培优专训(1) 等腰三角形中常见的辅助线-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

积公式，得2CG·AB=号AC·BC.CG=号cm.由 平移的性质，得CF=AD=3cm,∴.四边形AEFC的面积 -合(F+AE)·6G-号×(3+8)×号-5(cm).放四边形AEFC的面 积是9cm。15.解：1)①60°②4③150°(2)0A+20B形=0C时. ∠BDC=135°，理由如下：：'△BAO绕点B按顺时针方向旋转后得到 △BCD,.∠OBD=∠ABC=90°，BO=BD,CD=AO。∴.∠BOD=∠BDO =45°，OD2=OB+BD2=2OB2。又OA2+2OB2=OC,∴.CD2+OD2= OC。∴.∠ODC=90°。.∠BDC=∠BDO+∠ODC=135°。 进阶测评（六）[5.1~5.2] B3.A4.CD6.A7.B8.x≠29.010 111260131)解：原式-系；(2)解：原式- C 14因式分解分式的基本性质三去括号时第二项没改变符号a +1 15.1解：原式。“b。”。1-8名1=1-1=0：(2)解：原式 ·1·x2(3)解：原式三· (x+1)(x-1).1 1 (x-2)2 x+2 x一1 x=x十1-x-x十1-x=1 （x十1)(x-1)x+2x+2x+2x+2-x+2 16.解：原式= 3m(m+3)-15m-m-2=3m2+9m-15m.(m+3)2=3mm-2）. m+3 m2+6m+9 m+3 m-2 m十3 (m+3)2 =3m2+9m。,m2+3m-6=0,∴.m2+3m=6。∴.原式=3(m2十 1m-2 3m)=3×6=18.17.≠0且子-118，解：原式=己· 1 x+2(x+2)x(x+2)。解不等式组，得-3<x≤2。：x取整数，x= 11-x+x1 一2，-1,0,1,2。要使原式有意义，则x≠1且x≠0且x≠一2。.x=-1或 1 1 1 2。÷当=-1时，原式=xx十2-1：当x=2时，原式x十2)8 进阶测评（七）[6.1~6.2] 1.D2.C3.C4.C5.C6.B7.B8.AB=CD(答案不唯一)9.16 10.2411.2√1312.18√313.解：(1)由题意得，∠ABE=90°， .∠ABF=90°-30°=60°，∴∠A=90°-∠ABF=30°。(2)在Rt△ABF 中，BF=3,∠A=30°，.AB=2BF=6。.四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD=6。.平行四边形ABCD的面积=CD·BE 闭儿 =6×2=12.14.证明：连接BD交AC于O点，： □BEDF,∴.OE=OF,OB=OD。'AE=CF,.AE+OE =CF+OF,即OA=OC。又，OB=OD,.四边形ABCD是平行四边形。 15.解：(1)选择①，证明如下：，∠B=∠AED,∴.BC∥DE.,AB∥CD, ∴.四边形BCDE为平行四边形。(2)由(1)可知，四边形BCDE为平行四边 形，∴.DE=BC=10。AD⊥AB,.∠A=90°。.AE=√DE-AD= √10-8=6.16.解：(1)5-t(2):AP∥BQ,∴.当AP=BQ时，四边形 BQP是平行四边形，即1=5-t,解得1=2.5。(3)8 培优专训（一）等腰三角形中常见的辅助线 1.证明：过点C作CM⊥AB于点M。:CA=CB, ..∠ACB=2∠ACM。,CD=CE,.∠D=∠CED ∴.∠ACB=∠D+∠CED=2∠D。∴.2∠ACM=2∠D ∴.∠ACM=∠D。∴.DE∥CM。∴DE⊥AB。 30 2.证明：过点E作EG∥AC交BC于点G,则∠ACB= ∠BGE,∠F=∠DEG。,AB=AC,∴.∠B=∠ACB .∠B=∠BGE。.BE=GE。又，BE=CF,.GE=CF f∠F=∠DEG, 在△CDF和△GDE中，{∠CDF=∠GDE, CF=GE, ∴.△CDF≌△GDE(AAS)。∴.DE=DF 3.证明：作DF∥AB交CE于点F。:△ABC是等边 三角形，∴.AC=BC,∠A=∠ABC=∠ACB=60°。∴ ∠DFC=∠ABC=60°，∠CDF=∠A=60°。∴.△CDF 是等边三角形。∴.CD=DF=CF,∠DCF=∠DFC= 60°。∴.∠BCD=∠EFD。CE=AD,CD=CF,∴.CE-CF=AD-CD BC=EF. 即EF=AC。∴.EF=BC。在△BCD和△EFD中，∠BCD=∠EFD, CD=FD. ∴.△BCD≌△EFD(SAS)。∴.DB=DE。 4.解：在DC上截取DH,使得DH=DB,连接 AH。AD⊥BH,∴.AB=AH。AB+BD= DC,DC=DH+HC,∴AB=CH=AH。.∠B D =∠AHD,∠C=∠HAC。设∠C=x,则∠AHB=∠B=2x。,∠B+∠C +∠BAC=180°，.3x+120°=180°。.x=20°。即∠C=20°。 5.解：延长AD到点E,使DE=AD,连接CE。,BD=CD, ∠ADB=∠EDC,.∴.△ABD≌△ECD。∴.AB=EC,∠BAD= ∠E。.'AD是△ABC的角平分线，∴.∠BAD=∠CAD。 ∴.∠CAD=∠E。.CE=CA。.AB=AC。 6.证明：延长AE到点F,使EF=AE,连接DF AE是△ABD的中线，AD是△ABC的中线， ∴.BD=CD,BE=ED。在△ABE与△FDE中， BE=DE, {∠AEB=∠FED,∴.△ABE≌△FDE(SAS)。 AE-FE, ∴.AB=FD,∠B=∠BDF。,∠ADC是△ADB的外角， .∠ADC=∠B+∠BAD。:∠ADB=∠BAD, ∴·∠ADC=∠BDA+∠BDF=∠ADF,AB=BD。又AB=DF,BD= (AD-AD, CD,∴.DF=CD。在△ADF与△ADC中，∠ADF=∠ADC,∴.△ADF≌ FD=CD, △ADC(SAS)。.AF=AC。:AF=AE+EF,AE=EF,∴.AC=2AE。 7.68.解：作BD⊥AC交CA的延长线于点D。 :AB=AC,∠ABC=15°，∴.∠C=∠ABC 15°。∴∠DAB=∠C+∠ABC=30°。.BD= AB-1. 9.解：延长AD,BC交于点E。,∠A=30°，∠B=90°， ∠E=60°。.∠ADC=120°。.∠EDC=60°。.∠E= ∠EDC=∠ECD=60°。∴.△EDC是等边三角形。设CD =CE=DE=x,则AE=4十x,BE=x十1。在Rt△ABE 中，∠A=30°，AE=2BE。.2(1十x)=x十4。解得x=2。.CD=2。 培优专训（二）角平分线与线段的垂直平分线的应用 1.(1)C(2)12(3)B2.(1)20(2)C3.30 4.(I)证明：连接CD。,点D在BC的垂直平分线上，.BD =CD。:DE⊥AB,DF⊥AC,AD平分∠BAC,∴.DE=DF。 ∠BED=∠CFD=90°。在Rt△BDE和Rt△CDF中， BD=CD.R△BDE≌Rt△CDF(HL),·BE=CF DE=DF,跨单元整合 培优专训（一） 等腰三角形中常见的辅助线 类型一利用“三线合一”作辅助线 3.如图，△ABC是等边三角形，D为AC延 1.如图，在△ABC中，CA=CB,点D在AC 长线上一点，E是BC延长线上一点， 的延长线上，点E在BC上，且CD=CE。 CE=AD,求证：DB=DE。 求证：DE⊥AB。 类型二利用作平行线构造等腰三角形 2.如图，在△ABC中，AB=AC,EF交AB 于点E,交BC于点D,交AC的延长线于 类型三利用“截长补短法”构造等腰三角形 点F,且BE=CF。求证：DE=DF。 4.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥ BC于点D,且AB+BD=DC,求∠C的 度数。 -B1- 类型四利用“倍长中线”构造等腰三角形 类型五利用特殊角构造含30°角的直角三 5.如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平 角形 分线，且BD=CD。求证：AB=AC。 7.如图，在△ABC中，AB= AC,∠ADB=∠BAC= D 120°，若AD=2,则BC= 8.如图，在△ABC中，AB=AC=2,∠ABC= 15°，求等腰三角形ABC腰上高的长。 6.如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线， AE是△ABD的中线，∠BAD=∠BDA。 求证：AC=2AE。 9.如图，四边形ABCD中，AD=4,BC=1, ∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求 CD的长。 —B2-