2026年山东省济南市槐荫区二模数学试题

2026年学业水平阶段性调研测试 九年级数学(2026.05) 本试题分试卷和答题卡两部分。第1卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分。本试题共8页， 满分为150分。考试时间为120分钟。 答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同 时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置。考试结束后，将试卷、答题卡一 并交回。本考试不允许使用计算器。 第I卷（选择题共40分） 注意事项： 第I卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答案写在试卷上无效。 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。) 1.2026的绝对值是 1 A.2026 B.- C. D.-2026 2026 2026 2.如图，该几何体是由四个大小相同的正方体搭建而成的，则该几何体的俯视图是 1 正面 D 3.钙是人体必需的矿物质，主要作用是构建和维持骨骼、牙齿结构，调节神经肌肉功能，参 与凝血和细胞信号传递，已知成人每日钙的摄入量一般为0.0008千克。数据“0.0008”用科 学记数法表示为 A.0.8X10-3 B.8X10-4 C.80×10-5 D.8X10-5 4.下列运算正确的是 A.a2+a3=a5 B.a2.a3=a6 C.(ab3)2=abo D.2a6÷a3=2a3 5.已知实数α、b在数轴上的位置如图所示，下列选项正确的是 A.a-3>b-3 B.a+3>b+3 C.-3a<-3b D. a 0 6 5题图 9年级数学试题第1页（共8页） 6.如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠和∠β互余的摆放方式是 A B D 7.化简-2÷a-2 的结果是 0 a2 A.a B.1 C.a-1 D 8.随着“双减”政策的实施和课后延时托管的开展，某学校开设了四门兴趣课程，分别为“绘 画”“声乐”“陶艺”和“书法”。学校规定每人只能选择自己喜欢的一门课程学习，小明 与小亮对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，这两人选择同一门课程的概率是 A c D. 9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点 M,交AB于点N:②分别以点M、N为圆心，以大于N的长为半径画弧，两弧在∠CAB 内部相交于点P:③作射线AP交BC于点D:④分别以点本、D为圆心，以大于？AD的长 为半径画弧，两弧相交于G、H两点；⑤作直线GH,分别交AC、AB于点E、F。依据以上 作图，若AF=5,CE=3,则△ACD的面积是 A.16V7 B.16 C.28 D.32 D y个 10 B M E 9题图 10题图1 10题图2 10.如图1，点E在正方形ABCD的边BC上，且BE=二BC,点P沿BD从点B运动到点D, 设B、P两点间的距离为x,PE十PC=y,图2是点P运动时y随x变化的关系图象，若图象 的最低点M的纵坐标为√10，则最高点N的纵坐标a的值为 A.3+V13 B.3+V10 C.6 D 32+V10 2 9年级数学试题第2页（共8页） 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 注意事项： 所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区 域内（超出方框无效)，不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等。 不按以上要求作答，答案无效。 二、填空题（本大题共5个小题。每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的横线上。） 11.3的算术平方根是 12.如图，小正方形A1B1CD1的4个顶点落在大正方形ABCD的对角线上，随机地往大正方 形内投一个质点，该质点落在阴影区域的概率为 13.如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点B为圆心、AB的长为半径作弧AC,则A 的长度为 A A D B 12题图 13题图 14题图 14,如图，在平面直角坐标系中，点B在函数y=4的图象上，点A在函数y=k(k≠0)的图 象上，若OA=√2OB,∠AOB=90°，则k的值为 15.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=3V3,BC=4,点P为平面内一点，BP=1, 连接AP、CP,点O为△ACP内一点，连接OA、OC、OP则OA十OC+OP的最小值为 ● 15题图 9年级数学试题第3页（共8页） 三、解答题（本大题共10个小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 16.(本小题满分7分) 计第：W5-1+21-9+(兮-an60- 17.(本小题满分7分) 2(x+5)>4-x 解不等式组： 5x一1<x+5，并写出它的所有整数解。 23 18.(本小题满分7分) 如图，在口ABCD中，E、F是对角线AC上两点，且AE=CF。 求证：∠AFD=∠CEB。 E 18题图 19.(本小题满分8分) 如图1所示是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由 转动，底座与水平地面垂直。在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图 2所示，经测量，上臂AB=16dm,中臂BC=8dm,底座CD=4dm。 (1)若上臂AB与水平面平行，∠ABC=60°，计算点A到地面的距离：（结果保留根号） (2)在一次操作中，中臂与底座夹角∠C=135°，上臂与中臂夹角∠B=105°，如图3， 计算此时点A到地面的距离。（精确到0.1dm,参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73) A B C D 19题图1 19题图2 19题图3 9年级数学试题第4页（共8页） 20.(本小题满分8分) 如图，△ABD内接于⊙O,AB是OO的直径，点C为AB延长线上的一点，连接CD, ∠BDC=∠A,过点C作CG⊥AD,交AD的延长线于点G。 (I)求证：CD是⊙O的切线： ②若CG=4,tam∠BDC=2,求AD的长。 20题图 21.(本小题满分9分) 为了解某校八年级学生假期参加社区服务的时间（单位：天），随机调查了该校八年级 a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图1和图2。 人数 16 5天 4 6天 2 m% 1 30% 4天 8 6 7天 8天 15% 4 10% 2 25% 0 5 6 时间/天 21题图1 21题图2 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：a的值为 图2中m的值为 统计的这组学生假期参加社区 服务的时间数据的众数是 天、中位数是 天： (2)求统计的这组学生假期参加社区服务的时间数据的平均数： (3)根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生假期参加社区服 务的时间是8天的人数约为多少？ 级数学试题第5页（共8页） 22.(本小题满分10分) 某公司计划购买A、B两种型号的AI机器人搬运材料。已知A型AI机器人比B型AI 机器人每小时多搬运30kg材料，A型AI机器人搬运900kg所用时间与B型AI机器人搬运 600kg所用时间相等。 (1)求A、B两种型号的AI机器人每小时分别搬运多少材料： (2)该公司计划采购A、B两种型号的AI机器人搬运材料，且要求两种型号的机器人都必 须购买，它们同时工作1小时恰好搬运720kg材料，那么有多少种购买方案？请列出所有可 能的方案。 23.(本小题满分10分) 如图1，一次函数图象与反比例函数y=(≠0)的图象交于A、B两点，点A的横坐标 为2，点B的坐标为（一3，一2）。 (1)求反比例函数的表达式及点A的坐标： (2)如图2，直线AB与x轴交于点C,若点M为y轴正半轴上一点，并且SAMAB=2 SAAOC, 求点M的坐标： (3)点P是x轴上一点，点Q为平面内一点，当以点A、B、P、Q为顶点的四边形是以 AB为一边的矩形时，请求出点P的坐标。 23题图1 23题图2 23题备用图 9年级数学试题第6页（共8页） 24.(本小题满分12分) 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1,BC=3。 【先导问题】 (1)如图1，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DEC,连接AD、BE,线段AD与BE 的数量关系是 ,线段AD与BE的位置关系是 【提炼模型】 (2)如图2，将△ABC绕点C逆时针旋转任意角度得到△DEC,连接AD、BE,AD交CE 于点N,线段AD与BE的数量关系、位置关系与(I)中结论是否一致？请说明理由： 【识别模型、应用模型】 (3)如图3，将△ABC绕点C旋转一定角度得到△DEC,当点D落到AB边上时，连接BE, 求线段BE的长。 E E B D E 24题图1 24题图2 24题图3 (共8页) 25.(本小题满分12分) 二次函数y=ax2+bx一4的图象与x轴交于A(-1,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C。 (1)如图1，求二次函数的表达式及点C的坐标； (2)如图2，点P为线段BC下方二次函数图象上一点，过点P作y轴的平行线交BC于D, 点E为线段CD上一点，满足CE-,过点E作y轴的平行线交CP于点F,当BE即=1时， ED 2 求点P的坐标： (3)如图3，点G坐标为(0，一1)，点M、N分别为线段CB、OB上的点，且满足OW=√2CM, 求GM+MN的最小值。 y 25题图1 25题图2 25题图3 9年级数学试题第8页（共8页、 九年级数学试题参考答案与评分标准 一、 选择题 题号 1 2 3 5 6 7 8 10 答案 A C B D D B A C B A 二、填空题 11.V5 12 13.4π 14.-8 15.√79-1 三、解答题 16.解：原式=V3-1+1+3-√3-2 =3一2 =1 16题评分细则： ①绝对值、零指数幂、三角函数、负指数幂、 台，· ②没写第二行直接写出结果的不扣分。 17.解：解不等式①得：2.x+10>4-x 3.>-6 X>-2…… …2 解不等式②得：3(5x-1)≤2(x+5) 15x-3≤2x+10 13x≤13 x≤1……. …………4 解集为：一2<X≤…。…、…………·………6分 .它的所有整数解为：一1、0、1。····…·…………7分 17题评分细则： 解不等式①、②时，不写求解过程，直接写结果的均扣1分。 18.证明：，四边形ABCD是平行四边形， AD=BC,AD∥BC,…………2分 ∠FAD=∠ECB,…3分 .AE=FC, ,AE十EF=FC十EF,…….。…4分 CE=月F, ……………5分 △FAD≌△ECB,…… ………6分 9年级数学第1页（共12页） ∠AFD=∠CEB。…………·，·………7分 18题评分细则： ①要求体现等式的基本性质这一步(AE十EF=FC+EF),没有体现的只扣这一分，不影响 后面的得分。 ②第一行，四边形ABCD是平行四边形，“平行四边形”写成其他图形的，本题不得分： ③解题过程中，如果出现角的字母或线段字母写错，则不得分，没有“笔下误”。 19.解：(1)如图1，延长DC交AB于M,…………1分 M B D 图1 ,上臂AB与水平面平行，底座与水平地面垂直， ∴.DM⊥AB, ∴.∠BMC=909 .∠ABC=60°，BC=8d1, ∴.sinB= CM BC ∴.sin60° = M3 82 .CM=4V5, …2分 ..DM=CM+CD=(4/3 +4)dm, 过点A作AN⊥ND, ∴.∠AND=90°， ∴.∠AND=∠NDM=∠AMD=90° .四边形ANDM是矩形， ∴.AW=DM=(4V3+4)dm, ………4分 答：点A到地面的距离为(4V3+4)dm; (2)如图2，过点B作BG垂直于地面，垂足为G,分别过点A,C作BG的垂线，垂足分 别为E、F, ∴.∠AEB=∠AEG=90°，∠BFC=∠CFG=90° …5分 9年级数学第2页（共12页） ⊙ Fb -合C 6------iE H G 图2 ∴.∠CFG=∠FGD=∠D=90°， .四边形FGDC是矩形， ∴.∠FCD=90° .∠BCD=135° ∴、∠BCF=135°-90°=45 .∠CBF=45° ,∠ABC=105° ∴.∠ABF=∠ABC-∠CBF=105°-45°=60°， .sin∠CBF= CF BF BC ,coS∠CBF= BC' .sin45°= BF 8 2 ，c0s45°= 8 2 .CF=BF=42,………6分 在Rt△ABE中，∠AEB=90° BE ∴.COS∠ABE= AB BE 1 ∴.c0s60° 16 2 .BE=8dm,……7分 .四边形CFGD是矩形， ∴.FG=CD=4dm, .EG=BF+FG-BE=4V2+4-8=4√2-4≈4×1.41-4=1.64≈1.6dm, 过点A作AH⊥GD, .∠AHG=90°， ∴.∠AHG=∠HGE=∠AEG=90°， .四边形AHGE是矩形， AH=EG=l.6dm,……………8分 ∴.此时点A到地面的距离约为1.6dm。 19题评分细则： ①用三角函数或者勾股定理之前要求体现哪个角等于90度，如果没写的只扣1分： ②第1问中证明AN=DM和第2问中证明AH=EG,可以证矩形，也可以用平行线之间的距 9年级数学第3页（共12页） 离相等，过程只要言之有理即可，因为这个题重在对三角函数的应用和计算。 ③第二问的结果未精确到0.1dm的扣1分： ④解题过程中，如果出现角的字母或线段字母写错，则不得分，没有“笔下误”。 20.解：(1)证明：连接DO,…·………··1分 .OA-OD. ∠A=∠ODA, ∠A=∠BDC, ∠ODA=∠BDC,…。………… 2分 AB是⊙O的直径， .∠ADBs90°， 即∠ODA+∠BDO=90°， ∴.∠BDC+∠BDO=90°，… 3分 即∠ODC=90° ∴OD⊥CD, .OD为⊙O的半径， ∴.CD是⊙O的切线：………4分 (2)解：，∠A=∠BDC, tanM=tan∠BDC=2' …5分 'CG⊥AD, .∠G=90°， .在Rt△ACG中，taM= CG 1 AG 2 .AG=2CG=8, 6分 .∠ADB=90° .BD⊥AG, ,∵CG⊥AG, ∴.BD∥CG .∴.∠DCG=∠BDC, ∴.∠DCG=∠A, .∠G=∠G, ∴△GCD∽△GAC,……7分 GC=GD GA GC 4 GD 即二= 84 解得GD=2, ,AD=AG-DG=8-2=6.………·………8分 9年级数学第4页（共12页） G D B 0 20题评分细则： ①第(1)问作出辅助线，且描述正确的得1分，只描述出辅助线或只作出辅助线的扣1分： ②第(1)问最后没写“OD LCD或OD为⊙0的半径”的只扣1分： ③强调前后逻辑关系，错误的因出来的果也是错误的： ④解题过程中，如果出现角的字母或线段字母写错，则不得分，没有“笔下误”。 21.(1)140,20,6,6:…4分 (2)x=4×6+5×8+6x12+7×4+8×10 6+8+12+4+10 6.1天， …7分 答：统计的这组学生假期参加社区服务的时间数据的平均数是6.1天： (3)500X25%=125人。…···…9分 答：估计该校八年级学生假期参加社区服务的时间是8天的学生人数约为125人。 21题评分细则： ①第(1)问一个空1分 ②第(2)问求平均数，式子得2分，结果1分。 ③式子对得1分，结果得1分。 22.解：(1)设B型AI机器人每小时搬运材料xkg,则A型AI机器人每小时搬运材料(c+30)kg, …1分 900600 依题意列分式方程得： …3分 x+30 整理得：300x=18000, 解得：x=60, ……4分 经检验，x=60是原方程的解且符合题意， 此时x十30=90， …·…5分 答：A型每小时搬运材料90kg,B型每小时搬运材料60kg: (2)设购买A型机器人a台，购买B型机器人b台， 由题意得：90a十60b=720,…····…·· …………6分 .3a+2b=24, 6= 24-3a 3 2 =12-2 .a、b取正整数 9年级数学第5页（共12页） :a=2咸a=4或a=6 或 .9分 b=9b=6b=3 有3种方案： 方案1：购买2台A型机器人，9台B型机器人： 方案2：购买4台A型机器人，6台B型机器人： 方案3：购买6台A型机器人3台B型机器人。 ···…10分 22题评分细则： ①两问中设未知数时不写单位的扣1分，且仅扣一次分： ②第(1)问未写求解方程过程的扣1分（至少一行）： ③第(1)问未写检验的扣1分： ④第2问中，没写3a+2b=24,b=24,=12-,的不扣分 2 ⑤第(2)问中 a=2 a=4 6C9叉6：6款8】1个解1分，方案的内容都写金了得1分，写不全扣 或 或 分，简写不扣分。 23.解：(1)将8(-3，一2)代入反比例函数表达式y=得：一2= 3 ∴.k=-2X(-3)=6, ·反比例函数表达式为y-6: …1分 把x2代入=6得：=3， .A(2,3):…… …2分 (2)设直线AB的函数表达式是y=kx十b, 把A(2,3)、B(一3，一2)代入y=x十b得： [2k+b=3 -3k+b=-2 .5k=5, .k=1, .b=1, ,直线AB的函数表达式是y=x十1， …………3分 当y=0时，x+1=0, ∴.X=一]， .C(-1,0) ∴.C0=1, 5ac-0 ×yA=2×1×33 2 ··……4分 9年级数学第6页（共12页） .SM4B=2SA40C=3 设直线AB与y轴交于点D, D(0,1) .SAMAB- MDx AG+7MDx BH -2MDX(AG+BH) MDx(2+3) =3, 6 .'MD= …5分 :D0=1, ∴M0=D0+MD=+1= 5 5， ∴.M0, 11 …… G H (3)设点P(m,0), .‘A(2,3)B(-3,-2) .AB2=(2+3)2+(3+2)2=50, BP2=(m+3)2+22=(0m+3)2+4, AP2=(m-2)2+32=(0m-2)2+9, ①当四边形ABPQ为矩形时，如图1，∠ABP=90°， ∴.AB2+BP2=AP2, .50+(m+3)2+4=(m-2)2+9, ∴.1=-5， P(-5,0):… ………82分 9年级数学第7页（共12页） 图1 ②当四边形ABQP为矩形时，如图2，∠BAP=90°， ..AB2+AP2=BP2, .50+(m-2)2+9=(m+3)2+4, .1=5, .P(5,0) ………………10分 综上所述，点P的坐标为（一5,0）或(5,0)。 图2 23题评分细则： ①第(1)问不求k值直接写反比例函数解析式的扣1分，没写求A点坐标的过程的扣1分： ②第2)问也可以直接用铅垂法求面积：SA18=方MDx(x厂x8): ③第(2)问解方程组的过程至少写一步，没有过程的扣1分 ④第(3)问分类讨论，两种情况，一种2分，过程言之有理即可： ⑤解题过程中，如果出现角的字母或线段字母写错，则不得分，没有“笔下误”。 24.(1)BE=3AD,AD LBE(或垂直)片…···…2分 (2)线段AD与BE的数量关系，位置关系与(I)中结论一致，·……3分 理由如下： 9年级数学第8页（共12页） 如图2，延长DA交BE于H, E H A B 图2 ,将△CAB绕点C逆时针旋转任意角度得到△CDE, AC=DC=1,BC=CE=3,∠ECB=∠ACD,…4分 能8 1 ………………5分 3 .△BCE∽△ACD, 轮-C-ZC0eZCB,m…68 ∴.BE=3AD, .∠CEB+∠ENH=∠CDA+∠CND=90°， .∴.∠EHD=90°， ∴.AD⊥BE: ……7分 (3)如图3，过点C作CN⊥AB于N, A E 图3 ∠ACB=90°，AC=1,BC=3, °，AB=VAC2+BC2=V1+9=V10, 8分 .CN⊥AB, ∴.∠ANC=90°=∠ACB, 又，∠A=∠A, .△ACN∽△ABC, ……9分 :4C=N ”ABAC AN=/10 10 ……………………10分 9年级数学第9页（共12页） ,AC=DC,CN⊥AB, ∴.AD=2AN= V10 5 ……11分 由(2)可知：8E=34D=3V10 …………12分 24题评分细则： ①第(1)问满分2分，一个空1分： ②第(2)问，写“线段AD与BE的数量关系，位置关系与(1)中结论一致”这个结论1分： ③第(2)问和第(3)问中，书写△BCE∽△ACD、△ACN∽△ABC时，字母不对应，或者 “∽”符号写错的扣1分： ④第(3)问证明△ACW∽△ABC过程有误的，本步骤及后边均不得分： ⑤第(3)问用勾股定理前面没有写∠ACB=90°的扣1分： ⑥解题过程中，如果出现角的字母或线段字母写错，则不得分，没有“笔下误”。 25.解：(1)将A(一1,0)、B(4,0)代入抛物线表达式y=ax2+bx一4得： [a-b-4=0① …1分 16a+4b-4=0② 由②得：4a+b-1=0③， ①+③得5a=5, a=1, 把a=1代入①得：b=一3· ……、…2分 ∴y=x2-3x4,…… ………、3分 将x=0代入y=x2-3x-4得：y=-4, ∴.C(0,-4): ……4分 (2):CE、1 ED 2 .CE1 CD 3 .PD∥y轴，EF∥y轴， ∴.PD∥EF, ∴.∠CEF=∠CDP,∠CFE=∠CPD, .△CEF∽△CDP,……5分 EF CE DP CD EF 1 DP 3 .EF=1, .DP=3, 设直线BC的表达式为：y=x+b, 将B(4,0)、C(0,一4)代入y=x+b得： 9年级数学第10页（共12页） 4k+b=0 b=-4 k=1, .直线BC的表达式为：y=X一4，·……6分 设P(m,m2-3m-4), ∴.D(m,1-4) PD=yD一'P =m-4-(m2-3m-4) =-772十4m=3,……7分 .m2-4m+3=0, .1=1,m2=3, P(1,-6)或P(3,-4): ………。…8分 (3)如图，以ON为斜边在x轴下方构造等腰直角△OHN, .∠OHN=90°，OH=NH, ∴.∠HON=∠HNO=45°， ∴.ON=V2OH, .ON-2 CM, ∴.CM=OH, …9分 过点C作CN⊥OC,且CN1=OC,连接CH、MN, ∴.∠OCN1=90° C(0,-4), ∴.OC=CN1=4, .N1(4,-4), :∠C0B=90°，∠HON=45° ∴.∠C0H=45°， .OC=0B, ∴.∠OCB=∠OBC=45°， ∴.∠MCM1=45°， .∴，∠COH=∠MCN1=45° .△COH≌△NCM, ∴.CH=MN1, OH=NH,CM=OH, NH=CM,… …10分 :∠ONH=∠OBC=45 .NH∥CM, '.四边形CMNH为平行四边形， ∴.CH=MN, 9年级数学第11页（共12页） 六MN=MW1,…·………11分 ∴、GM+MN=GM+MM, 当点G、M、N共线时，GM+MN1有最小值为GN, .G0,-1),C(0,-4) .CG=3, .CN1=OC=4,∠GCM1=90°￥ .GW1=VCG+CN2=V32+4=5, GM什MN的最小值为5。…12分 25题评分细则： ①第(1)问中解方程组的过程至少写一步，没有过程的扣1分： ②第(1)问中没写过程直接写表达式的不得分： ③第(1)问中a=1,b=一3两个结果都算对的得1分： ④第(2)问△CEF∽△CDP,字母不对应，或者“∽”符号写错的扣1分： ⑤第(3)问构造方法不唯一，构造正确、符合逻辑，过程言之有理即可。 ⑥解题过程中，如果出现角的字母或线段字母写错，则不得分，没有“笔下误”。 9年级数学第12页（共12页）