精品解析：江苏姜堰中学2026届高三年级5月学情调研数学试题

2026届高三年级5月学情调研 数学 （本卷满分150分，时长120分钟） 命题人：高三备课组 2026．05 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合，，则 2. 已知，且，其中，为实数，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】，则， ， 即，解得，. 3. 一组样本数据为5，18，22，26，若去掉其中一个数据后，所得新样本的平均数增大，则去掉的数据为（ ） A. 5 B. 18 C. 22 D. 26 【答案】A 【解析】 【详解】原始数据的平均数为， 设去掉的数据为，则所得新样本的平均数为， 得， 故去掉的数据为. 4. 已知直线，向量与该直线的一个法向量垂直，则实数（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】的法向量为，因此，故. 5. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为. 因为，所以，即， 所以， 所以，即. 6. 底面边长为的正四棱锥，高为，被平行于其底面的平面所截，若截得的小正四棱锥的侧面积是原正四棱锥侧面积的，则所得棱台的体积为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用相似棱锥侧面积比为相似比的平方，由面积比得相似比，可得棱台的体积为是原正四棱锥体积的，算出体积即可. 【详解】原正四棱锥底面边长，高，设截得小正四棱锥与原棱锥相似比为. 由相似几何体的性质，侧面积比等于相似比的平方，即，得. 所以小正四棱锥的体积是原正四棱锥体积的，所得棱台的体积为是原正四棱锥体积的， 则棱台体积. 7. 医学规定：服用某药物后，100mL血液中药物浓度不超过14mg时，可正常驾驶机动车.某患者服药后，血液中药物浓度瞬间升至2.1mg/mL；停止服药后，血液中药物含量每小时以剩余量的30%匀速衰减.则该患者至少经过多少小时后可正常驾驶.（ ） 参考数据：，， A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由题意建立不等式，结合对数的运算法则，代入参考数据后即可求解. 【详解】由题意得，血液中药物浓度不超过时，可正常驾驶机动车， 设患者服药后经过小时可正常驾驶，由题意得， 即，两边同时取对数得， 即，， ，代入参考数据得， 整理得，故至少经过小时后可正常驾驶. 8. 已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于x的方程 恰有4个互不相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】对该方程进行因式分解，得到的可能取值，分析时的分段函数图象和性质，再利用奇函数性质得到和时的图象，结合的图象确定的取值. 【详解】由因式分解得： 即或. 是定义在上的奇函数，则； 由题意知当 时， ， 当 时，，则， 当 时，，则， 以此类推，可作出当时时的图象，再由奇函数对称性可得时时的图象，如图所示： 结合图象可知，和的图象有2个交点，即有2个根； 当时，和的图象有2个交点，即有2个根， 结合图象可知其他选项不合题意， 所以，满足原方程恰有4个互不相等的实数根. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，且，正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为9 B. 的最小值为18 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意求出，对于A，利用即可判断；对于B，根据即可判断；对于C，，结合基本不等式即可判断；对于D，根据即可判断. 【详解】因为，且， 所以，即， 对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，， 当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D，， 故，所以D错误. 10. 已知椭圆的上顶点为A，左、右焦点分别为，离心率，过且垂直于直线的直线与椭圆C交于D，E两点，，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆C的长轴长为8 B. 的周长为20 C. 直线DE的倾斜角为 D. 为等边三角形 【答案】CD 【解析】 【分析】根据离心率得出，求出直线的斜率即可判断CD；设 ，在，中利用余弦定理可得，，利用可得判断A；根据 可判断B. 【详解】由题意得，，，则， 直线的斜率为，则， 因为，所以为等边三角形，故D正确； 因为，所以直线DE的倾斜角为，故C正确； 设 ， 由椭圆定义可知， ，， 则 ， ， 在，中利用余弦定理得， ， ， 得，， 则 ， 得，故椭圆C的长轴长为，故A错误； 因为是线段的中垂线，所以， 所以的周长为 ，故B错误. 11. 如图，在水平直线上取长度为1的线段AB，作等边，以点B为圆心，BA为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第1段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E（第2段圆弧），以此类推，得到由多段圆弧首尾相连的“蚊香”.圆弧圆心按B，C，A循环出现，设第n段圆弧的半径为，弧长为，前n段圆弧的总长度为，则下列说法正确的是（ ） A. 每段圆弧对应的圆心角恒为 B. 对任意正整数n，均有，的奇数项、偶数项各自成等差数列 C. 当时，前n段圆弧总长度满足 D. 的最小正整数n为14 【答案】ABC 【解析】 【分析】每段圆弧的圆心为等边三角形顶点，根据对应的圆心角判断选项A；分析半径的递推规律，再由奇数项、偶数项的递推，判断是否为等差数列，可以判断选项B；计算每段弧长公式为，再结合等差数列求和公式求解，判断选项C；结合求和公式建立关于的不等式，求解判断选项D. 【详解】选项A，是等边三角形，每个内角为，每段圆弧的圆心为三角形顶点， 其所对应的圆心角都是，即所有圆弧圆心角均为，A正确. 选项B，计算前几段半径得：，，，，...，即， 因此； 的奇数项依次为，公差为，是等差数列； 其偶数项依次为，公差为，也成等差数列，B正确. 选项C，弧长，前段总弧长， 当 时，，C正确. 选项D，要求，即，得 因为，即，不满足大于，且数列 为递增数列， 故最小满足条件的，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 校园运动打卡将每日运动时长划分为1，2，3，4，5，6共6个等级，随机抽取连续2天的打卡等级，则2天运动时长等级数字之和等于5的概率为_________. 【答案】 【解析】 【分析】使用列举法得出满足题意的所有情况，由此计算概率即可. 【详解】由题意得这两天共有种情况， 设第一天的等级为，第二天的等级为，2天的等级为， 则满足题意的有，共四种， 故符合题意的概率为. 13. 在中，若， ， ，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用化简即可求解. 【详解】由，可得 ，所以 ， 所以 14. 对于n元由0，1组成的有序数组，定义距离1为两个数组对应位置数字不相同的位置个数；对于非空整数集合M，N，定义距离2为满足M中每个数与N中数的差值的绝对值的最小值、N中每个数与M中数的差值的绝对值的最小值均不超过该数值的最小非负整数. 若有两组0，1数组，另一组中间数组与二者的距离1均为2，则两组原数组的距离1的最大值为_________；若整数集合A，B的距离2为3，B，C的距离2为2，则A，C的距离2的所有可能取值为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】通过分析发现距离1和距离2均满足类似三角不等式的关系，进而得到取值范围，最后通过构造具体的例子验证可以取到的值. 【详解】第一空： 考虑三个组成的数组，设的距离1为，的距离1为， 依定义可知当中有个位置的数字不同，设这个位置构成的集合为， 以外的位置也即数字相同的位置构成的集合为，当中有个位置的数字不同， 设这些位置属于的有个，不属于也即属于的有个，则， 因为数组由构成，所以和数字不同的位置包括的数字不同且的数字相同的位置， 有个，和的数字相同且的数字不同的位置，有个，共有 个， 而 ，所以的距离1不超过的距离1和的距离1之和， 取，则有的距离1和的距离1均为， 的距离1为，故的距离1的最大值为. 第二空： 对于非空整数集合，的距离2记为，记对某个，，类似地， 记对某个，，依定义有①，②， 同理有③，④， 设在中与中数的差值的绝对值的最小值为最大，在中与中数的差值的绝对值的最小值为最大， 则有或，结合①③并取③中的为可得 ，再取为，可得， 结合②④并取②中的为可得，再取为， 可得，即有 ，因为的任意性， 所以也有 ，即 ， 同时也有 ， 综上所述， ， 依题意 ，则 ， 只能取中的数， 取，则有 ； 取，则有 ； 取，则有 ； 取，则有 ； 取，则有 ， 故的距离2的可能值为. 四、解答题，本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，某斜面上有两根垂直于水平面放置的标杆，杆长均为1m，阳光可视为平行光.其中一根标杆竖直立于水平地面，影子落在水平面上，影长为；另一根标杆竖直立于斜面上，影子完全投射在斜面上，影长为． （1）求平行阳光与水平面所成锐角的正弦值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 如图，分别为杆，为平行的光线，分别为杆的影子， 设光线与水平面所成角为，则，故， 则. 【小问2详解】 由（1），，， 在中，由正弦定理可得 即，故，则， 则， ， 故. 16. 如图，在正方体中，棱长为2，为棱的中点，为平面内的一点，在中，已知，． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，先根据条件确定点坐标，利用空间向量证明线面平行. （2）先求平面的法向量，利用空间向量求点到平面的距离. 【小问1详解】 以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，，. 因为为棱的中点，所以. 因为为平面内的一点，且，所以可设，. 因为，所以 . 所以. 所以. 又因为，，平面，且， 所以平面. 所以为平面的法向量. 因为 ，且平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为，. 设平面的法向量为， 则，令可得. 所以. 所以点到平面的距离为. 17. 已知双曲线的离心率为，且过点． （1）求双曲线E的标准方程；设直线与双曲线E相切，记，求的单调区间； （2）设双曲线的左、右顶点分别为，，M，N为双曲线E右支上两点，且，求解MN在x轴是否有定点，若有，则求出定点坐标，若没有，请说明理由； （3）记的周长为L，若对任意满足条件（2）的直线，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2）无定点，理由见解析. （3） 【解析】 【分析】（1）通过离心率和已知点求出双曲线方程，再联立切线方程利用判别式等于零求出的表达式，结合二次函数单调性即可求解； （2）利用双曲线上点与左右两顶点连线斜率乘积为常数，与已知条件作商，推导出关于轴对称，即可求解； （3）基于第二问“直线垂直于轴”的结论，将三角形周长转化为关于垂直直线横坐标的单变量函数，利用其在定义域上的严格单调递增性质求解即可. 【小问1详解】 由题意得，即， 由得，整理得， 将点与代入双曲线方程得，解得， 则，，故双曲线的方程为， 联立得， 此方程有唯一解，则， 整理得，即， 考虑到若，此时，解得， 双曲线的渐近线为，此时直线为的渐近线，与无交点， 故，解得或 为开口向上的二次函数，关于轴对称， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 【小问2详解】 由（1）知双曲线的左、右顶点分别为，， 则，即， ，则， 结合，两式作除法得，即， 因为都在双曲线的右支上，且斜率互为相反数，则关于轴对称， 所以必垂直于轴，故MN在x轴上没有定点. 【小问3详解】 由（2）可得直线垂直于轴，不妨设， 将代入到双曲线方程得，解得， 由对称性可知，为等腰三角形，则， ，， 则，， 对于，和单调递增，且单调递增， 所以在单调递增，， 则，若不等式恒成立，则. 18. 某汽车零件厂为控制产品质量，统计了过去5个批次的生产温度x（单位：℃）与对应零件次品率p，得到如下数据： x 10 12 14 16 18 p 0.30 0.34 0.38 0.42 0.46 工厂规定：每批次生产5个零件，按预测当生产温度为15℃时的次品率放入对应数量的次品进行模拟抽检.质检员每次随机抽取2个零件检测，若抽到次品则次品不再放回，正品全部放回；若未抽到次品，则所有零件全部放回.重复上述过程，直至所有次品被检出，该批次模拟抽检合格.记为第n次检测后恰好检出所有次品的概率. （1）求p关于x的线性回归方程，并预测当生产温度为15℃时，该批次零件的次品率； （2）求，，证明：对任意正整数n，. （3）记该批次零件的总检测次数为随机变量X，求，并证明 . 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，相关系数 【答案】（1）； （2），,证明见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线性回归方程公式求解即可； （2）由（1）可知每批次个零件中有个次品，个正品，先分别计算第次、第次恰好检出所有次品的概率；再设第次检测后仍未检出所有次品的概率为，通过状态转移求出，从而证明结论； （3）分别设还剩个次品和初始有个次品时的期望剩余检测次数，列方程求解 【小问1详解】 ，， ， ， ， ， 因此p关于x的线性回归方程为： ， 当时，预测次品率， 【小问2详解】 由（1）知当生产温度为15℃时的次品率为，每批次生产5个零件中有2个次品，3个正品， 第一次检出所有次品， 第一次未检出所有次品，第二次恰好检出，分两种情况， ① 第一次抽中个次品和个正品，此时该次品不放回，正品放回，剩余个零件中有个次品、个正品， 第二次需抽中剩余的次品，概率为； ② 第一次抽中个正品，所有零件全部放回，第二次需抽中个次品，概率为 因此 下面证明， 设第次检测后仍有个次品未检出的概率为，仍有个次品未检出的概率为， 仍未检出所有次品的概率为，则 初始时 ， ．若仍有个次品未检出，则一次检测抽中个次品的概率为， 抽中个次品的概率为． 若仍有个次品未检出，则此时共有个零件，一次检测未抽中该次品的概率为． 所以 由 ，得 又因为 ，由递推关系可得 所以 因此 因为 所以 又，故. 【小问3详解】 设剩余个次品时的期望剩余检测次数为，初始有个次品时的期望总检测次数为，则． 当剩余个次品时，共有个零件，其中个次品，个正品．一次检测抽中该次品的概率为 未抽中该次品的概率为． 因此 解得 初始有个次品时，一次检测抽中个次品的概率为，抽中个次品的概率为，抽中个次品的概率为． 因此 将 代入，得 即 解得 因为 所以 ． 19. ． （1）证明：当时，； （2）证明：在区间内存在唯一的极值点，且满足； （3）若对任意，不等式 恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）构造函数，通过连续求导分析得到其在上单调递增，从而，则原不等式得证； （2）对进行求导得到其单调递增，且在区间两端异号，可知在内存在唯一零点，从而在内存在唯一极值点，再利用证明不等关系； （3）构造函数 ，则 恒成立，利用导数方法求的最小值，再求的最大值即可. 【小问1详解】 设 ， 要证明当时，，只需证明当时，， 因为 ，设 ， 则，现证明两个重要的表达式， 设 ，当时有 ， ，所以 ，又， 可得，所以， 即单调递增，从而有，即， 故在上单调递增，，原不等式成立. 【小问2详解】 ，设 ， 则 ， 当时，，所以，在上单调递增， 当时， ，又 ，则在内存在唯一的零点使得 ， 于是可知在内存在唯一的极值点，且有 ， 因为在内 ，所以 即. 【小问3详解】 设 ， 则不等式 恒成立， ，设 ，则 ， 由（1）中分析可知当时 ， 当时，，所以 ，所以单调递增， 当时， ， 当时， ， 故在内存在唯一的零点使得 ， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，取最小值，最小值为， 且 ，即 故， 即， 由已知， 所以， 设 ， 得  ， 由（1）   对所有恒成立， 当时，，单调递增； 当时， ，单调递减； 故在处取最大值 ， 即 的最大值为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三年级5月学情调研 数学 （本卷满分150分，时长120分钟） 命题人：高三备课组 2026．05 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且，其中，为实数，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 一组样本数据为5，18，22，26，若去掉其中一个数据后，所得新样本的平均数增大，则去掉的数据为（ ） A. 5 B. 18 C. 22 D. 26 4. 已知直线，向量与该直线的一个法向量垂直，则实数（ ） A. 6 B. C. D. 5. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 底面边长为的正四棱锥，高为，被平行于其底面的平面所截，若截得的小正四棱锥的侧面积是原正四棱锥侧面积的，则所得棱台的体积为（） A. B. C. D. 7. 医学规定：服用某药物后，100mL血液中药物浓度不超过14mg时，可正常驾驶机动车.某患者服药后，血液中药物浓度瞬间升至2.1mg/mL；停止服药后，血液中药物含量每小时以剩余量的30%匀速衰减.则该患者至少经过多少小时后可正常驾驶.（ ） 参考数据：，， A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于x的方程 恰有4个互不相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，且，正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为9 B. 的最小值为18 C. 的最小值为 D. 的最小值为 10. 已知椭圆的上顶点为A，左、右焦点分别为，离心率，过且垂直于直线的直线与椭圆C交于D，E两点，，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆C的长轴长为8 B. 的周长为20 C. 直线DE的倾斜角为 D. 为等边三角形 11. 如图，在水平直线上取长度为1的线段AB，作等边，以点B为圆心，BA为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第1段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E（第2段圆弧），以此类推，得到由多段圆弧首尾相连的“蚊香”.圆弧圆心按B，C，A循环出现，设第n段圆弧的半径为，弧长为，前n段圆弧的总长度为，则下列说法正确的是（ ） A. 每段圆弧对应的圆心角恒为 B. 对任意正整数n，均有，的奇数项、偶数项各自成等差数列 C. 当时，前n段圆弧总长度满足 D. 的最小正整数n为14 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 校园运动打卡将每日运动时长划分为1，2，3，4，5，6共6个等级，随机抽取连续2天的打卡等级，则2天运动时长等级数字之和等于5的概率为_________. 13. 在中，若， ， ，则_________． 14. 对于n元由0，1组成的有序数组，定义距离1为两个数组对应位置数字不相同的位置个数；对于非空整数集合M，N，定义距离2为满足M中每个数与N中数的差值的绝对值的最小值、N中每个数与M中数的差值的绝对值的最小值均不超过该数值的最小非负整数. 若有两组0，1数组，另一组中间数组与二者的距离1均为2，则两组原数组的距离1的最大值为_________；若整数集合A，B的距离2为3，B，C的距离2为2，则A，C的距离2的所有可能取值为_________． 四、解答题，本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，某斜面上有两根垂直于水平面放置的标杆，杆长均为1m，阳光可视为平行光.其中一根标杆竖直立于水平地面，影子落在水平面上，影长为；另一根标杆竖直立于斜面上，影子完全投射在斜面上，影长为． （1）求平行阳光与水平面所成锐角的正弦值； （2）求的值. 16. 如图，在正方体中，棱长为2，为棱的中点，为平面内的一点，在中，已知，． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 17. 已知双曲线的离心率为，且过点． （1）求双曲线E的标准方程；设直线与双曲线E相切，记，求的单调区间； （2）设双曲线的左、右顶点分别为，，M，N为双曲线E右支上两点，且，求解MN在x轴是否有定点，若有，则求出定点坐标，若没有，请说明理由； （3）记的周长为L，若对任意满足条件（2）的直线，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 某汽车零件厂为控制产品质量，统计了过去5个批次的生产温度x（单位：℃）与对应零件次品率p，得到如下数据： x 10 12 14 16 18 p 0.30 0.34 0.38 0.42 0.46 工厂规定：每批次生产5个零件，按预测当生产温度为15℃时的次品率放入对应数量的次品进行模拟抽检.质检员每次随机抽取2个零件检测，若抽到次品则次品不再放回，正品全部放回；若未抽到次品，则所有零件全部放回.重复上述过程，直至所有次品被检出，该批次模拟抽检合格.记为第n次检测后恰好检出所有次品的概率. （1）求p关于x的线性回归方程，并预测当生产温度为15℃时，该批次零件的次品率； （2）求，，证明：对任意正整数n，. （3）记该批次零件的总检测次数为随机变量X，求，并证明 . 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，相关系数 19. ． （1）证明：当时，； （2）证明：在区间内存在唯一的极值点，且满足； （3）若对任意，不等式 恒成立，求实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $