精品解析：安徽芜湖皖江中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第八章第3节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以的虚部为2. 2. 下列几何体为旋转体的是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱台 C. 六棱柱 D. 圆台 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转体定义得解. 【详解】在四个选项涉及的几何体中，只有圆台是旋转体. 故选：D. 3. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共线定理求解即可. 【详解】由，知，解得. 故选：D. 4. 如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】是用斜二测画法得到的直观图，其中，， 则， 中，，， ． 5. 设，是两个不共线的向量，且，，，若A，C，D三点共线，则m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】因为，， 所以，又， 所以，又，，三点共线， 所以， 解得，故选A． 6. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱与球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设球的半径为，则球的体积， 又圆柱的底面直径和高都等于球的半径，所以圆柱的体积， 所以圆柱与球的体积之比为． 7. 已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用投影向量公式和数量积的运算即可求出结果. 【详解】由，得， 即，所以， 又，所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B 8. 如图，两座山峰的高度米，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（三点在同一水平面上）测得点的仰角为点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ） 等级计算方法 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【详解】在中，， 在中，， 在中， 米. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 正四棱柱的侧面都是正方形 B. 棱台的侧棱延长后交于一点 C. 正六棱锥的侧面都是全等的等腰三角形 D. 四面体的每个侧面都是等边三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】根据棱锥，棱柱，棱台的定义和性质判断选项. 【详解】正四棱柱的底面为正方形，侧棱垂直于底面，则其侧面为矩形，不一定为正方形，A错误； 用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台，所以棱台的侧棱延长后交于一点，B正确； 正六棱锥的底面为正六边形，侧棱都相等，所以侧面都是全等的等腰三角形，C正确； 四面体的每个侧面都是三角形，不一定为等边三角形，D错误. 10. 已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（    ） A. 为实数 B. C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】设复数，然后逐个分析判断即可. 【详解】对于A，设复数，则， 则，为实数，故A正确； 对于B，，，则，故B正确； 对于C，若，不妨取，则不成立，故C错误； 对于D，，则 ， ，则 ， 则，故D正确. 故选：ABD. 11. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则符合条件的有且仅有一个 B. 若，则是等边三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则为等腰三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】由余弦定理解得第三边长可判断A；由余弦函数的值域可判断B；利用等式变形为边长间关系可得C；先由正弦定理边化角和平方关系得到，再结合余弦型函数的单调性可得D. 【详解】由余弦定理得，即，解得，故符合条件的有两个，A错误； 由于，所以， 故0，整理得，所以为等边三角形，B正确； 因为，所以，，所以是锐角三角形，C正确； 由正弦定理及，得， 所以，即， 显然，， 函数在，上单调递增，且当时，，当时，， 由，可得，是等腰三角形，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数是纯虚数，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为是纯虚数，所以且，解得. 13. 已知正四棱台的上、下底面边长分别是3cm和9cm，侧棱长为5cm，则该棱台的表面积为________． 【答案】186 【解析】 【详解】因为正四棱台的上、下底面边长分别是3cm和9cm，侧棱长为5cm，所以棱台的斜高为 ， 所以该棱台的表面积为． 14. 在中，点分别是的三等分点，且，则__________. 【答案】6 【解析】 【分析】利用向量基本定理和向量数量积运算法则进行求解 【详解】记的中点为，则为的中点， ， ， 所以， 同理可得， 所以，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c． （1）若，求； （2）若，，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以， 由余弦定理得． 【小问2详解】 因为，且， 所以， 由正弦定理得， 所以． 16. 已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足 （1）求的值； （2）在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）令且，根据已知等量关系得，进而求复数的模； （2）由已知有，结合其所在象限列不等式组求参数范围. 【小问1详解】 令且，则， 所以，则，可得， 所以，则； 【小问2详解】 由， 故对应点在第三象限，则， 所以，即. 17. 已知非零向量，满足，且，. （1）求的值； （2）证明：； （3）设与的夹角为，求及的值. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3），. 【解析】 【分析】（1）由条件，结合数量积的运算律求； （2）由条件根据数量积运算律求，再计算，由此证明结论； （3）根据模的性质和数量积运算律求，根据向量夹角公式求. 【小问1详解】 因为， 所以，故， 又， 所以， 【小问2详解】 因为， 所以，又， 所以， 所以， 所以； 【小问3详解】 因为， 所以， 因为， 又，，， 所以. 18. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，的面积为． （ⅰ）求的周长； （ⅱ）若点是边上的一点，记的面积为，的面积为，求当取得最小值时，的长． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）由已知三角等式结合正弦定理化角为边,整理变形凑出余弦定理形式,算出,由得. （2）（ⅰ）代入用三角形面积公式求出边长,再由余弦定理求边,三边相加得周长. （ⅱ）设上线段比例,由同高三角形面积比等于底边比,表示出,乘后用基本不等式求最值,确定的值,先由余弦定理求,再在中用余弦定理算出长. 【小问1详解】 因为 由正弦定理，为外接圆半径. 所以，即， 所以， 又，所以． 【小问2详解】 （ⅰ），解得． 由余弦定理，得，所以， 所以的周长为 ． （ⅱ）设，，，，， 所以，则， 所以， 同理可得，所以: ， 当且仅当，即，时等号成立，所以． 又在中，， 在，， 所以． 19. 如图，在中，是边上靠近点B的三等分点，O是的中点. （1）如图1，延长交于点Q. （i）若，求的值； （ⅱ）若，，，求的余弦值； （2）如图2，E，F分别是边，上的动点，且E，O，F三点共线，求的取值范围. 【答案】（1）（i）；（ⅱ） （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）结合图象根据向量线性运算法则可得，设，根据向量共线定理的推论可求，再结合平面向量基本定理求结论； （ⅱ）结合（i）由数量积的运算律求，，再根据向量夹角公式求结论； （2）设，，结合向量共线推论可得，根据数量积的定义求的表达式，结合二次函数性质求结论. 【小问1详解】 （i）因为是上靠近点的三等分点，所以， 所以， 因为是的中点，所以， 设，则， 因为，，三点共线，所以，解得， 所以，即， 所以， 所以，，. （ⅱ） ， ， ， . 【小问2详解】 设，， 又，所以， 因为，，三点共线，所以，所以， 因为，所以，所以，所以， 所以， 当时，，， 即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第八章第3节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. 4 B. C. D. 2 2. 下列几何体为旋转体的是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱台 C. 六棱柱 D. 圆台 3. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 设，是两个不共线的向量，且，，，若A，C，D三点共线，则m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 6. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱与球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，两座山峰的高度米，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（三点在同一水平面上）测得点的仰角为点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ） 等级计算方法 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 正四棱柱的侧面都是正方形 B. 棱台的侧棱延长后交于一点 C. 正六棱锥的侧面都是全等的等腰三角形 D. 四面体的每个侧面都是等边三角形 10. 已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（    ） A. 为实数 B. C. 若，则 D. 11. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则符合条件的有且仅有一个 B. 若，则是等边三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则为等腰三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数是纯虚数，则的值为__________. 13. 已知正四棱台的上、下底面边长分别是3cm和9cm，侧棱长为5cm，则该棱台的表面积为________． 14. 在中，点分别是的三等分点，且，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c． （1）若，求； （2）若，，，求． 16. 已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足 （1）求的值； （2）在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围. 17. 已知非零向量，满足，且，. （1）求的值； （2）证明：； （3）设与的夹角为，求及的值. 18. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，的面积为． （ⅰ）求的周长； （ⅱ）若点是边上的一点，记的面积为，的面积为，求当取得最小值时，的长． 19. 如图，在中，是边上靠近点B的三等分点，O是的中点. （1）如图1，延长交于点Q. （i）若，求的值； （ⅱ）若，，，求的余弦值； （2）如图2，E，F分别是边，上的动点，且E，O，F三点共线，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $