精品解析：2026年 湖南武冈市第三中学初中学业水平考试第一次学情自测试题

2026年武冈市第三中学 学业水平考试数学模拟试题 一、单选题 1. 在有理数1，，﹣1，0中，最小的数是（　　） A. 1 B. C. ﹣1 D. 0 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “五一”假期，星城长沙共接待游客6170000万人次．其中数据6170000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 围棋在古代被列为“琴棋书画”四大文化之一，蕴含着中华文化的丰富内涵，如图所示是一个无盖的围棋罐，其主视图为（　　） A. B. C. D. 5. 已知点与点关于y轴对称，那么的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（   ）． A. B. C. D. 7. 在爱心助农活动中，某平台共进行了7场直播，每场直播销售的番薯（单位：）为260，300，340，350，400，400，400．因供不应求，故加了一场直播，销售量为．分析加场前后的数据，受影响的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 8. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，交边于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE．将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tan∠ABE的值是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 10. 嘉淇同学对水进行加热，并记录了水温度随加热时间t（分钟）变化的大致图像，如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 10分钟时，水温升至 B. 加热0到10分钟时，水温随加热时间的增大而增大 C. 加热10分钟后，水的温度不再变化 D. 加热0到10分钟时，水的温度平均每分钟上升 二、填空题 11. 分解因式：______． 12. 如果关于x的方程没有实数根，那么m的最大整数值是__________. 13. 质检部门从件电子元件中随机抽取件进行检测，其中有件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有__________件次品． 14. 如图，在△BOC中，∠COB=90°，OC=12，OB=5，将△BOC绕边OC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的全面积是________． 15. 如图1，西沙河属马刨泉河支流，发源于房山区城关街道迎风坡村，流域面积11平方公里，为估算西沙河某段的宽度，如图2，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B,C,D．使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上，并且点A,E,D在同一条直线上，若测得BE=2m,EC=1m,CD=3m,则河的宽度AB等于_____m. 16. 一个不透明的袋子中装有四个小球，它们除了分别标有的数字1，2，3，4不同外，其它完全相同，任意从袋子中摸出一球后不放回，再任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之和为5的概率是______． 17. 如图所示小孔成像实验中，若物距为10厘米，像距为15厘米，蜡烛火焰倒立的像的高度是9厘米，则蜡烛火焰的高度是___________厘米． 18. 已知二次函数（为常数），当时，，若，且，则的最大值等于______． 三、解答题 19. 计算： 20. 先化简，再求值：其中，． 21. 如图1是某商场的入口，它是由立桂、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，如图2是它的示意图，点在同一水平线上，经过测量，支架的立柱与地面垂直，米，支撑杆于点且，从点观测点的仰角为，又测得米． （1）求该支架的边的长； （2）求支架的边的顶端点到地面的距离．（结果保留根号） 22. 如图， 在中， 于点E， 延长至点F， 使， 连接、、． （1）求证： 四边形是矩形； （2）若， ， ， 求的长． 23. 苏州市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱．对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的统计图． （1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是　　人，m＝　　； （2）补全条形统计图，若该小区有居民1500人，试估计去C景区旅游的居民约有多少人？ （3）甲、乙两人暑假打算游玩，甲从B、C两个景点中任意选择一个游玩，乙从B、C、E三个景点中任意选择一个游玩，用列表法或树状图法求甲、乙恰好游玩同一景点的概率． 24. 如图，在平面直角坐标系中，等边的边长为2，顶点A在x轴上，延长至点C．使，过点C作交x轴于点D，反比例函数经过点B交于点E，反比例函数经过点C． （1）求反比例函数，的解析式； （2）连接，，计算的面积． 25. 如图，在中，，以为直径的分别交于点D、E，点F在的延长线上，且． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求和长． 26. 已知抛物线：的顶点为，与y轴交于点B． （1）求m，n值； （2）如图，抛物线与关于点B成中心对称，与x轴交于点D，求抛物线的解析式及点D的坐标； （3）记抛物线，组合得到新图象为，若与直线有三个交点，直接写出b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年武冈市第三中学 学业水平考试数学模拟试题 一、单选题 1. 在有理数1，，﹣1，0中，最小的数是（　　） A. 1 B. C. ﹣1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数的大小比较法则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴最小的数是﹣1， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数的大小比较，熟练掌握正数大于0，0大于负数；两个负数比大小，绝对值大的反而小是解题的关键． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法法则判断A；根据同底数幂的乘法法则判断B；根据完全平方公式判断C；根据积的乘方法则判断D． 【详解】解：A、原式，故本选项计算错误，不符合题意； B、原式，故本选项计算错误，不符合题意； C、原式，故本选项计算错误，不符合题意； D、原式，故本选项计算正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了完全平方公式，同底数幂的乘除法，积的乘方，掌握运算法则及公式是解题的关键． 3. “五一”假期，星城长沙共接待游客6170000万人次．其中数据6170000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为的形式，其中，n为整数是关键．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是非负数，当原数绝对值小于1时，n是负数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：数据6170000用科学记数法表示为． 故选：D 4. 围棋在古代被列为“琴棋书画”四大文化之一，蕴含着中华文化的丰富内涵，如图所示是一个无盖的围棋罐，其主视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断几何体的三视图，从正面看物体所得到的视图是主视图，熟知定义是解题的关键． 【详解】解：这个立体图形的主视图为： 故选：B． 5. 已知点与点关于y轴对称，那么的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查关于y轴对称点的性质，解题的关键是根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出x、y的值，然后相加计算即可得解． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴， ∴， 故选A． 6. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（   ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过的顶点作直线，则，根据角的和差得到，利用平行线的传递性可得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过的顶点作直线， 则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7. 在爱心助农活动中，某平台共进行了7场直播，每场直播销售番薯（单位：）为260，300，340，350，400，400，400．因供不应求，故加了一场直播，销售量为．分析加场前后的数据，受影响的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数，方差，平均数的计算方法，熟知掌握以上概念是解题的关键．分别求出增加前后数据的中位数，众数，方差，平均数进行比较即可． 【详解】解：加场前的数据为260，300，340，350，400，400，400， 平均数为：， 中位数为：， 众数为：400， 方差为：； 根据题意得加场后的数据为：260，300，340，350，350，400，400，400 平均数为：， 中位数为：， 众数为：400， 方差为：； ∴受影响的统计量是方差， 故选：D． 8. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，交边于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由作图可得：为直线的垂直平分线，从而得到，则，再由三角形外角的定义与性质进行计算即可． 【详解】解：由作图可得：为直线的垂直平分线， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 9. 如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE．将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tan∠ABE的值是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过A点作AN⊥DF于N，根据四边形ABCD是菱形，有AB=CD=AD，∠ABE=∠D，设AD=4， F是CD中点，则有DF=FC=2，根据翻折的性质可知AB=AF，则可知△AFD是等腰三角形，由AN⊥DF，得AN也平分DF，则有DN=NF=1，在Rt△AND中利用勾股定理可得AN，则可求出tan∠D，即tan∠ABE得解． 【详解】过A点作AN⊥DF于N，如图， ∵四边形ABCD菱形， ∴AB=CD=AD，∠ABE=∠D，设AD=4， ∵F是CD中点， ∴DF=FC=2， 根据翻折的性质可知AB=AF， ∴△AFD是等腰三角形， ∵AN⊥DF， ∴AN也平分DF，则有DN=NF=1， ∴在Rt△AND中利用勾股定理可得， ∴tan∠D=， ∴tan∠ABE=， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质、正切、等腰三角形的判定与性质等知识，证明△AFD是等腰三角形是解答本题的关键． 10. 嘉淇同学对水进行加热，并记录了水的温度随加热时间t（分钟）变化的大致图像，如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 10分钟时，水温升至 B. 加热0到10分钟时，水温随加热时间的增大而增大 C. 加热10分钟后，水的温度不再变化 D. 加热0到10分钟时，水的温度平均每分钟上升 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数的图象，解题的关键是能从函数图象获取相关信息．根据函数图象可以判断各选项是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图可知，分钟时，水温升至，故选项A正确，不符合题意； 加热到分钟时，水温随加热时间的增大而增大，故选项B正确，不符合题意； 加热分钟后，水的温度不再变化，故选项C正确，不符合题意； 加热到分钟时，水的温度平均每分钟上升小于，故选项D错误，符合题意． 故选D． 二、填空题 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】利用提公因式法解答，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 12. 如果关于x的方程没有实数根，那么m的最大整数值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是首先理解没有实数根就是指， 根据题目意思可知，解即可求，从而易知应取的最大值是． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得， 故的最大整数值是． 13. 质检部门从件电子元件中随机抽取件进行检测，其中有件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有__________件次品． 【答案】20 【解析】 【分析】先求出次品所占的百分比，再根据生产这种零件1000件，直接相乘得出答案即可． 【详解】∵随机抽取100件进行检测，检测出次品2件， ∴次品所占的百分比是：， ∴这一批次产品中的次品件数是：：(件)， 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，根据出现次品的数量求出次品所占的百分比是解题关键． 14. 如图，在△BOC中，∠COB=90°，OC=12，OB=5，将△BOC绕边OC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的全面积是________． 【答案】90π 【解析】 【分析】运用公式s=πrl（其中勾股定理求解得到母线长l为13）求得侧面积，然后加上底面积即可求得全面积． 【详解】解：由已知得，母线长l=13，半径r为5， ∴圆锥的侧面积是s=πrl=5×13×π=65π， 底面积是πr2=52π=25π， ∴全面积为65π+25π=90π， 故答案为：90π． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积与的面积计算，要学会灵活的运用公式求解． 15. 如图1，西沙河属马刨泉河支流，发源于房山区城关街道迎风坡村，流域面积11平方公里，为估算西沙河某段的宽度，如图2，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B,C,D．使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上，并且点A,E,D在同一条直线上，若测得BE=2m,EC=1m,CD=3m,则河的宽度AB等于_____m. 【答案】6 【解析】 【详解】如图2，∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴∠ABE=∠DCE=90°， 又∵∠AEB=∠DEC， ∴△ABE∽△DCE， ∴，即：，解得：AB=6（m）. 故答案为6. 16. 一个不透明的袋子中装有四个小球，它们除了分别标有的数字1，2，3，4不同外，其它完全相同，任意从袋子中摸出一球后不放回，再任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之和为5的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法解决两步概率问题，涉及列表及简单概率公式等知识，根据题意，列出表格，得到所有等可能结果及满足题意的结果数，由简单概率公式代值求解即可得到答案，熟练掌握列表法求两步概率问题的方法是解决问题的关键． 【详解】解：列表如图： 1 2 3 4 1 — 3 4 5 2 3 — 5 6 3 4 5 — 7 4 5 6 7 — 由上表可知，共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球所标数字之和为5的结果有4种， （两次摸出的球所标数字之和为5）， 故答案为：． 17. 如图所示的小孔成像实验中，若物距为10厘米，像距为15厘米，蜡烛火焰倒立的像的高度是9厘米，则蜡烛火焰的高度是___________厘米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用．利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是厘米， 由相似三角形的性质得到：， 解得， 即蜡烛火焰的高度是厘米． 故答案为：． 18. 已知二次函数（为常数），当时，，若，且，则的最大值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．由二次函数开口向上得当时，随的增大而增大，结合得，故，则最小，即，然后求出即可． 【详解】解：二次函数开口向上 当时，随的增大而增大 要使最大 最小 ，则 或（舍去） ． 故答案为：． 三、解答题 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先计算绝对值、零指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值，再计算加减法即可． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：其中，． 【答案】，16 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘多项式、完全平方公式、平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据单项式乘多项式、完全平方公式、平方差公式进行展开，再合并同类项，得，然后把，分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ∵，， ∴． 21. 如图1是某商场的入口，它是由立桂、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，如图2是它的示意图，点在同一水平线上，经过测量，支架的立柱与地面垂直，米，支撑杆于点且，从点观测点的仰角为，又测得米． （1）求该支架的边的长； （2）求支架的边的顶端点到地面的距离．（结果保留根号） 【答案】（1）该支架的边的长为米； （2） 【解析】 【分析】（1）在中，，根据已知可得，即可求解． （2）由代入数据求得，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴是直角三角形， 在中，， ∵， ∴， 即该支架的边的长为米； 【小问2详解】 根据已知可得，，中，且， ∴， 即， 解得：， 在矩形中，， ∴米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 22. 如图， 在中， 于点E， 延长至点F， 使， 连接、、． （1）求证： 四边形是矩形； （2）若， ， ， 求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形性质得，，再根据得，由此可判定四边形为平行四边形，然后再根据可得出结论； （2）根据矩形性质得，再根据勾股定理的逆定理证明，然后根据三角形的面积公式即可求出的长． 【小问1详解】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， 即， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； 【小问2详解】 ∵四边形是矩形， ∴， 在中，，，， ∵，， ∴， ∴直角三角形， 即， 由三角形的面积公式得：， ∴． 【点睛】本题考查了判断三边能否构成直角三角形，利用平行四边形的性质证明，利用平行四边形性质和判定证明，证明四边形是矩形，解题关键是熟练掌握矩形的判定与性质，平行四边形的性质． 23. 苏州市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱．对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的统计图． （1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是　　人，m＝　　； （2）补全条形统计图，若该小区有居民1500人，试估计去C景区旅游的居民约有多少人？ （3）甲、乙两人暑假打算游玩，甲从B、C两个景点中任意选择一个游玩，乙从B、C、E三个景点中任意选择一个游玩，用列表法或树状图法求甲、乙恰好游玩同一景点的概率． 【答案】（1）200；35；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）先由D景区人数及其所占百分比求出总人数，再根据百分比的概念和各景区人数之和等于总人数求解可得； （2）利用样本估计总体思想求解可得； （3）画树状图得出所有等可能结果，再根据概率公式计算可得． 【详解】解：（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是20÷10%=200（人）， 则m%=×100%=35%，即m=35， 故答案为：200；35 （2）C景区人数为200-（20+70+20+50）=40（人） 估计去C景区旅游的居民约有(人) （3）画树状图如下： 共有6种等可能的结果数，其中甲、乙恰好游玩同一景点的结果数为2， 所以甲、乙恰好游玩同一景点的概率＝＝． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识，用样本估计总体，注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系是解题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 24. 如图，在平面直角坐标系中，等边的边长为2，顶点A在x轴上，延长至点C．使，过点C作交x轴于点D，反比例函数经过点B交于点E，反比例函数经过点C． （1）求反比例函数，的解析式； （2）连接，，计算的面积． 【答案】（1）， （2）的面积为 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点坐标的特征，待定系数法，三角形面积等，解题的关键是掌握待定系数法，能求出点的坐标． （）过点作，垂足为，由等边的边长为，可得，，，而，知，即可得，； （）连接，由，，得，，，求出直线解析式为，联立联立，解得，则，故； 【小问1详解】 解：过点作，垂足为，如图： ∵等边的边长为， ∴，， ∴， ∵，即点为的中点， ∴， 把点，分别代入和 得：，， 解得，， ∴，； 【小问2详解】 连接，如图： ∵，， ∴，， ∴， 由，可得直线解析式为， 联立 ，解得 或 (舍去)， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 25. 如图，在中，，以为直径分别交于点D、E，点F在的延长线上，且． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求和的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题属于圆的综合题，主要考查了切线的判定与性质、直角所对的圆周角是直角、解直角三角形等知识点，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理及勾股定理． （1）连接．欲证是的切线，只需证明即可； （2）根据，，求得，进而求得，过点作于点，则．解直角三角形求得，然后由三角形相似知，从而求得的值． 【小问1详解】 证明：连接． 为的直径， （直径所对的圆周角是直角）， （直角三角形的两个锐角互余）； ，， 平分，即； ， ， ，即， 是半径， 为的切线； 【小问2详解】 解：由（1）知：，，， ， ， ， 过点作于点． ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即， ． 26. 已知抛物线：的顶点为，与y轴交于点B． （1）求m，n的值； （2）如图，抛物线与关于点B成中心对称，与x轴交于点D，求抛物线的解析式及点D的坐标； （3）记抛物线，组合得到的新图象为，若与直线有三个交点，直接写出b的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）抛物线的顶点为，利用待定系数法即可求解； （2）根据中心对称的性质求出顶点坐标，然后利用顶点式求函数解析式即可，再利用二次函数的性质求交点坐标即可； （3）联立解析式，利用一元二次方程的根的判别式进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为， ， ． 【小问2详解】 解：由（1）知，， ， 设抛物线的顶点为，则点与点关于点对称， ， ∴点的坐标为， ∴抛物线的解析式为， 令， 解得：（不合题意，舍去）， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：当直线与抛物线只有一个交点时， 令， 即， ， 解得：， 当直线与抛物线只有一个交点时，令， 即， ， 解得， 如图，根据图象可得， ∴若与直线有三个交点，则的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $