ∴（吨）， ∴老虎的体重是吨． 变式8-1．某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过100元但不超过300元，一律9折；（3）一次性购物超过300元，一律8折．一人两次购物分别付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，那么应付款 元． 【答案】288元或316元 【详解】解：设第二次购物实际消费金额为元， ∵（元），（元），（元），且，， ∴第一次购物实际消费金额与付款金额相同，即为80元；或， ①当时， 则，解得，符合题设， ∴， ∴如果他将这两次所购商品一次性购买，那么应付款（元）； ②当时， 则，解得，符合题设， ∴， ∴如果他将这两次所购商品一次性购买，那么应付款（元）； 综上，应付款288元或316元， 故答案为：288元或316元． 变式8-2．鞋店将两双进价不同的鞋都以300元的价格卖出．结果第一双鞋赚了，第二双鞋亏了，鞋店是亏了还是赚了？亏了（或赚了）多少元？ 【答案】该鞋店亏了，亏了25元 【分析】 【详解】解：设第一双进价为元，第二双进价为元，根据题意得， ，， 解得， ， ∴该鞋店亏了，亏了25元． 变式8-3．学校食堂运进一批大米，第一周吃了总数的，第二周吃了总数的，两周一共吃了110千克，这批大米一共有多少千克？ 【答案】这批大米一共有200千克 【详解】解：设这批大米一共有x千克， 第一周吃了千克，第二周吃了千克， ∵第一周吃了总数的，第二周吃了总数的，两周一共吃了110千克， ∴， 解得， 答：这批大米一共有200千克． 题型九 新定义问题 例17． “”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定如：． (1)的值为________； (2)若，求a的值； (3)若，（其中x为有理数），试比较m，n的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 例18．定义一种新运算． (1)试求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】 【详解】（1）解：原式； （2）解：原方程可转化为， 整理，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 变式9-1．定义一种新运算“&”：当时，；当时，；当时，．例如：．已知，则x的值为（    ） A．或 B．或2 C．或2 D．或或2 【答案】C 【详解】解：当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）； 综上，或， 故选：C． 变式9-2．在有理数范围内定义一种新运算，规定（为常数），若． (1)求； (2)设，试比较M，N的大小； (3)无论取何值，都成立，求此时的值． 【答案】(1)12 (2) (3)此时的值为 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴ 解得， 当时， ； （2）解：由题意得， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意得 ， ∵无论取何值，都成立， ∴ ， ∴ 解得， ∴ 解得． 变式9-3．定义一种新运算“”，对任意两数x，y，当时，；当时，． (1)当时， 求的值； (2)当 时，求的值； (3)当时， 求y的值． 【答案】(1)3 (2) (3)或或3 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴； （3）解：∵， 当， 即时，， ∴或， ∴或，   当， 即时，， ∴或， ∴ (舍去) 或，   ∴y的值为或或3． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】解：、若，则，原选项正确，不符合题意； 、若，则，原选项正确，不符合题意； 、若，当时，则，原选项错误，符合题意； 、若，则，原选项正确，不符合题意； 故选：． 2．小刘在某月的日历上圈出相邻的三个日期，并求出它们的和是21，则三个日期在日历中的排布不可能的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、设最小的数是，则，，故本选项不符合题意； B、设最小的数是，则，，故本选项不符合题意； C、设最小的数是，则，，故本选项不符合题意； D、设最小的数是，则，，本选项符合题意． 故选：D 3．若关于的一元一次方程与的解互为相反数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 解得， 两方程的解互为相反数， 方程的解为， 代入得， 解得， 故选：A． 4．关于x的方程变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：∵ ， ∴ 移项得 ， 即 ，与选项D一致； 选项A错误，因移项后应为减和7均未变号； 选项B错误，因移项后系数和常数符号均不正确； 选项C错误，因直接求解结果不正确且非变形过程， 故选：D． 5．下列等式变形错误的是（   ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：A若，两边加1得，正确． B若，两边加3得，则，正确． C若，移项得，正确， D 若，两边乘以2得，但选项中为，错误． 故选D 二、填空题 6．足球比赛的规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场是0分．某队踢了17场比赛，负了5场，共得28分，那么这个队胜了 场． 【答案】8 【详解】解：设这个队胜了x场，则平了场，即场， 根据题意， 解得：； 故这个队胜了8场； 故答案为8． 7．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形和1个正方形，第②个图案有7个三角形和2个正方形，第③个图案有10个三角形和3个正方形，……．依此规律，如果第n个图案中正三角形和正方形的个数共有2025个，则 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：因为第①个图案有4个三角形和1个正方形， 第②个图案有7个三角形和2个正方形， 第③个图案有10个三角形和3个正方形， … 依此类推可得：第n个图案中正三角形和正方形的个数之和：， 由第n个图案中正三角形和正方形的个数共有2025个， ∴，解得：． 故答案为：． 8．当x取不同值时对应的多项式的值如下表所示，则关于x的方程的解是 ． x 0 1 2 3 14 10 6 2 【答案】 【分析】 【详解】解：根据表格可知当时，，即， 方程的解是． 故答案为：． 9．已知关于的方程的解是整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】0 【分析】 【详解】解方程 ． 去分母，两边同乘 6得， 展开 整理 移项 解得 由于为整数，故是5的约数，即或． 当 时，； 当 时，（非整数，舍去）； 当 时，（非整数，舍去）； 当 时，． 因此满足条件的整数 为 1 和，它们的和为 ． 故答案为0． 三、解答题 10．解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：系数化为1得：， 化简得：． （2）解：移项得：， 系数化为1得：， 化简得：． （3）解：， ， ， 系数化为1得：， 化简得：． 11．今年年初，新民大街历史文化街区保护提升活化利用工程启动，新民大街历史文化街区全长1445米，施工团队在修建了80天后，为加快建设脚步，抢抓工期，施工团队决定提升修建速度，每天修建长度是原来的1.5倍，共用140天完成全部任务，求原来每天施工长度． 【答案】8.5米 【分析】 【详解】解：设原来每天施工长度为x米， 则提升修建速度后每天修建长度为米， ∴， 即，解得， ∴原来每天施工长度为8.5米． 12．定义新运算：对于任意有理数a、b，都满足（等号右边为常规的加、减、乘法运算）．例如：． (1)求的值； (2)若，求有理数x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴， 整理，得， 解得． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．有1．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．“三阶积幻方”是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵，其中每一横行，每一竖列，每条斜对角线上的三个数字之积均相等的幻方，如图为“三阶积幻方”，m，n为有理数，则的值是 ． 【答案】48 【分析】 【详解】解：设公共积为P， 由第二列可得：， 由第一行可得：， ， ， ， ， 由对角线可得：， 由第一列：， ， ， ， ， ． 故答案为：48． 2．按下列流程图计算： 若输入，输出的结果为341；若输入，输出的结果为149．若输出结果为101，则输入正整数的值为 ． 【答案】25或6 【详解】解：若，则有； 若，则有； 若，则有； ∵为正整数， ∴满足条件的的正整数值为25或6． 故答案为：25或6． 3．若关于x的方程有无数个解，则的值为 ． 【答案】3 【详解】解：将方程两边同乘6得：， 移项整理得：， ∵方程有无数个解， ∴令x的系数和常数项均为0，得，， 解得：，， 故． 故答案为：3． 4．小军在解关于的方程去分母时，方程左边的没有乘，因而求得方程的解为，则这个方程的正确解为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得：是方程的解， ∴， 解得：， ∴原方程为， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：． 故答案为：． 5．已知关于的方程，请回答下列问题． (1)k的值不可能是_______； (2)若该方程与方程的解相等，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解： ∴， 则 则， 根据方程的定义可知，，即， 故答案为：． （2）解方程，得， 将代入方程得到， 解得． 6．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为，开水的温度为，流速为． 物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，即温水的体积×温水升高的温度=开水的体积×开水降低的温度 (1)用空杯先接温水，再接开水，接完后杯中共有水______，水温为_______℃； (2)某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 【答案】(1)250； (2)该学生接温水的时间为，接开水的时间为 【分析】 【详解】（1）解：温水的体积为，开水的体积， 则接完后杯中共有水， 设接完后杯中水温为，则， 解得：， 即：接完后杯中水温为； （2）解：设该同学接温水的体积为，则接开水的体积为，根据题意得： ， 解得， 则接温水的时间为， 接开水的时间为：， 答：该学生接温水的时间为，接开水的时间为． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $