第2章 不等式与不等式组 学业质量评价-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

4√3，AC=4,∴.CD=2√3，即点C到AB的距离为2V3.19.解：，∠1= ∠2，∠3=∠4，∠4=∠1+∠2，∴.∠3=∠4=∠1+∠2=2∠1。在△CAD 中，∠CAD=180°-∠4-∠3=180°-4∠1。：∠CAD=∠BAC-∠1=601 -∠1，.180°-4∠1=60°-∠1。..∠1=40°。..∠CAD=60°-40°=20° 20.解：设∠A为顶角，根据等腰三角形的性质，分情况讨论，得①当底角 是顶角的2倍时，∠B=∠C=2∠A。,∠A+∠B+∠C=180°，∴.5∠A= 180°。∠A=36°；②当顶角是底角的2倍时，∠A=2∠B=2∠C。:∠A +∠B+∠C=180∠A+2∠A+号∠A=180.·∠A=90:综上所 述，这个等腰三角形的顶角为36°或90°。21.(1)证明：AD∥BC,∴ ∠EAD=∠B。:∠B=∠D,.∠EAD=∠D。.BE∥CD。∴∠E= ∠ECD。(2)△BCE是等边三角形。理由如下：：∠E=60°，CE平分 ∠BCD,BE∥CD,∴.∠BCE=∠DCE=∠E=60°。.△BCE是等边三角 形。22.(1)证明：BD是∠ABC的平分线，.∠ABD=∠CBD。DE ∥BC,∴.∠EDB=∠CBD。.∠EBD=∠EDB。∴.BE=DE。(2)解： ∠A=80°，∠C=40°，.∠ABC=60°。：BD平分∠ABC,∴.∠ABD= ∠CBD=号∠ABC=30°。由(1)知∠EDB=∠EBD,∠BDE=30. 23.(1)证明：：EF垂直平分AC,∴.AE=EC。AD⊥BC,BD=DE,.AB =AE。∴.AB=EC。(2)解：：△ABC的周长为42cm,.AB+BC+AC =42 cm..'AC=16 cm,.'.AB+BC=26 cm..'AB=EC,BD=DE,.'.DC =DE+EC=号(AB+BE+EC)=2(AB+BC)=13cm。24.证明：(1) :AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,DC⊥AC,.DE=DC。在Rt△CDF 和Rt△EDB中，DCDE'Rt△CDF≌Rt△EDB(H)。CF=EB。 ②由ID知DC=DE,在Rr△ADC与R△ADE中.DAB.,R △ADC≌Rt△ADE(HL)。.AC=AE。∴.AB=AE+BE=AC+EB=AF +CF+EB=AF+2EB。25.(1)证明：，△ABC是等边三角形，.AB= CA=BC,∠BAE=∠ACD=60°。在△ABE和△CAD中， AB=CA. ∠BAE=∠ACD,.△ABE≌△CAD(SAS)。∴.AD=BE 。 (2)解： AE-CD. △ABE≌△CAD,∴.∠CAD=∠ABE。∴.∠BPQ=∠ABE+∠BAD= ∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°。，BQ⊥AD,∴.∠AQB=90°。∴.∠PBQ =90°-60°=30°。，PQ=3,.在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6。又.PE= 1,∴.AD=BE=BP+PE=6十1=7.26.解：(1)DE⊥DP,理由如下： PD=PA,∴∠A=∠PDA。EF是BD的垂直平分线，EB=ED。 ∠B=∠EDB。:∠C=90°，∴∠A+∠B=90°。.∠PDA十∠EDB=90。 .∠PDE=180°-90°=90°。∴.DE⊥DP。(2)连接PE,设DE=x,则 EB=ED=x,CE=8-x。,∠C=∠PDE=90°，.PC2+CE=PE=PD 十DE。∴.4+(8-x)2=22十x2,解得x=4.75。∴.DE 4.75.27.解：(1)1：1(2)过D作DE⊥AB于点E DF⊥AC于点F。:AD为∠BAC的平分线，∴.DE DF,:AB=m,AC=Sm:Sm=(分·AB· B D 图2 DE):(号·AC·DF)=n:。(3):AD=DE,由I)知Sam: S△BD=1：1。:S△即E=6,.S△ABD=6。AC=2,AB=4,AD平分 ∠BAC,.由(2)知S△ABD:S△AcD=AB:AC=4:2=2:1。∴.S△aCD=3。 .S△ABC=3+6=9。 第二章学业质量评价 1.C2.D3.B4.D5.C6.B7.D8.B9.C10.C11.4x<2 12.x>213.m>-114.九15.5516.a<817.解：由3x+4y=25 得x=25,4y。2y≤，2y≤254。y≤2.5.18.解：去括号，得 3 3 10x十6x一3十6x。移项，得10x一x-6x-3一6。合并同类项，得3x -9。两边都除以3，得x≤-3.19.解：由题意，得22-m)≤7。解得m x-3(x-2)≤8，① ≥-3。∴.m的负整数值为一1，一2，-3.20.解：1 2x-1<3-多.@解 不等式①，得x≥一1。解不等式②，得x<2。.原不等式组的解集为一1≤ x<2。该不等式组的解集在数轴上表示为： -5-4-3-2-1012345 21.解：设若要得奖应答对的题数为x题，则不答或答错的题数为(20一x) 题。根据题意，得5x一3(20一x)≥80。解得x≥17.5。答：若要得奖至少答 对18题。22.解：依题意，得32,1>1。去分母，得3(x十3)一2 2 3 (2x一1)>6。去括号，得3x十9-4x十2>6。移项、合并同类项，得-x>一 5。两边都除以一1，得x<5。'x为正整数，∴.x取1,2,3,4.23.解：设 小娜印刷了x张卡片。则15x-1000一5x>(1000+5x)×20%。解得x> 13号。“x为整数≥134。“小娜至少需印134张卡片，才可使得卡 片全部售出后的利润超过成本的20%.24.解：(1)设李老板购进香梨x千 克，则购进苹果(3x十20)千克。根据题意，得1.5(3x十20)+2x=420。解 得x=60。∴.购进香梨60千克，购进苹果3×60十20=200千克。(2)设 苹果的日销售量是y千克。则(7一1.5)×y+(7一2)×(50一y)≥268。解 得y≥36。答：每天卖出的苹果至少是36千克。25.解：(1)设B种文创产 品每件的进价为x元，则A种文创产品每件的进价为(x十3)元。根据题意， 可得2(x十3)十3x=26。解得x=4。答：B种文创产品每件的进价为4元。 (2)设小张购进m件A种文创产品，则购进(100一m)件B种文创产品。 由(1)可知，A种文创产品每件的进价为4十3=7元。则7m+4(100一m)≤ 550。解得m≤50。答：小张最多可以购进50件A种文创产品。 26解：1)：直线AB:=x十1与直线CD:%=mx+n交于点A(a,3 3=号×a+1.∴a=4。A(4,3)。把A(4,3,D(0,9)代入g=mx+ n得m”=3·解得m=一多n=9“直线CD的函数表达式为= n=9, 2x十9。(2)由图象可知，当y≥为时，x的取值范围是x≥4。(3)存在。 3 由为=21+1=0，解得x=-2。六B(-2,0).由=一2x十9=0，解得 x=6。∴C6,0)。Sw=2×BCXx=2×8X3=12。:点P在x 轴上，Sw=s%ePBa=6,即PB,3=6。PB=4,∴P (一6,0)或(2,0)。27.解：(1)设参加此次劳动实践活动的老师有x人，学 生有(30x十7)人。根据题意，得30x十7=31x一1。解得x=8。.30x十7= 30×8十7=247。答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，学生有247人。 (2)师生总数为247十8=255（人）。.每位老师负责一辆车的组织工作， ∴.一共租8辆车。设租甲型客车m辆，则租乙型客车(8一m)辆。根据题意， 得/35m+30(8-m)>255, {400m十320(8-m)≤3000.解得3≤m≤5.5。“m为整数，.m可取3， 4,5。.一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客 车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆。(3)设学校 租车总费用是心元，则u=400m+320(8-m)=80m+2560。,80>0,. 随m的增大而增大。由(2)知3≤m≤5.5，.m=3时，e取最小值，最小 值为80×3+2560=2800（元）。答：学校租车总费用最少是2800元。 第三章学业质量评价 1.D2.B3.A4.D5.D6.B7.D8.B9.C10.C11.60 12.三13.1414.115.2√316.28°或44°17.解：(1)由平移可知， ∠ACB=∠F=26°，∴.∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-74°-26°=80°。 (2),BC=3cm,EC=2cm,.∴.BE=BC-EC=3-2=1(cm)。即△ABC 平移的距离为1cm。18.解：（答案不唯一）(1)如图①所☑ 示，6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形。(2)如图② 所示，6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形。 19.解：(1)如图，△ABC为所求作。(2)如图， ① ② △A2B,C2为所求作。如图，连接AA2,由图可知AA2的长即为平移的距离， 由勾股定理，得AA2=√32十4=5，即平移的距离是5个单位长度。 20.解：(1)D,180。(2)将△ABD旋转后与△ECD重合，.AB=EC= 3,DE=AD。在△ACE中，由三角形的三边关系，得AC-EC<AE<AC+ CE。1<AE<7,即1<2AD<7,2<AD< 21.解：如图所示，点O即为所求。.△ABC≌△CDE,∴. ∠ACB=∠DEC,∠A=∠ECD。∴.∠ACB+∠BCE= 一G 90°。.∠OFC=∠OGC=∠FCG=90°。∴.∠FOG=90°。∴.旋转角度是 90°.22.(1)证明：根据题意，得∠ADE=∠B=60°，AD=AB,∴.△ABD是 等边三角形。，.∠BAD=60°。.∠BAD=∠ADE ∴.DE∥AB。∴.∠CFD=∠BAC=90°。.DE⊥AC。 (2) 过点C作CG⊥AE于点G,则∠AGC=90°。由旋转的性质， 得∠DAE=∠BAC=90°。，∠ADB=∠B=60°，.∠BAD =180°-∠ADB-∠B=60°。∠BAC=90°，.∠CAD= 30°。.∠EAC=60°。∴.∠ACG=90°-∠EAC=30°。. AG=AC=2.在R△ACG中，CG=VAC-AG=V-2=2,5. 23.(1)证明：线段CD绕点C按逆时针方向旋转90得到线段CE,.CD= CE,∠DCE=90°。.∠BCD+∠BCE=90°。.∠ACB=90°，∴.∠BCD+ ∠ACD=90°，∴.∠ACD=∠BCE。AC=BC,∴.△ACD≌△BCE(SAS) ∴.∠CBE=∠A。,AC=BC,∠ACB=90°，∴.∠ABC=45=∠A。 ∠CBE=∠A=45°。∴.∠ABE=90°，即EB⊥AB。(2)解：，△ACD≌ △BCE,.AD=BE。AD=BF,∴.BE=BF。.∠BEF=∠BFE。由(1) 知∠CBE=45,∠BEF=号×(180°-45)=67.5。 24.解：(1)将 △ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE,∴.△ABD≌△ACE,∠BAC= ∠DAE。∴AD=AE,BD=CE,∠AEC=∠ADB=120°。，△ABC为等边 三角形，∴∠BAC=60°。∴∠DAE=60°。∴△ADE为等边三角形。.AD =DE。(2):∠ADC=90°，∠AEC=120°，∠DAE=60°，.∠DCE=360 -∠ADC-∠AEC-∠DAE=90°。(3)：△ADE为等边三角形，∴.∠ADE =60°。∴.∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°。又∠DCE=90°，.DE=2CE 2BD=2。.AD=DE=2。在Rt△DCE中，DC=√DE-CE=√3。 25.解：(1)105(2)：0D平分∠M0N,∠D0N=号∠M0N=号×90° 45°。.∠DON=∠D=45°。.CD∥AB。.∠CEN=180°-∠MNO=●●C ●●● ●●● 八年级数学·下册·BS 0●0 ●●● ●●● ●●● 第二章学业质量评价 ●●● ●●● ●●● 时间：120分钟 满分：120分 ●●● ●●● ●●● ●●0 ●●● 题号 二 三 ●●● 四 合计 ●●● ●●● ●●● 得分 ●●● ●●● ●●● ●●● 、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列各式中：①-5<7；②3y-6>0;③a=6;④2x-3y;⑤a≠2； ⑥7y-6>y十2，不等式有 () A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.(2025·梅州开学)若不等式的解集为x≤一1，在数轴上表示此 解集，下列图形中正确的是 () -2-10 -2-10 -2-10 A B D 3.(2025·沈阳期末)已知a>b,则下列各式中一定成立的是() 製 A.a-b<0 C.ac2>bc2 D.2a-1<2b-1 4.小明和爸爸、妈妈三人玩跷跷板。爸爸的体重为75kg,爸爸坐 在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小明和妈妈一同坐在跷 茶 跷板的另一端，这时爸爸那端仍然着地，那么小明的体重应小于 () 补 ●●● ●●● A.49 kg B.50 kg C.24 kg D.25 kg ●●● ●●● ●●● 5.不等式2x一5>3(x一3)的正整数解的个数是 ●●● ●●● A.1 B.2 C.3 D.4 ●●● ●●● ●●● 6.(2025·兰州月考)某超市花费1000元购进蓝莓100kg,销售中 0●0 ●●● ●●● 有15%的正常损耗，为避免亏本（其它费用不考虑），售价至少定 ●●● ●●● ●●● 为每千克多少元？设售价为每千克x元，则下列不等式正确的 ●●● ●●● ●●0 是 () ●●0 ●●0 ●●0 A.100(1+15%)x≤1000 B.100(1-15%)x≥1000 ●●0 ●●● C.100(1+15%)x≥1000 D.100(1-15%)x≤1000 第二章第1页（共6页） 7.如图，直线y=kx十3经过点(2,0)，则关于x的不等 式kx十3≥0的解集是 A.x>2 B.x<2 2八 C.x≥2 D.x≤2 x-a<2, 8.已知不等式组 x+1>b 的解集是一1<x<1,则(a十b)227=() A.0 B.-1 C.1 D.2026 2x+1>3(x-2), 9.若关于x的一元一次不等式组 的解集是x< x<m 7,则m的取值范围是 () A.m≤7 B.m<7 C.m≥7 D.m>7 a(a≥b), 10.定义一种运算：a※b= 则不等式(2.x+1)※(2-x)>3 (a<<b), 的解集是 () A>I或x< B.-1<x<青 C.x>1或x<-1 D.x>3或x<-1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）】 11.列不等式：x的4倍小于2为 12.不等式4x-8>0的解集为 2x-y-m, 13.在方程组 中，若未知数x,y满足x十y>0,则m的 2y-x=1 取值范围是 14.某商品进价15元，标价20元，为了促销，现决定打折销售，但 每件利润不少于3元，则最多打 折销售。 15.对于实数x,我们规定[x]表示不大于x的最大整数。例如， 1.2]=1,3]=3,-2.5]=-3,则满足[=-5的x的最 大正整数的值为 1-2x5 16.已知关于x的不等式组 有解，则a的取值范围是 2x+a≤4 三、解答题（本大题共6小题，共32分） 17.(4分)已知实数x,y满足3x十4y=25,且2y≤x,求y的取值 范围。 第二章第2页（共6页） 18.(4分)解不等式：2(5x+3)≤x-3(1-2x)。 19.(4分)整式2（号-m)的值为T。若T的取值范围如图所示，求 m的负整数值。 01234567 [x-3(x-2)≤8， 20.(6分)解不等式组1 分-1<3一多，并把解集在数轴上表示 2, 出来。 21.(6分)在一次“交通安全”知识竞赛中，共有20道题，对于每道 题，答对一题得5分，不答或答错一题扣3分，总得分不低于 80分者可得奖，若要得奖至少应答对几题？ 第二章第3页（共6页） 2.(8分)当x取何正整数值时，代数式士与2。的差大于1？ 四、解答题（本大题共5小题，共40分) 23.(7分)如图的宣传单为印刷公司对设计与印刷卡片收费方式的 说明。小娜打算请此印刷公司设计一款母亲节卡片并印刷，她 再将卡片以每张15元的价格贩售。若利润等于收入扣掉成 本，且成本只考虑设计费与印刷费，则她至少需印多少张卡片， 才可使得卡片全部售出后的利润超过成本的20%？ 印刷公司 设计费每款 1000元 印刷费每张 5元 24.(7分)(2025·沈阳期中)苹果的进价是1.5元/千克，香梨的进 价是2元/千克。李老板购进苹果的重量比香梨重量的3倍多 20千克，一共花费420元。为方便销售，定价均为7元/千克。 (1)李老板购进苹果和香梨各多少千克？ (2)若平均每天卖出苹果和香梨共50千克，每天利润不少于 268元，则每天卖出的苹果至少是多少千克？ 第二章第4页（共6页） 25.(8分)(2025·辽宁)小张计划购进A,B两种文创产品，在“文 化夜市”上进行销售。已知A种文创产品比B种文创产品每 件进价多3元，购进2件A种文创产品和3件B种文创产品共 需花费26元。 (1)求B种文创产品每件的进价； (2)小张决定购进A,B两种文创产品共100件，且总费用不超 过550元，那么小张最多可以购进多少件A种文创产品？ 26.(8分)(2025·盘锦期末)如图，在平面直角坐标系中，直线 AB:-十1与直线CD:=mx十u交于点A(a,3),直线 CD交y轴于点D(0,9) (1)求直线CD的函数表达式； (2)直接写出当y1≥y2时，x的取值范围； (③)在x轴上是否存在点P,使Sam一Sar?如果存在，求 出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。 第二章第5页（共6页） 27.(10分)为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，某 中学组织全体学生前往劳动实践基地开展劳动实践活动。在 此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老 师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学 生。现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元。 (1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？ (2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？ (3)学校租车总费用最少是多少元？ 第二章第6页（共6页）