第八章 空间几何体的展开图与最短路径问题讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦空间几何体的展开图与最短路径这一核心知识点，系统梳理棱柱、棱锥、圆柱、圆锥及圆台的展开图特征，构建从平面展开到空间路径转化的学习支架，帮助学生掌握不同几何体表面最短路径的求解方法。 该资料以题型分类为特色，通过正方体表面路径、圆锥侧面绕行等实例，培养学生用数学眼光观察空间形式、用数学思维推理路径转化的能力，课中辅助教师分层教学，课后助力学生针对性练习，有效提升空间观念与模型意识。

第八章 空间几何体的展开图与最短路径问题 目录 题型1：棱柱的展开图及最短路径 3 题型2：棱锥的展开图及最短路径 6 题型3：圆柱的展开图及最短路径 7 题型4：圆锥、圆台的展开图及最短路径 8 问题 几何体展开图 长方体中从一个顶点到对角顶点，表面最短路径为 分别为上的动点，求周长的最小值 为上的动点，为上的定点，求的最小值 底面上一点绕侧面一圈的最短路径 底面上一点绕侧面到另一点的最短路径 求的最小值 求的最小值 题型1：棱柱的展开图及最短路径 【例1.1.】 直四棱柱的所有棱长均为1，为棱上的动点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【例1.2.】 如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为_______． 【例1.3.】 已知棱长为2的正方体，棱的中点为，从点沿着正方体表面到点的最短路径的长度为__________． 【例1.4.】 如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱和上的动点，求周长的最小值．    【例1.5.】 如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点，分别为棱和上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例1.6.】 在我国古代数学名著《九章算术》中，把底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，现有一堑堵，，，点为棱的中点，点在棱上运动，则的周长的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【例1.7.】 如图，在长方体中，，，是上一动点，求的最小值．    【例1.8.】 如图，在长方体中，是棱上的一个动点，过三点的平面截长方体所得截面的周长的最小值为______． 【例1.9.】 如图，已知正方体中，，点P为线段上的动点，Q为平面内的动点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【例1.10.】 如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，是线段上的动点，当取得最小值时，的面积为（    ） A． B． C． D． 题型2：棱锥的展开图及最短路径 【例2.1.】 如图，在四棱锥中，侧棱长均为，正方形的边长为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【例2.2.】 如图，正三棱锥的底边长为2，. 一只小虫从点出发，沿三个侧面爬行一周，回到点. 则爬行的路径最短为________. 【例2.3.】 在正四棱锥中，，是侧棱上靠近的四等分点，一只蚂蚁从出发沿该正四棱锥的表面爬行到，设该蚂蚁爬行的最短路径长度为，则_________ 【例2.4.】 设正四棱锥的底面边长和高都是1，点，，分别在线段，，上，则的最小值是________． 【例2.5.】 《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为____. 【例2.6.】 已知三棱锥的底面ABC是边长为1的等边三角形，平面ABC且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点P，则其爬过的路程最小值为（    ） A． B． C． D． 【例2.7.】 如图，在三棱锥中，平面BCD，，，已知动点E从C点出发，沿四棱锥的外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为______．    题型3：圆柱的展开图及最短路径 【例3.1.】 边长为的正方形是圆柱的轴截面，则从点沿圆柱的侧面到相对顶点的最短距离（单位：cm）是（    ） A． B．12 C． D． 【例3.2.】 如图，圆柱的轴截面ABCD是一个边长为6的正方形，一只蚂蚁从点A出发绕圆柱表面先爬到上底面圆周上，再爬到BC的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为______.    【例3.3.】 如图，圆柱形开口容器下表面密封，其轴截面是边长为的正方形.现有一只蚂蚁从外壁处出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到中点处，则它所需经过的最短路程为______. 【例3.4.】 如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点． (1)求圆柱的侧面积和体积； (2)若，是的中点，点在线段上，求的最小值． 题型4：圆锥、圆台的展开图及最短路径 【例4.1.】 如图，圆锥的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【例4.2.】 已知在圆锥SO中，底面圆O的直径，圆锥SO的体积为，点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，则它爬行的最短距离为_______. 【例4.3.】 已知圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，一只蚂蚁从点出发，沿着圆锥的表面爬到点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（    ） A． B．4 C． D．6 【例4.4.】 如图几何体是圆锥的一部分，其中．从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是（   ） A． B． C． D． 【例4.5.】 如图，在直角梯形中，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体．一只蚂蚁在形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，则蚂蚁爬行的最短路程为_____．    【例4.6.】 圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4.已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径长为_____. 【例4.7.】 如图所示，圆台的上、下底面半径分别为和，母线，从圆台母线的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点．则绳子的最短长度为______；当绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离为______．    【例4.8.】 如图，已知圆台的轴截面为梯形，梯形的面积为.    (1)求圆台的体积； (2)在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长度是多少？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 空间几何体的展开图与最短路径问题 目录 题型1：棱柱的展开图及最短路径 3 题型2：棱锥的展开图及最短路径 13 题型3：圆柱的展开图及最短路径 19 题型4：圆锥、圆台的展开图及最短路径 23 问题 几何体展开图 长方体中从一个顶点到对角顶点，表面最短路径为 分别为上的动点，求周长的最小值 为上的动点，为上的定点，求的最小值 底面上一点绕侧面一圈的最短路径 底面上一点绕侧面到另一点的最短路径 求的最小值 求的最小值 题型1：棱柱的展开图及最短路径 【例1.1.】 直四棱柱的所有棱长均为1，为棱上的动点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【难度】0.55 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【详解】 将所在平面与所在平面展平至同一平面内，如右图 在左图中，由于，，得是等边三角形，故． 在右图中，． 两点之间线段最短，连接，最小为． 【例1.2.】 如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为_______． 【答案】 【难度】0.62 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【详解】根据正方体结构，将面以为轴旋转展开，与面在同一个平面内， 易知：要使最小，即为上述所得平面内． 【例1.3.】 已知棱长为2的正方体，棱的中点为，从点沿着正方体表面到点的最短路径的长度为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】把两个平面展开到同一平面内，利用两点之间线段最短进行求解即可. 【详解】 将面与面展开到同一平面内，连接，如图： 因为正方体的棱长为2，所以； 将面与面展开到同一平面内，连接，如图： 此时； 因为，所以从点沿着正方体表面到点的最短路径的长度为. 故答案为：. 【例1.4.】 如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱和上的动点，求周长的最小值．    【答案】． 【难度】0.65 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】求解某些几何体表面的线段长度最值问题，需要把相关线段转化到同一个平面上，变成同一平面上的线段最值问题，即把立体几何问题转化为平面几何问题． 【详解】如图，连结，，由可得．    将平面绕轴旋转到与对角平面在同一平面上的，得， 因为，， 所以的周长， 所以周长的最小值为． 【例1.5.】 如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点，分别为棱和上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】画出棱柱的侧面展开图，由图可得最短距离为对角线的长，利用勾股定理即可求. 【详解】正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为，宽为， 则其对角线的长为的最小值， 即最小值为. 【例1.6.】 在我国古代数学名著《九章算术》中，把底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，现有一堑堵，，，点为棱的中点，点在棱上运动，则的周长的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】利用侧面展开图可求周长的最小值. 【详解】由堑堵的定义可知， 又，，所以， 又点为棱的中点，则， 所以， ， 所以最小时，的周长最小， 如图，将面与面展开在一个平面内，连接，与的交点即为， 则此时最小， 则. 所以的周长的最小值为.    故选：C 【例1.7.】 如图，在长方体中，，，是上一动点，求的最小值．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】将沿为轴旋转至与平面共面，可得，利用求解即可． 【详解】如图，将以为轴旋转至与平面共面位置，旋转后的点记为， 由图可知， 取的中点，连结， 由已知条件可知，， 根据勾股定理可得， 即的最小值为．    【例1.8.】 如图，在长方体中，是棱上的一个动点，过三点的平面截长方体所得截面的周长的最小值为______． 【答案】6 【难度】0.38 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】作辅助线，得出截面图形，再由侧面与沿着展开，利用两点间距离最短求周长最小值. 【详解】在长方体的棱上取一点，满足，连接，． 因为，，，所以，同理可证． 则四边形为平行四边形，且是过，，三点的平面截长方体所得截面,则周长．将侧面与沿着展开，得侧面展开图如图, 当，，三点共线时，有最小值，． 【例1.9.】 如图，已知正方体中，，点P为线段上的动点，Q为平面内的动点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】利用几何法，结合平面展开图，可找到最小距离，通过计算即可得到答案. 【详解】 当，即可得平面，此时是最小距离， 然后把平面与平面展开成共面， 如第二个图：即可得过作的垂线，垂足为 此时，即此时取到最小值， 因为在正方体中，， 所以 ， 所以， 即的最小值是 【例1.10.】 如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，是线段上的动点，当取得最小值时，的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.42 【知识点】证明线面垂直、棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】通过将沿翻折至与共面，把空间中求最小值的问题，转化为平面内三点共线时的线段最短问题，结合已知边长与正方形性质，计算出相关线段长度，利用勾股定理求得等腰 的高，进而算出其面积. 【详解】如图，将沿着翻折，使其与共面， 可知当三点共线时，取得最小值. 过作，因为，侧面是正方形， 所以， 因为在直三棱柱中，，，，所以平面， 又平面，所以，翻折之后两者的垂直关系不变， 则为的中点，则， 则的边上的高为， 则的面积为. 题型2：棱锥的展开图及最短路径 【例2.1.】 如图，在四棱锥中，侧棱长均为，正方形的边长为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】棱锥的展开图、余弦定理解三角形 【分析】利用四棱锥的侧面展开图，由余弦定理求解，即可得，进而可求解. 【详解】如图，将正四棱锥的侧面展开，则的最小值为， 在中，， ， 所以，故，则. 故选：A 【例2.2.】 如图，正三棱锥的底边长为2，. 一只小虫从点出发，沿三个侧面爬行一周，回到点. 则爬行的路径最短为________. 【答案】 【难度】0.56 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】根据正三棱锥的侧面展开图求得正确答案. 【详解】正三棱锥的侧面展开图如下图所示， 因为为正三棱锥，所以， 依题意可知，所以三角形是等腰直角三角形， 在中，由余弦定理可得：， 所以，解得：， 所以. 所以最短路程为. 【例2.3.】 在正四棱锥中，，是侧棱上靠近的四等分点，一只蚂蚁从出发沿该正四棱锥的表面爬行到，设该蚂蚁爬行的最短路径长度为，则_________ 【答案】 【难度】0.49 【知识点】正棱锥及其有关计算、棱锥的展开图 【分析】把正四棱锥的侧面和，沿展成一个平面图形，在中，利用余弦定理，即可求解. 【详解】根据题意，把正四棱锥的侧面和，沿展开成一个平面图形， 如图所示，可得， 因为点是上靠近的四等分点，且，可得， 在中，由余弦定理得， 即该蚂蚁爬行的最短路径长度为， 所以. 【例2.4.】 设正四棱锥的底面边长和高都是1，点，，分别在线段，，上，则的最小值是________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】正棱锥及其有关计算、余弦定理解三角形、二倍角的余弦公式、棱锥的展开图 【分析】先求出侧棱长，再将打开，则，由余弦定理求得，设，由二倍角公式求得，再次利用余弦定理求出，利用二次函数的性质求得，最后利用对称性即得答案. 【详解】 如图1，，则，同理可得， 由余弦定理，， 设，如图2，将打开，易得， 因， 由余弦定理，， 因为，故当时，，即， 由对称性可得，故当且仅当点与点重合时，的最小值是. 故答案为：. 【例2.5.】 《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】棱锥的展开图 【分析】结合垂直关系可得侧面的展开图，由此可确定当，时，取得最小值；利用长度关系和两角和差公式可求得，进而得到最小值. 【详解】平面，平面，，， ，，平面，平面， 又平面，； 将侧面沿展开，得到展开图如下图所示， 则当，时，取得最小值； ，，，， ，， ， . 故答案为：. 【例2.6.】 已知三棱锥的底面ABC是边长为1的等边三角形，平面ABC且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点P，则其爬过的路程最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】棱锥的展开图、棱锥的结构特征和分类 【分析】利用垂直条件证明得平面，即可得平面平面，然后根据平面展开图判断最短距离，再利用勾股定理计算求解即可. 【详解】将底面旋转，以为轴，旋转至平面与平面共面，如图， 设的中心为，此时为最短距离，设到直线的距离为， 则，所以. 故选：B 【例2.7.】 如图，在三棱锥中，平面BCD，，，已知动点E从C点出发，沿四棱锥的外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为______．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、棱锥的展开图、球的表面积的有关计算 【分析】先展开平面图，根据最短距离，利用余弦定理求得，然后将该棱锥补成一个长方体求得其外接球的半径，进而代入球的表面积公式求解即可. 【详解】三棱锥的部分平面展开图如图所示：    设，由题意得：，， 在中，由余弦定理得：， 即，即， 解得或（舍去），如图所示：    该棱锥的外接球即为长方体的外接球， 则外接球的半径为：， 所以该棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 题型3：圆柱的展开图及最短路径 【例3.1.】 边长为的正方形是圆柱的轴截面，则从点沿圆柱的侧面到相对顶点的最短距离（单位：cm）是（    ） A． B．12 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】将圆柱展开得到从到的最短路径长即线段的长，利用勾股定理计算即可得到答案. 【详解】圆柱的侧面展开图如图所示， 展开后， ∴，即为所求最短距离． 故选：A. 【例3.2.】 如图，圆柱的轴截面ABCD是一个边长为6的正方形，一只蚂蚁从点A出发绕圆柱表面先爬到上底面圆周上，再爬到BC的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为______.    【答案】 【难度】0.85 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】将由轴截面分成的半圆柱侧面展成平面图形，再作点E关于直线DC的对称点即可求解. 【详解】将由轴截面分成的半圆柱侧面展成平面图形，得长宽分别为的矩形， 作点E关于直线DC的对称点，连接交于，连接，如图，   ，所以所求最短距离为. 故答案为：. 【例3.3.】 如图，圆柱形开口容器下表面密封，其轴截面是边长为的正方形.现有一只蚂蚁从外壁处出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到中点处，则它所需经过的最短路程为______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出的最小值就是AE的长求解即可. 【详解】侧面展开后得矩形，其中， 问题转化为在上找一点，使最短， 作P关于CD的对称点E，连接AE， 令AE与CD交于点Q，则的最小值就是AE为 故答案为：. 【例3.4.】 如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点． (1)求圆柱的侧面积和体积； (2)若，是的中点，点在线段上，求的最小值． 【答案】(1)，； (2). 【难度】0.85 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题、圆柱表面积的有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】（1）根据圆柱的侧面积和体积公式直接计算即可； （2）将三角形旋转到，使得和轴截面共面，根据三点共线时，取得最小值即可求解. 【详解】（1）由题知，底面半径为2，母线长为4， 所以圆柱的侧面面积， 圆柱的体积. （2）记底面圆心为O，连接， 因为底面半径为2，， 将三角形旋转到，使得和轴截面共面，如图： 则， 当三点共线时，取得最小值. 题型4：圆锥、圆台的展开图及最短路径 【例4.1.】 如图，圆锥的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题、锥体体积的有关计算 【分析】把圆锥侧面展开成扇形，由平面上两点间线段最短求得底面半径，再根据体积公式计算出体积． 【详解】沿过点的母线剪开摊平为扇形，如图，由已知，， 所以，， 设圆锥底面半径为， 则，， 所以圆锥的高为， 所以圆锥体积为． 【例4.2.】 已知在圆锥SO中，底面圆O的直径，圆锥SO的体积为，点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，则它爬行的最短距离为_______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】先根据体积公式得出，将圆锥沿母线展开，结合圆心角的大小，利用余弦定理求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，底面的半径为， 圆锥SO的体积为，解得. 由勾股定理，可得母线， 如图，圆锥的侧面展开图为扇形，在该扇形展开图中的计算如下， 因为扇形的弧长为，所以扇形的圆心角，则， 在中，由余弦定理可得，所以， 因为，所以蚂蚁爬行的最短距离为的长度，即蚂蚁爬行的最短距离为. 【例4.3.】 已知圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，一只蚂蚁从点出发，沿着圆锥的表面爬到点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】由扇形弧长公式求得，则，由勾股定理即可求解． 【详解】由题意可知圆锥的底面半径，母线， 侧面展开所得扇形的圆心角，则， 因为是的中点，所以， 则这只蚂蚁爬行的最短距离， 故选：C． 【例4.4.】 如图几何体是圆锥的一部分，其中．从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.52 【知识点】余弦定理解三角形、圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】将侧面展开为平面，求出对应圆心角及弧长，再利用余弦定理计算两点间线段长度即可. 【详解】圆锥高底面，已知，， 由勾股定理得母线长 ， 底面中劣弧的长度为，占底面圆周的， 圆的周长为，则几何体所在的圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为， 所以侧面展开图中的弧的长为， 设圆心角，由弧长公式得 ， 由余弦定理， 得，则从点出发沿曲面运动到点的最短路线的距离是. 【例4.5.】 如图，在直角梯形中，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体．一只蚂蚁在形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，则蚂蚁爬行的最短路程为_____．    【答案】12 【难度】0.85 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题、圆台的展开图、由平面图形旋转得旋转体 【分析】根据已知几何体是母线长为6，上下底面半径分别为的圆台，其侧面展开图为圆环的一部分，将其补为圆锥并将侧面展开，即可求蚂蚁爬行的最短路程. 【详解】由题意，几何体是母线长为6，上下底面半径分别为的圆台，其侧面展开图为圆环的一部分， 所以，可将几何体补为母线长为12，底面半径为2的圆锥，再将其侧面展开如下图示，    所以圆环的一部分，即为圆台的侧面展开图，而， 所以为等边三角形，故蚂蚁爬行的最短路程为线段. 故答案为：12 【例4.6.】 圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4.已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径长为_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】利用侧面展开结合图形求解最短距离. 【详解】P为圆台母线AB的中点，分别为上下底面的圆心，把圆台扩成圆锥，如图所示， 则，，， 由，有，，， 圆锥底面半径，底面圆的周长为，母线长， 所以侧面展开图的扇形的圆心角为，即，如图所示， 质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P， 连接，，，有. 此时点到的距离为，则运动的最短路径为展开图中弦， 所以该质点运动的最短路径长为. 故答案为：. 【例4.7.】 如图所示，圆台的上、下底面半径分别为和，母线，从圆台母线的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点．则绳子的最短长度为______；当绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离为______．    【答案】 4 【难度】0.65 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题、圆台的展开图 【分析】将圆台侧面展开，利用两点之间线段最短即可求解第一空，第二空求点到线距离即可.. 【详解】如图所示，将圆台侧面展开，则绳子的最短长度为侧面展开图中的长度．    设，由得，所以， ，． 在中，． 所以绳子的最短长度为． 如图所示，过O作于Q，交弧于P，则长为所求最短距离． 因为，即，所以， 所以，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为． 故答案为：，. 【例4.8.】 如图，已知圆台的轴截面为梯形，梯形的面积为.    (1)求圆台的体积； (2)在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长度是多少？ 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】（1）由得圆台的下底面和上底面的半径，又由梯形的面积求得高，最后利用圆台的体积公式即可求解； （2）由圆台性质，延长交于点，由与相似即可计算,设该圆台的侧面展开图的圆心角为，计算出圆心角为，在侧面展开图中，连接，即可计算出的最短距离. 【详解】（1）由，得圆台的下底面的半径为，上底面的半径为， 设圆台的高为，则，所以， 所以圆台的体积为. （2）在梯形中，，即母线长为3. 如图，由圆台性质，延长交于点， 由与相似，得，即，解得. 设该圆台的侧面展开图的圆心角为， 则，所以， 在侧面展开图中，连接，则从点到的最短路径为线段， 又在中，， 由余弦定理得， 所以. 验证知，由，得， 此时，恰与扇形弧所在圆相切于点，满足题意.    ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $