辽宁鞍山市第十三中学等校2025-2026学年高二下学期5月期中学情调研数学试题

**基本信息** 2025-2026学年高二（下）5月中期数学学情调研卷，以数列、统计、导数等核心知识为载体，通过汉诺塔传说、居民锻炼调查等情境，考查数学抽象、数据分析及逻辑推理能力，适配高二下学期中期学情检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|经验回归方程、等差数列、汉诺塔递推模型|结合温差与感冒人数数据考查统计应用，以汉诺塔传说渗透数学文化| |多选题|3/18|方差计算、百分位数、等比数列性质|通过真假命题辨析深化统计与数列概念理解| |填空题|3/15|数列前n项积、函数导数、检测方式概率|设置芯片检测规则情境，考查概率递推思维| |解答题|5/77|数列通项与求和、独立性检验、导数切线与单调性|以居民锻炼调查为背景设计统计综合题，导数题融合零点与极值点证明，体现数学思维严谨性|

2025—2026学年度高二（下）5月中期学情调研试卷 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题（每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．五天内某校当天新增感冒人数y与每日温差x（单位：℃）的数据如下表： x 5 7 8 9 11 y 9 m 15 17 20 由于保存不善，有1个数据模糊不清，用m代替，已知y关于x的经验回归方程为，则（  ） A．12 B．13 C．14 D．15 2．已知为等差数列的前n项和，，则（  ） A．60 B．120 C．180 D．240 3．已知数列满足，则的通项公式为（  ） A． B． C． D． 4．汉诺塔（Tower of Hanoi），是一个源于印度古老传说的益智玩具. 如图所示，有三根相邻的标号分别为A、B、C的柱子， A柱子从下到上按金字塔状叠放着个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子B上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，请问至少需要移动多少次？记至少移动次数为，例如：，，则下列说法正确的是（  ） A． B．为等差数列 C．为等比数列 D． 5.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则 ( ) A． B． C． D． 6．定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数.记，人们在研究学习过程中，发现：三次整式函数都有对称中心，其对称中心为（其中）.已知函数.若，则（ ） A．4 B．3 C． D．1 7．已知函数，数列满足，且数列是单调递增数列，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 8．已知函数，若关于x的方程有四个不同的根（），则的最大值是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列命题为真命题的是（   ） A．若样本数据的方差为2，则数据的方差为17 B．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5 C．用系数来衡量线性相关强弱时，若越大，则线性相关性越强 D．以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2 10．关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（  ） A．若数列为等比数列，且其前项的和，则 B．若数列为等比数列，且，则 C．若数列为等比数列，为前项和，则，，，…成等比数列 D．若数列为等差数列，，则最小 11.已知函数，则（ ） A．在上单调递增 B．是函数的极大值点 C．既无最大值，也无最小值 D．当时，有三个零点 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12.设为数列的前n项积，若，，且，当取得最大值时， . 13.已知函数，则 . 14. 对芯片的性能要求很高，传统的硅基芯片在逐渐接近1nm工艺之后面临的技术限制很多，某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进，试产期每天都需要同步进行产品检测，检测方式包括智能检测和人工检测，选择检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”或“1”，连续生成4次，把4次的数字相加，若和小于3，则该天检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式．设表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，则= 四、解答题（共77分） 15.(13分） 已知数列的前项和为，且；等差数列数列满足；； (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和 . 16.(15分） 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中200名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.            年龄次数 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 每周02次 33 22 22 23 每周34次 12 17 25 22 每周5次及以上 3 3 12 6 (1)若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； (2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望； 参考公式： 附： α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17.(15分） 已知函数，且3 (1)求值 (2)求平行于直线且与函数曲线相切的直线方程； (3)若，求函数的单调区间. 18.（17分） 已知为数列的前项和，为数列的前项和，为数列的前项和； ； (1)求的通项公式； (2)若，求的最大值； (3)证明： 19.(17分） 已知函数，． (1)当时，求证：； (2)若在上有两个零点，求实数的取值范围； (3)若函数有两个极值点，，证明：． 高二数学第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度高二（下)5月中期学情调研卷 数学试题 (答案) 考试时间：120分钟总分：150分 第I卷（选择题，共58分) 一、单选题（每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.【答案】C 2.【答案】B3.【答案】D 4.【答案】C5.【答案】C 6.【答案】A 7.【答案】D 8.【答案】A 二、多选题（每小题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.【答案】BCD 10.【答案】CD 11.【答案】BD 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分， 12.【答案】8 13.【答案】4 【u- 14. 解析：由 P(4)=P(4AP44片G-P》-=&P(4+G 即P(4)一{P(A)》,所以数列P4)分是以为首现，为公比的等比数， 则rPa),所uP)-38 四、解答题（共77分） 15.(13分) 【答案】 （1)由已知，当=时，+=，即十=，.=..，1分 第1页共6页 当≥时，+= 十= 两式相减，得一-= --，即=--，=-（≥)，.3分 ∴由等比数列的定义知，数列{}是首项=，公比=的等比数列， ∴数列[}的通项公式为=×一=+· ...4分 =；=；十=；=； 等差数列数列{}公差2 所以=+： …6分 (2)由第(1)问，一=本， 设 =一十-+-+…+±，① ①×-，得，一=一+一+一+…+士，② 7分 ∴①-②，得-=-+一+一+-+…+车-十 三一十一十一十一十…十一一 一一X 一十一一 + 十 =-一 …10分 另一部分的前n项和为+++…+ =-(+) ..12分 所以 =--++-(+) ,13分 16.(15分) 【答案】 (1)假设：H体育锻炼频率的高低与年龄无关， 由题得2×2列联表如下： 第2页共6页 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 55 45 100 体育锻炼频率高 35 65 100 合计 90 110 200 ….2分 > .4分 根据小概率值α=0.01的独立性检验推断H。不成立， 即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01....5分 (2)由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在[30,40)，[50,60]内的人数分别为1,2， 依题意，5的所有可能取值分别为为0,1,2， .6分 所以P5=0)=P(X=0,Y=0+Px=l,Y=D=C+CC_20 CCg56’…8分 吃0=PX=0Y=+PKy0+PX=Ly=2=CS+号+日-610分 P(5=2)=P(X=0,Y=2)= C5 c561 ..…...12分 所以5的分布列： 0 1 2 20 31 5 56 56 56 .14分 所以5的数学期望为（⑤）=0×石+1×+2x子、41 156 ...15分 5656 17.(15分) 【答案】(1)当x=0时，()=， ….1分 ()='()-++, 对()求导：'()=()- ……3分 令x=1,得'()=()-+： 第3页共6页 整理得：'()=一； 故'()=-； ……….4分 又已知()=3，代入()中，（)='()-++=m+1, m=2, ….5分 (2)由(1)()=-++： 求导'()=-+； 直线一一=的斜率k=2； …7分 设切点(，)，因为平行直线， 所以'()= -十=；=或=一 ….8分 当=时切点(，)，切线=+ 当=-时切点(-，一)，切线=+一 .10分 (3)()=（)-+； ()=--+；'()=- …….12分 令()=则=，=-- 当x<--或x>2时'()>，（)单调递增 当-<x<时'()<；()单调递减 …14分 ()增区间为(-，--)和(，+∞)： 减区间(--，) ….15分 18.(17分) 【答案】 an+2=2an1-an,得an+2+an=2a+1,所以数列{an}为等差数列， ….1分 所以S=5a=15,所以a=3. ….2分 又b,=24-1=8,所以a4=4, 3分 设{an}的公差为d, 即%=4+21=3， 解得 a=1, a4=a+3d=4, d=1, 所以{a}的通项公式是a,=n 5分 第4页共6页 (2)由(1)知an=n, [2n+L,n为奇数， 所以bn= 2-1,n为偶数， s=2n(a+) 2 2m1+2列=2n+), ….7分 Tn=(b+b,+…+bm-)+(b2+b+…+b2n) _n3+4n-》,2-4）-n2n++ (4-) 1-4 3 .9分 令- 2(4”-1) <2025, 3 得24<6077， ….10分 设4，=24“，则数列d,}是递增数列。 .11分 又d,=2048<6077,d。=2×4=8192>6077, 所以n的最大值为5. ....13分 (3)=（-)=（) ........15分 (-)(+) 所以=十十.十 (-)+(--)+.+(一-十) -<- 所以<一 ………17分 19.(17分) 【答案】(1)由a=0,得（)=·要证()>+，只需证e--1≥0. 令g(x)=e-x-1,则g'(x)=e-1. .1分 当x∈(-o,0)时，g'(x)<0,则g(x)单调递减， 当x∈(0，+o)时，g'(x)>0,则g(x)单调递增， .2分 所以()≥(0)=0， 故≥+1，因此0≥+1. …….4分 第5页共6页 (2)因为f(x)在R上有两个零点，所以a≠0， ……….5分 由/(=0得。-名令m(),则m()-。, ex a 所以m'(1=0,x>1,时，m'(x)<0x<1时，m(x)>0, 所以m(x)在(-o,)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，........7分 m(x)有极大值，也就是最大值为m()=】 又m(0)=0,x无限趋近+o时，m(x)无限趋近于0， …….9分 所以()在R上有两个零点时，0<2<1， a e 所以a>2e,即a的取值范围是(2e,+o). …10分 （3)因为()=f)=e--号有两个极值点5， 2 所以g(x)=e-2x-a=0,有两个实数根x,x2, 2 所以e-2-2e-2%-号 a 可得e-e=2(x-x),…12分 e = 2t e'-1 设t=x2-x>0,将x2=x+t代入，得 e 2te'’ e'-1 所以e+e5=21+21e_2+21e ......13分 e'-1e'-1e'-1 所以要证e+e>4,只需证2+21：c>4,即(-2列e++2)>0. e'-1 设h(=(t-2)e+(t+2)t>0),则h()=(t-1)e+1........14分 令p(t)=(t-1)e+1,则p'(t)=te'>0, 可知'(t)=(t-1)e+1在(0，+o)上为增函数， .15分 又h'(0)=0,所以t>0时，h'(t)>0,h(t)=(t-2)e'+(t+2)在(0，+o)上为增函数. 所以h(t)>h(0)=0,即(t-2)e'+(t+2)>0成立， 所以e+e>4成立. …17分 第6页共6页