山东泰安长城中学2026届高三5月份高考冲刺数学练习

**基本信息** 以高考高频考点为核心，通过分层设题构建“概念理解-方法迁移-综合应用”的三阶训练体系，凸显数学思维的逻辑性与解题方法的系统性。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数|12题（如导数公切线、数列求通项）|构造函数、分类讨论、转化与化归|从概念定义（如复数模）到性质应用（如函数极值），形成“定义-性质-拓展”链条| |几何|4题（如立体几何线面平行、双曲线离心率）|空间向量法、数形结合、几何直观|以空间想象为基础，通过逻辑推理（如线面垂直证明）实现运算求解| |概率统计|2题（独立性检验、分层抽样）|数据分析、模型构建|遵循“数据收集-分析-决策”流程，体现数学语言对现实问题的表达|

山东省泰安长城中学2026年5月份高考冲刺练习 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知复数，则（    ） A．5 B．3 C． D． 2．（本题5分）设集合，若，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）记为数列的前项和，已知，则（    ） A．18 B．54 C．81 D．162 4．（本题5分）已知向量，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（本题5分）2025年世界机器人大赛总决赛在江苏无锡圆满落幕，某参赛小队有1名指导老师，2名男生和2名女生，比赛结束后5人站成一排合影，则指导老师不在两端的不同排法总数为（    ） A．120 B．96 C．72 D．36 6．（本题5分）已知，则（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知，函数的定义域为的定义域为，若与恰好有2条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）设双曲线的左右焦点分别为，取双曲线上一点（在第一象限），点在以为直径的圆上，且，若直线斜率为，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）下列说法中正确的是（   ） A．若随机变量满足，则 B．在回归分析中，决定系数的值越接近1，模型的拟合效果越好 C．经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点 D．若事件满足，则 10．（本题6分）已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是坐标原点，P是椭圆C上任意一点，点，则下列结论正确的有（    ） A．的周长为6 B．的面积为时， C．周长的最小值是 D．面积的最大值为 11．（本题6分）已知函数，则（    ） A．是的极大值点 B．当时， C．，使得点是曲线的对称中心 D．，使得，直线与曲线均只有一个公共点 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）函数若，则________． 13．（本题5分）的展开式中的系数为______.（用数字作答） 14．（本题5分）如图，在平行四边形中，已知，，，现将沿折起，得到三棱锥，且三棱锥外接球的表面积为，则______． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）如图，在三棱锥中，底面，点，分别为棱PC，PB的中点． (1)证明：平面BCD； (2)求直线CD与平面PBC所成角的正弦值． 16．（本题15分）在中，角的对边分别为，且． (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积． 17．（本题15分）“阳光杯”中学生篮球联赛是毕节市威宁自治县极具本土特色的体育赛事，赛事深度融合威宁多民族文化与高原风情，是当地群众最喜爱的体育赛事之一.威宁县某中学为了研究不同性别的学生对该赛事的了解情况，进行了一次抽样调查，随机抽取该校男生和女生各80名作为样本.设事件“了解‘阳光杯’中学生篮球联赛”，“学生为女生”，已知，. (1)完成下列列联表，并依据的独立性检验，能否认为该校学生对“阳光杯”中学生篮球联赛的了解情况与性别有关联? 了解 不了解 合计 男生 女生 合计 (2)现从该样本不了解“阳光杯”中学生篮球联赛的学生中，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取2人，设抽取的2人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．（本题17分）已知双曲线的左､右焦点分别为，点为双曲线上一动点. (1)若斜率为1的直线过点，且与双曲线交于两点，求的面积； (2)设直线过原点，且与双曲线交于两点.若直线的斜率分别为，求证：为定值. 19．（本题17分）已知函数，其中e为自然对数的底数，． (1)当时，求的单调区间； (2)若存在两个不同的极值点，且． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安长城中学2026年5月份高考冲刺练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D D C B A B AB ACD 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】首先利用复数的乘除法进行化简，然后利用复数模的公式即可求解. 【详解】，所以. 2．B 【详解】因为集合，， 所以，所以. 3．D 【分析】结合前项和与通项的关系式求解，再根据数列的通项公式求出. 【详解】由可得当时，， 两式相减得，整理得. 又由及可得，满足. 故是以2为首项，3为公比的等比数列，通项公式为， 代入得. 4．D 【分析】先根据向量减法法则，计算出的坐标，再利用向量垂直的性质（两个向量垂直，则它们的数量积为0），列方程求出参数的值和的坐标，并计算的坐标，最后根据向量模长公式，求出的值即可. 【详解】由题知， 因为， 所以，解得 所以，则：， 所以. 5．C 【详解】首先指导老师有3个位置可以排，剩余4人有种排法， 根据分步乘法计数原理，得指导老师不在两端的不同排法总数为. 6．B 【详解】， 又，， 所以，，， 所以，， 故， 又 所以， 又 所以，. 7．A 【分析】设公切线方程为，分别与的图象切于点，与的图象切于点，根据导数的几何意义得出，消去得关于的方程，两边取自然对数后令，定义函数，其定义域为（当）或（当）．利用导数求出的极小值，再根据极小值的正负讨论的解的个数得出参数范围. 【详解】，， 设公切线方程为，直线与的图象切于点，与的图象切于点， 则，，， 所以． 即，由， 得，代入，得关于的方程． 等式两边取对数得， 令，定义函数， 其定义域为（当）或（当）． 则， 当时，在单调递减，在上单调递增，此时在处取极小值； 当时，同理可得在处取极小值， 故有唯一极小值点，极小值为． 的解的个数对应公切线的条数： 若，则有两个解，即有两条公切线； 若，则有一个解，即一条公切线； 若，则无解，即无公切线． 当时，则，分子（因恒成立），故； 当时，可得，令可得，即，解得． 此外，时无公切线，时仅一条． 因此，恰好有两条公切线时的取值范围是． 8．B 【分析】延长交于点，证明为等腰三角形，得到以及为的中点，结合双曲线的定义得到，又根据是的中位线得到和，最后在中运用余弦定理得到关于的方程，求解即可得离心率. 【详解】因为点在以为直径的圆上，所以，延长交于点， 在中，已知且即平分， 故为等腰三角形，有，且为的中点， 同时根据双曲线的定义以及在第一象限，有， 所以，又因为分别为的中点， 所以且，已知直线斜率为， 则直线的斜率也为，所以，可得， 由可得， 在中，根据余弦定理有， 即， 整理得，于是有，解得. 9．AB 【详解】选项A：根据方差的运算性质，对任意常数，有，本题中，因此，A正确． 选项B：回归分析中，决定系数衡量模型对因变量变化的解释能力，越接近1，说明残差平方和越小，模型拟合效果越好，B正确． 选项C：经验回归直线一定经过样本中心点，但不需要经过任何一个样本数据点，C错误． 选项D：由条件概率性质，，因此，D错误． 10．ACD 【详解】由题意得，，故的周长为，故A正确， 当的面积为时，有，即，故B错误， 周长为, 当三点共线，在之间时的周长最小，此时, 故周长的最小值为，故C正确， 直线的方程为，即， 设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为， 联立，得， 则，解得， 当时，直线与椭圆切点到直线的距离最大，即， 故面积的最大值为，故D正确. 11．ACD 【分析】对于A，利用导数确定函数的单调区间，求出极值即可判断；由，结合A中的单调性，即可判断B；判断是否有解，即可判断C；两函数作差得到，根据两曲线只有一个交点求出，再分析单调性，即可判断D. 【详解】对于A，由题可知， 当时，当时，;当时，, 即函数在上单调递增；在上单调递减，故是的极大值点. 当时，令，得或， 当时，在时，，在时，，在时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 当时，在时，，在时，，在时，， 在和上单调递减，在上单调递增， 综上可得，均是的极大值点，故A正确； 对于B，当时，由A项可知在上单调递增， 又因，所以，故B错误； 对于C. ，， 令，可得, 因该式对任意实数恒成立，故可得， 即存在，使得点是曲线的对称中心，故C正确； 对于D，若直线与曲线只有一个公共点，则方程只有一个实根， 令，则， 由，可得，此时, 则在上单调递增，且当时，,当时，， 即当时，函数有且仅有1个零点，故D正确. 12． 【详解】已知分段函数，且. 结合分段函数性质可得或. 当时： 若，则，解得； 若，则，解得. 当时： 若，则，方程无解； 若，则，解得. 因此满足条件的的值为，，. 13． 【分析】根据多项式乘法的计数规则，分步选取因式中的对应项，结合组合数计算指定项的系数. 【详解】表示5个因式相乘，要得到含的项， 首先，从5个因式中任选3个取其中的，选法种数为，对应系数为； 再从剩余的个因式中任选1个取其中的，选法种数为，对应系数为； 最后剩余的1个因式取其中的常数项，对应系数为. 因此的系数为. 14． 【分析】作出辅助线，转化为三棱柱的外接球问题，结合正弦定理和余弦定理得到答案 【详解】如图，过作，且，过作，且， 连接，，，，根据题意可知，， 由题意知，，，所以， 又，是平面内的两条相交直线，所以⊥平面， 所以三棱柱为直三棱柱． 则三棱锥与直三棱柱的外接球相同，设其半径为． 由，知，设三角形的外接圆半径为， 则，求得． 设，则，在中，设，， 则，， 代入，解得或（舍），． 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，进而求证即可； （2）结合正弦定理分析可得，进而得到，，法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可；法二：连接DF，分析可得为直线CD与平面PBC所成角，进而求解即可. 【详解】（1）∵点E，F分别为棱PC，PB的中点， 为的中位线，且， 平面平面BCD，平面BCD． （2）在中，， 由正弦定理，得， 即，故， ． 又底面，底面，， 在中，，故， 法一：∴以为原点，DB为轴，DP为轴，建立空间直角坐标系， 则，，取方向向量． 又，则． 设平面PBC的法向量为， 由，得解得，取． 设直线CD与平面PBC所成角为， 则． 所以直线CD与平面PBC所成角的正弦值为． 法二：连接DF，因为底面BCD，所以， 又因为平面PBD， 所以平面PBD，又平面PBD，所以． 因为，所以． 因为平面，所以平面PBC， 所以为直线CD与平面PBC所成角， 在中，，所以． 16．(1) (2)． 【分析】（1）由正弦定理化边为角后，利用两角和的正弦公式、诱导公式变形可得； （2）由余弦定理求得，再由三角形面积公式计算. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 整理得：， 因为，所以，故， 因为，所以． （2）由余弦定理，得，即， 整理得，又，， 所以，所以， 故的面积为． 17．(1)列联表如下： 了解 不了解 合计 男生 40 40 80 女生 20 60 80 合计 60 100 160 依据的独立性检验，认为该校学生对“阳光杯”赛事的了解情况与性别有关联. (2)X的分布列为： X 0 1 2 P 数学期望为. 【分析】（1）先根据条件概率求得人数完善列联表，再代入公式求出，将该值与临界值比较即可求解. （2）先根据分层抽样确定抽取的男生人数和女生人数，再写出所有可能取值并计算相应的概率，列出分布列并根据数学期望公式可得出答案. 【详解】（1）由题意，， 可知“了解‘阳光杯’中学生篮球联赛”的女生有人，则不了解联赛的女生有60人 “了解‘阳光杯’中学生篮球联赛”的男生有 人，则不了解联赛的男生有40人. 所以 了解 不了解 合计 男生 40 40 80 女生 20 60 80 合计 60 100 160 零假设：该校学生对“阳光杯”赛事的了解情况与性别无关. 依题意， 则, 依据的独立性检验，推断不成立，所以认为该校学生对“阳光杯”赛事的了解情况与性别有关联. （2）由（1）知，抽取的10名学生中，男生有4人，女生有6人. 可能的取值为0,1,2 则，， X的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望 18．(1); (2)证明见解析. 【分析】设出直线方程，利用韦达定理和三角形的面积公式即可求解； 设出直线方程，利用点在双曲线上，找到等量关系，代入斜率乘积式即可求解. 【详解】（1） 如图所示，由题可知：，，所以，所以，， 不妨设，则联立方程：，解得：，所以，， 则 ，所以 由弦长公式可得：， 点到直线距离为： 则. （2） 如图所示，不妨设，，，则， 则，，所以， 点和均在双曲线上，所以，， 解得：，， 所以 ，即：为定值3. 19．(1)单调递增区间为． (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）求导可得，根据，确定的符号，进而判断原函数的单调性； （2）（ⅰ）由是方程的两根，构造函数，利用直线与的图像有两个交点，利用导数求出范围； （ⅱ）设，由（ⅰ）得，由已知得，令，得，即证．通过构造函数，利用函数的导数证明对恒成立即可. 【详解】（1）当时，，定义域为．求导得． 令则 令得 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 即恒成立． 因此，在上单调递增，单调递增区间为． （2）（ⅰ），若有两个不同的极值点，则方程有两个不同的实数根． 显然不是根，故可化为． 设，则． 当时，单调递减，且； 当时，单调递减； 当时，单调递增． 又时时，故在上从减至e，在上从e增至． 因此，当时，直线与的图像有两个交点，分别位于和，对应两个不同的极值点（且）． 当时有一个交点，当时无交点， 当时有一个交点． 故实数的取值范围是． （ⅱ）不妨设，由（ⅰ）得，，，即，两边取对数得． 令，则，代入得，解得． 于是． 要证，即证，等价于． 设，则． 令，则， 故在上单调递增，且，所以，即． 因此在上单调递增，又，故对恒成立． 从而原不等式成立，即． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $