吉林珲春市第二高级中学校2025-2026学年高二上学期第一学程考试数学试卷

**基本信息** 高二上学期数学月考卷，涵盖立体几何、概率统计等模块，以疫苗接种抽样、居民收入统计等真实情境为载体，通过空间向量应用、概率计算等解答题，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|长方体结构、复数纯虚数、直观图面积、分层抽样|基础题占比高，如第2题复数λ值判断直接考查概念辨析| |多项选择|3/18|线面平行垂直、空间向量运算、正三棱台性质|设置多选项陷阱，如第9题线面关系判断考查逻辑推理严谨性| |填空|3/15|统计估计、空间向量模、单位向量夹角|第12题用标记鱼估计池塘总量体现数学建模思想| |解答题|5/77|空间向量平行垂直、概率独立事件、统计直方图、四棱锥体积与线面角|第16题结合投篮概率考查数据分析，第19题四棱锥问题综合空间想象与逻辑推理|

2025-2026学年度高二上学期第一学程考试 数学试题答案 1.A　. 2.B　z=(1+λ)+(λ-1)i,因为复数z=(1-i)+λ(1+i)是纯虚数,所以1+λ=0,且λ-1≠0,解得λ=-1. 3.D　由直观图和原图形的关系易知,△AOB中底边OB=2,底边OB上的高线长为4,∴△AOB的面积为S=4×2=4.故选D. 4.C　设从其余符合接种条件的其他年龄段的居民中抽取的人数为x,由分层随机抽样的性质,得,解得x=32,∴从其余符合接种条件的其他年龄段的居民中抽取的人数为32. 5.C　由题意可知a·b<0且向量a,b不共线, 则解得x<1且x≠-1, 所以实数x的取值范围为(-∞,-1)∪(-1,1).故选C. 6.B　因为事件A与事件B互斥,所以A⊆,所以P(A+)=P()=1-P(B)=0.8.故选B. 7.D　A,B,C表示3个开关,若在某段时间内,它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7,则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为P=1-(1-0.9)×(1-0.8)×(1-0.8)=0.996. 8.B　因为sin B+2cos2=3,所以sin B+2·=3,所以sin B+cos B=2,即sinB+=1,又B∈(0,π),所以B+∈,所以B+,解得B=.因为,由余弦定理得,即,又B=,所以sin B=,所以,由正弦定理得,所以b=4,设△ABC的外接圆的半径为R,所以2R==8,解得R=4,所以△ABC的外接圆的面积为πR2=16π. 9.BD　若m∥α,n∥α,则m∥n或m与n相交或m与n异面,选项A错误;若m⊥α,n⊥α,则m∥n,选项B正确;若m∥α,m⊂β,则α∥β或α与β相交,选项C错误;若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,又n⊥β,则α⊥β,选项D正确. 10.ABC　由题得,|a|=,故A正确; 设a=mb+nc, 即 解得 即a=3b+2c,所以向量a,b,c共面,故B正确; 因为a·b=3-4+1=0, 所以a⊥b,故C正确; (a+b)·c=(4,0,2)·(-4,4,-1)=-18,故D错误. 故选ABC. 11. AC　由题意作图如右,在平面ABB1A1中由点A1向AB作垂线,垂足为D,取线段BC的中点E,连接AE,在平面AEA1中由点A1向AE作垂线,垂足为F,连接DF,在等腰梯形ABB1A1中,AB=4,B1A1=2,AA1=2,则AD=(4-2)÷2=1,A1D=,故棱台的侧面积为3(2+4)=9,故A正确; 易知A1F为棱台的高,则AD⊥平面A1DF,则AD⊥DF,在Rt△ADF中,DF=AD·tan,AF=,在Rt△A1DF中,A1F=,故B错误; 棱台的侧棱与底面所成角为∠A1AE,cos∠A1AE=,故C正确; 棱台的侧面与底面所成二面角为∠A1DF, cos∠A1DF=,故D错误. 故选AC. 12.750　设池塘约有n条鱼,则含有标记的鱼的概率为,由题意得50=2,∴n=750. 13.【答案】 【分析】利用空间向量数量积的运算法则计算即得. 【详解】单位向量两两夹角均为，则， 所以 . 故答案为： 14.【答案】 【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值. 【详解】， ， ， . 故答案为：. 【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 15.解 (1)因为a∥b,易知y≠0, 所以, 解得x=2,y=-4, 则a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1). 又b⊥c,所以b·c=0, 即-6+8-z=0, 解得z=2,于是c=(3,-2,2). (2)由(1)得a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1), 设向量a+c与b+c的夹角为θ, 因为cos θ==-, 所以向量a+c与b+c夹角的余弦值为-. 16.解(1)设A=“甲投篮命中”,B=“乙投篮命中”,C=“丙投篮命中”, 由题意可知,P(A)=0.6,P()=0.3,P(BC)=P(B)P(C)=0.35, 则P(B)=1-P()=0.7,P(C)==0.5, 所以丙投篮命中的概率为0.5. (2)设D=“甲和乙命中,丙不中”, 则P(D)=P(AB)=P(A)P(B)P()=0.6×0.7×0.5=0.21, 所以甲和乙命中,丙不中的概率为0.21. (3)设E=“甲、乙、丙各投篮一次,恰有一人命中”, 则P(E)=P(AB C) =P(A)P()P()+P()P(B)P()+P()P()P(C) =0.6×0.3×0.5+0.4×0.7×0.5+0.4×0.3×0.5 =0.29. 17.【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明∥即可得. 【详解】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ， ， 所以， 所以与共线， 因为这两个向量有公共点， 所以、、三点共线． 18.解(1)由频率分布直方图,可得0.05+0.12+a+b+0.2+0.08=1,则a+b=0.55, ① 因为居民收入数据的第60百分位数为8.1, 所以0.05+0.12+a+(8.1-7.5)×b=0.6, 则a+0.6b=0.43, ② 将①与②联立,解得 所以平均值为0.05×5+0.12×6+0.25×7+0.3×8+0.2×9+0.08×10=7.72. (2)根据题意,设事件A,B,C分别为甲、乙、丙在[7.5,8.5)内,则P(A)=P(B)=P(C)=0.3. ①“抽取3人中有2人在[7.5,8.5)内”可表示为AB∪AC∪BC,且AB与AC与BC互斥,则P1=P(AB∪AC∪BC)=0.3×0.3×(1-0.3)+0.3×(1-0.3)×0.3+(1-0.3)×0.3×0.3=0.189. ②“抽取3人中有3人在[7.5,8.5)内”可表示为ABC,则P2=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.3×0.3×0.3=0.027. 所以抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5,8.5)内的概率为P1+P2=0.189+0.027=0.216. 19.(1)解∵△PAD是边长为2的正三角形,N为AD的中点,∴PN⊥AD,PN=. ∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PN⊂平面PAD,∴PN⊥平面ABCD. 又NC⊂平面ABCD,∴PN⊥NC. ∴∠DNC为二面角D-PN-C的平面角, ∴tan∠DNC=2=. 又DN=1,∴DC=2, ∴底面ABCD为正方形. ∴四棱锥P-ABCD的体积V=2×2. (2)证明由(1)知,PN⊥平面ABCD,DM⊂平面ABCD, ∴PN⊥DM. 在正方形ABCD中,易知△DAM≌△CDN,∴∠ADM=∠DCN, 而∠ADM+∠MDC=90°,∴∠DCN+∠MDC=90°, ∴DM⊥CN. ∵PN∩CN=N,PN,CN⊂平面PNC,∴DM⊥平面PNC. ∵PC⊂平面PNC, ∴DM⊥PC. (3)解设DM∩CN=O,连接PO,MN. ∵DM⊥平面PNC, ∴∠MPO为直线PM与平面PNC所成的角. ∵AD=2,AM=1,∴DM=,DO=, ∴MO=. 又MN=,PM=, ∴sin∠MPO=, ∴直线PM与平面PNC所成角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二上学期第一学程考试 数学试题 命题人：金然花 审题人：李美花 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单项选择题（共8题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,等于(　　) A. B. C. D. 2.已知复数z=(1-i)+λ(1+i)是纯虚数,则实数λ=(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 3.水平放置的△AOB的直观图△A'O'B'如图所示,则△AOB的面积是(　　) A. B.2 C.2 D.4 4.在某种疫苗试验初期,某居民区有5 000人自愿接种了新冠疫苗,其中60~70岁的老年人有1 400人,16~19岁的中学生有400人,其余为符合接种条件的其他年龄段的居民.在一项接种疫苗的追踪调查中,要用分层随机抽样的方法从该居民区5 000名接种疫苗的人群中抽取部分人作为样本进行追踪调查,已知老年人中抽取了14人,则从其余符合接种条件的其他年龄段的居民中抽取的人数为(　　) A.14 B.18 C.32 D.50 5.已知a=(x,1),b=(2,-2),若向量a,b的夹角为钝角,则实数x的取值范围为 (　　) A.(-∞,1) B.(-∞,1] C.(-∞,-1)∪(-1,1) D.(-∞,-1)∪(-1,1] 6.[2024湖南湘潭高一检测]已知同一样本空间的事件A与事件B互斥,记事件为事件B的对立事件.若P(A)=0.6,P(B)=0.2,则P(A+)=(　　) A.0.6 B.0.8 C.0.2 D.0.48 7.如图所示,A,B,C表示3个开关,若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.8,则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为(　　) A.0.504 B.0.964 C.0.994 D.0.996 8.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin B+2cos2=3,,则△ABC的外接圆的面积为(　　) A.12π B.16π C.24π D.64π 二、多项选择题（共3题，每小题6分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.设m,n为不同的直线,α,β为不同的平面,则下列结论正确的是(　　) A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n⊥α,则m∥n C.若m∥α,m⊂β,则α∥β D.若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β 10.已知空间向量a=(1,2,1),b=(3,-2,1),c=(-4,4,-1),则(　　) A.|a|= B.向量a,b,c是共面向量 C.a⊥b D.(a+b)·c=10 11.已知正三棱台的上底面边长为2,下底面边长为4,侧棱长为2,则下列说法正确的是(　　) A.棱台的侧面积为9 B.棱台的高为 C.棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为 D.棱台的侧面与底面所成二面角的余弦值为 三、填空题（共3题，每小题5分。把正确答案填写在横线上） 12.管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记,然后放回池塘,将带标记的鱼完全混合于鱼群中.10天后,再捕上50条,发现其中带标记的鱼有2条.根据以上数据可以估计该池塘大约有　　　　　 条鱼.  13.已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则 . 14.设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为 ． 四．解答题（本题共5题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求: (1)a,b,c; (2)向量a+c与b+c夹角的余弦值. 16.(15分)已知甲投篮命中的概率为0.6,乙投篮不中的概率为0.3,乙、丙两人投篮都命中的概率为0.35,假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的. (1)求丙投篮命中的概率; (2)甲、乙、丙各投篮一次,求甲和乙命中,丙不中的概率; (3)甲、乙、丙各投篮一次,求恰有一人命中的概率. 17.(15分)四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，用、、表示向量、； (2)求证：、、D三点共线． 18.(17分)某地为了解居民可支配收入情况,随机抽100人,经统计,这100人去年可支配收入(单位:万元)均在区间[4.5,10.5]内,按[4.5,5.5),[5.5,6.5),[6.5,7.5),[7.5,8.5),[8.5,9.5),[9.5,10.5]分成6组,频率分布直方图如图所示,若上述居民可支配收入数据的第60百分位数为8.1. (1)求a,b的值,并估计这100位居民可支配收入的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (2)用样本的频率估计概率,从该地居民中抽取甲、乙、丙3人,若每次抽取的结果互不影响,求抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5,8.5)内的概率. 19.(17分)如图,四棱锥P-ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形,底面四边形ABCD为矩形,且平面PAD⊥平面ABCD,M,N分别为AB,AD的中点,二面角D-PN-C的正切值为2. (1)求四棱锥P-ABCD的体积; (2)证明:DM⊥PC; (3)求直线PM与平面PNC所成角的正弦值. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $