培优专训(8) 分式方程的应用&培优专训(9)平行四边形的性质与判定的综合运用-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

2n2-6n+13=(m十n)2+(n-3)2+4,当m2+2mn+2m2-6n+13取最小值 4时，即(m+n)2+(n一3)2+4=4，.∴.(m+n)2十(n-3)2=0。.∴.(m+n)2= 0,(n-3)2=0。即m十n=0,n-3=0。解得n=3,m=-3。(2)-2.x2十 4xy-3y2-6y+7=-2x2+4xy-2y2-y2-6y+7=-2(x2-2xy+y2) (y2+6y+9)+16=-2(x-y)2-(y+3)2+16。:(x-y)≥0，.-2(x y)2≤0。又.(y十3)≥0，.-(y+3)2≤0。当-2(x-y)2=0且-(y十 3)2=0时，多项式能取得最大值，此时最大值为16，即多项式一2x2十4xy 3y2一6y十7的最大值是16。 培优专训（七）项目化学习一家庭购车计划分析单 解：任务1：根据题意，得：。5-3,76解得a=0.3。经检验a=0.3是 所列方程的根。.a十0.45=0.3十0.45=0.75（元）。答：纯电动汽车的每 千米行驶费用为0.3元，燃油车的每千米行驶费用为0.75元；任务2：纯电 动汽车的年使用费用为0.3x+6500十1230=(0.3x+7730)元，燃油车的 年使用费用为0.75x+2900+0.075.x=(0.825x+2900)元。当0.3.x+7 730>0.825x+2900时，解得x9200。∴.当0<x9200时，购买燃油车 比较划算；当0.3x+7730=0.825x+2900时，解得x=9200。.∴.当x=9 200时，购买纯电动汽车和燃油车均可；当0.3x十77300.825x+2900时， 解得x>9200。.当x>9200时，购买纯电动汽车比较划算。答：当0<x <9200时，购买燃油车比较划算；当x=9200时，购买纯电动汽车和燃油车 均可；当x>9200时，购买纯电动汽车比较划算 培优专训（八）分式方程的应用 1.解：(1)1210(2)设该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价 是m万元，则每件B款人形机器人在网上的售价是(1一20%)m万元，由题 600、_600=10.解得m-15,经检验，m=15是原方程的根，且 意，得1-20%)mm 符合题意。答：该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是15万 元。2.解：(1)1612(2)设要购买m个“侗族”玩偶，则要购买(500一 m)个“苗族”玩偶，由题意，得12m+16(500一m)≤7200。解得m≥200 答：至少要购买200个“侗族”玩偶。3.解：(1)9(2)设购进A款汽车x 辆，由题意，得102≤7.5x十6(15-x)≤105。解得8≤x≤10。∴x的正整 数解为8,9,10。∴.共有3种进货方案：A款汽车8辆，B款汽车7辆；A款汽 车9辆，B款汽车6辆；A款汽车10辆，B款汽车5辆；(3)设总获利为W元， 购进A款汽车x辆，W=(9-7.5)x十(8-6-a)(15-x)=(a-0.5)x十30 15a,当a=0.5时，(2)中所有方案获利相同。 培优专训（九）平行四边形的性质与判定的综合运用 1.(1)证明：.∠BQC=∠PQD,∠BQC+∠ADB=180°，∴.∠PQD+∠ADB= 180°。AD∥CP。又AD=CP,∴.四边形ADCP为平行四边形。(2) 102.解：(1)甲方案正确，证明如下：四边形ABCD是平行四边形，AB ∥CD,AB=CD,∴∠BAE=∠DCF。:O是对角线AC的中点，∴.AO C0.:E,F分别是A0.C0的中点AE=A0,CF=2C0.AE= CF。又，AB=CD,∠BAE=∠DCF,.△ABE≌△CDF。∴.BE=DF, ∠AEB=∠CFD。∠BEF=180°-∠AEB,∠DFE=180°-∠CFD,. ∠BEF=∠DFE。BE∥DF。又，BE=DF,∴.四边形BEDF是平行四 边形；乙方案正确，证明如下：，BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,.BE∥ DF,∠AEB=∠CFD=90°。，四边形ABCD是平行四边形，..AB∥CD, AB=CD。..∠BAE=∠DCF。..△ABE≌△CDF。.BE=DF,又BE ∥DF。∴.四边形BEDF是平行四边形。(2)1003.(1)证明：，BC」 BD,AE⊥BD于点F,.BC∥AF。.∠BCF=∠EFC。:∠BCF= ∠BAF,∴.∠EFC=∠BAF。.CF∥AB。又，BC∥AE,∴.四边形ABCF 是平行四边形。(2)5√2跨单元整合 培优专训（八） 分式方程的应用 1.某种人形机器人亮相2025年春节联欢晚 (2)若某商店一次性购进“苗族”玩偶和 会后爆火，并带动整个人形机器人行业的 “侗族”玩偶共500个，要使总费用不 畅销.某公司推出了A,B两款人形机 超过7200元，则至少要购买多少个“侗 器人。 族”玩偶？ (1)已知该公司生产5件A款人形机器人 和生产6件B款人形机器人的成本相 同；每件A款人形机器人的成本比每 件B款人形机器人的成本多2万元。 该公司生产的A款人形机器人每件的 3.某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随 成本是 万元，B款人形机器人每 着汽车的普及，其价格也在不断下降。今 件的成本是 年5月份A款汽车的售价比去年同期每 万元； 辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款 (2)如果该公司把这两种人形机器人在网 上进行预约销售，并且每件B款人形 汽车，去年销售额为100万元，今年销售 额只有90万元。 机器人的售价比每件A款人形机器人 的售价少20%，根据网上预约的情况， (1)今年5月份A款汽车每辆售价 为万元； 该公司售出的这两款人形机器人的销 (2)为了增加收入，汽车销售公司决定再 售额都为600万元时，B款人形机器人 经销同品牌的B款汽车，已知A款汽 比A款人形机器人多售出10件。则 车每辆进价为7.5万元，B款汽车每 该公司确定的每件A款人形机器人在 辆进价为6万元，公司预计用不多于 网上的售价是多少万元？ 105万元且不少于102万元的资金购 进这两款汽车共15辆，有几种进货 方案？ (3)按照(2)中两种汽车进价不变，如果B 款汽车每辆售价为8万元，为打开B 款汽车的销路，公司决定每售出一辆 B款汽车，返还顾客现金a万元，要使 (2)中所有的方案获利相同，a值应是 2.苗年和侗年是传统民俗节日，更是国家级 多少？ 非物质文化遗产，凯里市某文创公司在苗 年和侗年节日期间制作了“苗族”和“侗 族”两种玩偶纪念品进行售卖。已知每个 “苗族”玩偶的售价比每个“侗族”玩偶的 售价高4元，用960元购买的“苗族”玩偶 的数量是用960元购进的“侗族”玩偶的 数量的 (1)每个“苗族”玩偶的售价为 元， 则每个“侗族”玩偶的售价为 元； B9- 跨单元整合 培优专训（九） 平行四边形的性质与判定的综合运用 1.如图，在四边形ABCD中，点P在边AB (2)在乙方案的基础上，若EF=3AE,SAsD 上，连接CP,交BD于点Q,AD=CP, 10,则□ABCD的面积为 ∠BQC+∠ADB=180°。 (1)求证：四边形ADCP为平行四边形； (2)连接AC,若AB⊥BC,CD=5,BP= 3,BC=6,则AC的长为 3.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交 于点O,BC⊥BD,过点A作AE⊥BD,垂足为 2.在□ABCD中，点O是对角线AC的中 F,交CD于点E,连接CF,∠BCF=∠BAF。 点。某数学学习小组要在AC上找两点 (1)求证：四边形ABCF是平行四边形； E,F,使四边形BEDF为平行四边形，现 (2)若BC=5,CD=13,BF=7,则AD的 总结出甲、乙两种方案如表： 长为 0 甲方案 乙方案 分别取AO,CO的中 作BE⊥AC于点E, 点E,F DF⊥AC于点F 请回答下列问题： (1)试判断两种方案是否正确？请给出你 的证明。 B10-