1 1.2 等腰三角形-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

2等腰 第1课时 等腰 知识储备 1.等腰三角形的两个底角 ,简述为：等边 砂 2.等腰三角形顶角的 、底边上的 、底边上的 重合。 3.等边三角形的三个内角都 ,并且每个 角都等于 十十 十 01基础练 必备知识梳理一 知识点一 等边对等角 1.(教材P20习题T2改编) 一题多变 (1)【已知顶角求底角】若一个等腰三角形的 顶角为50°，则它的一个底角等于 () A.40° B.50° C.60 D.65 (2)【已知等腰三角形的一个角，求底角】等腰 三角形的一个角是100°，则它的一个底角的 度数是 () A.80° B.80°或40° C.40° D.以上都不对 (3)【已知等腰三角形一个角，求顶角】等腰三 角形的一个角为40°，则它的顶角度数是 2.(2025·大连期中)如图，直线a∥b,直线1与 直线a,b分别相交于点A,B,点C在直线b 上，且CA=CB。若∠1=32°，则∠2的度数 为 () A.32° B.58° C.74° D.75 3.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=24°， 延长BC到点D,使CD=AC,连接AD,则 7 入年级数学下册·BS 三角形 三角形的性质 ∠D的度数为 ( A.399 B.40° C.49° D.51° C ID 第3题图 第4题图 4.如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半 径画弧，交边BC于点D,连接AD。若∠B= 40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是 易错点因考虑问题不全面致错 5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则等腰三角形的顶角为 () A.309 B.60 C.120° D.60°或120° 知识点二“三线合一” 6.(答题模板)如图，在△ABC中，AB=AC。 ①若AD⊥BC,BC=6cm, ∠BAC=58°， 则BD= cm, ∠BAD=∠ ②若BD=CD,∠BAC=58°， 则AD BC,∠BAD=∠ ③若AD平分∠BAC,BC=6cm, 则BD= cm,AD BC。 知识点三等边三角形的性质 7.如图，直线a∥b,等边三角形ABC的顶点C 在直线b上，∠2=40°，则∠1的度数为() A.80 B.70 C.60° D.50° 8.【教材P15随堂练习T2变式】如图，已知△ABC 是等边三角形，点B,C,D,E在同一直线上，且 CG=CD,DF=DE,则∠E= 度。 D 02综合练 露关键能力提升一 9.【新课标·数学文化】“三等分角”大约是在公 元前5世纪由古希腊人提出来的，借助如图 所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个 三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成， 两根棒在O点相连并可绕点O转动，点C固 定，OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动。 若∠BDE=78°，则∠CDE的度数是() 0 B A.52° B.66° C.76 D.78 10.(2025·天水期末)如图，在 △ABC中，AB=AC,AD是边 BC上的中线，若AB=5,BC= 6,则AD的长度为 11.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E分别 在AC,AB上，且BD=BC,BE=DE=AD, 求∠C的度数。 03素养练 净学科老米路方一 12.如图，在△ABC中，AB=BC,F为AC的中 点，FD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,直线 DE与AC交于点G。 (1)求证：∠DFG=∠DGF; (2)若∠ABC为钝角，问(1)中结论是否成 立？请说明理由。 解题妙招 与等腰三角形的角有关的分类讨论思想 (1)已知等腰三角形的一个角，计算顶角或底 角的度数时，已知的角可能是顶角或底角。如T1。 (2)涉及等腰三角形的高时，分高在三角形内 或三角形外。如T5。 助学助教优质高效8 第2课时 等腰三 知识储备 1.有两个角相等的三角形是 ,简 述为： 12.在证明时，先假设命题的结论 ,然后 推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件 的结果，从而证明命题的结论 ,这种证明方法称为反证法。 01基础练 必备知识梳理一 知识点一 等腰三角形的判定 1.下列三角形中，不是等腰三角形的是 人50°35 45⊙ 人40° A B C 2.在△ABC中，∠A:∠B：∠C=1：1:2,则 △ABC是 () A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 3.如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC,BD平 分∠ABC,则图中等腰三角形的个数是() A.1个B.2个C.3个 D.4个 4.如图，在△ABC中，AB=AC,D是AB上一 点，过点D作直线DE⊥BC于点E,反向延 长DE,交CA的延长线于点F,试判断 △ADF的形状，并说明理由。 9八年级数学下册·BS 角形的判定与反证法 易错点○考虑问题不全面而漏解 5.如图，点P是射线OB上一 个动点，∠AOB=38°，当 ∠A= 时，△AOP是等腰三角形。 【点拨】等腰三角形的顶角不确定时应分类讨论： ①∠A是项角；②∠O是顶角；③∠APO是顶角。 知识点二反证法 6.（1)(答题模板)用反证法证明：等腰三角形的 底角必定是锐角。 证明：①设等腰三角形的底角∠B,∠C都是 直角，则 ∴.∠A+∠B+ ∠C=180°+∠A> ,这与 矛盾； ②设等腰三角形的底角∠B,∠C都是钝角，则 ∴.∠A+∠B+∠C> ,这与 矛盾。 综上所述，所设①，②错误，所以∠B,∠C只 能为 ,故等腰三角形的底角必定为 锐角。 (2)用反证法证明命题“等腰三角形的底角必 为锐角”时，我们也可以先假设 02综合练 拿关健能力提升一 7.在△ABC中，AB≠AC,求证∠B≠∠C,若用 反证法证明这个结论，可以假设 A.∠A=∠B B.AB=AC C.∠B=∠C D.∠A=∠C 8.如图，在△ABC中，BC= 5cm,BP,CP分别是∠ABC 和∠ACB的平分线，且PD∥ AB,PE∥AC,则△PDE的周长为 cm 第3课时 等边三角形的判定 知识储备 1.三个角都 的三角形是等边三角形。 2.有一个角等于 的等腰三角形是等边三 X 角形。 3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么 它所对的直角边等于斜边的 +◆+ 01基础练 @必备知识梳理一 知识点一等边三角形的判定 1.在△ABC中，①若AB=BC=CA,则△ABC 为等边三角形；②若∠A=∠B=∠C,则 △ABC为等边三角形；③有两个角都是60 的三角形是等边三角形；④有一个角是60°的 等腰三角形是等边三角形。上述结论中正确 的有 () A.1个B.2个C.3个D.4个 2.已知△ABC的三边a,b,c满足(a一4)2+ √b-4+|c-4|=0,那么△ABC是 三角形。 3.如图，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=120°， CE⊥AB于点D,且DE=DC。 求证：△CEB为等边三角形。 易错点○不能正确理解等边三角形的判定致错 4.有下列三角形：①有两个角等于60°；②三个 外角都相等的三角形；③两边相等；④一腰上 的中线也是这条腰上的高的等腰三角形。其 中是等边三角形的是 (填序号)。 【点拨】②三个外角相等可知三个内角相等；④由题意 可证明中线分得的两个三角形全等，可知三边相等。 与含30°角的直角三角形的性质 知识点二含30°角的直角三角形的性质及应用 5.如图，衣架框内部可以近似看 成一个等腰三角形，记为等腰 三角形ABC,若AB=AC= 26cm,D是BC的中点，∠ABC=30°，则AD 的长为 () A.11 cm B.12 cm C.13 cm D.14 cm 02综合练 关健能力提升 6.如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，CD是高， ∠A=30°，若BD=1,则B D AD长为 A.2 B.3 C.4 D.5 7.【教材P19例3变式】在△ABC中，∠B= ∠C=15°，CD⊥AB,垂足为D,若CD=2,则 △ABC的面积为。 8.如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC,D 是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别 是E,F。求证：△DEF是等边三角形。 请完成进阶测评（一） 助学助教优质高效10个多边形的外角和是内角和的号“这个多边形的内角和为360÷号=1 260°。设这个多边形的边数为x,则有(x一2)·180°=1260°，解得x=9。 ∴.这个多边形的边数为9.6.5或6或77.C8.B9.D10.5 11.40°12.4813.360°14.解：(1).∠3+∠4+∠5+∠6=360°，∠1+ ∠2+∠5十∠6=360°，.∠1+∠2=∠3+∠4。(2)四边形的四个外角 中，任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和。(3)由(2)知 ∠ADM+∠DAN=∠B+∠C=240°。，AE,DE平分∠DAN,∠ADM, ·∠DAE=3∠DAN,∠ADE=号∠ADM。·∠DAE+∠ADE= (∠DAN+∠ADM=2×240=120.:∠E=180°-（∠DAE+∠ADE)= 180°-120°=60°。15.解：延长CB交FA的延长线于点 G。.CD∥AF,∠C=120°，.∠G=180°-∠C=60°。 ,AB⊥BC,∴.∠ABC=∠ABG=90°。∴.∠BAF=∠G+ G ∠ABG=150°。，∠CDE=∠BAF,∴.∠CDE=∠BAF= 150°。，多边形ABCDEF的内角和为(6-2)×180°=720°，∴.∠F=720° ∠C-∠D-∠E-∠BAF-∠ABC=130°。 2等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 知识储备 1.相等等角2.平分线中线高3.相等60° 基础练 1.(1)D(2)C(3)40°或100°2.C3.A4.34°5.D6.①CD3 CAD29②⊥CAD29③CD3⊥7.A8.159.C10.4 11.解：设∠EBD=a。.EB=ED,∴.∠EDB=∠EBD=a。.AD=ED, ∴∠A=∠AED=2a。∴∠BDC=∠A+∠EBD=3a。:BD=BC,∴.∠C =∠BDC=3a。,AB=AC,.∠ABC=∠C=3a。在△ABC中，∠A十 ∠ABC+∠C=180°。.2a+3a+3a=180°。.a=22.5°。.∠C=67.5°。 12.(1)证明：，FD⊥BC,EG⊥AB,.∠FDC=∠AEG=90°。.∠DFG +∠DCF=90°，∠EAG+∠AGE=90°。又，AB=BC,.∠EAG=∠DCF ∠DFG=∠DGF。(2)解：成立。理由如下：连接 BF,如图，AB=BC,AF=CF,.∠ABF=∠CBF BF⊥AC。∴.∠BFA=∠BEG=90°。.∠ABF ∠EGF。:∠BFC=∠CDF=90°，.∠DFG=∠FBC ∴.∠DFG=∠DGF. 第2课时等腰三角形的判定与反证法 知识储备 1.等腰三角形等角对等边2.不成立相矛盾 一定成立 基础练 1.A2.D3.C4.解：△ADF是等腰三角形。理由如下：，AB=AC, ∴∠B=∠C。:DE⊥BC,∠DEB=∠DEC=90°。∠F+∠C=90, ∠B+∠BDE=90°。.∠F=∠BDE。又∠ADF=∠BDE,∠F= ∠ADF。.AD=AF。△ADF是等腰三角形。5.38°或104°或71 6.(1)①∠B+∠C=180°180°三角形内角和等于180°②∠B+∠C≥ 180°180°三角形内角和等于180°锐角(2)等腰三角形的底角不为锐 角7.C8.5 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 知识储备 1.相等2.60°3.一半 基础练 1.D2.等边3.证明：，CE⊥AB,且DE=DC,BC=BE。,AC=BC, ∠ACB=120,CELAB.∴∠ECB=2∠ACB=60,又：BC=BE, ∴.△CEB为等边三角形。4.①②④5.C6.B7.48.证明：AB= AC,∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°。D是BC的中点，∴.BD=CD :DE⊥AB,DF⊥AC,∠BED=∠CFD=90°。∴∠BDE=∠FDC=60°。 .∠EDF=180°-60X2=60°.又：∠B=∠C=30∴.DE=号BD.DF=2CD. 且BD=CD。∴DE=DF。又，∠EDF=6O°，△DEF是等边三角形。 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 知识储备 1.互余2.互余3.平方和平方4.直角5.结论条件 基础练 1.C2.C3.154.95.5或√76.C7.248.解：在△ABC中，AB1 BC,根据勾股定理，得AC2=AB2十BC=12+22=5。在△ACD中，AC+ CD=5+4=9,AD=9,∴.AC+CD=AD。∴.△ACD为直角三角形。 9.C10.两直线平行，内错角相等真11.C12.√8913.9或1 14.解：EA平分∠BAD,ED平分∠ADC,.∠BAD=2∠DAE,∠ADC= 2∠ADE。又：AB∥CD,∴.∠BAD+∠ADC=180°，即2∠DAE+2∠ADE =180°。∴∠DAE+∠ADE=90°。.△AED是直角三角形，且∠AED= 90°。.AE+DE=AD2。.AD=√32+4=5。 微专题二构造直角三角形 【例】AB4CD2AE2W3CD√32W3-24-√3 【针对训练】 1.33 2 2.23.63 第2课时利用“HL”判定两个直角三角形全等 知识储备 斜边直角边斜边、直角边HL 基础练 1.A2.(1)90°CD EDED EF Rt△ABC(2)证明：，∠ACB= ∠CFE=90°，∴.∠ACB=∠DFE=90°。在Rt△ACB和Rt△DFE中， E-PR△ACB≌RADFE(HI),AC=DP,AC-AF=DF -AF,即AD=CF。3.D4.B5.(1)AB=DCHL(2)AC=DB HL(3)∠ABC=∠DCB AAS(4)∠ACB=∠OBC AAS6.8或16 7.D8.49.1210.证明：AD⊥BD,AC⊥BC,∴.∠ADB=∠ACB= QO°，在R△ADB和R△BCA中ABC:R△ADB≌RI△BCA(H ∴.∠DAB=∠CBA。,CE⊥AB,DF⊥AB,∴.∠DFA=∠CEB=90°。在 「∠DAF=∠CBE, △ADF和△BCE中，/AFD=/BEC,∴.△ADF≌△BCE(AAS)。..CE LAD-BC. =DF。11.解：(1)过点P作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N,则 ∠MPN=360°-∠VOM-∠ONP-∠PMO=90°，∠PMA=∠PNB= 90°。：P(2,2),∴.PM=PN=2。在Rt△AMP和Rt△BNP中， PA-PR△AMP≌R△BNP(H).∠APM=∠BPN。 ∴.∠APB=∠APM+∠BPM=∠BPN+∠BPM=∠MPN=90°。∴.PA ⊥PB。(2)(0,-4)。(3)OA-OB=(OM+MA)-(BN-ON)=OM+ON= 4。(4)OA+OB=4.。 ▣ 图① 图② 17