培优专训(4) 一元一次不等式(组)的应用&培优专训(5) 与旋转有关的计算和证明-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

2解：在RI△ADE和R△ADF中，B形二A.R△MDE≌R△ADF (HL)。∴.AE=AF=6。,∴.△ABC的周长=AB十BC+AC=(AE+BE)十BC +(AF-CF)=AE+BC+AF=6+7+6=19。 培优专训（三）一元一次不等式（组）的解法 1.任务一：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 ②去括号时，括号前面是“一”，去掉括号后括号内的第二项没有变号任 务二：解：去分母，得2(x十2)-3(7-3x)≥一24。去括号，得2x十4-21十 9.x≥一24。移项，得2x十9.x≥-24-4十21。合并同类项，得11x≥-7。两 7 边都除以11，得x≥一7.2.解：去分母，得3(x+4)-（x一2)>2(2x十 1)。去括号，得3x十12-x+2>4x十2。移项、合并同类项，得-2x>-12。 两边都除以一2，是x<6.3.(1)解：解不等式①，得x>一1。解不等式 ②，得x2。∴.不等式组的解集为一1<x2。将解集在数轴上表示图略。 (2)解：解不等式①，得x>1。解不等式②，得x>一2。∴.不等式组的解 集为x>1。将解集在数轴上表示出来图略。4.解：解不等式①，得x> 2。解不等式②，得x≤1。∴原不等式组的解集为一2<x≤1。解集表示在 数轴上图略。∴.不等式组的所有整数解为一1,0,1，它们的和为一1十0十1 =0。 培优专训（四）一元一次不等式（组）的应用 1.m<32.A3.a≥24.a<65.a≤-16.07.C8.210<a<250 9.解：(1)240200(2)设购买A型污水处理设备a台，则购买B型污水 处理设备(20-a)台。根据题意，得12a+10(20-a)≤230， 240a+200(20-a)≥4500.解不等式 。∴当a=13时，A买13台，B买7台：当 14台，B买6台；当a=15时，A买15台，B买5台。每台A型污水处理 设备12万元，每台B型污水处理设备10万元，∴A买得越少，资金越少。 A买13台，B买7台需要的资金最少，最小值为13×12十7×10=226（万元）。 培优专训（五）与旋转有关的计算和证明 1.解：(1)由旋转，得CA=CD,∠DEC=∠ABC=90°，∠ECD=∠BCA= 30°，∴.∠DEA=90°，∠CAD=∠CDA=75°。∴.∠ADE=90°-∠CAD= 90°-75°=15°。(2)BF=DE,BF∥DE,理由如下：，∠FBC=∠ACB= 30°，∴.∠AFB=∠FBC+∠ACB=60°。.∠ABF=∠AFB=60°。 △ABF是等边三角形。∴.BF=AB。由旋转得，∠DEC=∠ABC=90°，DE =AB,CE=CB,∠BCE=60°。.BF=DE,△BCE是等边三角形。 ∠CBE=∠BEC=60°。∴.∠EBF=∠EBC-∠FBC=30°。∴.∠DEB+ ∠EBF=∠DEC+∠BEC+∠EBF=180°。.DE∥BF。2.(1)150°(2) 证明：如图，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE,由旋转的性质， 得AE=AE,CE'=BE,∠CAE=∠BAE,∠ACE=∠B,∠EAE=90°。 .∠EAF=45°，.∠EAF=∠EAE'-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF。 (AE-AE', 在△EAF和△EAF中，{∠EAF=∠EAF,∴.△EAF≌△EAF.∴.EF= AF-AF. EF。.∠CAB=90°，AB=AC,∴.∠B=∠ACB=45°。∴.∠ECF=45°+45°= 90°。由勾股定理，得EF2=EC+FC,即EF2=BE+FC。(3)√7 培优专训（六）因式分解的应用 1.(1)解：原式=1012+101×98+49=1012+2×101×49+492=(101+ 49)2=1502=22500(2)4(3)12002.A3.D4.B5.D6.D 7.解：△ABC是等边三角形。理由如下：.a2+c2-2b(a-b十c)=0,∴.a2+ c2-2ab+2b-2bc=0。∴.(b+c2-2bc)+(a2+b2-2ab)=0。.(b-c)2+ (a-b)2=0。.(b-c)2≥0，(a-b)2≥0，∴.(b-c)2=(a-b)2=0。.b-c= a一b=0。∴.b=c=a。.∴.△ABC是等边三角形。8.解：(1)m2十2mn十跨单元整合 培优专训（四） 元一次不等式（组）的应用 类型一含参数的一元一次不等式（组）的 类型二一元一次不等式（组）的应用 探究 8.某运动器材专卖店推出两种优惠活动，并 (一)应用不等式的性质求参数的取值范围 规定只能选择其中一种 1.若不等式(m一3)y一1>0(m为常数，且 活动一：所购买的商品均按原价打八折： m≠3)的解集为y< m—3,则m的取值范 1 活动二：所购买的商品按原价每满200元 减50元。 围是 若购买一件原价为a(210<a<400)元的 (二)已知解集求参数 运动器材，选择活动二比活动一更划算， 3x-1>2(x-1), 2.若关于x的不等式组 则a的取值范围是 x>a 9.为了更好地保护美丽如画的长江，某市污 的解集是x>一1，那么a的取值范围是 水处理厂决定先购买A,B两型污水处理 ( 设备共20台，对长江两岸污水进行处理。 A.a≤-1 B.a≥-1 每台A型污水处理设备12万元，每台B C.a<-1 D.a>-1 型污水处理设备10万元。已知1台A型 污水处理设备和2台B型污水处理设备每 2-x2x-4」 周可以处理污水640吨，2台A型污水处理 3.若关于x的不等式组 2 3 -3x>-2x-a 设备和3台B型污水处理设备每周可以处 理污水1080吨。 的解集是x2,则a的取值范围是 (1)每周每台A型污水处理设备处理污水 2x-a>0, 4.关于x的一元一次不等式组 吨，B型污水处理设备处理污 3.x-4<5 水 吨； 有解，则a的取值范围是 (2)经预算，市污水处理厂购买设备的资 x十a≥0， 金不超过230万元，每周处理污水的 5.若不等式组 无解，则实数a 1-2x>x-2 量不低于4500吨，请你列举出所有购 的取值范围是 买方案，并指出哪种方案所需资金最 少，最少是多少？ x-a<1 6.已知不等式组 的解集为一1< x-2b>3 x<3,则a十b= (三)已知整数解的情况，求参数的取值范围 7.若关于x的一元一次不等式组 3x-2<1, 恰有两个整数解，则m的取 m-x<l 值范围是 ( A.-2<m<-1B.-1<m<0 C.-1≤m<0 D.-1≤m≤0 B5- 跨单元整合 培优专训（五） 与旋转有关的计算和证明 1.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB= 2.阅读下面的材料，并解决问题： 30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转 (1)如图①，等边三角形ABC内有一点 一定的角度a得到△DEC,点A,B的对 P,若点P到顶点A,B,C的距离分别 应点分别是点D,E。 为3,4,5，求∠APB的度数 (1)如图①，当点E恰好在边AC上时，连 为了解决本题，我们可以将△ABP绕 接AD,求∠ADE的度数； 顶点A按逆时针方向旋转60°到 (2)如图②，当a=60°时，点F为边AC上 △ACP'处，连接PP',此时△ACP'≌ 一点，且∠FBC=30°。 △ABP,这样就可以利用旋转变换，将 试判断BF与DE有怎样的数量关系 三条线段PA,PB,PC转化到一个三 和位置关系？并说明理由。 角形中，从而求出∠APB= ； 0 (2)请你利用第(1)题的解题方法，解答下 面问题：如图②，△ABC中，∠CAB= 90°，AB=AC,E,F为BC上的点且 ∠EAF=45°，求证：EF2=BE+FC2: 图① 图② (3)能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，AC=1,∠ABC=30°，点O为 Rt△ABC内一点，连接AO,BO,CO, 且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°， 则OA+OB+OC的值是 图① 图② 图③ B6-