期末单元复习(4) 因式分解-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

期末单元复习( 0 知识结构图 定义 因式 分解 提公因式法 方法 平方差公式 互逆 公式法 变形 完全平方公式 整式乘法 02 重难点突破 突破点一 因式分解 例个下列因式分解正确的是 A.3ax2-6ax=3(ax2-2ax) B.x2+y2=(-x+y)(-x-y) C.a2+2ab-4b2=(a+2b)2 D.-ax2+2ax-a=-a(x-1)2 反思归纳把一个多项式分解因式，通常是先提公因 式，再运用公式法因式分解。在提公因式时有时要注 意符号的处理。此外，每个因式必须分解到不能分解 为止。 对点训练 1.分解因式： (1)(2025·宜宾)a2-a= (2)(2025·苏州)x2-9= (3)(2025·海南)a2-2ab+b2= (4)x2-5.xy-6y2= 突破点二因式分解的应用 例2如图，边长为a,b的长方形的周长为14， 面积为10，则a3b十ab+2a的值为 反思归纳解决这类问题的关健是将原式进行因式分 解，再由已知条件整体代入计算求值。 117八年级数学下册·BS 四) 因式分解 对点训练 2.若△ABC三边a,b,c满足a2-b2-ac+bc= 0,判断△ABC的形状是 () A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 3.已知实数a,b,满足a十b=6,ab=7,则a2b+ ab2的值为 4.若m=2+√5，则代数式m2一4m十2026的值 为 03备考集训(60分钟100分) 一、选择题（每小题5分，共25分） 1.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的 是 () A.(x+2)(x-2)=x2-4 B.3a2b-15ab2=3ab(a-5b) C.x3+x2+x=x(x2+x) D.a2+a-5=(a-2)(a+3) 2.因式分解：a2-64= A.(a+8)(a-8) B.a(a+64) C.(a+8)2 D.(a-8)2 3.多项式m2一4与多项式m2一4m十4的公因 式是 () A.m-2 B.m+2 C.m+4 D.m-4 4.若(x十a)(x十b)=x2-x-12,则a,b的值可 能分别是 () A.-3,-4 B.-3,4 C.3,-4 D.3,4 5.图(1)是一个长为2a,宽为2b(a>b)的长方 形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分 成四块形状和大小都一样的小长方形，然后 按图(2)那样拼成一个正方形，则中间空余的 部分的面积是 (1) (2) A.ab B.(a+b)2 C.(a-b)2 D.a2-62 二、填空题（每小题5分，共25分） 6.因式分解：6.x2-4x= 7.多项式2x2y2+4xy中，各项的公因式是 8.计算：3.14×10.62-3.14×21.2×0.6+ 0.36×3.14= 9.若多项式4+x十x2可以用完全平方公式进 行因式分解，那么数n= 10.已知a+b=1,则代数式a2-b2+2b+9的 值为 三、解答题（共50分） 11.(16分)分解因式： (1)8a3b2+12ab3c; (2)2a2-4ab+2b2; (3)3x-12x3; (4)x4-y。 12.(12分)先因式分解，再计算求值： (1)(x-2)2-6(2-x),其中x=-2。 (2)已知a+b=3,ab=2,求代数式a3b+ 2a2b2+ab3的值。 13.(10分)如图甲、乙两个农民共有4块地，今 年他们决定共同搞投资饲养业，为此他们准 备将这4块地换成宽为(a十b)m的地，为了 使所换到的面积与原来地的总面积相等，交 换之后的地的长应为多少米？ 14.(12分)如图是用4个全等的长方形拼成的 一个“回形”正方形。 (1)图中阴影部分面积用不同的代数式表示， 可得一个等式，这个等式是 (2)若(2x-y)2=9,(2x+y)2=169,求xy 的值。 —b* 助学助教优质高数11885°-a。∠CAE=∠C+∠B,且∠B=∠ADB=2(180°-∠BAD)=90° a=85°-a十90-a。a=70。∴旋转角a的度数是 1 70°。15.解：(1)如图，△AP'C即为所求。(2)等边。 (3)△PP'C是直角三角形，理由如下：，△APP是等边三角 形，.PP'=PA=2。又△APB≌△AP'C,∴.BP=CP'=2 √3。在△PP'C中，(PP')2+(P'C)2=22+(2√3)2=16，PC=4=16,. (PP')+(P'C)=PC。∴∠CP'P=90°，即△PP'C为直角三角形。(4) :△PAP是等边三角形，.∠AP'P=60°。.∠CP'A=90°+60°=150°。 ∴.∠APB=∠CP'A=150°。故答案为150°。 期末单元复习（四）因式分解 重难点突破 例1D例2490 对点训练 1.(1)a(a-1)(2)(x+3)(x-3)(3)(a-b)2(4)(x+y)(x-6y) 2.C3.424.2027 备考集训 1.B2.A3.A4.C5.C6.2x(3x-2)7.2xy8.3149.±4 10.1011.(1)解：8a3b2+12abc=4ab2(2a2+3bc)；(2)解：2a2-4ab+2b =2(a2-2ab+b2)=2(a-b)2;(3)解：3x-12x3=3.x(1-4x2)=3x(1十 2x)(1-2x);(4)解：x4-y=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x- y)。12.解：(1)原式=(x-2)2+6(x-2)=(x-2)(x-2+6)=(x-2) (x+4)当x=-2时，原式=(-2-2)×(-2+4)=-8。(2)原式=ab (a2+2ab+b2)=ab(a+b)2,当a+b=3,ab=2时，原式=2×32=18.13. 解：，原来4块地的总面积为(a2+bc十ac+ab)m,∴.a2+bc+ac十ab=a(a+ b)十c(a十b)=(a十b)(a十c)。:此块地的宽为(a十b)m,∴.交换后这块土地 的长为(a十c)m。14.解：(1)S阴影=4S长方形=4ab①，S阴影=S大正方形 S空自小正方形=(a十b)2-(b-a)2②，由①②得(a+b)2-(a-b)2=4ab。故 答案为(a十b)2-(a-b)2=4ab。(2).(2x+y)2-(2x-y)2=8xy,∴.8xy =169-9,∴.xy=20。 期末单元复习（五）分式与分式方程 重难点突破 例1A例2解：原式=m-1÷m十1)(m-1)-m-1.m+1-m十1 (m+1)2 m-1 m 当m=2时原式=岁=是，例3D 对点训练 1.C2.D3.-34.D5.-16x 6 7.解：原式= (a+1)(a-1)-(4a-5).a-1-1=a2-1-4a+5.a(a-1)_(a-2)2,a(a-1) a-1 a(a-1)a-1 a-2 a-1 a-2 =a2-2a.a≠0，且a≠1且a≠2，.a=-2。当a=-2时，原式=a-2a= (-2)2-2×(-2)=8.8.D9.a<1且a≠010.511.解：设肖老师骑 自行车每小时走xkm。根据题意，得5是怎解得x=15。经检验： =15是原方程的根，并符合实际意义。答：肖老师骑自行车每小时走15km。 备考集训 1.D2.C3.B4.B5.D6.A7.B8.C9.110.111.3 -1 2号132142+8=51510解原式=·0+》-2 =a+1_a 2一2二a122)獬：原式=w2·m二2、， m-2‘m-3=m十3。 16.(1)解：方程两边乘(2x+5)(5x-2),得10x2-4x十10x十25=10x2十 26