专题05 导数在研究函数中的作用10大题型分类专训（期末真题汇编，四川专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 专题聚焦导数在函数中的应用，汇编四川多地高二期末真题，覆盖10大高频考点，系统整合单调性、极值、最值等核心题型。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择（含多选）|约30题|导数判断单调性、比较函数值大小等|基础巩固题占比高，如凉山期末题直接考查单调区间求解| |填空|约10题|由单调性求参数范围等|高频题型集中，如泸州期末题多次出现参数取值范围设问| |解答|约20题|极值与最值综合、导数图象关系等|梯度设计明显，从单一极值求解（乐山期末题）到含参数综合探究（绵阳期末题），贴合期末考命题趋势|

专题05 导数在研究函数中的作用 10大高频考点概览 考点01 由导数判断函数的单调性求解 考点06求已知函数的极值（重点题型） 考点02由导数判断单调性解不等式（重点题型） 考点07利用极值求参数（取值范围）（重点题型） 考点03有单调性比较函数值的大小（重点题型） 考点08函数（导函数）图象与极值点的关系 考点04由函数在区间上的单调性求参数（高频题型） 考点09已知函数的最值求参数（重点题型） 考点05函数与导函数图象之间的关系 考点10函数单调性、极值与最值综合（常考题型） 地 城 考点01 由导数判断函数的单调性求解 1．（24-25高二下·四川凉山·期末）已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高二下·四川自贡·期末）下列函数在定义域上为增函数的有（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 由导数判断单调性解不等式 1．（24-25高二下·四川达州·期末）定义在上的函数，且，对，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·四川凉山·期末）已知可导函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·四川眉山·期末）函数的定义域是，，对任意，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·四川泸州·期末）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·四川自贡·期末）已知函数，若，则的范围是__________． 地 城 考点03 有单调性比较函数值的大小 1．（24-25高二下·四川成都·期末）已知函数，则（   ） A． B． C． D．的大小关系不能确定 2．（24-25高二下·四川广元·期末）已知是函数的导函数，且．则下列不等式一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 3．（24-25高二下·四川乐山·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·四川成都·期末）记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·四川成都·期末）记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·四川凉山·期末）设，且满足，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·四川凉山·期末）设，且满足，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·四川德阳·期末）定义在上可导的奇函数，当时始终满足，已知实数，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·四川成都·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D．的大小关系不确定 11．（24-25高二下·四川攀枝花·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二下·四川眉山·期末）已知函数的最大值为a，令，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二下·四川阿坝·期末）已知是函数的导函数，且．则下列不等式一定不成立的是（   ）． A． B． C． D． 地 城 考点04 由函数在区间上的单调性求参数 1．（24-25高二下·四川资阳·期末）已知函数为减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·四川遂宁·期末）已知在上递增，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·四川自贡·期末）若函数 在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·四川宜宾·期末）已知函数在上可导，且，若成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·四川凉山·期末）已知函数在区间[1，2]上单调递增，则实数a的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 6．（24-25高二下·四川泸州·期末）若函数在上单调递增，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 7．（24-25高二下·四川眉山·期末）若在上存在单调递增区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·四川成都·期末）已知关于 的不等式 (其中 )的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是_________ 8．（24-25高二下·四川泸州·期末）函数在上是增函数，则的取值范围是___________. 9．（24-25高二下·四川德阳·期末），，都有，则实数m的取值范围为______. 10．（24-25高二下·四川成都·期末）若函数的单调递增区间为，则的值为_____________． 11．（24-25高二下·四川泸州·期末）已知函数在上是减函数，则的取值范围是______ 地 城 考点05 函数与导函数图象之间的关系 1．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知为函数的导函数，则的大致图象是（   ） A．B．C．D． 2．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知为函数的导函数，如图所示，则的大致图象为（   ）    A．   B．   C．   D．   3．（24-25高二下·四川攀枝花·期末）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得最大值 B．在区间上单调递减 C．在处取得极大值 D．在区间上有2个极大值点 0 0 非负 递增 极大值 递减 极小值 递增 4．（24-25高二下·四川眉山·期末）函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数在上有极大值 D．是函数的极小值点 5．（24-25高二下·四川成都·期末）已知函数的图象如图所示，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·四川广元·期末）函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的是（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上存在极小值点 D．在上有最大值 地 城 考点06 求已知函数的极值 1．（24-25高二下·四川成都·期末）已知函数，则在（    ） A．上单调递增 B．处有最小值 C．上有三个零点 D．上单调递增 2．（24-25高二下·四川凉山·期末）已知函数. (1)求在点处的切线方程； (2)求，的极值. 3．（24-25高二下·四川乐山·期末）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数在上的单调性. 4．（24-25高二下·四川凉山·期末）已知函数，的定义域为． (1)求的极值点； (2)讨论的单调性； (3)若函数存在唯一极小值点，求的取值范围． 5．（24-25高二下·四川宜宾·期末）已知函数 (1)求的极值； (2)过坐标原点作曲线的切线，求切点坐标. 6．（24-25高二下·四川雅安·期末）已知函数（）. (1)当时，求函数的极值； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 7．（24-25高二下·四川雅安·期末）已知函数在处取得极大值，的导函数为，则（   ） A． B．当时， C． D．当且时， 8．（多选）（24-25高二下·四川凉山·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．有两个极值点分别为或 C．当时， D．若，则解集为 9．（多选）（24-25高二下·四川自贡·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．有两个极值点 B．有两个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 地 城 考点07 利用极值求参数（取值范围） 1．（2025·四川成都·二模）若函数有极值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·四川宜宾·期末）已知函数的极小值为，则（    ） A．1 B． C．1或 D．0 3．（24-25高二下·四川眉山·期末）已知函数在时取得极大值4． (1)求实数的值； (2)若存在使得，求实数的取值范围． 4．（24-25高二下·四川眉山·期末）已知函数在处有极值10． (1)求实数，的值; (2)若方程在区间内有解，求实数的取值范围． 1 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 5．（24-25高二下·四川南充·期末）已知函数在处取得极值3. (1)求a，b的值； (2)求函数在区间上的最值. 地 城 考点08 函数（导函数）图象与极值点的关系 1．（24-25高二下·四川宜宾·期末）如图是函数的导函数的图象，则函数的极小值点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高二下·四川自贡·期末）如图是导函数的图象，则的极大值点是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·四川达州·期末）定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则函数的极大值点为___________. 地 城 考点09 已知函数的最值求参数 1．（24-25高二下·四川成都·期末）已知函数的最小值为1，则（    ） A． B． C． D．1 2．（24-25高二下·四川广安·期末）设函数，，若存在、，使得，则的最小值为______________． 3．（24-25高二下·四川乐山·期末）已知函数且，，若有解，则a的取值范围是________． 4．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若在区间上的最小值为，求的值； (3)若，求实数的取值范围． 5．（24-25高二下·四川泸州·期末）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，函数在上的最小值为，求a的值. 6．（24-25高二下·四川泸州·期末）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，函数在上的最小值为，求a的值． 地 城 考点10 函数单调性、极值与最值综合 1．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．在区间上，的图象比的图象更陡峭 B．若，则 C．若，则实数的最大值为1 D．函数不存在零点 2．（24-25高二下·四川南充·期末）已知函数，则（   ） A．函数在上无极值点 B．函数在上单调递增 C．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为 D．若，则的最大值为 3．（24-25高二下·四川乐山·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．当，时，函数仅有一个零点 B．当时，若在上单调递增，则 C．若恒成立，则 D．，都存在极值点 4．（24-25高二下·四川乐山·期末）已知函数和有相同的最大值． (1)求； (2)若直线与和的图象共有四个不同的交点，试探究：从左到右四个交点横坐标之间的等量关系． 5．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)当时，函数在区间上的最大值为9，求实数k的值． 6．（24-25高二下·四川眉山·期末）已知函数. （1）若在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值； （2）若函数有三个不同零点，求的取值范围. 7．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知函数. (1)讨论的极值点； (2)当时，是否存在实数a，使得在区间的最小值为0，且最大值为1?若存在，求出a的所有值；若不存在，请说明理由. x −a + 0 − 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 x −a + 0 − 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 8．（24-25高二下·四川广元·期末）已知函数． (1)求函数的图象在处的切线方程； (2)若在上有解，求的取值范围． 9．（24-25高二下·四川自贡·期末）已知函数，函数． (1)求的最小值； (2)若． ①求零点的个数； ②证明：的所有零点之和为定值． 10．（24-25高二下·四川南充·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 11．（24-25高二下·四川达州·期末）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 12．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知函数. (1)若是函数的极值点，求在的切线方程； (2)若，求在区间上最大值. 1 / 53 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 导数在研究函数中的作用 10大高频考点概览 考点01 由导数判断函数的单调性求解 考点06求已知函数的极值（重点题型） 考点02由导数判断单调性解不等式（重点题型） 考点07利用极值求参数（取值范围）（重点题型） 考点03有单调性比较函数值的大小（重点题型） 考点08函数（导函数）图象与极值点的关系 考点04由函数在区间上的单调性求参数（高频题型） 考点09已知函数的最值求参数（重点题型） 考点05函数与导函数图象之间的关系 考点10函数单调性、极值与最值综合（常考题型） 地 城 考点01 由导数判断函数的单调性求解 1．（24-25高二下·四川凉山·期末）已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可判断函数为偶函数，再利用导数可确定在上单调递增，进而可解不等式. 【详解】由，解得或，定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数为偶函数， 当时，，求导得， 令，求导得，所以， 又，所以， 所以在上单调递增， 由，得， 所以，解得，解得， 解得或. 所以使不等式成立的的取值范围是. 2．（多选）（24-25高二下·四川自贡·期末）下列函数在定义域上为增函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】求出函数的定义域，再借助导数判断单调性即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数在定义域上不单调，A不是； 对于B，函数定义域为R，， 当且仅当时取等号，函数在定义域上单调递增，B是； 对于C，函数定义域为R，，当时，， 函数在上单调递减，函数在定义域上不是增函数，C不是； 对于D，函数定义域为R，求导得，函数在定义域上单调递增，D是. 故选：BD 地 城 考点02 由导数判断单调性解不等式 1．（24-25高二下·四川达州·期末）定义在上的函数，且，对，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，利用导数得在上单调递减，把转化为，利用单调性解不等式即可. 【详解】，， 构造， 所以， 所以在上单调递减，且， 不等式可化为，即，所以， 所以原不等式的解集为. 故选：B. 2．（24-25高二下·四川凉山·期末）已知可导函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数 ，利用导数研究函数的单调性，原不等式可转化为，结合函数的单调性解不等式即可. 【详解】令 ，则， 故在上单调递减， 不等式可变形为 ， 即， 所以且，解得. 故选：A 3．（24-25高二下·四川眉山·期末）函数的定义域是，，对任意，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则，利用导数说明函数的单调性，则原不等式等价于，结合单调性计算可得. 【详解】令，因为，所以， 又， 所以在上单调递增， 不等式即，所以，所以， 即不等式的解集为. 故选：A 4．（24-25高二下·四川泸州·期末）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，利用导数分析函数的单调性，由可得出关于的不等式组，由此可解得原不等式的解集. 【详解】函数的定义域为， 则对任意的恒成立， 所以，函数在上为增函数， 由可得，解得或， 因此，不等式的解集为. 故选：C. 4．（24-25高二下·四川自贡·期末）已知函数，若，则的范围是__________． 【答案】 【分析】判断函数的单调性，根据函数的单调性即可求解不等式. 【详解】由函数，可得， 即为R上的单调递增函数， 故由可得， 即的范围是， 故答案为： 地 城 考点03 有单调性比较函数值的大小 1．（24-25高二下·四川成都·期末）已知函数，则（   ） A． B． C． D．的大小关系不能确定 【答案】C 【分析】由导数求得单调性，根据函数单调性即可求解． 【详解】令，解得， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 又，所以， 故选：C． 2．（24-25高二下·四川广元·期末）已知是函数的导函数，且．则下列不等式一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，利用导数研究单调性，利用单调性比较大小即可. 【详解】令，所以，由有：，当，，所以在单调递增， 又，所以，即，故A错误； 又，所以，即，故B错误； 又，所以，即，故C正确； 由，所以，即，故D错误. 故选：C 3．（24-25高二下·四川乐山·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对函数的运算性质，化简得到，结合函数的单调性，求得，再由不等式，得到，即可求解. 【详解】由， 又由， 设，可得，所以在上为增函数， 所以，所以当时，恒成立，所以， 令，可得， 所以函数在为增函数，且， 所以当时，可得，即恒成立， 令，可得，整理得恒成立， 所以，可得，可得，即， 所以. 故选：C. 4．（24-25高二下·四川成都·期末）记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，所以构造函数，求导后可判断出在上单调递增，然后利用函数的单调性逐个分析判断即可. 【详解】由，得， 因为，所以 所以， 所以， 令，，则， 所以在上单调递增， 对于A，因为，所以， 所以，， 所以，所以A错误， 对于C，因为，所以， 所以，， 所以， 因为为奇函数，所以， 所以， 所以C错误 对于BD，因为，所以， 所以，， 所以， 因为为奇函数，所以，所以B正确，D错误， 所以D错误， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决函数单调性问题，解题的关键是对已知条件变形，然后构造函数，求导后判断出函数的单调性，再利用函数的单调性分析，考查数学计算能力，属于较难题. 5．（24-25高二下·四川成都·期末）记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，构造函数，利用其单调性结合奇函数性质比较. 【详解】令，则， 当时恒有，所以， 则在上单调递增， 所以，则，即，选项A错误； ，则，即，选项B正确； ，则，又为奇函数，所以，选项C错误； 由得，选项D错误； 故选：B 6．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用函数奇偶性的定义与导数判断的奇偶性与单调性，再构造函数，利用导数判断得，从而得解. 【详解】因为的定义域为， 又， 所以是偶函数， 又， 令，则恒成立， 所以当时，，即， 又在上单调递增，所以， 所以在上恒成立，则在上单调递增， 构造函数，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，又， 所以，所以， 所以，所以. 故选：B. 7．（24-25高二下·四川凉山·期末）设，且满足，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，构造函数，通过函数的单调性和值域求解判断. 【详解】因为， 所以， 则， 令， 则， 所以在上递增，且， 当时，，当时，， 所以当时，，即，则，B选项错； 所以，则，即，C选项错； 当时，，即，则，A选项错； 所以，则，即，D选项正确. 故选:D. 8．（24-25高二下·四川凉山·期末）设，且满足，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接比较，的大小不好比较，可以作差比较和的大小，求得，构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合分类讨论思想即可求解. 【详解】因为，所以， ， 构造函数； ； ； 在单调递增．且； 当时，，当 时； ，当时， 即， ， 当时， 即， ， 综上可得，大小关系不确定，一定成立， 故选：D． 【点睛】本题出题意图在于通过构造函数，并判断其单调性，进而比较代数式的大小.其中恰当的构造函数是解答本题的关键. 9．（24-25高二下·四川德阳·期末）定义在上可导的奇函数，当时始终满足，已知实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由奇函数的性质可得在上递增，然后结合指数函数，对数函数的单调性去比较的范围. 【详解】时始终满足，则在上递增， 根据奇函数性质，则在上单调递增. 根据指数函数性质，在上递增，则； 根据的值域以及在上递减，则； 由于，则在上递增，故， 故. 故选：A 10．（24-25高二下·四川成都·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D．的大小关系不确定 【答案】A 【分析】先利用导数判断函数在上的单调性，再根据函数的单调性即可得解. 【详解】， 当时，，所以函数在上单调递增， 又因为，所以. 故选：A. 11．（24-25高二下·四川攀枝花·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设分析函数的单调性，可得的大小关系；设函数，分析函数单调性，可得的大小. 【详解】设，（），因为， 由 ；由 . 所以函数在上递减，在上递增. 所以， 又，，所以. 再设，（），因为， 由 ；由 . 所以函数在上递减，在上递增. 所以. 又，即. 故. 故选：A 12．（24-25高二下·四川眉山·期末）已知函数的最大值为a，令，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出，由正弦函数、对数函数性质可得，再构造函数比较的大小. 【详解】由，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，则当时，， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 则，于是，即，因此， 由，得， 所以a，b，c的大小关系是. 故选：A 13．（24-25高二下·四川阿坝·期末）已知是函数的导函数，且．则下列不等式一定不成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，利用导数研究单调性，利用单调性逐个选项比较大小即可. 【详解】令，则， 由，即， 所以当时，，即在上单调递增， 对于A，由，则，所以，即，故A正确； 对于B，由，则，所以，即，故B正确； 对于C，由，则，所以，即，故C正确； 对于D，由，则，所以，即，故D错误. 故选：D. 地 城 考点04 由函数在区间上的单调性求参数 1．（24-25高二下·四川资阳·期末）已知函数为减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求导，根据题意有在上恒成立，即，令，即求. 【详解】根据题意有的定义域为，所以， 即在上恒成立，所以，令， 即，又，所以， 故选：A. 2．（24-25高二下·四川遂宁·期末）已知在上递增，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性得出导函数恒大于0，再结合最值计算求参. 【详解】根据题意，在上恒成立，即恒成立， 当时，， 所以，使得恒成立，则. 故选：D. 3．（24-25高二下·四川自贡·期末）若函数 在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的极值点，分析可知函数在区间上存在极值点，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】函数的定义域为，且， 令，可得， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以函数的唯一极值点为， 因为函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数， 则函数在区间上存在极值点，且， 所以，解得. 故选：A. 4．（24-25高二下·四川宜宾·期末）已知函数在上可导，且，若成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，由得出函数的单调性，再由结合单调性得出答案. 【详解】构造函数 因为，即，所以函数在上单调递减. 可变形为，即，即. 故选：C 5．（24-25高二下·四川凉山·期末）已知函数在区间[1，2]上单调递增，则实数a的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数求导，从而将函数单调性问题转化为导数不等式在给定区间上的恒成立问题，继而通过参变分离法求出函数的最值,即可得到参数的范围. 【详解】由函数在区间上单调递增,可得在[1，2]上恒成立， 即， 设，则，，， 故当时，即时，， 故得，即a的最大值为. 故选：B. 6．（24-25高二下·四川泸州·期末）若函数在上单调递增，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导数，利用给定的单调性建立不等式，分离参数并构造函数，再利用导数求出最大值作答. 【详解】函数，求导得， 依题意，，恒成立， 令函数，，求导得， 因此函数在上单调递增，即，则， 显然当时，，当时，，而，即有， 所以实数m的取值范围是. 故选：C 7．（24-25高二下·四川眉山·期末）若在上存在单调递增区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导数，由在上有解，求出a的范围作答. 【详解】函数，求导得， 因为函数在上存在单调递增区间，则不等式在上有解， 而， 当时，，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 8．（24-25高二下·四川成都·期末）已知关于 的不等式 (其中 )的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是_________ 【答案】 【分析】不等式可转化为，利用导数研究函数的性质，数形结合分析当不等式解集中恰有两个整数时a应满足的条件，列不等式组求解即可. 【详解】不等式可转化为， 设（），则， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且，，且当时，， 作出图象，如图所示，    令，，则直线恒过定点. 要使恰有两个整数解， 由图可知不合题意，所以，两个整数解为， 则，解得， 即实数a的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的性质，数形结合分析当不等式解集中恰有两个整数时满足，即为所求. 8．（24-25高二下·四川泸州·期末）函数在上是增函数，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】由导函数在上恒成立求解． 【详解】因为函数在上是增函数，所以在上恒成立， 在上恒成立，又的最大值是2，所以， 故答案为：． 9．（24-25高二下·四川德阳·期末），，都有，则实数m的取值范围为______. 【答案】 【分析】把不等式成立，转化为函数的导数小于0在内恒成立，进而即可求解. 【详解】不妨，由题意分式转化为， 则，即，故函数 单调递增， 又因为，解得， ，单调递增，所以. 故答案为： . 10．（24-25高二下·四川成都·期末）若函数的单调递增区间为，则的值为_____________． 【答案】 【分析】求出函数的导数，根据函数的单调区间，列式求解，即得答案. 【详解】由，得， 令，即， 若，则恒成立，在R上单调递增，不合题意； 故，则由得， 由于的单调递增区间为，故， 故答案为： 11．（24-25高二下·四川泸州·期末）已知函数在上是减函数，则的取值范围是______ 【答案】 【分析】由函数在上是减函数，得在上恒成立，分离参数后即在上恒成立，令，求出即可求解. 【详解】， 在上是减函数， 在上恒成立，又 即在上恒成立， 即在上恒成立， 令，当时，， 则. 故答案为：. 地 城 考点05 函数与导函数图象之间的关系 1．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知为函数的导函数，则的大致图象是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】先求导得，利用奇偶性即可判断A，计算即可判断D，当时，判断即可判断C，进而求解. 【详解】由题意有， 又，所以为奇函数，排除A； 又，排除D； 由，排除C，故B正确. 故选：B. 2．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知为函数的导函数，如图所示，则的大致图象为（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据导函数正负确定函数的单调性排除B,再根据导数的大小变化确定选项即可. 【详解】因为，所以单调递增，B选项错误； 又因为在单调递减，可以得出的切线斜率逐渐变小，A,C选项错误；D选项正确. 故选：D. 3．（24-25高二下·四川攀枝花·期末）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得最大值 B．在区间上单调递减 C．在处取得极大值 D．在区间上有2个极大值点 【答案】C 【分析】根据导函数的符号确定函数的单调性，由此确定函数的极值. 【详解】由导函数的图象可知： 0 0 非负 递增 极大值 递减 极小值 递增 故选：C 4．（24-25高二下·四川眉山·期末）函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数在上有极大值 D．是函数的极小值点 【答案】D 【分析】根据导函数的图象得出函数的单调区间，再结合极大值和极小值点的定义即可得解. 【详解】根据导函数图象知，当时，，当 时， ， 当时，，故AB正确； 所以在，上单调递增，在上单调递减， 是的极大值点，即函数在上有极大值，故C正确； 函数的极小值点为，故D错误. 故选：D. 5．（24-25高二下·四川成都·期末）已知函数的图象如图所示，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意结合图象判断导函数的正负的变化情况与二次函数零点的分布情况，结合韦达定理即可求解 【详解】， 由函数的图象可知， 在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的图象是开口向上的抛物线，且有两个零点，， 所以，所以， 所以ABC错误，D正确. 故选：D. 6．（24-25高二下·四川广元·期末）函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的是（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上存在极小值点 D．在上有最大值 【答案】B 【分析】结合导数的符号与函数单调性、极值的关系，以及题图即可得解. 【详解】时，，时，，故在上不单调，A选项错误； 时，，故在上单调递减，B选项正确； 时，，故在上单调递减，无极值点，C选项不正确； 时，，在上单调递增，虽然确定了的单调性，但没有的解析式， 故无法确定在上是否有最大值，D选项不正确． 故选：B． 地 城 考点06 求已知函数的极值 1．（24-25高二下·四川成都·期末）已知函数，则在（    ） A．上单调递增 B．处有最小值 C．上有三个零点 D．上单调递增 【答案】D 【分析】根据题意，直接利用导数研究其单调性，最值和零点即可. 【详解】 ， 故当时， ，单调递增；当时， ，单调递减； 当时， ，单调递增；； 对A：在不单调，故A错误； 对B：在处取得极大值，故B错误； 对C：，又在单调递增， 故在有一个零点；又，故在没有零点； 综上所述，在上只有一个零点，故C错误； 对D：在单调递增，故D正确. 故选：D. 2．（24-25高二下·四川凉山·期末）已知函数. (1)求在点处的切线方程； (2)求，的极值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导函数求得斜率，利用原函数求得切点坐标，代入点斜式即可得切线方程； （2）对的取值分类讨论，利用导函数研究函数的单调性，结合函数的单调性可得函数的极值点，再代入原函数即可得极值. 【详解】（1），， 则，， 所以在点处的切线方程为：， 即：. （2）由题意知的定义域为， 则， ①当时，在上恒成立，在上单调递减，所以在上无极值； ②当时，令，则，令，则， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 所以在时，取得极小值，无极大值； 综上所述：当时，在上无极值， 当时，在上有极小值，无极大值. 3．（24-25高二下·四川乐山·期末）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数在上的单调性. 【答案】(1)极大值为，极小值为； (2)答案见解析. 【分析】（1）对函数求导，根据导数的符号确定区间单调性，进而求极值； （2）对函数求导，应用分类讨论及导数的区间符号确定区间单调性. 【详解】（1）当时，，则， 令，即，则或. 令，即，则. 在，上单调递增，在上单调递减， 的极大值为，极小值为. （2）由题. ①当时，，则时，时， 在上单调递减，在上单调递增. ②当时，则时，或时， 在，上单调递增，在上单调递减. ③当时，则在上恒成立，故在上单调递增. ④当时，则时，或时， 在，上单调递增，在上单调递减. ⑤当时，，则时，时， 在上单调递增，在上单调递减. 综上所述： 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 4．（24-25高二下·四川凉山·期末）已知函数，的定义域为． (1)求的极值点； (2)讨论的单调性； (3)若函数存在唯一极小值点，求的取值范围． 【答案】(1)是的极小值点，无极大值点 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求导，分析函数的单调性，可得函数极值点. （2）求导，对参数的值分类讨论，可得函数的单调区间. （3）设，明确的解析式，求导，分类讨论，确定函数的单调性以及极值点的函数值符号，判断函数的零点个数. 【详解】（1）的定义域为，， 令得；令得. 故在单调递减，在单调递增． 所以是的极小值点，无极大值点. （2）的定义域为， 若，在上恒成立，所以在上单调递减； 若，令得；令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）令，则． 令，则 ①当时，在上恒成立， 故当时，，单调递增， 当时，，单调递减． 所以有唯一极大值点，没有极小值点，不满足题意． ②当时，在恒成立，在单增，， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 所以F有唯一极小值点，满足题意． ③当时，令，得； 令，得， 故在上单调递减，在上单调递增． 则令，得 当时，在上恒成立，由②可知有唯一极小值点，满足题意. 当时，，，， 又因为在上单调递减，在上单调递增， 所以存在唯一实数，使得，， 又， 故当时，；当时，； 当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 所以的极小值点为，，不唯一，不满足题意． 综上，的取值范围为 【点睛】思路点睛：涉及含参数的函数的单调区间问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、极值，结合函数零点的存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题. 5．（24-25高二下·四川宜宾·期末）已知函数 (1)求的极值； (2)过坐标原点作曲线的切线，求切点坐标. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由，求导再利用极值的定义求解； （2）设切点坐标为有，再利用导数的几何意义求解； 【详解】（1）解：因为， 所以 则的单调增区间为，的单调减区间为， 所以，； （2）设切点坐标为则①， 由得：则 由，，得：则.②， 由①②得， 即， 即，若，此时，则该方程无实数根，若，解得， 综上，代入得， 所以切点坐标为 6．（24-25高二下·四川雅安·期末）已知函数（）. (1)当时，求函数的极值； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2)的取值范围是. 【分析】（1）先求函数的定义域和导函数，根据导数与极值点的关系求极值点，再求极值即可； （2）由条件可知在上恒成立，再分离变量求最值即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，   求导得， 整理得：. 令可得，或（舍去） 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数取极小值，极小值为， 函数无极大值； （2）由已知时，恒成立， 所以恒成立， 即恒成立，则. 令函数， 由知在单调递增， 从而. 经检验知，当时，函数不是常函数， 所以的取值范围是. 7．（24-25高二下·四川雅安·期末）已知函数在处取得极大值，的导函数为，则（   ） A． B．当时， C． D．当且时， 【答案】ACD 【分析】由在处取得极大值可求即可判断A；根据导数确定函数单调性，利用单调性比较大小可判断B；利用导数可直接验证式子是否成立，即可判断C；对于D，由单调性可得，则，代入计算即可判断D. 【详解】由题知的定义域为， ，又在处取得极大值，， 时，， 所以时，，函数单调递增， ，，函数单调递减， 所以时，在处取得极大值，故A正确； 时，，函数单调递减， 又，所以当时，，故B错误； ， ， 所以，故C正确； 因为时，函数单调递增，，， 且，， 所以，则， 又， 所以，故D正确. 故选：ACD. 8．（多选）（24-25高二下·四川凉山·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．有两个极值点分别为或 C．当时， D．若，则解集为 【答案】AC 【分析】利用函数是奇函数可求得判断A；求得的极值点，利用奇函数的性质可判断B；利用奇函数的性质可求得的解析式判断C，利用时，可判断D. 【详解】对于A，因为是奇函数，所以，令， 可得，解得，故A正确； 对于B，当时，由，可得， 令，可得，解得或（舍去）， 当时，，当时，，所以是极大值点， 由奇函数的结称性可得是函数的极小点， 故函有两个极值点分别为或，故B错误； 对于C，当时，则，由，可得， 所以，故C正确； 对于D，由C可知， 当时，由， 当时，，所以，所以满足成立，故D错误. 故选：AC. 9．（多选）（24-25高二下·四川自贡·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．有两个极值点 B．有两个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【答案】ACD 【分析】利用导数分析函数的单调性，极值即可判断选项A，B；由可知其对称性即可判断选项C；由导函数值为，解得，求得切线的方程即可判断选项D. 【详解】对于A，，令，解得， 当时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增； 所以在处取得极大值，在处取得极小值，故A正确； 对于B，由极大值，极小值， 可知有三个零点，故B错误； 对于C，， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 对于D，令，解得， 当时，由， 所以切线方程为，即，故D正确. 故选：ACD 地 城 考点07 利用极值求参数（取值范围） 1．（2025·四川成都·二模）若函数有极值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，设，，分，结合导数分析求解即可. 【详解】由，， 则， 令，， 则， 当时，恒成立，则， 即函数在上单调递增，此时函数无极值，不符合题意； 当时，令，得， 当时，，则，得函数在上单调递减， 又时，；时，， 所以存在，使得，则函数存在极值； 当时，， 则时，；时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 设，，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，且时，， 则时，，此时函数无极值，不符合题意； 当时，，且时，；时，， 此时函数存在极值. 综上所述，的取值范围为. 故选：A. 【点睛】方法点睛：解决函数有极值问题，解决的方法是要保证其导数有变号零点. 2．（24-25高二下·四川宜宾·期末）已知函数的极小值为，则（    ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】A 【分析】对求导，就导函数中的参数,分情况讨论函数的极值情况即得. 【详解】由求导得，. ①当时，由可得或，由可得， 即当或时，单调递增，当时，单调递减， 故的极小值为，不合题意； ②当时，，故在R上单调递增，无极值，不合题意； ③当时，由可得或，由可得， 即当或时，单调递增，当时，单调递减， 故的极小值为，解得. 综上，. 故选：A. 3．（24-25高二下·四川眉山·期末）已知函数在时取得极大值4． (1)求实数的值； (2)若存在使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出函数的导数，利用给定的极值点及极值列式求解并验证即得. （2）由（1）的结论，求出函数在区间上的值域即可. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 由在时取得极大值4，得，解得， 此时，， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，在时取得极大值4， 所以． （2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，，，，则函数在上的最大值为4，最小值为0， 所以实数的取值范围是. 4．（24-25高二下·四川眉山·期末）已知函数在处有极值10． (1)求实数，的值; (2)若方程在区间内有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意得，解方程可得的值，最后检验即可； （2）分析在上的单调性，结合极值即可求解的取值范围． 【详解】（1）由可得 又为极值点，所以， 又极值为10，即， 则， 可得：或， 当时，， （不恒为0）， 在上单调递增，无极值． 当时，，， 1 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 综上． （2）由（1）知，时，为减函数，时，为增函数， 又 因为方程在区间内有解， 所以实数的取值范围为. 5．（24-25高二下·四川南充·期末）已知函数在处取得极值3. (1)求a，b的值； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1)， (2)的最小值为0，最大值为12 【分析】（1）求出函数的导函数，利用极值的性质列方程组，即可求解，的值； （2）由（1）可得函数及其导函数，利用导数求出的单调区间，从而求出极值与端点处的函数值，从而可得最值． 【详解】（1）依题意，，因为在处取得极值3， 所以，解得，． 此时，显然当和时，， 当时，，故在单调递增，在单调递减， 所以在处取得极大值， 所以，． （2）由（1）知，，， 当或时，，当时，， 所以在，，，上单调递增，在上单调递减， ，，，， 所以的最小值为0，最大值为12． 地 城 考点08 函数（导函数）图象与极值点的关系 1．（24-25高二下·四川宜宾·期末）如图是函数的导函数的图象，则函数的极小值点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】通过读图由取值符号得出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，得出答案． 【详解】由图象，设与轴的两个交点横坐标分别为、其中， 知在，上， 所以此时函数在，上单调递增， 在上，，此时在上单调递减， 所以时，函数取得极大值， 时，函数取得极小值． 则函数的极小值点的个数为1． 故选: B 【点睛】本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查数形结合思想，属于基础题． 2．（24-25高二下·四川自贡·期末）如图是导函数的图象，则的极大值点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，有导函数的图象，结合函数的导数与极值的关系，分析可得答案． 【详解】根据题意，由导函数的图象， ，并且，，，在区间，上为增函数， ，，，在区间，上为减函数， 故是函数的极大值点； 故选：． 【点睛】本题考查函数的导数与单调性、极值的关系，注意函数的导数与极值的关系，属于基础题． 3．（24-25高二下·四川达州·期末）定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则函数的极大值点为___________. 【答案】1 【分析】通过导函数的图象得到导函数的符号，进而得到原函数的单调性，进而判断出极大值点 【详解】极大值点在导函数的零点处，且满足零点的左侧为正，右侧为负， 由导函数的图象可知，这样的极大值点为1， 故答案为：1 地 城 考点09 已知函数的最值求参数 1．（24-25高二下·四川成都·期末）已知函数的最小值为1，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】求出函数的导数，分类讨论，从而求出的单调区间，即可求解函数的最值求解. 【详解】函数的定义域为，， 当时，在内恒成立，所以函数在内为增函数,此时无最小值， 当时，由，得，由得 函数在内为减函数，在内为增函数，故当时，取最小值， 即，故， 故选：D 2．（24-25高二下·四川广安·期末）设函数，，若存在、，使得，则的最小值为______________． 【答案】 【分析】由已知条件得出，分析可知函数在上单调递增，可得出，于是得出，构造函数，，利用导数求出函数的最大值，即可得出的最小值. 【详解】由题意可得，即，所以， 又因，所以在上单调递增， 则由，可得，则， 令，，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值，即，故， 所以． 3．（24-25高二下·四川乐山·期末）已知函数且，，若有解，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得，构造函数，再由其单调性化简可得，即可转化为，再由导数求得其最值，即可得到结果. 【详解】由可得， 由，则， 所以，即， 设，且，所以函数在上单调递增， 又，结合，可得，即， 所以，即， 令，则， 且，令，解得， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 所以时，有极小值，即最小值，且 所以，即， 所以a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：关键在于合理构造函数，结合函数的单调性化简，再由导数求得函数的最值，从而求解. 4．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若在区间上的最小值为，求的值； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3)． 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，代入点斜式直线方程求解即可； （2）求导函数，按照和、分类讨论，研究函数的单调性，利用最小值列方程求解即可； （3）令，则，令，利用导数法得在上单调递增，即，然后按照和分类讨论，研究函数的单调性，求出的最小值，利用列不等式求解即可． 【详解】（1）当时，，则，则 ∴曲线在处的切线方程为； （2），因，则， ①当时，，故在区间上单调递增， 依题意，，解得：，故不成立； ②当时，，故在区间上单调递减， 由解得：，故也不成立； ③时，；， 故在上单调递减，在上单调递增， 由，解得：， 综上所述：； （3）时，令，， 则， 令 ，则，故在上单调递增，； ①时，则，此时在上单调递增， 依题意需使：，解得：或（舍掉），故； ②时，，因时，， 故存在，使得，即 当时，，即，此时在上单调递减； 当时，，即，此时在上单调递增； ∴， 又由可得：代入上式可得：解得：， 令，显然在上单调递减，则，故． 综上所述：实数的取值范围为． 5．（24-25高二下·四川泸州·期末）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，函数在上的最小值为，求a的值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出函数的导数，再分当时，当时，当时，三种情况讨论解不等式作答. （2）利用（1）的结论，函数在上单调递增，求出最小值，即可计算作答. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， 当时，，当且仅当时取等号，则函数在上单调递增， 当时，由得或，即函数在上单调递增， 当时，由得或，即函数在上单调递增， 所以当时，函数的递增区间是； 当时，函数的递增区间是； 当时，函数的递增区间是. （2）由（1）知，当时，函数在上单调递增， ， 于是，解得 所以a的值为. 6．（24-25高二下·四川泸州·期末）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，函数在上的最小值为，求a的值． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论解不等式作答. （2）利用（1）的结论求出最小值，即可计算作答. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，当且仅当时取等号，则函数在上单调递增， 当时，由得或，即函数在上单调递增， 当时，由得或，即函数在上单调递增， 所以当时，函数的递增区间是； 当时，函数的递增区间是； 当时，函数的递增区间是. （2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，， 于是，解得 所以a的值为. 地 城 考点10 函数单调性、极值与最值综合 1．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．在区间上，的图象比的图象更陡峭 B．若，则 C．若，则实数的最大值为1 D．函数不存在零点 【答案】ABD 【分析】对于A比较导数在上大小即可判断；对于B由，令，令，利用导数研究单调性进而求最值即可判断，对于C令得，令，利用导数研究单调性进而得最小值即可判断，对于D由，又，，根据零点存在定理，得到在，使得，进一步分析单调性求最小值即可判断. 【详解】对于A：在上，，由有在上，， 由，令，所以， 当时，，所以在单调递增，又，所以， 所以，即， 所以当时，，所以在区间上，的图象比的图象更陡峭，故A正确； 对于B：由，令，所以， 由，所以在单调递增， 在单调递减，所以在处取得最小值，令， 所以，由，， 所以在单调递增，在单调递减，所以在处取得最大值， 所以，等式成立当且仅当，即，故B正确； 对于C：，令，则， 当时，将代入，可得成立， 当时，分离参变量，得到：，， 所以，令，求导得，函数在上递增， 所以，由，所以在单调递减， 在单调递增，所以的最小值为，即，所以实数的最大值为，故C错误； 对于D：，当时，， 令，求导得，当时，， 在上单调递增，，当时，， 在上单调递增，，存在，使得， 当时，， 因此当时，， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以函数不存在零点，故D正确. 故选：ABD 2．（24-25高二下·四川南充·期末）已知函数，则（   ） A．函数在上无极值点 B．函数在上单调递增 C．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为 D．若，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据导函数的应用，函数的极值点，单调性，最值与导函数的关系，逐一判断各选项正误，求出正确结果. 【详解】由，得， 令，则， 令，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 在处取得极小值，也是最小值，， 所以在上，则函数在上单调递增，无极值点；所以A正确； 由，得， 令，则， 令，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 在处取得极小值，也是最小值，， 所以在R上，则函数在上单调递增；所以B正确； 因为在R上单调递增，在时恒成立，即在时恒成立， 则，化简得， 令，则， 令，解得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 在处取得极大值，也是最大值，， 所以，所以最小值为，所以C错误； 当时，可知， 因为，在定义域上均是单调增函数，所以， ，所以， 则， 令，因为，所以， ， 令，则， 当时，解得， 在时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 在处取得极大值，也是最大值，最大值为，所以D正确； 故选：ABD. 3．（24-25高二下·四川乐山·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．当，时，函数仅有一个零点 B．当时，若在上单调递增，则 C．若恒成立，则 D．，都存在极值点 【答案】ABD 【分析】对A，令，求解判断；对B，由题可得恒成立，分离参数求出最值得解；对C，由题得，分析与的单调性和零点得，结合基本不等式求解；对D，求导，利用极限思想判断和时的取值，结合零点存在性定理和极值点的概念判断. 【详解】对于A，当，时，函数，由，得或，得，故A正确； 对于B，当时，在上单调递增， 则在上恒成立，， 在上单调递增，，即，故B正确； 对于C，由知，与同号，令，解得，令，解得， 和单调递增，，即， 由，得，即，，故C错误； 对于D，，当时，，当时，， 在上一定有变号零点，一定存在极值点.故D正确. 故选：ABD. 4．（24-25高二下·四川乐山·期末）已知函数和有相同的最大值． (1)求； (2)若直线与和的图象共有四个不同的交点，试探究：从左到右四个交点横坐标之间的等量关系． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用导数分别求出两函数的最大值，再由两函数的最大值相等列方程可求出的值； （2）直线与和的图象有四个不同的交点，有两种情况，设直线与的图象交点横坐标从左到右依次为，直线与的图象交点横坐标从左到右依次为，由（1）可知且，化简结合函数的单调性可得结论. 【详解】（1）∵，∴． ∵有最大值，∴． ∴在单调递增，在单调递减． ∴． ∵，∴． ∴在单调递增，在单调递减． ∴． ∵， ∴，解得． （2）直线与和的图象有四个不同的交点，存在以下两种情况：         由于两种情况证法类似，下证第一种情况： 设直线与的图象交点横坐标从左到右依次为， 直线与的图象交点横坐标从左到右依次为． 由（1）可知： 且． ∴ ∵且，在单调递增， ∴． 同理，． 又∵，即：． ∴． ∴． 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决函数最值问题，第（2）问解题的关键是画出函数图象，利用图象求解，考查数形结合的思想和数学转化思想，属于较难题. 5．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)当时，函数在区间上的最大值为9，求实数k的值． 【答案】(1)极大值为1，极小值为-3 (2) 【分析】（1）求导，再根据极值的定义求解即可； （2）求导，判断导函数在上的符号，从而可求得函数在区间上的单调性，即可求出函数的最大值，即可得解. 【详解】（1）解：当时，， 则， 当或时，，当时，， 所以函数在上递增，在上递减， 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值； （2）解：在区间上单调递增， 当时， ∵对任意，有， ∴函数在区间上单调递增， ∴函数在区间上的最大值为，解得． 6．（24-25高二下·四川眉山·期末）已知函数. （1）若在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值； （2）若函数有三个不同零点，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到关于的方程，求出的值，从而求出函数的最小值即可； （2）求出，令，根据函数的单调性求出的范围，从而求出的范围． 【详解】解：（1）因为 所以， 所以，令，解得或， 所以函数的单调减区间为和 又在上，，所以在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以最大值为，最小值为， 由，所以，最小值为 （2）令，得， 设，， 令解得或， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以，， 【点睛】本题考查了函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，属于中档题． 7．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知函数. (1)讨论的极值点； (2)当时，是否存在实数a，使得在区间的最小值为0，且最大值为1?若存在，求出a的所有值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)存在，． 【分析】（1）求导后得到两个导函数零点，然后根据参数进行分类讨论，分三类讨论，然后列表即可求得极值； （2）结合第（1）题的结论，即可求出的最小值，建立关于a的方程，解方程的a的值，然后验证即可. 【详解】（1），令，则，， ①当a=0时，，所以为增函数，故无极值点； ②当a>0时，当x变化时，及变化如下表： x −a + 0 − 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 由此表可知的极值小点为，其极大值点−a； ③当a<0时，当x变化时，及变化如下表： x −a + 0 − 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 由此表可知的极值小点为−a，其极大值点． 综上所述，当a=0时，无极值点；当a>0时，的极值小点为，极大值点 −a；当a<0时，的极值小点为−a，其极大值点． （2）方法一：假设存在实数a，使得在区间[0，1]的最小值为0，且最大值为1， 则[0，1]，； 由已知可得，，则， 由（1）②可知，在区间[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增， ∴， ∴， ∵，，则成立，解得：， ∵， ∴当时，，即的最大值为， 综上所述，满足题意的． 方法二：假设存在实数a，使得在区间[0，1]的最小值为0，且最大值为1， 则[0，1]，； 由已知可得，，则， 由（1）②可知，在区间[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增， ∴， ∴， ∵，， 令，则的零点为，且在上单调 递增， ∵，则， ∴当时，则成立，则，即的最大值为 ，符合题意， 综上所述，． 【点睛】关键点点睛：第（1）问的关键是，找准参数的分类标准，进行列表求最值；第（2）问的关键，借助第一问的结论，可以求出最小值，列出方程，即可求出a的值，再进一步验证所求参数值是否满足题意即可. 8．（24-25高二下·四川广元·期末）已知函数． (1)求函数的图象在处的切线方程； (2)若在上有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据切线方程的求解方式求切线方程即可； （2）根据题意，利用导数求函数在的最小值即可. 【详解】（1），，， 所以函数的图象在处的切线方程为. （2）由（1）知， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 又在上有解，所以. 9．（24-25高二下·四川自贡·期末）已知函数，函数． (1)求的最小值； (2)若． ①求零点的个数； ②证明：的所有零点之和为定值． 【答案】(1)； (2)①3个；②证明见解析. 【分析】（1）求出函数导数，利用导数求出函数的最小值. （2）①求出函数的导数，结合零点存在性定理求出的零点所在区间，进而求出函数的单调性，再由零点存在性定理求出零点个数；②变形并构造函数，探讨奇偶性并利用其性质求得所有零点和. 【详解】（1）函数定义域为R，求导得， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， 所以当时，函数取得最小值. （2）①函数的定义域为R，求导得， 令，求导得，而， 当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增，， 而，则存在，使得， ，令，求导得， 函数在上递增，，即， 因此存在，使得，当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，而， 则是的一个零点，且，又， 因此函数在上各有一个零点， 所以零点的个数为3. ②， 而，由，得，令， ，则函数为R上的奇函数， 函数的图象关于原点对称，因此的所有零点和为0， 所以所有零点和为0，是定值. 10．（24-25高二下·四川南充·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1). (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数得出切线斜率，再点斜式写出切线方程； （2）分类讨论得出导函数的正负进而得出函数的单调性. 【详解】（1）当时，函数，所以， 所以，， 所以曲线在处的切线方程为，即得； （2）函数，所以. 当时，单调递增； 当时，单调递减；单调递增；单调递增； 当时，单调递减；单调递增；单调递增； 综上，当时，在上单调递增； 当时，递减区间是；递增区间是； 当时，递减区间是；递增区间是； 11．（24-25高二下·四川达州·期末）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2) 见解析 【分析】（1）先求出切点坐标及切线斜率；再根据直线方程的点斜式即可写出切线方程. （2）先求出导函数，令，解得：，；再根据和的大小关系分类讨论，令和即可求出函数的单调区间. 【详解】（1）当时，， 则，， 所以切点坐标为，切线斜率为， 所以切线方程为，即. （2）由，可得：. 令，解得：，. 当时，令，得或；令，得，此时函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，，此时在上单调递增； 当时，令，得或；令，得，此时函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 综上可得：当时，函数的单调递增区间为：和，单调递减区间为：； 当时，函数的单调递增区间为：上单调递增，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为：和，单调递减区间为：. 12．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知函数. (1)若是函数的极值点，求在的切线方程； (2)若，求在区间上最大值. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据函数的导数在极值点出的函数值为零，求得的值，继而可求得点的坐标，及切线的斜率，即可求得切线方程； （2）根据函数的单调性，求出极值和端点值即可得解. 【详解】（1），， ， ，， ，， 在处的切线方程为. （2）若，，令，得， ∴在单调递减，在单调递增， 所以为函数极小值点，且， 而，， 所以在区间上最大值为6. 1 / 53 学科网（北京）股份有限公司 $